Đề thi bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh đại học

 1
Bµi 1: Cho 
5
, 0,
4
x y x y> + = . T×m GTNN cña 
4 1
4
S
x y
= + 
Bµi 2: Cho , , , , 1 50a b c d a b c d∈ ≤ < < < ≤ℤ . 
a) CMR: 
2 50
50
a c b b
b d b
+ +
+ ≥ . 
b) T×m GTNN cña 
a c
S
b d
= + . 
Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch b»ng 
3
2
. Gäi a, b, c lÇn l−ît lµ ®é dµi c¸c c¹nh BC, CA, AB vµ 
, ,a b ch h h t−¬ng øng lµ ®é dµi c¸c ®−êng cao kÎ tõ c¸c ®Ønh A, B, C cña tam gi¸c ABC. CMR: 
1 1 1 1 1 1
3
a b ca b c h h h
  + + + + ≥  
  
. 
Bµi 4: Cho , , 0, 1x y z x y z> + + ≤ . CMR: 2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥ 
Bµi 5: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 5sin 3 cosy x x= + . 
Bµi 6: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 24y x x= + − 
Bµi 7: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè ( )36 24 1y x x= + − trªn [ ]1;1− . 
Bµi 8: CMR: 
2
cos 2
2
x xe x x x+ ≥ + − ∀ ∈ℝ . 
Bµi 9: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 
2
1
1
x
y
x
+
=
+
 trªn [ ]1;2− . 
Bµi 10: T×m c¸c gãc A, B, C cña tam gi¸c ABC ®Ó biÓu thøc 2 2 2sin sin sinQ A B C= + − ®¹t gi¸ trÞ 
nhá nhÊt. 
Bµi 11: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 
2ln x
y
x
= trªn 31;e   . 
Bµi 12: X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 
( )2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − 
Bµi 13: Cho 
1 1 1
, , 0, 4x y z
x y z
> + + = . CMR: 
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
. 
Bµi 14: CMR: x∀ ∈ℝ ta cã 
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x     + + ≥ + +     
     
. 
Bµi 15: Cho c¸c sè d−¬ng x, y, z tháa mSn 1xyz = . 
CMR: 
3 3 3 3 3 31 1 1
3 3
x y y z z x
xy yz zx
+ + + + + +
+ + ≥ . 
Bµi 16: CMR: , 0x y∀ > ta cã ( )
2
9
1 1 1 256
y
x
x y
  + + + ≥     
. 
Bµi 17: Cho x, y, z lµ 3 sè tháa mSn 0x y z+ + = . CMR: 3 4 3 4 3 4 6x y z+ + + + + ≥ . 
ĐỀ THI BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
2Bµi 18: XÐt c¸c tam gi¸c ABC tháa mSn 090A ≤ vµ sin 2sin sin tan
2
A
A B C= . 
T×m GTNN cña biÓu thøc 
1 sin
2
sin
A
S
B
−
= . 
Bµi 19: CMR: Ph−¬ng tr×nh ( )1 1 xxx x+ = + cã mét nghiÖm d−¬ng duy nhÊt. 
Bµi 20: CMR: NÕu 0 1y x≤ ≤ ≤ th× 
1
4
x y y x− ≤ . 
Bµi 21: Cho a, b, c lµ 3 sè d−¬ng tháa mSn 
3
4
a b c+ + = . 
CMR: 3 3 33 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . 
Bµi 22: Cho hai sè thùc 0, 0x y≠ ≠ tháa mSn ®iÒu kiÖn ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − . 
T×m GTLN cña biÓu thøc 
3 3
1 1
A
x y
= + . 
Bµi 23: Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa mSn ®iÒu kiÖn 2 2 3x xy y+ + ≤ . 
CMR: 2 24 3 3 3 4 3 3x xy y− − ≤ − − ≤ − . 
Bµi 24: Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa mSn ®iÒu kiÖn 
1 1 1
1
3 3 3x y z
+ + = . 
CMR: 
9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
. 
Bµi 25: Cho x, y lµ c¸c sè thùc. T×m GTNN cña biÓu thøc: 
 ( ) ( )2 22 21 1 2A x y x y y= − + + + + + − 
Bµi 26: T×m GTNN cña hµm sè 
2
11 7
4 1
2
y x
x x
 = + + + 
 
 víi 0x > . 
Bµi 27: Cho hai sè d−¬ng x, y tháa mSn ®iÒu kiÖn 4x y+ ≥ . 
T×m GTNN cña biÓu thøc 
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x y
+ +
= + 
Bµi 28: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 1 sin 1 cosy x x= + + + . 
Bµi 29: Cho 2, 3, 4a b c≥ ≥ ≥ . T×m GTLN cña biÓu thøc 
4 2 3ab c bc a ca b
F
abc
− + − + −
= 
Bµi 30: Cho 0, 0, 1x y x y≥ ≥ + = . T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc 23 3x yP = + . 
Bµi 31: CMR: NÕu 2 2 2 , 0, 0, 0, 1b c a a b c a c+ = > > > ± ≠ th× 
log log 2log .loga c a c a c a cb b b b+ − + −+ = . 
Bµi 32: Cho , , 0x y z > . CMR: 
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥ + + . 
Bµi 33: Gäi 1 2,x x lµ 2 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ( )2 22 2 1 4 3 0x m x m m+ + + + + = . 
T×m m ®Ó biÓu thøc ( )1 2 1 22A x x x x= − + ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 
3Bµi 37: CMR: NÕu , 0x y > th× 
x y
x y
y x
+ ≥ + . 
Bµi 38: CMR: NÕu 0, 0a b≥ ≥ th× 3 3 23 7 9a b ab+ ≥ . 
Bµi 39: Cho x, y, z lµ c¸c sè d−¬ng. CMR: ( )
4 4 4
3 3 31
2
x y z
x y z
y z x z x y
+ + ≥ + +
+ + +
Bµi 40: Cho a, b, c lµ sè ®o ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c. 
CMR: 3
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
. 
Bµi 41: Gäi ( );x y lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh 
2 4
3 1
x my m
mx y m
− = −

+ = +
 (m lµ tham sè). 
T×m GTLN cña biÓu thøc 2 2 2A x y x= + − khi m thay ®æi. 
Bµi 42: Cho hµm sè ( )
2
sin
2
x xf x e x= − + . 
a) T×m GTNN cña hµm sè ( )f x . 
b) CMR: Ph−¬ng tr×nh ( ) 3f x = cã ®óng 2 nghiÖm. 
Bµi 43: Cho ph−¬ng tr×nh 2 2 2 3
5
4 2 0
3
x m x m
 + − + + − = 
 
. 
CMR: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 0m ≥ . 
Bµi 44: Cho x, y, z lµ 3 sè d−¬ng tháa mSn 1xyz = . CMR: 
2 2 2 3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
Bµi 34: CMR: , , 0
a b c
ab bc ca a b c
b c a
+ + ≥ + + ∀ > . 
Bµi 35: Cho x, y lµ 2 sè thùc d−¬ng tháa mSn ®iÒu kiÖn ( ) ( )2 21 1 0y y x x+ + − = . 
CMR: 2 2 1x y+ < . 
3 3 3
Bµi 36: Cho c¸c sè thùc x, y tháa mSn ®iÒu kiÖn 20, 12y x x y≤ + = + . 
T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc 2 17A xy x y= + + + . 
Bµi 45
Bµi 46
Bµi 47
Bµi 48
Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2x y 2.+ = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức ( )3 3P 2 x y 3xy.= + − 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 24 21 3 1y x x x x= − + + − − + + 0 . 
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 23( ) 3( ) 2M a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + + . 
 Giải hệ phương trình 
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
+ + − − =⎪⎨
+ + − =⎪⎩
 (x, y ∈ R). 
 4
T×m GTNN cña hµm sè ( ) sin sin 1
sin sin
x A x B
f x
x C x C
− −
= + −
− −
. 
Tõ ®ã suy ra ph−¬ng tr×nh sin sin sinx A x B x C− + − = − cã vµ chØ cã 1 nghiÖm. 
Bµi 4: Hai gãc A, B cña tam gi¸c ABC tháa mSn ®iÒu kiÖn tan tan 1
2 2
A B
+ = . 
CMR: 
3
tan 1
4 2
C
≤ ≤ . 
Bµi 5: Cho 2 sè a, b tháa mSn ®iÒu kiÖn 0a b+ ≥ . CMR: 
33 3
2 2
a b a b+ + ≥  
 
