Đề thi đại học- cao đẳng: Mũ và Logarith

Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
ĐỀ THI ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG: 
MŨ VÀ LOGARITH 
*** 
Đề 1: ĐH-B-2010. Giải hệ phương trình: 2
2
log (3 1)
4 2 3
- =ì
í
+ =î
x x
y x
y
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 1
3
>y , phương trình thứ nhất của hệ cho ta: 3 1 2- = xy . 
Do đó, hệ đã cho tương đương với: 
( ) ( )2 22
1 123 1 2 3 1 2 2
116 3 03 1 3 1 3
22
ì = -= ìì ï- = ì - =ï ï ï ïÛ Û Ûí í í í
=- =- + - = ïï î ï ïî = îïî
x
x x xy y
yy yy y y y
Vậy hệ đã cho có nghiệm 11;
2
æ ö-ç ÷è ø
. 
Đề 2: ĐH-D-2010. Giải hệ phương trình: 
2
2 2
4 2 0
2log ( 2) log 0
ì - + + =ï
í - - =ïî
x x y
x y
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 2, 0 (1)> >x y . 
Từ hệ ta có: 
2 2 0 34 2 0 3 0
 hoÆc 
2 12 2
= =ì ì- + + = - = ì ìÛ Ûí í í í= - =- = = - î îî î
x xx x y x x
y yx y y x
Đối chiếu với điều kiện (1) ta có nghiệm của hệ phương trình là ( )3;1 . 
Đề 3: ĐH-D-2011 Giải phương trình: ( ) ( )22 1
2
log 8 log 1 1 2 0- + + + - - =x x x (1) 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 1 1- £ £x . 
Phương trình (1) ( ) ( ) ( )2 22 2log 8 log 4 1 1 8 4 1 1é ùÛ - = + + - Û - = + + -ë ûx x x x x x 
( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 28 16 1 1 8 16 2 2 1 (2)Û - = + + - Û - = + -x x x x x 
Đặt 21 .= -t x Phương trình (2) trở thành: ( ) ( )22 4 27 32 1 14 32 17 0+ = + Û + - + =t t t t t 
( ) ( )2 21 2 17 0 1Û - + + = Û =t t t t 
Do đó (1) 21 1 0Û - = Û =x x (thỏa) 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0.=x 
Đề 4: ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2 2
2 2
2 2log ( ) 1 log ( )
3 81+ -
ì + = +ï
í
=ïî
x y xy
x y xy
Hướng dẫn: 
HPT tương đương 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
2 2
2 2
0
2
4
>ì
ï + =í
ï + - =î
xy
x y xy
x y xy 2 2
0
4
ì >
ïÛ =í
ï + - =î
xy
x y
x y xy
2 2
2 2
= = -ì ìÛ Úí í= = -î î
x x
y y
Đề 5: *CĐ-2009. Cho 0 1 -a b b a a b 
Hướng dẫn: 
Đưa BĐT về dạng tương đương 2 2(1 ) ln ln (1 )+ > +a b a b 2 2
ln ln
1 1
Û <
+ +
a b
a b
Xét hàm số 2
ln( )
1
=
+
xf x
x
 với 0 1< <x . 
( )
2
22
1 (1 2ln )( ) 0
1
+ -¢ = >
+
x xf x
x x
 vì ln 0<x và 0 1< <x . 
Suy ra ( )f x đồng biến trên ( )0;1 . 
Mà 0 1< < <a b nên ( ) ( )<f a f b . Bài toán được chứng minh. 
Đề 6: ĐH-A-2008. Giải phương trình: 2 22 1 1log (2 1) log (2 1) 4- ++ - + - =x xx x x 
Hướng dẫn: 
Với điều kiện 1
2
>x , PT tương đương: 
2 1 1log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4- +- + + - =x xx x x 
2 1 1log ( 1) 2log (2 1) 3- +Û + + - =x xx x 
Đặt 2 1log ( 1)-= +xt x ta được: 
2 3+ =t
t
1
2
=éÛ ê =ë
t
t
§ Với 1=t : 2 1log ( 1) 1 1 2 1 2- + = Û + = - Û =x x x x x (thỏa) 
§ Với 2=t : 22 1log ( 1) 2 1 (2 1)- + = Û + = -x x x x 24 5 0Û - =x x
0 (lo¹i)
5 (nhËn)
4
=é
êÛ ê =
ë
x
x
Kết luận: Nghiệm phương trình là: 52; 
4
= =x x . 
