Các phương pháp giải tích phân

 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 1 
Chuyên đề 1: Các ph−ơng pháp tính tích phân 
 Thông thường ta gặp các loại tích phân sau đây: 
+) Loại 1: Tích phân của hàm số đa thức phân thức hữu tỷ. 
+) Loại 2: Tích phân của hàm số chứa căn thức 
+) Loại 3: Tích phân của hàm số l−ợng giác 
+) Loại 4: Tích phân của hàm số mũ và logarit 
 Đối với các tích phân đó có thể tích theo các ph−ơng pháp sau: 
I) Ph−ơng pháp biến đổi trực tiếp 
 Dùng các công thức biến đổi về các tích phân đơn giản và áp dụng đ−ợc )a(F)b(F)x(Fdx)x(f b
a
b
a
−==∫ 
 +) Biến đổi phân thức về tổng hiệu các phân thức đơn giản 
 Ví dụ 1. Tính: 
1. ∫
−
=
2
1
3
2
dx
x
x2xI ta có 12ln)21(ln)12(ln
x
2
xlndx)
x
2
x
1(I
2
1
2
1
2 −=+−+=





+=−= ∫ 
2. ∫
+−
=
2e
1
dx
x
4x3x2J ( )∫ ++−=+−= +−= −
2
2e
1
2
e
1
2/1 7e4e3xln4x3x4dx
x
43x2 
3. ∫
−−
=
8
1
3 2
3 5
dx
x3
1x3x4K ∫ =




−−=





−−=
−
8
1
8
1
33 423/23/1
4
207
xx
4
3
x
3
4dxx
3
1
xx
3
4
 +) Biến đổi nhờ các công thức l−ợng giác 
 Ví dụ 2. Tính: 
1. ∫
−
=
2/
2/
xdx5cosx3cosI
pi
pi
( ) 0
8
x8sin
2
x2sin
2
1dxx8cosx2cos
2
1 2/
2/
2/
2/
=





+=+= ∫
−
−
pi
pi
pi
pi
2. ∫
−
=
2/
2/
xdx7sinx2sinJ
pi
pi
( )
45
4
9
x9sin
5
x5sin
2
1dxx9cos)x5cos(
2
1 2/
2/
2/
2/
=





−=−−= ∫
−
−
pi
pi
pi
pi
3. ∫
−
=
2/
2/
xdx7sinx3cosK
pi
pi
( ) 0
10
x10cos
4
x4cos
2
1dxx10sinx4sin
2
1
xdx3cosx7sin
2/
2/
2/
2/
2/
2/
=





+−=+== ∫∫
−
−
−
pi
pi
pi
pi
pi
pi
4. ∫=
pi
0
2
0 xdxcosx2sinH ∫ =




−−=
+
=
pi pi
0 0
0x4cos
16
1
x2cos
4
1dx
2
x2cos1
x2sin hoặc biến đổi 
 ∫=
pi
0
2 xdxcosx2sinH ∫ =




−−=
+
=
pi pi
0 0
0x4cos
16
1
x2cos
4
1dx
2
x2cos1
x2sin 
5. ∫ +
++
=
2/
6/
dx
xcosxsin
x2cosx2sin1G
pi
pi
( ) 1xsin2xdxcos2dx
xcosxsin
xsinxcos)xcosx(sin 2/
6/
2/
6/
2/
6/
222
−=−==
+
−++
= ∫∫
pi
pi
pi
pi
pi
pi
6. ∫=
2/
0
4 xdxsinE
pi
( )
16
3
x2sin
4
x4sin
x3
8
1dxx2cos4x4cos3
8
1dx
2
x2cos1
2/
0
2/
0
2/
0
2
pi
pipipi
=





−+=−+=




 −
= ∫∫ 
7. ∫=
4/
0
2 xdxtanF
pi
( )
4
4
xxtandx1
xcos
1 4/
0
4/
0
2
pipi
pi
−
=−=





−= ∫ . Đề xuất: ∫=
2/
4/
2
1 xdxcotF
pi
pi
 và 
∫=
4/
0
4
2 xdxtanF
pi
 +) Biến đổi biểu thức ở ngoài vi phân vào trong vi phân 
 Ví dụ 3. Tính: 
1. ∫ +=
1
0
3 dx)1x2(I 10
4
)1x2(
2
1)1x2(d)1x2(
2
1
1
0
41
0
3
=
+
=++= ∫ 
2. ∫
−
=
2
1
3 dx)1x2(
1J 0)1x2(
1
4
1
2
)1x2(
2
1)1x2(d)1x2(
2
1
1
0
2
1
0
22
1
3
=
−
−=
−
+
=−−=
−
−∫ 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 2 
3. ∫ −=
3/7
1
dx3x3K
9
16)3x3(
9
2)3x3(d)3x3(
3
1 3/7
1
3
3/7
1
2/1
=−=−−= ∫ 
4. ∫
−
=
4
0 x325
dxH
3
13210)x325(
3
2)x325(d)x325(
3
1 1
0
2/1
4
0
2/1 −
=−
−
=−−−= ∫
− 
5. ∫
−++
=
2
1
dx
1x1x
1G
3
123dx)1x1x(
2
1dx)1x()1x(
1x1x2
1
2
1
−−
=