Bµi 6: T×m GTLN cña hµm sè 5cos cos5y x x= − trªn ;
4 4
π π −  
. 
Bµi 7: Cho a, b, c lµ 3 sè thùc bÊt kú tháa mSn 3a b c+ + = . 
CMR: 4 4 4 3 3 3a b c a b c+ + ≥ + + 
Bµi 8: CMR: Víi mäi sè thùc a, b, c tháa mSn ®iÒu kiÖn 1a b c+ + = th× 
1 1 1
3
3 3 3 3 3 3a b c a b c
a b c + + ≥ + + 
 
Bµi 9: Cho 0
2
x
π
< < . CMR: 
3
1
sin tan 22 2 2
x
x x
+
+ > . 
Bµi 10: CMR: NÕu 0a b+ ≥ th× ( )( )( ) ( )2 2 3 3 6 64a b a b a b a b+ + + ≤ + . 
Bµi 11: Cho a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng tháa mSn 2 2 2 1a b c+ + = . 
CMR: 
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Bµi 12: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 2
1
sin cos
2
y x x= − + 
Bµi 13: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 
3sin
1
2 cos
x
y
x
= +
+
Bµi 14: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 
2 2
2 4
sin cos 1
1 1
x x
y
x x
= + +
+ +
Bµi 15: T×m GTNN cña biÓu thøc 4 4 2 2cot cot 2 tan .tan 2P a b a b= + + + 
Bµi 16: Tïy theo gi¸ trÞ cña m, hSy t×m GTNN cña biÓu thøc ( ) ( )2 22 1 2 5A x y x my= − + + + + víi 
mäi ,x y∈ℝ . 
Bµi 17: Cho hai sè kh«ng ©m b vµ c. CMR: Tån t¹i mét sè [ ]0;1k∈ sao cho víi mäi sè a mµ 
a b c≤ + ta ®Òu cã ka b≤ vµ ( )1 k a c− ≤ . T×m ®iÒu kiÖn cña b vµ c ®Ó sè k nãi trªn lµ duy nhÊt. 
Bµi 18: T×m GTNN cña hµm sè 
29
4 siny x x
x
π
= + + trªn kho¶ng ( )0;+∞ . 
Bµi 1: CMR: Víi mäi sè nguyªn 2n ≥ ta ®Òu cã 
1
2 2 3
n
n
 < + < 
 
. 
Bµi 2: CMR: Víi mäi sè nguyªn 3n ≥ ta ®Òu cã ( )1 1 nnn n+ > + . 
Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc tháa mSn A>B>C. 
ĐỀ THI THAM KHẢO
5Bµi 22: Cho c¸c sè a, b, c tháa mSn 
2 2 2 2
1
a b c
ab bc ca
 + + =

+ + =
. CMR: 
4 4
, ,
3 3
a b c− ≤ ≤ . 
Bµi 23: Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ a, b, c vµ , ,a b cl l l lµ ®é dµi c¸c ®−êng ph©n gi¸c trong 
t−¬ng øng víi c¸c ®Ønh A, B, C. 
CMR: ( ) ( ) ( )1 1 1 3 3b c c a a bl l l l l l
a b c
+ + + + + ≤ . 
Bµi 24: Cho ( ) 2 2 2 2 19 3
2 2 2 2 1
x x x
x x x
f x p q
−
−
+ − −
= + +
+ + +
. T×m p, q ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña ( )y f x= trªn 
[ ]1;1− lµ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy. 
Bµi 25: Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh vµ r lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp cña mét tam gi¸c. CMR: 
2 2 2 2
1 1 1 1
4a b c r
+ + ≤ . 
Bµi 26: Cho A, B, C lµ 3 gãc cña mét tam gi¸c. 
T×m GTLN cña biÓu thøc ( )3cos 2 cos cosM A B C= + + . 
Bµi 27: CMR: 0;
2
x
π ∀ ∈ 
 
 ta cã 
1 1
cos sin tan cot 6
sin cos
x x x x
x x
+ + + + + > 
Bµi 28: Cho A, B, C lµ 3 gãc cña mét tam gi¸c. 
T×m GTNN cña biÓu thøc 
1 1 1
2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2
M
A B C
= + +
+ + −
Bµi 29: Cho tam gi¸c ABC cã 00 90A B C< ≤ ≤ < . CMR: 
2cos3 4cos 2 1
2
cos
C C
C
− +
≥ 
Bµi 30: Cho tam gi¸c ABC cã 3 c¹nh a, b, c vµ p lµ nöa chu vi. 
CMR: 
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 + + ≥ + + − − −  
Bµi 31: Cho 4 sè x, y, z, t thay ®æi tháa mSn ®iÒu kiÖn 
2 2 2 2
0
1
x y z t
x y z t
+ + + =

+ + + =
. 
HSy t×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc P xy yz zt tx= + + + . 
Bµi 32: Cho c¸c sè x, y thay ®æi tháa mSn ®iÒu kiÖn 0, 0x y≥ ≥ vµ 1x y+ = . 
T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc 3 9x yP = + . 
Bµi 33: Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè thay ®æi tháa mSn 0, 0, 1x y x y> > + = . 
HSy t×m GTNN cña biÓu thøc 
1 1
x y
P
x y
= +
− −
Bµi 34: CMR: 
22
4
2 0
2
2x xe dx e
e
−≤ ≤∫ 
Bµi 35: CMR: ,a b∀ ta cã 
1 1
a b a b
a b a b
+ +
≤
+ + + +
Bµi 19: T×m GTLN cña hµm sè ( ) 2sin
2
x
f x x= + trªn ®o¹n ;
2 2
π π −  
. 
Bµi 20: CMR: 
2
1
2
x xe x> + + víi 0x∀ > . 
Bµi 21: Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tháa mSn 090C B A≤ ≤ ≤ . 
T×m GTNN cña biÓu thøc cos sin sin
2 2 2
A B A B
M
− =  
 
. 
 6
Bµi 38: Cho x, y, z > 0. CMR: 
3 2 3 2 3 2 2 2 2
22 2 1 1 1yx z
x y y z z x x y z
+ + ≤ + +
+ + +
Bµi 39: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. 
T×m GTNN cña biÓu thøc tan . tan . tanP A B C= 
Bµi 40: CMR: Trong mäi tam gi¸c ABC ta lu«n cã cot cot cot 3 tan tan tan
2 2 2 2 2 2
A B C A B C + + ≥ + + 
 
Bµi 41: Cho x, y, z lµ nh÷ng sè d−¬ng. 
CMR: ( )2 2 2 2 2 2 3x xy y y yz z z zx x x y z+ + + + + + + + ≥ + + 
Bµi 42: C¸c sè x, y, z thay ®æi nhøng lu«n tháa mSn ®iÒu kiÖn 2 2 2 1x y z+ + = . 
HSy t×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: P x y z xy yz zx= + + + + + . 
Bµi 43: T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè 1 9y x x= − + − víi 3 6x≤ ≤ . 
Bµi 44: Tam gi¸c ABC vu«ng gãc t¹i A cã BC=a, CA=b, AB=c. 
CMR: 2 2 2n n nb c a n+ ≤ ∀ ∈ℕ . 
Bµi 45: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 4 4cos sin sin cos 1y x x x x= + + + 
Bµi 46: CMR: NÕu c¸c gãc A, B, C cña tam gi¸c ABC tháa mSn ®iÒu kiÖn 
cos 2 cos 2 cos 2 1A B C+ + ≥ − th× sin sin sin 1 2A B C+ + ≤ + . 
Bµi 47: Cho a, b, c lµ 3 sè thùc bÊt kú tháa mSn ®iÒu kiÖn a+b+c=0. 
CMR: 8 8 8 2 2 2a b c a b c+ + ≥ + + . 
Bµi 48: §Æt ( )
4
0
tan
0
cos 2 4
t x
I t dx t
x
π = < < 
 ∫
. 
TÝnh ( )I t vµ chøng minh: ( )
32 tan 3tan
3tan
4
t t
t e
π + + > 
 
 víi 0
4
t
π
< < . 
Bµi 49: Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi 3 c¹nh lµ a, b, c vµ sè ®o 3 gãc lµ A, B, C. CMR: 
a) ( ) ( ) ( )2 2 2 0ab a b c bc b c a ca c a b+ − + + − + + − ≥ 
b) 
2 2 2
1 1 1
12
sin sin sin
2 2 2
A B C
+ + ≥
     