Đề 7: ĐH-B- 08 Giải bất phương trình: 
2
0,7 6log log 04
æ ö+
<ç ÷+è ø
x x
x
Hướng dẫn: 
2
2 6
0,7 6 2
6
log 0
4log log 0
4
log 1
4
ì +
>ïæ ö+ ï +ï +î
x x
x x x
x x x
x
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
2
2
6 2
0
4log 1
4
6
4
ì +
>ï+ ï +Û > Û í+ +ï >ï +î
x x
x x x
x x x
x
2
6
4
+Û >
+
x x
x
4 3 8Û - x x 
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( )4; 3 8;= - - È +¥T 
Đề 8: ĐH-B-08 Giải bất phương trình: 
2
1
2
3 2log 0- + ³x x
x
Hướng dẫn: 
2
1
2
3 2log 0- + ³x x
x
2
2
3 2 0
3 2 1
ì - +
>ïïÛ í
- +ï £ïî
x x
x
x x
x
2
0 1 2
4 2 0
ì
ïÛ í - + £ïî
x x
x x
x
2
0 1 2
4 2 0
ì
ïÛ í - + £ïî
x x
x x
x
( ) ( )
0 1 2
0 2 2 2 2
ìïÛ í < Ú - £ £ +ïî
x x
x x ( ) ( )2 2 1 2 2 2Û - £ < Ú < £ +x x 
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: ) (2 2;1 2;2 2é ù= - È +ë ûT 
Đề 9: ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2- + + £x x 
HD: BPT tương đương 
2
3 3
3
4
log (4 3) log (2 3) 2
ì >ï
í
ï - - + £î
x
x x
2
3
3
4
(4 3)log 2
2 3
ì >ïïÛ í
-ï £ï +î
x
x
x
2
3
4
(4 3) 9
2 3
ì >ïïÛ í
-ï £ï +î
x
x
x
2
3
4
8 21 9 0
ì >ïÛ í
ï - - £î
x
x x
3
4
3 3
8
ì >ïïÛ í
ï- £ £ïî
x
x
3 3
4
Û < £x 
Đề 10: *ĐH-B-07 Giải phương trình: 
( ) ( )2 1 2 1 2 2 0- + + - =x x 
Hướng dẫn: 
Đặt ( )2 1= + xt ta được PT: 
1 2 2+ =t
t
2 2 2 1 0Û - + =t t 2 1 2 1Û = - Ú = +t t 1 1Û = - Ú =x x 
Đề 11: *ĐH-D-07 Giải phương trình: 2 2
1log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
+ + + =
-
x x
x 
HD: Đặt ( )2 0= >xt t ta được: 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
2
2 2
1log ( 15 27) log 0
4 3
+ + + =
-
t t
t 2
4
3
15 27 4 3
ì >ïÛ í
ï + + = -î
t
t t t
( )2
4
3
11 30 0 v« nghiÖm
ì >ïÛ í
ï + + =î
t
t t
Vậy phương trình vô nghiệm. 
Đề 12: *Tham khảo 2007. Giải bất phương trình: ( )24 2log 8 log log 2 0+ ³x x x 
Hướng dẫn: 
Điều kiện x > 0 , x ¹ 1 
 (1) 
æ ö
Û + ³ç ÷
è ø
4 2
8
1 12log log 2 0
log 2
x x
x
 ( )
æ ö
ç ÷
Û + + ³ç ÷
ç ÷
è ø
2 2
2
1 log log 1 01 log
3
x x
x
æ ö+ +Û + ³ Û ³ç ÷
è ø
Û £ - Ú > Û 
2 2 2
2
2 2
2 2
log 1 log 1(log 3) 0 0
log log
1log 1 log 0 0 1
2
x xx
x x
x x x x
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: ( )10; 1;
2
æ ù= È +¥ç úè û
T 
Đề 13: *Tham khảo 2007. Giải phương trình: 4 2
2 1
1 1log ( 1) log 2
log 4 2+
- + = + +
x
x x . 
Hướng dẫn: 
ĐK: 1>x . 
Đưa về 2 2
2 1
1 1 1 1log ( 1) log ( 2)
2 2log 2 2 2+
- + = + +
x
x x 
2 2 2log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)Û - + + = + +x x x 
2 2log ( 1)(2 1) log 2( 2)Û - + = +x x x 
22 3 5 0Û - - =x x 51
2
Û = - Ú =x x 
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm 5
2
=x 
Đề 14: Tham khảo 2007. Giải phương trình: 23 3log ( 1) log (2 1) 2- + - =x x 
Hướng dẫn: 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
ĐK 1 1
2
< ¹x . Đưa về 3 32log ( 1) 2log (2 1) 2- + - =x x 
3log ( 1)(2 1) 1Û - - =x x ( 1)(2 1) 3Û - - =x x
22 3 2 0Û - - =x x 12
2
Û = Ú = -x x 
Do ĐK chỉ nhận 2=x . 
