Bất đẳng thức và Phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông dụng

BẤT ĐẲNG THỨC
I. Khái niệm bất đẳng thức.
1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b.
+ Nếu a – b là một số dương, tức là a – b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
 Ta có: 
 + Nếu a > b hoặc a = b, ta viết .
 Ta có: 
2. Định nghĩa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số 
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
	 	 " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
	 	 " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu 
	 	 " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu 
được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước : 
+ Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
+ Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 
II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1: 
2. Tính chất 2: 
Hệ quả 1: 
Hệ quả 2: 
3. Tính chất 3: 
4. Tính chất 4: 
Hệ quả 3: 
Hệ quả 4: 
5. Tính chất 5: 
6. Tính chất 6: 
7. Tính chất 7: 
8. Tính chất 8: 
	Hệ quả 5: và 
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :
1. Định nghĩa: 
2. Tính chất : 
3. Với mọi ta có : 	
V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a > 0, b > 0, c > 0. Ta có:
 + 	 + 
 + 	+ 
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy: Với hai số không âm a; b ta có : 
 Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a = b
Tổng quát : Với n số không âm a1,a2,...an ta có 
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Với bốn số thực a,b,x,y ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát : Với hai bộ số và ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 
Với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0
 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông dụng
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương 
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
	Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	1. với mọi số thực a,b,c
	2. với mọi a,b
Ví dụ 2:
 Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b , chứng tỏ rằng: 
2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 
Ví dụ 2: Cho ba số a,b,c . Chứng minh rằng : 
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: 
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 
Ví dụ6: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: thì:
Ví dụ 7: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
 Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx 0
 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi x > 0
 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi 
 Ví dụ 4: Với , chứng minh 
4. Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vectơ và tọa độ 
VD1. Cho a > c, b > c > 0. Chứng minh rằng 
VD2. (K.A.2003) Cho x, y, z là ba số dương và x + y +z . Chứng minh rằng 
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 
	Khi đẳng thức xảy ra?
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x, ta có: 
	Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 3: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 4: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức , chứng minh rằng: