Bất phương trình bậc hai và bất phương trình qui về bậc hai

 21 
VẤN ĐỀ 2 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
& 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
QUI VỀ BẬC HAI 
 22 
Vấn đề 2 
Bất Phương Trình Bậc Hai & 
Bất Phương Trình Qui Về Bậc Hai 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
I. Định lý: 
Định lý : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c , ∆ = b2 – 4ac 
• Nếu ∆ < 0 thì tam thức cùng dấu ∀x 
• Nếu ∆ = 0 thì tam thức cùng dấu a ∀x khác 
2
b
a
− 
và bằng 0 khi x = 
2
b
a
− 
• Nếu ∆ > 0 thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 , trái dấu a 
với mọi x thuộc khoảng (x1 , x2) và cùng dấu a với mọi x ở ngoài 
đoạn [x1 ; x2] 
Tóm tắt : 
• ∆ 0 , ∀x ∈ R 
• ∆ = 0 : af(x) > 0 ∀x ≠ 
2
b
a
− ; f
2
b
a
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = 0 
• ∆ > 0 : af(x) < 0 ∀x ∈ (x1 ; x2) 
 af(x) > 0 ∀x ∈ (-∞ ; x1) ∪ (x2 ; +∞ ) 
 23 
II. Bất phương trình bậc hai là 1 bất phương trình có dạng 
ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0 ; < 0 ; ≤ 0) 
Để giải bất phương trình bậc hai ta có thể dựa vào dấu của a và ∆ rồi 
tuỳ theo trường hợp mà rút ra tập nghiệm của bất phương trình đó. 
Trong trường hợp giải và biện luận bất phương trình : 
Ta cần phải lập bảng xét dấu của a và ∆ trưóc, rồi kế đó giải bất 
phương trình trong từng trường hợp 
III.Tam thức không đổi dấu trên R 
Từ định lý về dấu của tam thức bậc hai ta suy ra kết quả sau : 
Cho f(x) = ax2 + bx + c với a ≠ 0 
• f(x) > 0 ∀x∈R 0
0
a >⎧⇔ ⎨∆ <⎩ 
• f(x) ≥ 0 ∀x∈R 0
0
a >⎧⇔ ⎨∆ ≤⎩ 
• f(x) < 0 ∀x∈R 0
0
a <⎧⇔ ⎨∆ <⎩ 
• f(x) ≤ 0 ∀x∈R 0
0
a <⎧⇔ ⎨∆ ≤⎩ 
* Khi giải một bất phương trình bậc hai hay hệ bất phương trình bậc 
hai ta có thể áp dụng các kiến thức về tam thức bậc hai , bao gồm : 
• Sự biến thiên và đồ thị của tam thức bậc hai 
• Các định lý về nghiệm của tam thức bậc hai 
Các định lý về dấu của tam thức bậc hai 
* Nếu gặp hệ cần chú ý : 
Cho hệ bất phương trình : 
≥⎧⎨ ≤⎩
( ) 0 (1)
( ) 0 (2)
f x
g x
Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1) 
Gọi S2 là tập nghiệm của bất phương trình (2) 
Để tìm nghiệm của hệ đó chính là S = S1 ∩ S2 
Hai bất phương trình (1 ) và(2 ) được gọi là tương đương nếu và chỉ 
nếu S1 = S2 
 24 
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI : 
Bài 1 
Giải bất phương trình : 
a) 
2x
1
1x
1
x
1
1x
1
−−−≤−+ b) 2x
1
)7x)(1x(
)4x(2
−≥−−
− 
Giải 
a) 
2x
1
1x
1
x
1
1x
1
−−−≤−+ 
 ⇔ 
)2x)(1x(
1
)1x(x
1
−−
−≤+
− ⇔ 0
)2x)(1x)(1x(x
)1x(x)2x)(1x( ≤−−+
++−−− 
⇔ 0
)2x)(1x)(1x(x
)2x3x(xx 22 ≤−−+
+−−+ ⇔ 0
)2x)(1x)(1x(x
)1x2(2 ≤−−+
− 
⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
<<
≤<
−<
2x1
2
1x0
1x
b) 
2x
1
)7x)(1x(
)4x(2
−≥−−
− 
⇔ 0
)7x)(2x)(1x(
)7x)(1x()2x)(4x(2 ≥−−−
−−−−− 
⇔ 0
)7x)(2x)(1x(
)7x8x(16x12x2 22 ≥−−−
+−−+− 
⇔ 
)7x)(2x)(1x(
9x4x 2
−−−
+− ≥ 0 ⇔ ⎢⎣
⎡
<<
>
2x1
7x
 25 
Bài 2 
Giải bất phương trình : 
x2 + (x+1)2 ≤ 
1xx
15
2 ++ (1) 
Giải 
(1) ⇔ 2(x2 + x) + 1 ≤ 
1xx
15
2 ++ 
⇔ (2t + 1)(t + 1) ≤ 15 ( t = x2 + x ) ⇔ 2t2 + 3t – 14 ≤ 0 
⇔ 
2
7− ≤ t ≤ 2 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥++
≤−+
0
2
7xx
02xx
2
2
⇔ 
⎩⎨
⎧
φ∈
≤≤−
x
1x2
 ⇔ x φ∈ 
Bài 3 
Giải bất phương trình : 
x2 + 
4
5
)1x(
x
2
2
<+ (1) 
Giải 
(1) ⇔ 0
4
5
)1x(
)2x2x(x
2
22
<−+
++ 
⇔ 0
)1x(4
)1x(5)2x2x(x4
2
222
<+
+−++ 
⇔ 0
)1x(4
5x10x3x8x4
2
234
<+
−−++ 
⇔ ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≠
≥+<++−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
1x
0)1x(0)10x10x4)(1x(
2
1x 22
 ⇔ 
2
1− < x < 1 
Bài 4 
Giải bất phương trình :3x4 – x3 + 4x2 – x + 3 ≥ 0 
• x2 = 0 ⇔ x = 0 : 3 ≥ 0 đúng . vậy x= 0 là một nghiệm của bất 
phương trình (a) 
• x2 ≠ 0 ⇔ x2 > 0 
Chia hai vế của bất phương trình cho x2 (x2 > 0) 
 26 
3x2 – x + 4 - 
x
1
 + 2
3
x
 ≥ 0 ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
x
x
x
x 113 2
2 + 4 ≥ 0 
Đặt T = x + 
x
1
 với ⏐T⏐ ≥ 2 ⇔ T ≤ -2 hay T ≥ 2 
⇒ T2 – 2 = x2 + 2
1
x
BPT ⇔ 3(T2 – 2) – T + 4 ≥ 0 ⇔ 3T2 – T – 2 ≥ 0 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥∨−≤
≥∨−≤
22
1
3
2
TT
TT
 ⇔ T ≤ -2 ∨ T ≥ 2 
Trở về x: 
x + 
x
1
 ≤ -2 hay x + 
x
1
 ≥ 2 ⇔ 
x
x 1+ ≥ 2 ⇔ ∀x ∈ R \ { }0 (b) 
(a) hợp (b) cho ta ∀x ∈ R 
KL : Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là R 
Bài 5 
Giải và biện luận bất phương trình : 
x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0 (1) 
Giải 
∆’ = (4m + 3)2 – 15m2 – 28m – 6 = m2 – 4m + 3 
M - ∞ 1 3 +∞ 
∆’ + 0 - 0 + 
Biện luận : 
• m 3 : 
⎩⎨
⎧
>
>∆
0a
0'
 (vì a = 1) 
Ta có : 
x1 = 4m + 3 - '∆ (x1 < x2) 
x2 = 4m + 3 + '∆ 
X - ∞ x1 x2 +∞ 
F(x) + 0 - 0 + 
Váậy : tập nghiệm của (1) là x1 ≤ x ≤ x2 (hay S = [x1 , x2]) 
 27 
• m = 1 : (1) thành x2 – 14x + 49 ≤ 0 ⇔ (x – 7)2 ≤ 0 
⇔ x = 7 : S = {7} 
• 1 < m < 3 : 
⎩⎨
⎧
<∆
>
0
0a
, f(x) > 0 , ∀x ∈ R. 
Tập nghiệm của bất phương trình (1) : S = ∅ 
• m = 3 : (1) thành x2 – 30x + 225 ≤ 0 ⇔ x = 15 : S = {15} 
Bài 6 
Giải và biện luận các bất phương trình sau : 
x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0 
Giải 
x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0 (1) 
'∆ = m2 – 4m + 3 
Đặt VT = f(x) 
• 1 < m < 3 ⇒ 
⎩⎨
⎧
>
<∆
0a
0'
 ⇒ f(x) > 0 với ∈∀x R ⇒ (1) VN 
• m ≤ 1 v m ≥ 3 ⇒ '∆ > 0 ⇒ f(x) có 2 nghiệm phân biệt : 
x1 = 4m + 3 – '∆ , x2 = 4m + 3 + '∆ 
(1) có nghiệm x1 < x < x2 
mx2 + (m – 3) x + m – 3 < 0 (1) 
* m ≠ 0 
 ∆ = 3− m2 + 6m +9 , Đặt VT (1) = f(x) 
* m < 1− : 
⎩⎨
⎧
<∆
<
0
0a
 ⇒ f(x) < 0 Rx∈∀ 
 Vậy (1) ⇔ x∈ R 
* m ≥ 3 : 
⎩⎨
⎧
≤∆
>
0
0a
 ⇒ f(x) ≥ 0 Rx∈∀ 
 Vậy (1) VN 
* 1− < m < 0 : 
⎩⎨
⎧
>∆
<
0
0a
 , f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 
x1,2 = m2
)3m( ∆±−− 
 (1) ⇔ x x2 
 28 
* m = 1− : (1) ⇔ 0)2x(04x4x 22 <+−⇔<−−− ⇔ x ≠ 2− 
* 0 < m < 3 : 
⎩⎨
⎧
>∆
>
0
0a
 , f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 
⇔ x1 < x < x2 . 
* m = 0 , (1) ⇔ 3x3 −− 1− 
Kết luận chung : 
m = 0 : x > 1− Rx:1m ∈−< 
m ≥ 3 : x ∈ ∅ -1 x2 
1m −= : x ≠ 2− 0 < m < 3 : x1 < x< x2 
Bài 7 
Định m để với mọi x ta luôn có : 
a) 
7x5x
5x7x2
2
2
+−
+− ≤ m b) 6
1xx
6mxx39 2
2
<+−
−+<− 
c) 
1mxx
4xx3
2
2
+−
++ ≥ 2 
Giải 
a) 
7x5x
5x7x2
2
2
+−
+− ≤ m 
 ⇔ (m – 2)x2 – (5m – 7)x + 7m – 5 ≥ 0 
( vì x2 – 5x + 7 > 0 , ∈∀x R) 
YCĐB ⇔ 
⎩⎨
⎧
>−=
≥++−=∆
02ma
09m6m3 2
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
>
≤≤−
2m
3m1
 ⇔ 2 < m ≤ 3 
b) 6
1xx
6mxx39 2
2
<+−
−+<− (1) 
Dễ thấy mẫu số x2 – x +1 > 0 , ∈∀x R 
Vậy (1) ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>++−
>+−+
012x)6m(x3
03x)9m(x12
2
2
)3(
)2(
(1) thoả ∈∀x R ⇔ (2) , (3) thoả ∈∀x R 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−+=∆
<−−=∆
010812m
063m18m
2
)3(
2
)2( ⇔ 
⎩⎨
⎧
<<−
<<−
6m18
21m3
 ⇔ 6m3 <<− 
 29 
c) 
1mxx
4xx3
2
2
+−
++ ≥ 2 (1) 
 * 3x2 + x+ 4 > 0 ∈∀x R 
(1) thoả ∈∀x R ⇒ x2 – mx +1 ≠ 0 ∈∀x R 
⇔ x2 – mx + 1 = 0 VN ⇔ ∆ = m2 – 4 < 0 
⇔ 2− < m < 2 ( )α 
Với đk (α ) , (1) thoả khi x2 – mx +1 > 0 ∈∀x R 
(1) ⇔ 
1mxx
4xx3
2
2
+−
++ ≥ 2 ⇔ x2 + (2m + 1)x + 2 ≥ 0 (2) 
(1) thoả ∈∀x R ⇔ 
⎩⎨
⎧
>=
≤−+=∆
)d(01a
07m4m4 2
⇔ 
2
71m
2
71 +−<<−− ( so đk (α ) →nhận ) 
Bài 8 
Cho f(x) = (a+1)x2 – 2(a – 1)x + 3a – 3 định a để : 
a) Bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm 
b) Bất phương trình f(x) ≥ 0 vô nghiệm 
Giải 
a) * a = 1− thì f(x) = 4x – 6 ≥ 0 ⇔ x > 
2
3 (loại vì không thoả ) 
* a ≠ 1− thì f(x) < 0 VN ⇔ f(x) ≥ 0 Rx∈∀ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
≤+−−=∆
>+=
04a2a2'
01aA
2 ⇔ ⎩⎨
⎧
−≤
−>
2a
1a
v
1a ≥ ⇔ a ≥ 1 
KL : a ≥ 1 
b) f(x) ≥ 0 có nghiệm .Giả sử f(x) ≥ 0 VN 
* a = 1− thì f(x) = 4x – 6 < 0 ⇔ x < 
2
3 ( loại vì không thoả) 
* a ≠ 1− ⇔ f(x) < 0 Rx∈∀ ⇔ 
⎩⎨
⎧
<
<∆
0a
0' ⇔ 
⎩⎨
⎧
−<
−<
1a
2a v 1a >
 ⇔ a < -2 
Vậy f(x) ≥ 0 có nghiệm ⇔ a ≥ 2− 
 30 
Bài 9 
Định m để bất phương trình : 
x2cos m – 2xsin m cos m + sin m ≥ 0 Rx∈∀ 
Giải 
x2cos m – 2xsin m cos m + sin m ≥ 0 Rx∈∀ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
≤−=∆
>=
0mcosmsinmcosmsin'
0mcosa
22 
⇔ 
⎩⎨
⎧
≤≤
>
1mcosmsin0
0mcos
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
≤<
≤≤
1mcos0
1msin0
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
π+π<<π+π−
π+π≤≤π
2k
2
m2k
2
2km2k
 ⇔ π+π<<π 2k
2
m2k 
Bài 10 
Giải bất phương trình 
a) 
2xx
3x2x
2
2
−+
++
 ≥ 1 b) 
4x
6xx
2
2
−
−−
 ≥ x 
c) 8x2x1x 22 +−≤− 
Giải 
a) 
2xx
3x2x
2
2
−+
++
 ≥ 1 ⇔ 2xx3x2x 22 −+≥++ (1) 
* x < 2− v 0 < x < 2 
(1) ⇔ x2 + 2x + 3 ≥ x2 – x + 2 ⇔ x ≥ 
3
1− so với đk ⇔ 0 < x < 2 
* 2− ≤ x ≤ 0 
(1) ⇔ 2x− 3x2 +− ≥ x2 – x + 2 ⇔ 2x2 +x – 1 ≤ 0 
⇔ 1− ≤ x ≤ 
2
1 so với đk ⇔ 1− ≤ x ≤ 0 
* x ≥ 2 
(1) ⇔ x2 +2x + 3 ≥ x2 + x – 2 ⇔ x ≥ 5− so với đk ⇔ 2x ≥ 
Kết luận : x ≥ 1− 
 31 
b) 
4x
6xx
2
2
−
−−
 ≥ x 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
−
≥
x
2x
3x
0x
 v 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
+
<
x
2x
3x
0x
⇔ 
⎩⎨
⎧
≤
≥
2x
0x
 v 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−≤
<
2
131x
0x
v
2
131x2 +−≤≤− 
⇔ 0 ≤ x ≤ 2 v x ≤ 
2
131−− v 2− ≤ x < 0 
⇔ x ≤ 
2
131+− v 2− ≤ x ≤ 2 
c) 8x2x1x 22 +−≤− (1) 
* x ≤ 1− 
(1) ⇔ x2 – 1 ≤ x2 + 2x + 8 ⇔ x ≥ 
2
9− so với đk ⇔ 1x
2
9 −≤≤− 
* 1− < x ≤ 0 
(1) ⇔ 1 – x2 ≤ x2 + 2x + 8 ⇔ 2x2 +2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ∈ R so với đk 
⇔ 1− <x ≤ 0 
* 0 < x ≤ 1 
(1) ⇔ 2x− + 1 ≤ x2 – 2x + 8 ⇔ 2x2 – 2x + 7 ≥ 0 
⇔ x ∈ R so với đk ⇔ 0 < x ≤ 1 
* x > 1 
(1) ⇔ x2 – 1 ≤ x2 – 2x +8 ⇔ x ≤ 
2
9 so với đk ⇔ 1 < x ≤ 
2
9 
Kết luận : 
2
9x
2
9 ≤≤− 
 32 
Bài 11 
Giải và biện luận bất phương trình : 
(m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3(m – 1) ≥ 0 
Hướng dẫn giải : 
Ta có : 
a = m + 1, 
∆’ = -m2 – m + 2 (m1 = 1 , m2 = -2) 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+−−+−=+
+−−−−=>∆
1m
2mm1m
1m
2mm1m0'
22
21 x , x , 
ta dươc : x1 < x2 
m -∞ -2 -1 1 +∞ 
a - - 0 + + 
∆ - 0 + + 0 - 