Đề 15: *Tham khảo 2007. Giải phương trình: ( )3 9
3
42 log log 3 1
1 log
- - =
-x
x
x
Hướng dẫn: 
ĐK 
0
1 ; 3
9
>ìï
í ¹ ¹ïî
x
x x
Đưa về ( )3
3 3
1 42 log 1
log 9 1 log
- - =
-
x
x x
3
3 3
2 log 4 1
2 log 1 log
-Û - =
+ -
x
x x
Đặt 3log=t x , ta được phương trình: 
2 4 1
2 1
-
- =
+ -
t
t t
(2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )Û - - - - = + -t t t t t 
2 4 0Û + - =t t 1 17 1 17
2 2
- - - +Û = Ú =t t 
Do ĐK chỉ nhận 
1 17
2
3
1 17 1 17: log 3 .
2 2
- +- + - +
= = Û =t x x 
Đề 16: Tham khảo 2007. Giải bất phương trình: ( )221 2
2
1 1log 2 3 1 log 1
2 2
- + + - ³x x x 
Hướng dẫn: 
ĐK 1 1
2
x x 
Đưa về ( )22 2
1 1 1log ( 1)(2 1) log 1
2 2 2
- - - + - ³x x x 
( )2
2
1
log 1
( 1)(2 1)
-
Û ³
- -
x
x x
( )21 2
( 1)(2 1)
-
Û ³
- -
x
x x
23 4 1 0
( 1)(2 1)
- + -Û ³
- -
x x
x x
( 1)( 3 1) 0
( 1)(2 1)
- - +Û ³
- -
x x
x x
3 1 0
2 1
- +Û ³
-
x
x
1 1
3 2
Û £ <x 
Kết hợp ĐK: 
1 1
2
1 1
3 2
ì ïï
í
ï £ <ïî
x x
x
1 1
3 2
Û £ <x 
Đề 17: Tham khảo 2007. Giải bất phương trình: 3x 1 2x x2 7.2 7.2 2 0+ - + - = 
Hướng dẫn: 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
3 22 7 7 2 0 ( 2 , 0)- + - = = >xt t t t t 
2( 1)(2 5 2) 0Û - - + =t t t 11 2
2
Û = Ú = Ú =t t t 0 1 1Û = Ú = Ú = -x x x 
Đề 18: *ĐH-A-2006 Giải phương trình: 3.8 4.12 18 2.27 0+ - - =x x x x 
Hướng dẫn: 
3 2 2 33.2 4.3 2 3 2 2.3 0+ - - =x x x x x x 
Chia 2 vế của PT cho 33x ta đươc: 
3 22 2 23 4 2 0
3 3 3
æ ö æ ö æ ö+ - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
x x x
Đặt ( )2 0
3
æ ö= >ç ÷è ø
x
t t , ta có: 3 23 4 2 0+ - - =t t t 21
3
Û = - Ú =t t 
Do ĐK ta chỉ nhận 2 1
3
= Û =t x . 
