Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 4: Tổ hợp

ao
tra
ng
tb.
com
Chương 4
Tổ hợp
4.1 Các quy tắc đếm. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị
Bài 4.1 : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh
trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau :
a) Bất kì hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau ;
b) Bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau ;
Bài 4.2 : Có 10000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 4.3 : Với 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau.
Bài 4.4 : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
Bài 4.5 : Xét một dãy số gồm 7 chữ số (mỗi số được chọn từ 0, 1, . . . , 8, 9) mà chữ số ở vị trí số 3 là số chẵn, chữ số ở vị
trí cuối không chia hết cho 5, các chữ số ở vị trí số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.
Bài 4.6 : Cho 10 chữ số 0, 1, 2,. . . , 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các số trên.
Bài 4.7 : Một người viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.
Bài 4.8 : Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0, 2, 3, 6, 9.
Bài 4.9 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một ;
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 5 ;
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 9 ;
Bài 4.10 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thế lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho
3.
Bài 4.11 : Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B,C, D, E vào một ghế dài sao cho :
69
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
a) C ngồi chính giữa ; b) A, E ngồi hai đầu ghế ;
Bài 4.12 : Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và
5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi, nếu :
a) các học sinh ngồi tùy ý ;
b) các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn ;
Bài 4.13 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn xếp kề nhau.
Bài 4.14 : Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai
chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.
Bài 4.15 : Xét các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà :
a) 5 chữ số 1 sắp kề nhau ; b) các chữ số được sắp xếp tùy ý ;
Bài 4.16 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn
không nằm liền nhau.
Bài 4.17 : Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người,
biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
Bài 4.18 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất
thiết phải có hai chữ số 1 và 5.
Bài 4.19 : Cho tam giác ABC. Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường
thẳng song song với CA.
a) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác ;
b) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu hình thang (không kể các hình bình hành).
Cho biết không có 3 đường thẳng nào của họ là đồng quy.
Bài 4.20 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên.
Bài 4.21 : Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn
các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 4.22 : Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt
chữ số 5.
Bài 4.23 : Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 4.24 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiếu số gồm 5 chữ số mà là :
a) số chẵn ;
b) một trong ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.
Bài 4.25 : Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập được bao nhiêu số
có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 70
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 4.26 : Từ 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều phải có
mặt 0 và 1.
Bài 4.27 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng
các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
Bài 4.28 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số
1.
Bài 4.29 : Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Bài 4.30 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 5 người (một trưởng đoàn,
một thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.
Bài 4.31 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 4 người đi dự trại hè. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn :
a) tùy ý ;
b) hai học sinh A và B không đi cùng nhau ;
c) hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi.
Bài 4.32 : Một đoàn tàu có ba toa trở khách : toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu, biết rằng
mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi :
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên ba toa ;
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có một toa trong đó có 3 trong 4 vị khách.
Bài 4.33 (B04) : Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó, có thể lập được
bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không
ít hơn 2.
Bài 4.34 : Một chi đoàn có 20 đoàn viên, trong đó có 10 nữ. Muốn chọn một tổ công tác có 5 người. Có bao nhiêu cách
chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ.
Bài 4.35 : Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư. Để lập một tổ công tác, cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công
nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Bài 4.36 : Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 em trong
đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài 4.37 : Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm tại B và 4
người còn lại trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.
Bài 4.38 : Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm
cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học lẫn nhà Vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Bài 4.39 : Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách :
a) chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau ;
b) chọn 5 người, trong đó có không quá 1 nam ;
Bài 4.40 : Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3
tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn, một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu các làm như vậy.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 71
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 4.41 : Có hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao
nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho.
Bài 4.42 : Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự hội nghị của trường
sao cho trong đó có ít nhất một cán bộ lớp.
Bài 4.43 : Có 16 học sinh, gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành hai tổ, mỗi
tổ 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.
Bài 4.44 : Một người có 12 cây giống, trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn 6 cây giống để
trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho :
a) mỗi loại có đúng 2 cây ; b) mỗi loại có ít nhất 1 cây ;
Bài 4.45 : Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập một tốp ca. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ.
Bài 4.46 : Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử.
Bài 4.47 : Một tổ có 20 sinh viên, trong đó có 8 sinh viên biết nói tiếng Anh, 7 SV biết nói tiếng Pháp, 5 SV biết nói tiếng
Đức (không SV nào biết nói cả 2 trong 3 ngoại ngữ trên). Cần chọn một nhóm đi thực tế gồm 3 SV biết tiếng Anh, 4 SV
biết tiếng Pháp, 2 SV biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm.
Bài 4.48 : Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu.
Bài 4.49 : Một hộp có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng được
đánh số từ 1 đến 4.
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu ; 3 quả cầu cùng số ;
b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ; 3 quả cầu khác màu và khác số ;
Bài 4.50 : Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra :
a) 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ;
b) 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ ;
Bài 4.51 : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau). Người
ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn bó hoa, trong đó :
a) có đúng một bông hồng đỏ ;
b) có ít nhất một bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ;
Bài 4.52 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống.
a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ;
b) Có bao nhiêu cách xếp, sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau ;
Bài 4.53 : Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu.
Bài 4.54 : Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ ba đỉnh của H.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 72
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
a) Có bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh của H ?
b) Có mấy tam giác có đúng một cạnh là một cạnh của H ? Có mấy tam giác không có cạnh nào là cạnh của H ?
Bài 4.55 : Trên mặt phẳng cho một thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba đỉnh của thập giác. Hỏi trong số
các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác.
Bài 4.56 (B02) : Cho đa giác A1A2 ...  đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n−3 = 26n.
Bài 4.128 : Tìm hạng tử chứa x20 trong khai triển : (1 + x + x3 + x4)10.
4.6 Hệ số của xk trong khai triển (a + b + c)n
€
Bài 4.129 : a) Tìm hệ số của x2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2 + x − 1)6.
b) Tìm hệ số của x3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2 + x − 1)5.
Bài 4.130 : Tìm hệ số của x4 trong khai triển (1 + x + 3x2)10.
Bài 4.131 (A04) : Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 + x2(1 − x)
Š8
.