Biện luận : 
• m < -2 ⎩⎨
⎧
∈∀<<∆
<
Rx 0f(x) , 0
0a
• m = -2 
⎩⎨
⎧
=∆
<
0
0a
 ⇒ f(x) ≤ 0 ∀x∈R ⇒ f(x) = 0 ⇔ x = 3 
• -2 < m < -1 
⎩⎨
⎧
>∆
<
0
0a
 , f(x) ≥ 0 , ∀ x1 ≤ x ≤ x2 
• m = -1 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
=
2
3x
0a
• -1 < m < 1 
⎩⎨
⎧
>∆
>
0
0a
 : f(x) ≥ 0 ∀x ≤ x1 ∨ x ≥ x2 
• m = 1 
⎩⎨
⎧
=∆
>
0
0a
 : f(x) = 0 ⇔ x = 0 
• m > 1 
⎩⎨
⎧
<∆
>
0
0a
 : f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R 
 33 
Bài 12 
Giải và biện luận : mx2 + (m + 3)x + 3 ≥ 0 
Giải 
• m = 0 : bất phương trình ⇔ 3x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 
• m ≠ 0 : ∆ = (m + 3)2 – 4.3.m = (m – 3)2 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++−=
−−+−=
m2
|3m|)3m(x
m2
|3m|)3m(x
2
1
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
m
3x
1x
2
1
Xét h = -1 - ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
m
3 = 1
m
3 − = 
m
m3 − = x1 - x2 
M 0 3 
∆ + | + 0 + 
A - 0 + | + 
H - || + 0 - 
Kết luận : 
• m = 0 : bất phương trình ⇔ x ≥ -1 
• m < 0 : bất phương trình ⇔ -1 ≤ x ≤ - 
m
3 
• 0 < m < 3 : bất phương trình ⇔ x ≤ - 
m
3 ∨ x ≥ -1 
• m > 3 : bất phương trình ⇔ x ≤ -1 ∨ x ≥ - 
m
3 
• m = 3 : bất phương trình ⇔ x ∈ R 
Bài 13 
Cho 2f (x) m(m 3)x 2mx 2= + + + 
Định m để bpt : 2f (x) mx> có tập nghiệm là R 
Giải 
Tacó : 2 2m(m 3)x 2mx 2 mx , x R+ + + > ∀ ∈ 
2 2(m 2m)x 2mx 2 0, x R⇔ + + + > ∀ ∈ 
Xét m 0≠ và m 2≠ − : 
 34 
Xét : 
m 0
m 2
=⎡⎢ = −⎣ 
YCĐB
' 0 m(m 4) 0
a 0 m(m 2) 0
∆ + >⎩ ⎩ 
m 4 m 0
m 2 m 0
⎧⇔ ⎨ ⎩
 m 4 m 0 (b) ⇔ 
Kết luận : (a) (b) m 4 m 0 ∨ ⇔ < − ∨ ≥ 
* m 0 : 2 0,= > đúng x R∀ ∈ 
Vậy : m 0= (nhận) (a) 
* 1m 2 : 4x 2 0 x
2
= − − + > ⇔ < (không thỏa) 
Bài 14 
Định m để phương trình sau vô nghiệm : 
2
2
1 1x 2m x 2m 0
xx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 
Giải 
Đặt 
2 2 2 2
2 2
1 1 1t x t x 2 x t 2
x x x
t 2 t 2 t 2
⎧ = + ⇒ = + + ⇒ + = −⎪⎨⎪ ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥⎩
(1)⇔ g(t) = 
2t 2mt 2m 2 0
t 2 t 2 
⎧ − + − =⎪⎨ ≤ − ∨ ≥⎪⎩
Theo YCĐB 
1 2
g 0
2 t t 2
∆ <⎡⇔ ⎢− < ≤ <⎣
g 0 (a)
af ( 2) 0
af (2) 0
(b)' 0
S2 2
2
∆ ⎧⎢⎪⎢ >⎪⇔ ⎪⎢⎨∆ ≥⎢⎪⎢⎪− < <⎢⎪⎢⎩⎣
(a) 2m 2m 2 0 :− + < Vậy m .( )∈∅ α 
 35 
(b) 
2 m Rm 2m 2 0
2m 2 04 4m 2m 2 0
6m 2 04 4m 2m 2 0
2 m 22 m 2
⎧ ∈⎧− + ≥⎪ ⎪− + >− + − >⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ + >+ + − >⎪ ⎪⎪ ⎪− < <− < < ⎩⎩
m R
m 1
1 m 1( )1 3m
3
2 m 2
∈⎧⎪ ⎪⎪− < <⎪⎩
( ) ( )α ∨ β cho ta kết luận : 1 m 1
3
− < < 
Bài 15 
Tìm m lớn nhất để. 