Đề 19: Tham khảo 2006 Giải phương trình: 2 2log 2 2log 4 log 8+ =x x x 
Hướng dẫn: 
ĐK 
1 ; 1
2
0
ì ¹ ¹ï
í
ï >î
x x
x
. PT tương đương với: 
2 4 8
1 2 1
log log 2 log 2
+ =
x x x 2 2 2
1 4 6
log 1 log 1 log
Û + =
+ +x x x
2 2
1 2
log 1 log
Û =
+x x 2 2
1 log 2logÛ + =x x 2
0 (lo¹i)
2
2 (nhËn)
=é
Û = Û ê =ë
x
x x
x
Đề 20: ĐH-B-2006 Giải bất phương trình: ( ) ( )25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1-+ - < + +x x 
Hướng dẫn: 
Biến đổi BPT 
( )25 54 144log log 5.2 516
-æ ö+ < +ç ÷
è ø
x
x 24 144 5.2 5
16
-+Û < +
x
x 4 20.2 64 0Û - + <x x 
Đặt 2 0= >xt , ta có phương trình: 
2 20 64 0- + <t t ( 4)( 16) 0Û - - <t t 4 16Û < <t 2 4Û < <x 
Đề 21: Tham khảo 2006: Giải phương trình: 31 82
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0+ - - - - =x x x 
Hướng dẫn: 
ĐK 1 3< <x . Biến đổi phương trình 2 2 2log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0Û + + - - - =x x x 
2
( 1)(3 )log 0
1
+ -Û =
-
x x
x
( 1)(3 ) 1
1
+ -Û =
-
x x
x
2 4 0Û - - =x x 1 17 1 17
2 2
- +Û = Ú =x x 
Do ĐK chỉ nhận 1 17
2
+
=x 
Đề 22: *Tham khảo 2006: Giải phương trình: 
2 21 29 10.3 1 0+ - + -- + =x x x x 
Hướng dẫn: 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
2 21 109 .3 1 0
9 9
+ +- + =x x x x . Đặt 
2
3 , 0+= >x xt t 
Ta được: 2 10 9 0- + =t t
2
2
1: 0
9 : 2
é = + =
Û ê
= + =ë
t x x
t x x
2 1 0 1Û = - Ú = - Ú = Ú =x x x x 
Đề 23: ĐH-D-2006 CM với mỗi 0>a hệ sau có nghiệm duy nhất: 
ln(1 ) ln(1 )ì - = + - +
í
- =î
x ye e x y
y x a
Hướng dẫn: 
Biến đổi : 
ln(1 ) ln(1 ) 0+ì - - + + + + =
í
= +î
x a xe e x a x
y x a
Xét hàm số 
( )( ) ln(1 ) ln(1 ) 1+= - - + + + + > -x a xf x e e x a x x 
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )
¢ = - + >
+ + +
x a af x e e
x x a
(vì 0>a và 1> -x ) 
§ 
1
lim ( ) , lim ( )
+®+¥ ®-
= +¥ = -¥
x t
f x f x , ( )f x liên tục trên ( 1; )- +¥ . Từ hai kết quả trên, 
( ) 0=f x có nghiệm 0x trên ( 1; )- +¥ 
§ Do ( ) 0, 1¢ > " > -f x x nên ( ) 0=f x có không quá 1 nghiệm 
§ Kết luận ( ) 0=f x có nghiệm duy nhất 0x và HPT có nghiệm duy nhất. 
0 0;= = +x x y x a 
Đề 24: ĐH-D-2006 Giải phương trình: 
2 2 22 4.2 2 4 0+ -- - + =x x x x x 
Hướng dẫn: 
Đặt 
2
2
2
2
+
-
ì =ï
í
=ïî
x x
x x
u
v
Suy ra 2. 2= xu v ( )0; 0> >u v 
Phương trình thành: 
4 4 0- - + =u v uv (1 ) 4(1 ) 0Û - + - =u v v ( 4)(1 ) 0Û + - =u v 1Û =v 2: 0- =x x
0 1Û = Ú =x x 
Đề 25: Tham khảo 2006 Giải phương trình: ( ) ( )x x 13 3log 3 1 log 3 3 6+- - = 
Hướng dẫn: 
Đưa về: 
( ) ( )x x3 3log 3 1 log 3(3 1) 6- - = ( ) ( )3 3log 3 1 1 log 3 1 6é ùÛ - + - =ë ûx x 
Đặt ( )3log 3 1= -xt , ta được phương trình: 
(1 ) 6+ =t t 2 6 0Û + - =t t 2 3Û = Ú = -t t 
( )
( )
3 3
3 3
log 3 1 2 3 1 9 3 10 log 10
1 28 28log 3 1 3 3 1 3 log
27 27 27
é - = Û - = Û = Û =
êÞ ê - = - Û - = Û = Û =êë
x x x
x x x
x
x
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Đề 26: ***Tham khảo 2006 Giải hệ phương trình: 2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
+ - + = -ì
í
- + =î
x y x y
x xy y
Hướng dẫn: 
§ Xét PT thứ nhất ( ) ( )ln 1 ln 1+ - = + -x x y y (*) 
Đặt ( ) ( )( ) ln 1 1= + - > -f t t t t 
/ 1( ) 1
1 1
-
= - =
+ +
tf t
t t
Nếu 1 0- f t . Nếu 0>t thì / ( ) 0<f t 
P ... ;f e e e e . 
Vậy có ( )0 0;Îx e để ( )0 0=f x và 0x là nghiệm duy nhất. 