−−+=
+−−
−−+
= ∫ ∫ 
(Nhân cả tử và mẫu với bt liên hợp của mẫu số) 
 Đề xuất C)cax()bax()cb(a
1dx
caxbax
1G 331 +


 +++
−
=
+++
= ∫ với cb;0a ≠≠ 
6. ∫ −=
1
0
dxx1xP ∫ ∫∫ =−+−−−−=−+−=
1
0
1
0
1
0
5
4dxx1)x1(dx1)1x(dxx1)11x( 
7. ∫ −=
1
0
x1 xdxeQ 2 = 1ee)x1(de
2
1 1
0
x1
1
0
2x1 22
−=−=−−
−−∫ 
 Đề xuất 
15
264dxx1xQ
1
0
23
1
−
=+= ∫ HD đ−a x vào trong vi phân và thêm bớt (x2 + 1 - 1). 
 Ví dụ 4. Tính: 
1. 0dx)x2sin3x3cos2(I
0
1 =+= ∫
pi
; 
4
1
xdxcosxsinI
2/
0
3
2 == ∫
pi
 và 1exdxsineI
2/
0
xcos
3 −== ∫
pi
2. 2lnxdxtanJ
4/
0
1 == ∫
pi
; 2lnxdxcotJ
2/
6/
2 == ∫
pi
pi
 và 2ln
3
2dx
xcos31
xsinJ
4/
0
3 =+
= ∫
pi
(đ−a sinx, cosx vào trong vi phân) 
3. 1cos1dx
x
)xsin(lnK
e
1
1 −== ∫ ; 2cos1dxx
)xcos(lnK
2e
1
2 −== ∫ và 2dx
xln1x
1K
3e
1
3 =
+
= ∫ 
{đ−a 1/x vào trong vi phân để đ−ợc d(lnx)} 
4. ∫ +=
3ln
1
x
x
1 dx
e2
eH
e2
5lne2ln
3ln
1
x
+
=+= 
 ∫ +
−
=
2ln
0
x
x
2 dx
e1
e1H ∫ ∫∫ −=+−=+
−+
=
2ln
0
2ln
0
x
x2ln
0
x
xx
3ln22ln3dx
e1
e2dxdx
e1
e2e1
 ∫ +=
2ln
0
x3 5e
dxH
7
12ln
5
15eln
5
1
x
5
1
5e
dxe
5
1dx
5
1
5e
dx)e5e(
5
1
2ln
0
x
2ln
0
x
x2ln
0
2ln
0
x
xx
=