     
     
. 
Bµi 50: CMR: [ ]1;1t∀ ∈ − ta cã 2 21 1 1 1 2t t t t+ + − ≥ + − ≥ − . 
Bµi 51: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 
4 2
4 2
3cos 4sin
3sin 2cos
x x
y
x x
+
=
+
Bµi 52: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc A, B, C ®Òu nhän. 
CMR: ( ) ( )2 1sin sin sin tan tan tan
3 3
A B C A B C π+ + + + + ≥ 
Bµi 53: Cho tam gi¸c ABC bÊt kú víi 3 gãc A, B, C. 
T×m GTLN cña biÓu thøc ( )3 cos 3 cos cosP B A C= + + . 
Bµi 54: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 
2
2
3 10 20
2 3
x x
y
x x
+ +
=
+ +
Bµi 36: Cho A, B, C lµ 3 gãc cña mét tam gi¸c. CMR: 
a) tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + = 
b) 
1
tan tan tan
2 2 2 3 3
A B C
≤ 
Bµi 37: Cho 3 sè d−¬ng a, b, c tháa mSn ®iÒu kiÖn 1abc = . 
T×m GTNN cña biÓu thøc 
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
 7
Bµi 58: CMR: 3
4
3 cot 1
12 3
x
dx
x
π
π≤ ≤∫ 
Bµi 59: CMR: NÕu a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 3 th× 
2 2 23 3 3 4 13a b c abc+ + + ≥ . 
Bµi 60: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè 8 42sin cos 2y x x= + . 
Bµi 61: Cho 4 sè d−¬ng a, b, c, d. CMR: 
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1a b c d
b c d a a b c d
+ + + ≥ + + + . 
Bµi 62: CMR: NÕu a, b, c lµ 3 sè d−¬ng th× 
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
Bµi 63: Cho sin sin sin 0x y z+ + = . T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc 2 4 6sin sin sinP x y z= + + . 
Bµi 64: T×m GTLN, GTNN cña 2 2A x y= − − víi ( );x y lµ täa ®é ®iÓm M ch¹y trªn elip (E): 
2 2
1
4 9
x y
+ = . 
Bµi 65: Cho c¸c sè x, y, z thay ®æi trªn [ ]0;1 vµ tháa mSn ®iÒu kiÖn 3
2
x y z+ + = . T×m GTNN cña 
biÓu thøc ( )2 2 2cosA x y z= + + . 
Bµi 66: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa mSn 3ab bc ca+ + = . Chøng minh r»ng: 
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 1
1 1 1a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
. 
Bµi 55: CMR: NÕu ( ), , , , 0;1a b c d e∈ th× ( )( )( )( )( )1 1 1 1 1 1a b c d e a b c d e− − − − − > − − − − − 
HSy tæng qu¸t bµi to¸n trªn vµ chøng minh nã. 
Bµi 56: Trong c¸c sè thùc x, y, z tháa mSn ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 1x y z− + − + − = . 
HSy t×m x, y, z ®Ó biÓu thøc 2 3 8x y z+ + − ®¹t GTLN. X¸c ®Þnh GTLN ®ã. 
Bµi 57: CMR: 
31
1
1 2 4x dx
−
≤ ≤∫ . 
Bµi 67: 
Bµi 68: 
Bµi 69: 
Bµi 70: 
Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0. Cmrằng : 
3 4 3 4 3 4 6x y z      
Cmrằng với mọi x, y > 0 ta có : 
29(1 )(1 )(1 ) 256yx
x y
    . Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = 3
4
.. Cmr
3 3 33 3 3 3a b b c c a      . Khi nào đẳng thức xảy ra ? 
Giải bất phương trình: 3294
2
1222 13 −+<++− ++ xx
x
x . )Rx( ∈ .