Đề 36: ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: 
2
3ln 1;é ù= Î ë û
xy x e
x
Hướng dẫn: 
2
3ln( ) x 1;eé ù= = Î ë û
xy f x
x
2
ln (2 ln )( ) -¢ = Þx xf x
x
/ 2( ) 0 1 = Û = Ú =f x x x e 
(1) 0=f ; ( )2 24=f e e ; ( )
3
3
9
=f e
e
GTNN là (1) 0=f đạt được tại 1=x và GTLN là ( )2 24=f e e đạt được tại 
2=x e . 
Đề 37: ***Tham khảo 2004 Giải bất phương trình: 
12 6 11 4
2
- + -
>
-
x x
x
Hướng dẫn: 
12 2 3 0
2
- + -
>
-
x x
x
§ Với 1<x thì 
12 2 3 0
2 0
-ì + - <
í
- <î
x x
x
suy ra 1<x thỏa BPT 
§ Với 1=x không thỏa BPT 
§ Với 1 2< <x thì 
12 2 3 0
2 0
-ì + - >
í
- <î
x x
x
 suy ra 1 2< <x không thỏa BPT 
§ 2>x thì 
12 2 3 0
2 0
-ì + - >
í
- >î
x x
x
 suy ra 2>x thỏa BPT 
§ Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( );1 2;= -¥ È +¥T 
Đề 38: ***Tham khảo 2004 Cho hàm số 
2
sin
2
= - +x
xy e x . Tìm GTNN của hàm số và 
CMR : ( ) 3=f x có đúng 2 nghiệm. 
Hướng dẫn: 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
2
( ) sin
2
= = - + Þx xy f x e x / ( ) cos= - +xf x e x x 
// ( ) sin 1 0= + + >xf x e x 
§ Suy ra / ( )f x đồng biến trên R và / (0) 0=f . 
§ Suy ra / ( ) 0>f x khi 0>x và / ( ) 0<f x khi 0<x 
§ Suy ra ( )f x đồng biến khi 0>x và nghịch biến khi 0<x . 
§ GTNN là (0) 1=f . 
§ 
2 2
( ) 1 1 sin 1
2 2
= = - + - + ³ - +x xx xy f x e x e 
§ Mà 
2
lim 1
2®+¥
æ ö
- + = +¥ç ÷
è ø
x
x
xe Þ ( )lim
®+¥
= +¥
x
f x 
§ Và 
2
lim 1
2®-¥
æ ö
- + = +¥ç ÷
è ø
x
x
xe Þ ( )lim
®-¥
= +¥
x
f x 
§ Dựa vào bảng biến thiên hàm số cho ta ( ) 3=f x có đúng 2 nghiệm phân biệt. 
Đề 39: *Tham khảo 2004 Giải bất phương trình: 3log log 3> xx 
Hướng dẫn:Đưa về 
3
0, 1
log
1
ì
ï > ¹
ï
=í
ï
ï >
î
x x
t x
t
t
3
2
0, 1
log
1 0
ì
ï > ¹
ïïÛ =í
ï -ï >ïî
x x
t x
t
t
3
0, 1
log
1 0 1
> ¹ì
ïÛ =í
ï- î
x x
t x
t t 3 3
0, 1
1 log 0 log 1
> ¹ìÛ í- î
x x
x x
1 1 3
3
Û x x 
Đề 40: ***Tham khảo 2004 Giải hệ phương trình: 
2 2
12 2 .+ -
ì + = +ï
í
- = -ïî
x y x
x y y x
x y
Hướng dẫn: 
Xét PT thứ nhất: ( ) ( )1 0- + - =x y x y . 
§ Thay =y x vào PT thứ hai 2 12 2 0-- =x x 2 1 1 1Û = - Û = - Þ = -x x x y . 
§ Thay 1= -y x vào PT thứ hai 12 2 3 0- + - =x x Hàm số 1( ) 2 2 3-= + -xf x x đồng biến 
trên R và (1) 0=f nên ( ) 0=f x có nghiệm duy nhất 1 0= Þ =x y . 
§ Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm là ( )1; 1- - và ( )1;0 . 