+−=
+
−=
+
−+
= ∫∫∫ 
∫ −+=
1
0
xx
x
4
ee
dxeH ∫
+
=+=
+
=
1
0
21
0
x2
x2
x2
2
1eln
2
11eln
2
1
1e
dxe
 +) Biến đổi nhờ việc xét dấu các biểu thức trong giá trị tuyệt đối để tính ∫=
b
a
dx)m,x(fI 
- Xét dấu hàm số f(x,m) trong đoạn [a; b] và chia [ ] ]b;c[...]c;c[]c;a[b;a n211 ∪∪∪= trên mỗi đoạn hàm số f(x,m) 
giữ một dấu 
- Tính ∫∫∫ +++=
b
c
c
c
c
a n
2
1
1
dx)m,x(f...dx)m,x(fdx)m,x(fI 
 Ví dụ 5. Tính: 
1. ∫ −+=
2
0
2 dx3x2xI Ta xét pt: 3x1x0 32x x 2 =∨=⇔=+ . Bảng xét dấu f(x) 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 3 
 Suy ra 4dx)3x2x(dx)3x2x(dx3x2xdx3x2xI
2
1
2
1
0
2
2
1
2
1
0
2
=−++−+−=−++−+= ∫∫∫∫ 
2. ∫
−
−=
1
3
3 dxxx4J tính t−ơng tự ta có 16dxxx4dxxx4dxxx4J
1
0
3
0
2
3
2
3
3
=−+−+−= ∫∫∫
−
−
−
3. 
2ln
14dx42K
3
0
x +=−= ∫ 
4. ∫ −=
pi2
0
1 dxx2cos1H 22dxxsin2dxxsin2dxxsin2
2
0
2
0
=+== ∫∫∫
pi
pi
pipi
∫ −=
pi
0
2 dxx2sin1H
{Viết (1 – sin2x) về bình ph−ơng của một biểu thức rồi khai căn} 
22dxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsin
2/3
4/3
4/3
4/
4/
00
=+++++=+= ∫∫∫∫
pi
pi
pi
pi
pipi
II) Ph−ơng pháp đổi biến số 
 A - Ph−ơng pháp đổi biến số dạng 1: 
Giả sử cần tính tích phân ∫=
b
a
dx)x(fI ta thực hiện các b−ớc sau: 
- B−ớc 1. Đặt x = u(t) 
- B−ớc 2. Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt. Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt 
- B−ớc 3. Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β 
- B−ớc 4. Biến đổi ∫=
β
α
dt)t(gI (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa) 
 Cách đặt đổi biến dạng 1. 
 Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa 2x1 − thì đặt ]2/;2/[t;tsinx pipi−∈= hoặc đặt ];0[t;tcosx pi∈= 
 Ví dụ 1. Tính: 
1. ∫
−
=
1
2/2
2
2
dx
x
x1A ta đặt ]2/;2/[t;tsinx pipi−∈= ⇒ dx = cost.dt; đổi cận khi x = 2 /2 thì t = 4/pi ; khi x 
= 1 thì t = 2/pi . Khi đó 
4
4dt.
tsin
tsin1dt.
tsin
tcosdt.tcos
tsin
tsin1A
2/
4/
2
22/
4/
2
22/
4/
2
2 pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
−
=
−
==
−
= ∫∫∫ 
2. ∫
−
=
1
0
2
2
dx
x4
xB ta viết ∫
−
=
1
0
2
2
dx
)2/x(12
xB . 
Đặt ];0[t;tcos)2/x( pi∈= ⇒ tdtsin2dxtcos2x −=⇒= 
 Đổi cận suy ra ( )
2
3
3
dtt2cos12tdtcos4)tdtsin2(
tcos12
)tcos2(B
2/
3/
2/
3/
2
3/
2/
2
2
−=+==−
−
= ∫∫∫
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
3. ∫ −=
1
0
22 dxx34xC Tr−ớc hết ta viết ∫ 






−=
1
0
2
2 dx
2
x.31x2C . 
Đặt ]2/;2/[t;tsinx
2
3
pipi−∈= đ−a tích phân về dạng: 
12
1
27
32dt
2
t4cos1
33
4
tdtcostsin
33
16C
3/
0
3/
0
22 +=
−
== ∫∫
pi
pipi
Chú ý: 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 4 
- Nếu hàm số chứa 0a,xa 2 >− thì ta viết 
2
2
a
x1axa 





−=− và đặt 






∈=
−∈=
];0[t;tcos
a
x
]2/;2/[t;tsin
a
x
pi
pipi
 - Nếu hàm số chứa 0b,a,bxa 2 >− thì ta viết 
2
2 x
a
b1abxa








−=− và đặt 







∈=
−∈=
];0[t;tcosx
a
b
]2/;2/[t;tsinx
a
b
pi
pipi
 Ví dụ 2. Tính: 
1. ∫
−
=
2
3/2
2
dx
1xx
1E {Viết tích phân về dạng 2X1 − } 
ta viết ( )∫ −=
2
3/2
22
dx
x/11x
1E và đặt [ ]2/;2/t;tsin
x
1
pipi−∈= suy ra 
12
dtE
3/
4/
pi
pi
pi
== ∫ 
2. ∫
−
=
3/22
3/2
3
2
dx
x
4x3G {Viết tích phân về dạng 2X1 − } 
ta viết 
( )
∫
−
=
3/22
3/2
3
2
dx
x
x3/21.x.3
G và đặt [ ]2/;2/t;tsin
x3
2
pipi−∈= suy ra tích phân có dạng 
16
)336(3
tdtcos
2
33G
3/
4/
2 −+
== ∫
pi
pi
pi
 {Nếu tích phân có dạng bax 2 − thì viết về dạng 2X1− } 
Cách đặt 2. Nếu tích phân có chứa 2x1 + hoặc ( )2x1 + thì ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= hoặc 
( )pi;0t;tcotx ∈= 
 Ví dụ 3. Tính: 
1. ∫ +=
3
3/1
2 dxx1
1M ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= suy ra 
6
dtM
3/
6/
pi
pi
pi
== ∫ 
2. ∫
+
=
3
1
22
dx
x1.x
1N ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= suy ra 
3
3218dt
.tsin
tcosN
3/
4/
2
−
== ∫
pi
pi
3. ∫ ≠+=
a
0
222 0a;dx)xa(
1P 
ta viết ∫






