Bộ đề luyện thi Đại học môn Toán có lời giải - Đề 24

Câu I.
1) Cho hàm số
f(x) = 3 5 3 36 15 36 24 124 2 2cos cos sin cos .x x x x a a− − − + + −
Với giá trị nào của a thì f(x) > 0 với mọi x ?
2) Xác định tham số a để hệ ph ơng trình sau có nghiệm :
x y a
x y a
+ + + =
+ =

1 2
3
Câu II.
1) Tam giác ABC có các cạnh với độ dài a, b, c, và có diện tích S. Đỷờng tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với các
cạnh ở A’, B’, C’ (đối diện với các đỉnh A, B, C). Tam giác A’B’C’ có các cạnh a’, b’, c’, và diện tích S’. Chỷỏng minh
các đẳng thỷỏc sau :
i)
a'
a
+
b'
b
= 2sin
C
2
sin
A
2
+ sin
B
2



;
ii)
S'
S
= 2 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
.
2) Chứng minh rằng với mọi x, ta đều có
cos3x + asin3x + 1
cos3x + 2
1 + 1 + 3a
3
2

 

 ≤ .
Câu III. Cho a, b, c, d > 0. Chỷỏng minh rằng
1 <
a
a + b + c
+
b
b + c + d
+
c
c + d + a
+
d
d + a + b
< 2.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Câu IVa.
Cho f là một hàm liên tục trên [0 ; 1]. Chứng minh rằng
0 0
/ 2
f(sinx) dx = 2 f(sinx) dx.
π π∫ ∫
Câu Va.
Cho parabol P) : y 2 = 2px
và đỷờng thẳng
(
) :2mx - 2y - mp = 0.
Gọi M’, M’’ là các giao điểm của (P) và (D). Chỷỏng tỏ rằng đỷờng tròn đỷờng kính M’M’’ tiếp xúc với đỷờng chuẩn
của parabol (P).
Câu IVb.
Cho hình lăng trụ đỷỏng ABC.A B C1 1 1 (đáy là tam giác đều), cạnh đáy bằng a, đỷờng cao bằng h. M là một điểm nằm
trên đỷờng chéo AB1 của mặt ABB A1 1 sao cho AM : MB1 = 5 : 4. Gọi () là mặt phẳng qua M và song song với các
đỷờng thẳng A1C và BC1 .
1) Tính khoảng cách và góc giữa hai đỷờng thẳng AC và BC1 .
2) Xác định thiết diện do mặt phẳng () cắt lăng trụ.
3) Cạnh CC1 bị mặt phẳng () chia theo tỉ số nào ?