Đề 41: Tham khảo 2003 Giải bất phương trình: 1 115.2 1 2 1 2+ ++ ³ - +x x x 
Hướng dẫn: 
Đặt ( )2 0= >xt t ta được 30 1 1 2+ ³ - +t t t 
§ Với 1=t thỏa BPT 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
§ Với 1>t ta được 30 1 3 1+ ³ -t t 2
1
30 1 9 6 1
>ì
Û í
+ ³ - +î
t
t t t 2
1
4 0
>ì
Û í
- £î
t
t t
1 4Û < £t 
§ Với 1<t ta được 
30 1 1+ ³ +t t 2
1 1 1
1
30 1 2 1
30
< -ì - £ <ìïÛ Úí í-³ + ³ + +îïî
t t
t t t t 2
1 11 1
30 28 0
- £ <ì-Û £ < - Ú í
- £î
t
t
t t
1 11 1
0 2830
- £ <ì-Û £ < - Ú í £ £î
t
t
t
1 1 0 1
30
-Û £ < - Ú £ <t t 
§ Kết hợp các trường hợp và điều kiện ta có 0 4< £t : 0 2 4 2< £ Û £x x 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( ];2= -¥T . 
Đề 42: Tham khảo 2003 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ( )0;1 : 
 ( )22 1
2
4 log log 0- + =x x m 
Hướng dẫn: 
( )22 1
2
4 log log 0- + =x x m ( )22 2log log 0Û + + =x x m ( )
2
2 2log logÛ = - -m x x 
Để ý rằng: 20 1 log 0< < Û <x x 
Phương trình có nghiệm thuộc ( )0;1 Û m thuộc miền giá trị của 2( ) ( 0)= - - <f t t t t 
Khảo sát hàm số và dựa vào BBT, cho kết quả 1
4
£m 
Đề 43: ĐH-D-2003 Giải phương trình: 
2 222 2 3- + -- =x x x x 
Hướng dẫn: 
2 222 2 3- + -- =x x x x
2
2
42 3
2
-
-
Û - =x x
x x
2
2
2
3 4 0
-ì =ïÛ í
- - =ïî
x xt
t t
2
4 : 2 4-Û = =x xt 
2 2 0Û - - =x x 1 2Û = - Ú =x x 
Đề 44: Tham khảo 2003 Giải phương trình: ( )5log 5 4 1- = -x x 
Hướng dẫn: 
( )5log 5 4 1- = -x x 15 4 5 -Û - =x x
5
54
ì =
ïÛ í
- =ïî
xt
t
t
2
5
4 5 0
ì =ïÛ í
- - =ïî
xt
t t
5
5
ì =Û í
=î
xt
t
1Û =x 
Đề 45: ĐH-A-2002 Cho phương trình: 2 23 3log log 1 2 1 0+ + - - =x x m (1) 
 1) Giải PT khi 2=m . 
 2) Tìm m để PT có nghiệm trên 31;3é ùë û 
Hướng dẫn: 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
1) 2 23 3log log 1 5 0+ + - =x x
2
3
2
log 1
6 0
ì = +ïÛ í
+ - =ïî
t x
t t
2
3log 1
2
ì = +ïÛ í
=ïî
t x
t
2
3log 3Û =x
3log 3Û = ±x
33±Û =x 
2) Ta có: 3 31 3 0 log 3£ £ Û £ £x x 
2 2
3 3log log 1 2 1 0+ + - - =x x m ( )
2
3
2
log 1
1( ) 2
2
ì = +ïÛ í
= = + -ï
î
t x
m f t t t
Phương trình (1) có nghiệm x thỏa 31 3£ £ Ûx m thuộc miền giá trị của ( )f t ( )1 2£ £t 
Khảo sát hàm số và dựa vào BBT, cho kết quả 0 2£ £m 
Đề 46: Tham khảo 2002 Giải phương trình: 2 232716log 3log 0- =xx x x (1) 
Hướng dẫn: 
Với ĐK 1 10, , 
3 3
> ¹ ¹x x x 
Phương trình 3 3
3 3
8log 3log(1)
3 2log 1 log
Û =
+ +
x x
x x
§ Hoặc 3log 0 1= Û =x x 
§ Hoặc 
3 3
8 3
3 2log 1 log
=
+ +x x 3
1log
2
Û =x 3Û =x 
Đề 47: Tham khảo 2002 Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 
( )
3
32
2 2
1 3 0
1 1log log 1 1
2 3
ì - - - <ï
í
+ - £ïî
x x k
x x
Hướng dẫn: 
Xét BPT ta có ( )322 2
1 1log log 1 1
2 3
+ - £x x (1) 
Giải (1) được 1 2- £ £x 
§ Xét BPT 31 3 0- - - = - -k f x x x 
§ Xét 1 1- £ £x , ( )3( ) 1 3> = - -k f x x x  
Đề 48: ĐH-B-2002 Giải bất phương trình: ( )é ù- £ë û3log log 9 72 1xx (1) 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 
( )
ì > ¹ïï - > - > Û >í
ï
- >ïî
9
3
0, 1
9 72 0 9 72 1 log 73
log 9 72 0
x x
x
x x
x (2) 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
( ) ( )
( )
Û - £ > >
Û - £ Û - - £
3 9
2
(1) log 9 72 do log 73 1
9 72 3 3 3 72 0 (3)
x
x x x x
x x
Đặt ( )= >3 0xt t . 
