Vấn đề Hệ phương trình có chứa căn

 155
D. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN 
Ví dụ 1: 
Cho hệ phương trình: 
x y a
x y xy a
⎧ + =⎪⎨ + − =⎪⎩
 (a là tham số thực) 
1. Giải hệ đó khi: a = 4 
2. Với những giá trị nào của a thì hệ đã cho có nghiệm. 
(CAO ĐẲNG SƯ PHẠM năm 1998). 
Giải 
Ta có: 
2 2 2
x y a x y ax y a
x y xy a ( x ) ( y) xy a ( x y) 3 xy a
⎧ ⎧⎧ + = + =+ =⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − = + − = + = =⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩
Đặt 
s x y
p xy
⎧ = +⎪⎨ =⎪⎩
 thì hệ đã cho trở thành: (I) 2
s a
s 3p a
=⎧⎪⎨ − =⎪⎩
1. Khi a = 4: 
2
s 4 s 4
(I) 
p 44 3p 4
=⎧ =⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ =− =⎪ ⎩⎩
x , y⇒ là nghiệm của phương trình: 2t 4t 4 0− + = 
2(t 2) 0 t 2 x y 2 x y 4⇔ − = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = = 
2. 2
s a
(I) a ap
3
=⎧⎪⇔ ⇒⎨ −=⎪⎩
 Hệ có nghiệm 
2
s 0
p 0
s 4p 0
⎧ ≥⎪⇔ ≥⎨⎪ − ≥⎩
2
2 2
2
2
a 0
a 0
a a 0 a 0 a 1
3
3a 4a 4a
a aa 4 0
3
⎧⎪ ≥⎪ ⎧ ≥⎪ ⎪−⎪⇔ ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥⎨ ⎨⎪ ⎪ ≥ −⎩⎪ ⎛ ⎞−⎪ − ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
 156
a 0
a 0 a 1 a 0 1 a 4
0 a 4
≥⎧⎪⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ = ∨ ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤⎩
Ví dụ 2: 
Giải hệ phương trình: 
x 5 y 2 7
x 2 y 5 7
⎧ + + − =⎪⎨ − + + =⎪⎩
(ĐH Nông Nghiệp I Khối A năm 2001). 
Giải 
Đặt 
2
2
x 2 u x u 2
(u,v 0)
y 2 v y v 2
⎧ ⎧− = = +⎪ ⎪≥ ⇔⎨ ⎨− = = +⎪⎪ ⎩⎩
Hệ 
2
2 2
2
u 7 v 7
u 7 v v 7 u
v 7 u 7
⎧ + + =⎪⇔ ⇒ + + = + +⎨⎪ + + =⎩
2 2 2 2 2 2u 7 v 2v u 7 v 7 u 2u v 7⇒ + + + + = + + + + 
2 2 2 2v. u 7 u v 7 7(v u ) 0 u v 0⇔ + = + ⇔ + = ⇔ = ≥ 
Thay vào 2 2 2 2
7 u 0
u 7 v 7 u 7 7 u
u 7 (7 u)
− ≥⎧⎪+ + = ⇔ + = − ⇔ ⎨ + = −⎪⎩
0 u 7
x 2 3 x y 11
u 3
≤ ≤⎧⇔ ⇒ − = ⇔ = =⎨ =⎩
Ví dụ 3: 
Định m để hệ sau có nghiệm: 
x 1 y 2 m
 (m 0) (*)
y 1 x 2 m
⎧ + + − =⎪ ≥⎨ + + − =⎪⎩
Giải 
Điều kiện 
x 1 0
x 2 0 x 2
y 1 0 y 2
y 2 0
+ ≥⎧⎪ − ≥ ≥⎧⎪ ⇔⎨ ⎨+ ≥ ≥⎩⎪⎪ − ≥⎩
 157
x 1 y 2 2 x 1 y 2 m (1)
(*)
y 1 x 2 2 y 1 x 2 m (2)
⎧ + + − + + − =⎪⇔ ⎨ + + − + + − =⎪⎩
(1) (2) : (x 1)(y 2) (y 1)(x 2) x y− + − = + − ⇔ = 
x y
(*)
x 1 x 2 m
=⎧⎪⇔ ⎨ + + − =⎪⎩
Xét hàm số f(x) x 1 (x 2)= + + − (x 2)≥ 
1 1f '(x) 0
2 x 1 2 x 2
⇒ = + >+ − khi x > 2 
BBT: 
Dựa vào BBT để hệ phương trình có nghiệm m 3 m 3⇔ ≥ ⇔ ≥