+
=
a
0
2
24
dx
)
a
x(1a
1P và đặt ;ttan
a
x
= ⇒ 3
4/
0
2
3 a4
2
tdtcos
a
1P +== ∫
pi
pi
4. ∫ ++=
1
0
2 dx1xx
1Q 
ta viết ∫






++
=
1
0
2 dx
)
2
1
x(
3
21
1
3
4Q và đặt ( )2/;2/t;ttan
2
1
x
3
2
pipi−∈=





+ ⇒
9
3dt
2
3
3
4Q
1
0
pi
== ∫ 
 Chú ý: Nếu gặp tích phân chứa 2bxa + hoặc 2bxa + thì ta viết: 
















+=+
2
2
x
a
b1axba hoặc 
2
2 x
a
b1abxa








+=+ và ta đặt ( )2/;2/t;ttanx
a
b
pipi−∈= 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 5 
 Cách đặt 3. Nếu tích phân có chứa 
xa
xa
+
−
hoặc 
xa
xa
−
+
thì ta đặt ta đặt ]2/;0[t;t2cosax pi∈= và l−u ý vận dụng 




=+
=−
tcos2t2cos1
tsin2t2cos1
2
2
 Ví dụ 4. Tính: 
1. ∫
−
>
−
+
=
0
a
0a;dx
xa
xaI ta đặt ]2/;0[t;t2cosax pi∈= suy ra ∫ −
−
+
=
4/
2/
dt)t2sina2(
t2cos1
t2cos1I
pi
pi
4
4
a
pi−
= 
2. ∫
−
+
=
2/2
0
dx
x1
x1J ta đặt ]2/;0[t;t2cosx pi∈= suy ra ∫ −
−
+
=
8/
4/
dt)t2sin2(
t2cos1
t2cos1J
pi
pi
= 
4
224
tdtcos4J
4/
8/
2 −+
== ∫
pi
pi
pi
 {có thể đặt t
x1
x1
=
−
+
 suy rra tích phân J về dạng tích phân của hàm số hữu tỷ} 
 B - Ph−ơng pháp đổi biến số dạng 2: 
Giả sử cần tính tích phân ∫=
b
a
dx)x(fI ta thực hiện các b−ớc sau: 
- B−ớc 1. Đặt t = v(x) 
- B−ớc 2. Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt. Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt 
- B−ớc 3. Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β 
- B−ớc 4. Biến đổi ∫=
β
α
dt)t(gI (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa) 
 Cách đặt đổi biến dạng 2. 
 Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa ẩn ở mẫu thì đặt t = mẫu số. 
 Ví dụ 1. Tính: 
 1. ∫
−
=
2/
0
2 dxxcos4
x2sinI
pi
 ta có thể đặt t = 4 - cos2x suy ra 
3
4ln
t
dtI
4
3
== ∫ 
 2. ∫ +=
4/
0
22 dxxcos2xsin
x2sinJ
pi
đặt xcos1xcos2xsint 222 +=+= suy ra ∫ ==
2
2/3
4
3ln
t
dtJ 
{có thể hạ bậc để biến đổi tiếp mẫu số về cos2x sau đó đ−a sin2x vào trong vi phân} 
Đề xuất: ∫ +=
2/
0
22221 dxxcosbxsina
xcosxsinJ
pi
với 0ba 22 >+ 
3. ∫ +=
2ln
0
x
dx
5e
1K ta đặt 5et x += ⇒ 5tex −= ⇒ dtdxex = sau đó làm xuất hiện trong tích phân biểu 
thức dxex ⇒
7
12ln
5
1
t
5tln
5
1
)5t(t
dt
)5e(e
dxeK
7
6
7
6
2ln
0
xx
x
=
−
=
−
=
+
= ∫∫ 
{Có thể biến đổi trực tiếp 
 ... 
xcos
+
−
= 
 Ví dụ 1. Tính: 
 1. ∫ +
+
=
2/
0
dx
xcosxsin
xcos5xsin3I
pi
ta viết sinx)-B(cosxcosx)A(sinx cosx 53sinx ++=+ suy ra A = 4; B = 1. 
 Khi đó: ( ) pipipipi 2xcosxsinlnx4
xcosxsin
)xcosx(sinddx4I 2/
0
2/
0
2/
0
=++=
+
+
+= ∫∫ 
2. ∫ +
+
=
2/
0
3 dx)xcosx(sin
xcosxsin3J
pi
ta viết sinx)-B(cosxcosx)A(sinx cosx 3sinx ++=+ suy ra A = 2; B = -1. 
Khi đó: 2)xcosx(sin2
1)
4
xcot()xcosx(sin
)xcosx(sinddx)xcosx(sin
2I
2/
0
2
2/
0
3
2/
0
2 =