Phương trình (3) trở thành: - - £ Û - £ £ - £ £ Û £2 72 0 8 9 : 8 3 9 2xt t t x . 
Kết hợp với điều kiện (2) ta có tập nghiệm của bất phương trình là: ( ]= 9log 73;2T 
Đề 49: Tham khảo 2002 Giải hệ phương trình : 
4 2
4 3 0
log log 0
ì - + =ï
í
- =ïî
x y
x y
Hướng dẫn: 
4 2
4 3 0
log log 0
ì - + =ï
í
- =ïî
x y
x y
4 2
1, 1
4 3
log log
³ ³ì
ïÛ = -í
ï =î
x y
x y
x y 2
1, 1
4 3
ì ³ ³
ïÛ = -í
ï =î
x y
x y
x y 2
1, 1
4 3
4 3 0
ì ³ ³
ïÛ = -í
ï - + =î
x y
x y
y y
1 9
1 3
= =ì ìÛ Úí í= =î î
x x
y y
Đề 50: Tham khảo 2002 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
( ) 221 1 1 19 2 3 2 1 0+ - + -- + + + =x xa a 
Hướng dẫn: 
( ) 221 1 1 19 2 3 2 1 0+ - + -- + + + =x xa a
21
2
3
9 3( 2) 2 1 0
-ì =ïÛ í
- + + + =ïî
xt
t a t a
Với 1 1- £ £x ta có 1 3
3
£ £t 
Ta tìm a để PT 29 3( 2) 2 1 0- + + + =t a t a có nghiệm t thỏa 1 3
3
£ £t 
Biến đổi PT về dạng: 
29 6 1( )
3 2
- +
= =
-
t ta f t
t
2
2
9(3 4 1)( )
(3 2)
- +¢ =
-
t tf t
t
, 1( ) 0 1
3
¢ = Û = Ú =f t t t 
PT có nghiệm khi ( ] [ );0 4;Î -¥ È +¥a 
Đề 51: ĐH-D-2002 Giải hệ phương trình:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
+
ì = -
ï
í +
=ïî +
x
x x
x
y y
y
Hướng dẫn: 
0
4
_
2
3
_
1
0
f(t)
f'(t)
t
0
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
+
ì = -
ï
í +
=ïî +
x
x x
x
y y
y
3 22 5 4
(2 2)2
2 2
ì = -
ïÛ í +
=ïî +
x
x x
x
y y
y
3 22 5 4
2
ì = -ïÛ í
=ïî
x
x
y y
y 3 2
2
5 4 0
ì =ïÛ í
- + =ïî
xy
y y y
2
2
5 4 0
ì =ïÛ í
- + =ïî
xy
y y
2
1 4
ì =Û í
= Ú =î
xy
y y
0 2
1 4
= =ì ìÛ Úí í= =î î
x x
y y
Đề 52: Tham khảo 2002 Giải hệ phương trình: 
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
ì + - - =ï
í
+ - - =ïî
x
y
x x x y
y y y x
Hướng dẫn: 
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
ì + - - =ï
í
+ - - =ïî
x
y
x x x y
y y y x
3 2 3
3 2 3
0, 1, 0, 1
2 3 5
2 3 5
> ¹ > ¹ì
ïÛ + - - =í
ï + - - =î
x x y y
x x x y x
y y y x y
2
2
0, 1, 0, 1
2 3 5 0
2 3 5 0
> ¹ > ¹ì
ïÛ - - =í
ï - - =î
x x y y
x x y
y y x
2 2
2 2
0, 1, 0, 1
2( ) 3( ) 5( ) 0
4( ) 3( ) 5( ) 0
> ¹ > ¹ì
ïÛ - - - - - =í
ï + - + - + =î
x x y y
x y x y y x
x y x y x y
2 2
0, 1, 0, 1
( )( 1) 0
4( ) 8( ) 0
ì > ¹ > ¹
ïÛ - + + =í
ï + - + =î
x x y y
x y x y
x y x y 2 2
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
8 16 0 8 8 13 0
ì ì> ¹ > ¹ > ¹ > ¹
ï ïÛ = Ú = - -í í
ï ï- = + + =î î