Bài 4.132 : Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển : 1 +
6
x 
+ x
‹10
.
4.7 Tính tổng các hệ số tổ hợp : P
n
k=0 
akCkn
4.8 Phương pháp cơ bản với ak chỉ là hàm số mũ theo biến k
Bài 4.133 (D08) : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C12n +C32n + · · · +C2n−12n = 2048.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 77
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 4.134 : Tính tổng C120 +C220 + · · · +C1020.
Bài 4.135 : a) Khai triển nhị thức (3x − 1)16 ;
b) Chứng minh rằng : 316C016 − 315C116 + 314C216 − · · · +C1616 = 216 ;
Bài 4.136 : Chứng minh rằng :
a) 2nC0n + 2n−1C1n + 2n−2C2n + · · · +Cnn = 3n ;
b) 3nC0n − 3n−1C1n + 3n−2C2n + · · · + (−1)nCnn = 2n ;
Bài 4.137 : Chứng minh rằng :
X
n−1
k=1
Ckn = 2(2n−1 − 1);
X
n
k=0
Ckn(−1)k = 0.
Bài 4.138 : Chứng minh : C02n +C22n.32 +C42n.34 + · · · +C2n2n.32n = 22n−1(22n + 1).
Bài 4.139 : Tính các biểu thức sau :
1. A = C019 −C219 + · · · +C1619 − C1819.
2. B = C119 −C319 + · · · +C1719 − C1919.
3. C = C02n − 3C22n + 9C42n − 27C62n + · · · + (−3)nC2n2n.
Bài 4.140 (D02) : Tìm số nguyên dương n sao cho : C0n + 2C1n + 4C2n + · · · + 2nCnn = 243.
4.9 Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k
Bài 4.141 : Chứng minh rằng :
a) C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn = n.2n−1 ;
b) C1n − 2C2n + 3C3n − · · · + (−1)n−1Cnn = 0 ;
c) 2n−1C1n − 2n−1C2n + 3.2n−3C3n − · · · + (−1)n−1nCnn = n ;
Bài 4.142 : Cho (x − 2)100 = a0 + 1x + a2x2 + · · · + a100x100. Tính :
a) a97 ;
b) S = a0 + a1 + · · · + a100 ;
c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + 100a100 ;
Bài 4.143 : Cho f (x) = (1 + x)n với n ≥ 2.
a) Tính f ′′(1) ;
b) Chứng minh : 2.1.C2n + 3.2.C3n + 4.3.C4n + · · · + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n−2.
Bài 4.144 : Chứng minh : 2n−1C1n + 2n−1C2n + 3.2n−3C3n + 4.2n−4C4n + · · · + nCnn = n.3n−1.
Bài 4.145 : Chứng minh : C1n.3n−1 + 2C2n.3n−2 + 3C3n.3n−3 + · · · + nCnn = n.4n−1.
Bài 4.146 : Tính A = C1n − 2C2n + 3C3n − 4C4n + · · · + (−1)n−1nCnn.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 78
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
€
Bài 4.147 : Chứng minh với n ∈ N và n > 2 thì :
1
n 
C1n + 2C2n + 3C3n + · · ·
Š
+ nCnn < n!
Bài 4.148 : Chứng minh rằng :
a) 1.2C2n + 2.3C3n + · · · + (n − 1)nCnn = n(n − 1)2n−2 ;
b) 1.2C2n − 2.3C3n + · · · + (−1)n−2(n − 1)nCnn = 0 ;
c) 2n−1C2n + 3.2n−2C3n + 3.4.2n−4C4n + · · · + (n − 1)nCnn = n(n − 1)3n−2 ;
d) 2n−1C2n − 3.2n−2C3n + 3.4.2n−4C4n − · · · + (−1)n−2(n − 1)nCnn = n(n − 1) ;
Bài 4.149 : Chứng minh rằng :
a) 3C0n + 4C1n + · · · + (n + 3)Cnn = 2n−1(6 + n) ;
b) 3C0n − 4C1n + · · · + (−1)n(n + 3)Cnn = 0 ;
Bài 4.150 (A05) : Tìm số nguyên dương n sao cho :
C12n+1 − 2.2.C22n+1 + 3.22.C32n+1 − 4.23.C42n+1 + · · · + (2n + 1)22nC2n+12n+1 = 2005.