+
++−=
+
+
−
+
= ∫∫
pipipi
pi
C – Khi gặp tích phân ∫ ++
++
=
β
α
dx
nxcosdxsinc
mxcosbxsinaI (c, d ≠ 0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ + C. Chọn A, B,C sao cho: 
Cn)'dcosxB(csinxn)dcosxA(csinx mbcosx asinx ++++++=++ hoặc có thể đặt 
2
x
tant = ⇒ 2t1
t2
xsin
+
= 2
2
t1
t1
xcos
+
−
= 
 Ví dụ 1. Tính: 
1. ∫ ++
+−
=
2/
0
dx
5xcos3xsin4
7xcosxsin7I
pi
ta viết C3sinx)-B(4cosx)5cosx3A(4sinx 7cosx7sinx ++++=+− 
Khi đó A = 1; B = -1; C = 2 và ∫∫∫ +++++
++
−=
2/
0
2/
0
2/
0
dx
5xcos3xsin4
2dx
5xcos3xsin4
)5xcos3xsin4(ddxI
pipipi
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 13 
Xét ∫ ++=
2/
0
1 dx5xcos3xsin4
2I
pi
 đặt 
2
x
tant = ⇒ 2t1
t2
xsin
+
= 2
2
t1
t1
xcos
+
−
= suy ra 
3
1dt)2t(
12I
1
0
21 =+
= ∫ . Vậy ( ) 8
9ln
3
1
2
I5xcos3xsin4lnxI 1
2/
0
−+=+++−=
pipi
 V)Ph−ơng pháp dùng tích phân liên kết 
 Ví dụ 1. Tính: 
 1. ∫ +=
2
0
xcosxsin
xdxsinI
pi
ta xét thêm tích phân thứ hai: ∫ +=
2
0
xcosxsin
xdxcosJ
pi
Khi đó: 
2
JI pi=+ (*). 
 Mặt khác 0
xcosxsin
)xcosx(sind
xcosxsin
dx)xcosx(sinJI
2
0
2
0
=
+
+
−=
+
−
=− ∫∫
pipi
(**). GiảI hệ (*) và (**) suy ra I = J = 
4
pi
. 
 2. dx
xcosxsin
xsinI
2
0
nn
n
n ∫ +=
pi
ta xét dx
xcosxsin
xcosJ
2
0
nn
n
n ∫ +=
pi
. Khi đó: 
2
JI nn
pi
=+ (*) 
 Mặt khác nếu đặt x = 
2
pi
- t thì n
2
0
nn
n2
0
nn
n
n Jdx
xcosxsin
xcosdt
tcostsin
tcosI =
+
=
+
= ∫∫
pipi
(**). Từ (*), (**) ta có 
4
In
pi
= 
 3. dx
xcosxsin
xsinI
2
0
nn
n
n ∫ +
=
pi
t−ơng tự xét dx
xcosxsin
xcosJ
2
0
nn
n
n ∫ +
=
pi
và suy ra 
4
JI nn
pi
== 
 4. dx
xcos3xsin
xsinE
6
0
2
∫ +
=
pi
và dx
xcos3xsin
xcosF
6
0
2
∫ +
=
pi
ta có 3ln
4
1dx
xcos3xsin
1FE
6
0
=
+
=+ ∫
pi
(*) 
Lại có 31dx)xcos3x(sinF3E
6
0
−=−=− ∫
pi
(**). GiảI hệ (*), (**) ta đ−ợc: 
4
313ln
16
1E −−= và 
4
313ln
16
3F −+= . Mở rộng tính =−=
+
= ∫ EFdx
xcos3xsin
x2cosE
6
0
pi
2
313ln
8
1 −
+ 
Đề xuất dx
xcos3xsin
x2cosL
6
0
∫
−
=
pi
Các bài toán t−ơng tự. 
A – Ph−ơng pháp biến đổi trực tiếp 
1. [ĐHNNI.98.A] ∫ +
+
=
1
0
x2
2x
e1
dx)e1(M 
+ Bình ph−ơng và phân tích thành 2 phân số đơn giản. 
+ Biết đổi biến. 
Giải: ∫∫ +++
+
=
1
0
x2
x1
0
x2
x2
e1
dxe2
e1
dxe1M ta tính ∫ +=
1
0
x2
x
1
e1
dxe2M đặt ( )2/;2/t,ttane x pipi−∈= khi đó với tan α =e và 
∫ +=
α
pi 4/
221 tcos)ttan1(
tdttan2M =
2
e1ln
ttan1
1ln2tcosln2tdttan2
2
4/
24/
4/
+
=
+
−=−=∫
α
pi
α
pi
α
pi
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+ 
Giải: 
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+ 
Giải: 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 14 
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+ 
Giải: 
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+ 
Giải: 
1. [ĐHNNI.98.A] ∫ +
+
1
0
x2
2x
e1
dx)e1(
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
3. [ĐHBK.98] ∫ +
2
0
44 dx)xcosx(sinx2cos
pi
4. [ĐHDLĐ.98] ∫
−++
2
1 1x1x
dx
5. ∫
+
6
0
dx
)
6
xcos(.xcos
1
pi
pi
6. ∫
+
2e
e
dx
x
)xln(lnxln
7. [ĐHMỏ.00] ∫
+
3
6
dx
)
6
xsin(xsin
1
pi
pi
pi
8. ∫
3
0
4 xdx2sinxcos
pi
9. [ĐHNN.01] ∫ +
4
0
66 dxxcosxsin
x4sinpi
10. [ĐHNNI.01] ∫
2
4
4
6
dx
xsin
xcos
pi
pi
11. ∫
3
4
4xdxtg
pi
pi
12. [CĐGTVT.01] ∫
−
+
3
2
2 dx.x3x 
13. [CĐSPBN.00] ∫ +−
3
0
2 dx4x4x 
14. ∫
pi
0
dxxsinxcos 
15. ∫ −+
3
6
22 dx2xgcotxtg
pi
pi
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 15 
16. ∫ +−
3
0
23 dxxx2x 
17. ∫
−
−
1
1
dxx4 Đáp: )35(2 − 
18. ∫
−
−
1
1
dxxx 
3
22
19. ( )∫
−
−−+
5
3
dx2x2x 8 
20. ∫
−+
−+3
0
2
2
dx.
2xx
1xx
21. ∫ +
pi
0
dxx2cos22 4 
22. ∫ −
pi
0
dxx2sin1 22 
23. ∫ +
2/
0
dxxsin1
pi
 24 
24. ∫ ∈−
1
0
Ra;dxax 