x x y y x x y y
x y y x
x x x x
2
2
=ìÛ í =î
x
y
Đề 53: Tham khảo 2002 Giải bất phương trình: ( ) ( )2 1 21 1
2 2
log 4 4 log 2 3.2 .++ ³ -x x 
Hướng dẫn: 
( ) ( )2 1 21 1
2 2
log 4 4 log 2 3.2++ ³ -x x
2 1 2
2 1 2
2 3.2 0
4 4 2 3.2
+
+
ì - >ïÛ í
+ £ -ïî
x
x x
4 16Û ³x 2Û ³x 
Đề 54: Tham khảo A1_ 2008: Giải bất phương trình : 1 2
2
2 3log log 0
1
+æ ö ³ç ÷+è ø
x
x
Hướng dẫn: 
Bpt Û 1 2 2
2
2 3 2 3log log 0 0 log 1
1 1
+ +æ ö ³ Û < £ç ÷+ +è ø
x x
x x
2
2
2 3 2 3 2log 0 1 0 2 11 1 1 2
2 3 2 3 1 1log 1 2 0
1 1 1
+ + +ì ì ì> > >ï ï ï -ìï ï ï+ + +Û Û Û Û Û < -í í í í+ + < -îï ï ï£ £ £ï ï ï+ + +î î î
x x x
x xx x x x
x x x
x x x
Vậy bất phương trình có tập ngiệm là ( ); 2-¥ - . 
Chuyên đề MŨ- LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Đề 55: Tham khảo A2_ 2008: Giải phương trình: 
3
1 63 log 9
log
æ ö+ = -ç ÷è øx
x
x x
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 
0 1
6
3
< ¹ì
ï
í
>ïî
x
x
 . Ta có: 
2 4 2
3
1 63 log 9 3 log 3 log (9 6) 1 log (3. ) log (9 6)
log
æ ö+ = - Û + = - - Û = -ç ÷è øx x x x x
x x x x
x x
( ) ( )4 2 2 23 9 6 0 1 3 6 0 2Û - + = Û - - = Þ =x x x x x 
Đề 56: Tham khảo B1_ 2008: Giải phương trình : 2 1
2
2log (2 2) log (9 1) 1+ + - =x x 
Hướng dẫn: 
2 1
2
2log (2 2) log (9 1) 1+ + - =x x Điều kiện: 1
9
>x . 
Với điều kiện đã cho phương trình tương đương với 
( )2 22 2 2 2log 4 8 4 log (9 1) 1 log (4 8 4) log (18 2)+ + = - + Û + + = -x x x x x x 
2
1
4 10 6 0 3
2
=é
êÛ - + = Û ê =
ë
x
x x
x
 (thỏa điều kiện) 
Đề 57: Tham khảo B2_ 2008: Giải bất phương trình : 2 1 2 13 2 5.6 0+ +- - <x x x 
Hướng dẫn: 
 2 1 2 1 9 33 2 5.6 0 3.9 5.6 2.4 0 3. 5. 2 0
4 2
+ + æ ö æ ö- - < Û - - < Û - - <ç ÷ ç ÷è ø è ø
x x
x x x x x x 
Đặt 3 0
2
æ ö= >ç ÷è ø
x
t Ta có 32
2
0 30 2 0 2 log 2
23 5 2 0
>ì æ öÛ < < Û < < Û <í ç ÷- - < è øî
xt
t x
t t
Đề 58: Tham khảo D_ 2008: Giải bất phương trình : 
2 22 4 2 2 12 16.2 2 0- - - -- - £x x x x 
Hướng dẫn: 
Ta có : 
2 2 2
2
2 4 2 2 1 2 1
2 1
42 16.2 2 0 4 2 0
2
- - - - - -
- -
- - £ Û - - £x x x x x x
x x
Đặt 
2 2 12 0- -= >x xt . Bất phương trình tương đương với : 
 2 3 2
0 0 0
0 24 2 0 2 4 0 ( 2)( 2 2) 0
>ì > >ì ìïÛ Û Û Û < <í í í
- - < - - < - + + <î îïî
t t t
t
t t t t t t
t
Vậy 
2 2 1 2 20 2 2 2 1 1 2 2 0 1 3 1 3- -< < Û - - < Û - - < Û - < < +x x x x x x x