f (x) x(x 2) (x 4) (x 6) m, x R = + + + ≥ ∀ ∈ 
Hướng dẫn giải : 
Ta có : 
2 2f (x) (x 6x) (x 6x 8) m, x R = + + + ≥ ∀ ∈ 
Đặt ẩn phụ 
2T x 6x
T 9
⎧ = +⎪⎨ ≥ −⎪⎩
Vậy f (T) T(T 8) m, T 9= + ≥ ≥ − 2T 8T m, T 9 (*) ⇔ = + ≥ ≥ − 
(*) m Min f(T), T 9 ⇔ ≤ ≥ − m 16⇔ ≤ − 
Vậy : m = -16 
Bài 16 
Xác định các tham số a , b để baxx8 24 ++ ≤ 1 
với mọi x ∈ [ 1,1− ]. 
(Đề Đại Học Ngoại Thương) 
Giải 
Đặt t == x2 , khi x ∈ [ 1,1− ] thì t ∈ [ 0 , 1 ]. Hàm số có dạng : 
y = 8t2 + at + b ; t ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ y’ = 16t + a ; y’ = 0 ⇔ t = 
16
a− 
 36 
* Nếu 
16
a− ≤ 0 , ta có bảng biiến thiên : 
Từ đó : 
Do đó, ta có : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤+ −≥
≥⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤−
−≥ ≤++
7ba
1b
0a
0
16
a
1b
1ba8
* Nếu 0 ≤ 
16
a− ≤ 1 ,ta có bảng biến thiên: 
Do đó , ta có : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−≤ −≤
−≥
≤≤−
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤−≤
−≥+−
≤ ≤++
7ab
1b
1
32
ab
0a16
1
16
a0
1b
32
a
1b
aba8
22
)4(
)3(
)2(
)1(
Trong hệ trục toạ độ 0ab , vẽ đồ thị các hàm số : 
b = 1
32
a 2 − , b = 1 , b = 7a −− 
Từ đồ thị , ta thấy những điểm thoả mãn (1) , (2) ,(3) là phần gạch sọc 
trên hình vẽ ; còn những điểm thoả mãn (4) là nửa mặt phẳng nằm 
phía dưới đường thẳng b = 7a −− .Dễ thấy 2 miền này chỉ có điểm 
chung ( 8− ;1) ⇒ a = 8− ; b = 1 . 
 * Nếu 
16
a− ≥ 1 , ta có bảng biến thiên : 
Ta có : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≥+≤
−≤⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥ −≤++
≤−
9ba
1b
16a
1b
1ba8
0
16
a
 ( vô nghiệm ) 
Bài 17 
Tìm y để bất phưong trình ysin2)ysiny(cosx2x 22 +−+ ≥ 0 
nghiệm đúng với mọi x 
(Đề Đại Học Y Dược TP HCM) 
Giải 
 37 
ysin2)ysiny(cosx2x 22 +−+ ≥ 0 x∀ 
ysin2)ysiny(cos' 22 −−=∆ ≤ 0 
⇔ cos2y – sin2y – 2cosysiny ≤ 0 
⇔ cos2y – sin 2y ≤ 0 ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +π y2
4
cos2 ≤ 0 
⇔ )Zk(2k
2
3y2
4
2k
2
∈π+π≤+π≤π+π 
⇔ )Zk(k
8
5yk
8
∈π+π≤≤π+π . 
Bài 18 
Với giá trị nào của tham số thì ä bất phương trình sau có nghiệm : 
1mm1mx21x 22 −++−+ ≤ 0 
(Đề Đại Học Kinh Tế ) 
Giải 
1mm1mx21x 22 −++−+ ≤ 0 (1) 
Đặt t = x – m ; (1) ⇔ 1mm2)tmt(2t 22 −++++ ≤ 0 (2) 
Đặt f(t) = 1mm2)tmt(2t 22 −++++ 
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ min f(t) ≤ 0 
Trường hợp 1 : t ≥ 0 
f(t) = 1mm2)tmt(2t 22 −++++ 
• Nếu )1m( +− ≤ 0: minf(t) = f(0) 
f(0) ≤ 0 ⇔ 2m2 +m – 1 ≤ 0 ⇔ 
2
1m1 ≤≤− ( thoả m ≥ 1− ) 
• Nếu )1m( +− > 0 : minf(t) = f( m− 1− ) 
f( m− 1− ) ≤ 0 ⇔ m2 – m – 2 ≤ 0 ⇔ 1− ≤ m ≤ 2 (loại) 
Trường hợp 2 : t < 0 
f(t) = t2 + 2(m-1)t + 2m2 + m –1 
Tương tự ta được : min f(t) ≤ 0 ⇔ 
2
1m1 <<− 
Đáp số : 
2
1m1 ≤≤− . 