Bài 4.151 : Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của (x2 + x)100, chứng minh rằng :
100C0100 
1
2
‹99
− 101C1100
1
2
‹100
+ · · ·

+ 200C100100 
1
2
‹199
= 0.
4.10 Phương pháp tích phân với ak là tích hàm số mũ và phân thức theo k
Bài 4.152 : Cho n ∈ N và n ≥ 2.
a) Tính I =
1
R
0 
x2(1 + x3)n dx ;
b) Chứng minh :
1
3
C0n +
1
6C
1
n +
1
9C
2
n + · · · +
1
3(n + 1)C
n
n =
2n+1 − 1
3(n + 1) .
Bài 4.153 : Chứng minh :
P
n
k=0
Ckn
k + 1 =
2n+1 − 1
n + 1 
.
Bài 4.154 (B03) : Tính C0n +
22 − 1
2 
C1n +
23 − 1
3 C
2
n + · · · +
2n+1 − 1
n + 1 
Cnn.
Bài 4.155 : Chứng minh rằng : 2.C0n −
1
2
.22.C1n +
1
3 .2
3.C2n + · · · +
(−1)n
n + 1 
.2n+1.Cnn =
1 + (−1)n
n + 1 
.
Bài 4.156 : Chứng minh rằng :
a) (−1)nC0n + (−1)n−1
1
2
C1n + · · · +
1
n + 1
Cnn =
(−1)n
n + 1 
;
b) C0n −
1
2
C1n + · · · + (−1)n
1
n + 1
Cnn =
1
n + 1
Bài 4.157 : a) Tính
1
R
0 
x(1 − x)19 dx ;
b) Rút gọn S = 1
2
C019 −
1
3C
1
19 +
1
4
C219 + · · · +
1
20C
18
19 −
1
21
C1919.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 79
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 4.158 : a) Tính
1
R
0 
x(1 − x2)n dx ;
b) Chứng minh :
1
2
C0n −
1
4
C1n +
1
6C
2
n −
1
8C
3
n + · · · +
(−1)n
2n + 2
Cnn =
1
2(n + 1) ;
Bài 4.159 : Chứng minh : 1
3
C0n +
1
4
C1n + · · · +
1
n + 3
Cnn =
2n+1(n2 + n + 2) − 2
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Bài 4.160 (A07) : Chứng minh rằng : 1
2
C12n +
1
4
C32n +
1
6C
5
2n + · · · +
1
2n
C2n−12n =
22n − 1
2n + 1 
.
4.11 Bài tập tổng hợp
Bài 4.161 : Trong khai triển đa thức sau :
(2x + 1)n(x + 2)n = a2nx2n + a2n−1x2n−1 + · · · + a1x + a0.
Tìm n, biết a2n−1 = 160.
Bài 4.162 : Cho số nguyên dương n > 4 và S = C02n +
C22n
3
+
C42n
5 +C 
C62n
7
+ · · ·+ C
2n−2
2n
2n − 1 +
C2n2n
2n + 1
. Tìm n, biết S = 4096
13 
.
Bài 4.163 : Khai triển và rút gọn biểu thức 1 − x + 2(1 − x)2 + 3(1 − x)3 + · · · + n(1 − x)n thu được đa thức P(x) =
a0 + a1x + a2x
2 
+ · · · + anxn. Tính hệ số a8, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1C2n
+
7
C3n
=
1
n
.
Bài 4.164 : Một tổ gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh lập nên đội
cờ đỏ. Gọi X là số học sinh nam của đội cờ đỏ. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Bài 4.165 : Trong kì thi tuyển sinh năm 2009, trường THPT A có 5 học sinh gồm 3 nam, 2 nữ cùng đậu vào khoa X của
một trường ĐH. Số sinh viên đậu vào khoa X được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp. Tính xác suất để một lớp có đúng 2 nam
và 1 nữ của trường THPT A.
Bài 4.166 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
C1n.3 − 2C2n.32 + 3C3n.33 + · · · + (−1)nnCnn.3n = 33792.
Bài 4.167 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có hể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 2 xuất hiện đúng
hai lần, chữ số 3 xuất hiện đúng ba lần, các số khác xuất hiện đúng một lần.
Bài 4.168 : Tìm số các số tự nhiên gồm 8 chữ số phân biệt được lập thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho
trong mỗi số không có bất kì hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau.
Bài 4.169 : Tính tổng sau theo n
S = C02n − 3C22n + 9C42n − 27C62n + · · · + (−3)nC2n2n.
Bài 4.170 : Tính C12n −
C32n
3 +
C52n
9 + · · · +
(−1)n−1C2n−12n
3n−1 .
Bài 4.171 : Có hai tổ học sinh. Tổ thứ nhất gồm 8 học sinh nam, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh
và 2 học sinh Hưng Yên. Tổ thứ hai gồm 6 học sinh nữ, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh và 2 học
sinh Hưng Yên. Chọn mỗi tổ ra 3 học sinh. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn ra mỗi tỉnh có 1 học sinh nam và 1
học sinh nữ.
Bài 4.172 : Trên các cạnh AB, BC,CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt 1, 2, 3 và 2010 điểm phân biệt khác
A, B,C, D. Tính số tam giác được tạo thành mà có các đỉnh được lấy trong tập 2016 điểm nằm trên các cạnh của hình vuông
(khác các đỉnh của hình vuông).
Download tài liệu học tập tại :  Trang 80
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 4.173 : Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính
khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?
Bài 4.174 : Tính giá trị của biểu thức sau :
S = C02010 − 3C22010 + 32C42010 + · · · + 31004C20082010 − 31005C20102010.
Bài 4.175 : Đặt (1 − x + x2 − x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + · · · + a12x12. Tính hệ số a7.
Bài 4.176 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần,
các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được
chọn chia hết cho 3.
Bài 4.177 : Tìm số nguyên dương n, biết
C1n
2 
− 2C
2
n
22 
+
3C3n
23 
− · · · + (−1)n−1 nC
n
n
2n 
=
1
32 .