≤<+−
≤+−
1m0~2/1mm
0m~2/1m
2 
25. ∫ ∈++−
2
1
2 Ra;dxax)1a(x 
2a ≥ thì đs: (3a – 5)/6; 
1 < a < 2 thì đs: (a-1)3/3 – (3a - 5)/6 
a ≤ 1 thì đs: (5 – 3a)/6 
26. ∫ +
2
0
3
dx
xcos1
xcos
pi
28. [ĐH.2005.D] ∫ +
2
0
xsin xdxcos)xcose(
pi
28. [ĐH.2003.D] ∫ −
2
0
2 dxxx 
29. [ĐH.2003.B] ∫ +
−
4/
0
2
dx
x2sin1
xsin21pi
29. ( )dx.xcos.xsinxcosxsinM 2
0
2266∫ −+=
pi
30. dx.
xcos
xsinN
4
0
8
2
∫=
pi
31. 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 16 
B – Ph−ơng pháp đổi biến 
1. [CĐBN.01] ∫ +
1
0
32
3
dx)x1(
x
 HD đặt fsf 
2. [PVB.01] ∫ −
1
0
23 dx.x1x 
3. ∫ +
3ln
0
x 2e
dx
4. [CĐXD.01] ∫ +
2
0
2 dxxcos1
x2sin
pi
5. [ĐHKTQD.97] ∫ −
1
0
635 dx)x1(x Đề xuất: ∫ −
1
0
72 dx)x1(x 
6. [ĐHQG.97.B] ∫ +
1
0 x1
dx
7. [ĐH.2004.A] ∫
−+
2
1 1x1
xdx
``8. [ĐH.2003.A] ∫
+
32
5
2 4xx
dx
9. [ĐHSPHN.00.B] ∫ −
pi
0
222 dxxax 
10. [ĐHBK.00] ∫
+
2ln
0
x
x2
1e
dxe
11. ∫ +−+
23
14 2x58x
dx
12. ( )∫ +
2
0
2 dx
xsin2
x2sin
pi
13. ∫
4
0
3 xcos
dx
pi
14. ∫ ++
6
2
dx
1x4x2
1
15. ∫ +
3
0
25 dxx1x 
16. ∫
+
2e
e
dx
x
)xln(lnxln
17. ∫
+
4
2
dx
x
1x
18. ∫
++
+++
1
0
22
23
dx
1x)x1(
x101x3x10
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 17 
19. ∫
−
e
1
2
dx
xln1x
1
20. ∫ 