 38 
Bài 19 
Tìm a để với mọi x : f( x) = 3ax2)2x( 2 ≥−+− 
(Đề Đại Học Y Dược TP HCM) 
Giải 
f( x) = 3ax2)2x( 2 ≥−+− ⇔ ax23)2x( 2 −−≥− 
Đặt g(x) = (m – 2)2 
 h(x) = 3 – 2 ⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤−+ ≥+−=− aax2x23 aax2x232x 
Vẽ đồ thị g(x) = (x – 2)2 và 2 tiếp tuyến song song với hai đường 
thẳng y = 3 – 2x + 2ax ≥ a : 
y = 3 + 2x – 2ax ≤ a 
Có phương trình : y = 2− x + 3 và y = 2x – 5 
Yêu cầu của bài toán được thoả khi : 
 a2− + 3 ≤ 5− hoặc 2a – 5 ≤ 3 ⇔ a ≥ 4 hoặc a ≤ 0. 
Bài 20 
Với các giá trị nào của m thì phươngtrình : mx2 + x + m – 1 = 0 có hai 
nghiệm phân biệt x1 ,x2 thoả mãn : 1x
1
x
1
21
>− 
(Đề Đại Học Dược Hà Nội ) 
Giải 
 Đặt f(x) = mx2 + x + m – 1 
f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 : 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+<<−
≠
⇔⎩⎨
⎧ >−−=∆ ≠
2
21m
2
21
0m
0)1m(m41
0m 
x1 , x2 thoả mãn 1x
1
x
1
21
>− ⇔ ⎩⎨
⎧
≠
−<
0xx
xxxx
21
2121 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
+<<−⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
−−<−
1m
10
291m
10
297
1m
m
1m4
m
1
m
)1m(
22
2
 39 
Vậy m thoả mãn bài ra là : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
+<<−
1m
2
21m
10
297
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI 
Bài 1 
Tìm điều kiện để f(x) > 0 , < 0 , ≥ 0 , ≤ 0 với mọi x thuộc R 
a) Tìm m sao cho f(x) = (m + 1)x2 – 2(m – 2)x + 3m – 3 > 0 ∀x 
b) Tìm m sao cho ( ) 2( ) 2 1 2 4 3 0f x m x x m= − − + − ≤ ∀x 
c) Tìm m sao cho ( ) ( ) 22 1 2 1 0f x m x mx m= + − − + ≥ ∀x 
d) Tìm m sao cho ( ) ( ) ( )21 2 1 3 2 0f x m x m x m= − − + − − < ∀x 
Chú ý : 
Cho f(x) = ax2 + bx + c có tham số 
Để f(x) > 0 ∀x cần xét 2 trường hợp 
TH1 : 
0
0
a b
c
= =⎧⎨ >⎩ TH2 : 
0
0
a >⎧⎨∆ <⎩ 
Bài 2 
Tìm m để 2x2 – 4mx – m2 + 1 > 0 với ∀x thỏa |x| < 1 
Bài 3 
Giải và biện luận các bất phương trình sau : 
1) mx2 + (m + 3)x + 3 ≥0 
2) (m + 1)x2 – 4x + m – 1 > 0 
Bài 4 
Giải các bất phương trình sau : 
a) 3x3 < x2 + x + 1 b) x4 – x2 + 10x < 25 
c) x4 – 5x3 + 8x2 – 10x + 4 2 
Hướng dẫn : 
c ) Chia hai vế cho x2, đặt t = x + 
x
2 ; 2 - 2 < x < 2 + 2 
d) Đặt t = x + 3x
2
51 +=+ 
 40 
Bài 5 
Giảivà biện luận theo tham số m bất phương trình : 
( ) ( )24 2 1 1 0f x x m m x m m= − + + + + < 
Bài 6 
Cho bất phương trình f(x) = x2 + 6x + 7 + m ≤ 0 (1) 
a) Giải và biện kuận (1) 
b) Tìm m sao cho (1) có đúng 1 nghiệm số 
c) Tìm m sao cho (1) có 1 đoạn nghiệm 
d) Tìm m sao cho (1) coÙ 1đoạn nghiệm có chiều daì bằng 1 
Bài 7 
Cho bất phương trình (4m – 3)x2 – 2(m + 1)x – m – 1 ≥ 0 (1) 
a) Giải và biện luận (1) 
b) Tìm m sao cho (1) vô nghiệm , có đúng 1 nghiệm , có 1 đoạn 
nghiệm , có 2 khoảng nghiệm 
c) Tìm m sao cho đoạn nghiệm có chiều daì bằng 2 
Bài 8 
Cho bất phương trình f(x) = (m2 –1 )x2 – (m – 1)x + 2 ≥ 0 (1) 
Tìm m sao cho bpt (1) có nghiệm là 1 đoạn và có chiều daì bằng 1 
Bài 9 
Tìm m để x2 + 2|x – m| + m2 + m – 1 ≤ 0 có nghiệm. 