Bài 4.178 : Tìm hệ số của x10 trong khai triển 1 + 1
x
+ x3
‹10
với x , 0.
Bài 4.179 : Từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có năm chữ số sao cho trong số có năm chữ số đó có hai
chữ số 1 còn các chữ số khác xuất hiện không quá một lần.
Bài 4.180 : Có 3 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh từ các học sinh
trên để mỗi lớp A, B,C đều có ít nhất một học sinh được chọn.
Bài 4.181 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó
phải có mặt chữ số 7.
Bài 4.182 : Cho
√
2x−1 +
1
3√2x
n
=
P
n
k=0 
Ckn
€√
2x−1
Šn−k  1
3√2x
k
, biết n thỏa mãn C1n +C3n = 2C2n và số hạng thứ tư trong
khai triển trên bằng 2010n. Xác định n và x.
Bài 4.183 : Tính
1. A =
20C02010
1.2 
− 2
1C12010
2.3 +
22C22010
3.4 −
23C32010
4.5 + · · · +
22010C20102010
2011.2012 .
2. B =
20C02010
1 
− 2
1C12010
2 
+
22C22010
3 −
23C32010
4 
+ · · · + 2
2010C20102010
2011 .
Bài 4.184 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi trắng có cùng bán kính vào một dãy gồm 7 ô trống. Hỏi :
1. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau.
2. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và ba bi trắng xếp cạnh nhau.
Bài 4.185 : Tính tổng sau
S =
‚
C0n
1
Œ2
+
‚
C1n
2
Œ2
+ · · · +
 Cnn
n + 1
2
.
Bài 4.186 : Tính tổng S = C0n + 2C1n + 3C2n + · · · + (n + 1)Cnn.

Bài 4.187 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 − x4 − 1
x
‹12
.
Bài 4.188 : Cho khai triển

2x + 2
1
2−x
n 
=
X
n
k=0

Ckn 2x



n−k 2
1
2 −x
k 
.
Tìm x, biết tổng của số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 81
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 4.189 : Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển (1 + 0, 2)1000.
Bài 4.190 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 − 2)n, biết A3n +C1n = 8C2n + 49.
Bài 4.191 : Tìm hệ số của x6 trong khai triển (x2 − x − 1)n, biết C12n+1 +C22n+1 + · · · +Cn2n+1 = 220 − 1.
Bài 4.192 : Tìm hệ số của x11 trong khai triển (x2 + 2)n(3x2 + 1)n, biết
C2n2n − 3C2n−12n + · · · + (−1)k3kC2n−k2n + · · · + 32nC02n = 1024.

Bài 4.193 : Cho khai triển P(x) = x3 + 1
2x2
‹n
€ Š € Š €
= a0x
3n 
+ a1x
3n−5 
+ a2x
3n−10 
+ · · · . Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 theo
thứ tự lập lập thành một cấp số cộng. Tính số hạng chứa x4.
Bài 4.194 : Tính S = C1n
2 
+ 2 C2n
2 
+ 3 C3n
Š2 
+ · · · + n Cnn

n, với n là số tự nhiên lẻ.
Bài 4.195 : Chứng minh rằng
12C1n + 22C2n + · · · + n2Cnn = n(n + 1)2n−2.
Bài 4.196 : Giải bất phương trình C22x +C42x + · · · +C2x2x ≥ 22003 − 1, với x ∈ N∗.
Bài 4.197 : Cho tập A gồm n phần từ (n > 4). Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần
tử là lẻ.
Bài 4.198 : Cho tập A có n phần tử (n > 7). Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con gồm 3
phần tử.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 82
Download tài liệu học tập tại :