+
e
1
dx
xln1x
xln
21. ∫ +++
4
0
3
dx
1x21x2
1
23. ∫
+
4
7
2 9x.x
dx
24. ∫ ++
7
2
dx.
2xx
1
25. ( )∫ +
1
0
22x31
dx
26. [GTVT.00] ∫
−
−
+
2
2
2 dxxsin4
xcosx
pi
pi
27. [ĐHAN.97] ∫ +
pi
0
2 xcos1
xdxsinx
28. [ĐHLN.00] ∫ ++
2
0
dx
xcosxsin2
1
pi
29. [ĐHHĐ.00] ∫ +
4
0
dx
tgx1
1
pi
30. [ĐHVH.01] ∫ +
4
0
dx
x2cosx2sin
xcosxsin
pi
31. [HVBCVT.98] ∫ +
2
0
2
3
xcos1
xdxcosxsin
pi
32. ∫
−
+
=
1
1
22 dx)1x(
1I 
33. [ĐHTN.01] ∫
+
+−
+
2)51(
1
24
2
dx
1xx
1x
34. [ĐHTCKT.00] ∫ ++
1
0
24 dx1xx
x
35. [HVKTQS.98] ∫
−
+++
1
1
2 )x1x1(
dx
36. [PVBáo.01] ∫ −
1
0
23 dx.x1x 
37. [ĐH.2004.B] ∫
+
e
1
dx
x
xlnxln31
38. [ĐH.2005.A] ∫ +
+
2
0
dx
xcos31
xsinx2sin
pi
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 18 
39. [ĐH.2006.A] ∫
+
2
0
22
dx
xsin4xcos
x2sin
pi
40. [ĐH.2005.B] ∫ +
2
0
dx
xcos1
xcosx2sin
pi
41. . [ĐH.2005.B] ∫
−+ −
5ln
3ln
xx 3e2e
dx
42. [ĐH.2003.A] ∫
+
32
5
2 4xx
dx
43. [ĐH.2004.A] ∫
−+
2
1
dx
1x1
x
44. [ĐH.2008.A] ∫
6/
0
4
dx
x2cos
xtan
pi
45. [Đề thi thử ĐH] ∫ +
4/
0
66 dxxcosxsin
x4sinpi
46. [Đề thi thử ĐH] ∫ 






+
+
e
1
2 dx.xln.x
xln1.x
1
47. [Đề thi thử ĐH] ∫ +
4
0
1x2 dxe 
48. [Đề thi thử ĐH] ∫ +
2
0
3 dx)xsin1(2
x2sin
pi
 HD: Đặt xsin1t += ⇒ 8
1
t2
dt)1t(22
1
3 =
−
∫ 
49. ∫
−
=
8
4
2
dx
x
16xI 
50. ∫
++−
=
4
2
dx
x
1x1xJ 
51. ∫
++
+++
=
1
0
22
23
dx
1x)x1(
x101x3x10K 
52. ∫
−
−
−
=
2ln
2ln
x2
x
dx
e1
eH 
53. ∫
+
=
3ln
0
x2 1e
dxG 
54. ∫ ++=
2
0
xcos3xsin53
dxF
pi
55. ∫ +−=
2
0 24
3
dx
3xcos3xcos
xcosD
pi
56. ∫ +
−
=
5ln
0
x
xx
3e
dx1eeS 
57. ∫
−+
=
pi
pi
2
xcosxsin2
dxT 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 19 
58. ∫
+
=
4
7
2 9x.x
dxR 
59. ∫ ++
=
7
2
dx.
2xx
1E 
60. ∫ ++
+
=
4
0
dx.
1x21
1x2W 
61. ∫ +=
2/
0
xcos2
dxQ
pi
 Đặt 
2
x
tant = thì 
9
3
t)3(
dtQ
utan3t1
0
22
pi=
====
+
= ∫ 
62. ∫
++−
=
2
0
2 1x6x3
dxM 
C – Ph−ơng pháp tích phân từng phần 
1. [ĐHCĐ.97] ∫ +
1
0
x22 dxe)x1( 
2. [ĐHTCKT.98] ∫ −
4
0
2 dx)1xcos2(x
pi
3. ∫ +
2
0
23 dx)1xln(x và ∫
10
0
2 xdxlgx 
4. [PVBáo.98] ∫
e
1
2 dx)xlnx( 
5. [HVNH.98] ∫
pi
0
2 xdxcosxsinx 
6. [ĐHCĐ.00] ∫
+
2
1
2x
dx)1xln(
7. [ĐHTL.01] ∫ +
4
0
dx)tgx1ln(
pi
8. ∫
2
0
2 xdxxtg
pi
9. [ĐHYHN.01] ∫ −
3
2
2 dx.1x 
10. [Đề thi thử] ∫ −
2
1
2 dx)xx3ln(x 
11. [ĐH.2007.D] ∫
e
1
22 xdxlnx 
12. [ĐH.2006.D] ∫ −
1
0
x2 dxe)2x( 
13. ∫
−
++=
0
1
3x2 dx)1xe(xI 
14. ∫
+
=
2e
e
dx
x
)xln(lnxlnJ 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 20 
15. ∫=
pi
0
2 dx)xsinx(K 
16. ∫ +=
1
0
2 dx)1x2(sin
xH 
17. ∫=
4
0
3 dxxcos
xsin.xG
pi
18. ∫=
2ln
0
x5 dxe.xF
2
19. ∫ +
+
=
4
1
dx
xx
)1xln(D 
20. ∫ 