Bài 10 
Cho 2f (x) (x 1) (x 3) (x 4x 16) m= + + + + ≥ 
Tìm m để bất phương trình 
a. Có tập nghiệm là R 
b. Có nghiệm 
c. Vô nghiệm 
Bài 11 
Xác định m để bất đẳng thức : x2 – 2x + 1 - m2 ≤ 0 
thỏa mãn ∀ , x ∈[ ]2 1 , 
(Đại Học Kiến Trúc) 
 41 
Bài 12 
Cho bất phương trình : x4 – 4x3 + 3x2 + 2x < m (1) 
a) Giải bất phương trình với m = 2. 
b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm. 
Bài 13 
Tìm m để x2 – m(1 + m2)x + m4 0 
Bài 14 
Tìm m để mọi nghiệm của 2x2 – (1 + 3m)x + m2 + m = 0 đều thỏa điều 
kiện : 
x2 – mx – 3m – 1 ≥ 0 
Bài 15 
Cho f(x) = x2 + 6x + 7 + m . Tìm m để f(x) ≤ 0 có đúng một nghiệm . 
Tìm m để f(x) ≤ 0 có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1. 
Bài 16 
Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình sau : 
|x2 + 2x| ≤ |x2 + 3x + 2a| 
Bài 17 
Tìm m để với mọi x thì có : x2 + 2mx + 2|x + m| + 2 > 0 
Bài 18 
Giải và biện luận bất phương trình sau : |x2 + 3x + 2| < m 
Bài 19 
Tìm m để (2m + 2)x2 – 9(16m + 9)x + 6(2m + 1) = 0 có đúng một 
nghiệm trong (0 , 1) 
Bài 20 
Tìm m để 2x2 – 3x + 2m = 0 có một nghiệm khác 0 và gấp 3 lần một 
nghiệm của : 2x2 – x + 2m = 0 
Bài 21 
Tìm m để với mọi x thì : -6 ≤ 
1xx
4mxx2
2
2
+−
−+ ≤ 4 
Bài 22 
Định m để : 2
4x2x
mxx
2
2
≥++
+
 42 
Bài 23 
Định m để : -x2 + 2(m - 1)x - 4m < 0 , ∀x∈R 
Bài 24 
Định m để bất phương trình : (1 - m)x2 + 2mx + (m - 6) ≥ 0 
a) Có nghiệm b) Vô nghiệm 
c) Có duy nhất nghiệm 
Bài 25 
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Giả sử phương trình f(x) = x vô 
nghiệm. Chứng minh phương trình f(f(x)) = x vô nghiệm. 
Bài 26 
Cho f(x) = x2 + 2(sint + cost)x + 1. Tìm x để f(t) ≥ 0 với mọi t ∈ R. Tìm 
t để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R. 
Bài 27 
Tìm m để 25(x2 + y2) + ,xy – (x + y) + 
100
1 ≥ 0 với mọi x ± y = 0 
Bài 28 
Cho 
m
c
1m
b
2m
a ++++ = 0 và m > 0 . 
Chứng minh rằng : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x ∈ (0 ,1) 
Bài 29 
Cho f(x) = ax2 + bx + c thỏa |f(0)| ≤ 1 , |f(±1)| ≤ 1 . 
Tình a , b , c theo f(0) , f(±1). Chứng minh |f(x)| ≤ 
4
5 khi |x| ≤ 1 . 
Bài 30 
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thỏa |f(x)| ≤ 1 khi |x| ≤ 1 . 
Chứng minh |cx2 + bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1. 
Bài 31 
Chứng minh với ∆ABC thì : 
x2 – 2x(cosB + cosC) + 2(1 – cosA) ≥ 0 , ∀x.