+
+
=
e
1
2 dxxln
xln1x
xlnS 
21. ∫=
2
2 4/
2 dx.xcosA
pi
pi
22. ( )∫=
pi
0
2x dxxcos.eP 
23. dx.xsin.xU
2
0
∫=
pi
24. dx.xcos.xsin.xY 2
0
∫=
pi
25. ∫ +
+
=
3/
0
xdxe
xcosxsin
xsin1T
pi
Đặt =
+
+
= dv;
xcosxsin
xsin1
u ..Xét ∫ +=
3/
0
x
1 dxe
xcos1
xsinT
pi
 và đặt tptp suy ra 
3
e
xcos1
xsineT
33/
0
x pipi
=
+
= 
26. ∫ +=
1
0
2 dxx1R Đs: 
2
)21ln(2 ++
27. ∫ +=
1
0
2 dx)1xln(xE ĐS: 
2
12ln − 
28. ∫ +=
2/
0
dx)xcos1ln(xcosW
pi
 Đs: 1
2
−
pi
29. ∫ +=
e
e/1
2 dx)1x(
xlnQ Đs: 
1e
e2
+
30. ∫ +
+
=
2/
3/
dx
xcos1
xsinxM
pi
pi
Viết M = M1
 + M2. Với 2
3lndx
xcos1
xsinM
2/
3/
1 =+
= ∫
pi
pi
 & ∫ +=
3/
6/
2 dx
xcos1
xM
pi
pi
. 
Đặt 




+
=
=
dx
xcos1
1dv
xu
⇒




=
=
2
x
cot2v
dxdu
⇒ 4ln
3
)323(M 2 −
−
=
pi
Vậy 
8
3ln
3
)323(M +−= pi 
 www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 21 
31. ∫ +
+
=
2/
6/
dx
x2cos1
x2sinxM
pi
pi
B – Ph−ơng pháp hệ số bất định 
1. [ĐHYHN.00] ∫ +−
2
1
2
2
12x7x
dxx
2. [ĐHNNI.00] ∫ +
2
1
3 dx)1x(x
1
 và ∫ +
1
0
3 dx1x
3
3. [ĐHXD.98] ∫ +
+
4
0
dx
xsin3xcos4
xsin2xcos
pi
4. [ĐHTM.00] ∫ +
2
0
3 dx)xcosx(sin
xsin4
pi
5. [ĐHTN.98] ∫
++
1
0
n nn x1)x1(
dx
6. ∫ +
+−
=
2
0
2
4
dx
4x
1xxI 
7. ∫ +
++
=
1
0
3
2
dx
1x
7x3x2J 
8. ∫ ++
+
=
1
0
2 dx2x3x
5x4K 
9. ( )∫ −−=
1
0
22 4x3x
dxL 
10. ∫ +
+−
=
2
0
2
4
dx.
4x
1xxZ 
D – Ph−ơng pháp tích phân liên kết 
1. ∫ +
2
0
dx
xcosxsin
xcos
pi
2. [Đề thi thử] ∫
+
−
+
−
=
32
32
x
1x
3
4
dxe
x
1xI
2
 HD: )()
1( xF
x
F = . Suy ra 
0)
32
1()32( =
+
−+= FFI 
[ĐHTN.00] CMR: Zn ∈∀ , ta có 
 0dx)nxxsin(sin
2
0
=+∫
pi
[HVKTQS.01] ∫ +
−
b
0
22
2
dx)xa(
xa
, 0b,a > 
[ĐHLN.01] ∫ +
+
1
0
2
x2
dx)1x(
e)1x(