Bài tập Vật lý Lớp 12 - Chủ đề 2: Phương pháp vectơ quay

CHỦ ĐỀ 2
PHƢƠNG PHÁP VECTO QUAY
CHO CÁC ĐẠI LƢỢNG TỨC THỜI TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
PHƢƠNG PHÁP VECTO QUAY CHO CÁC ĐẠI LƢỢNG TỨC THỜI
Nội dung phƣơng pháp vecto quay cho các đại lƣợng tức thời trong dao động điều hòa
+ Ta có thể biểu diễn đại lượng điều hòa quay x1.
Trong đó:
Độ dài của x1 bằng A1.
x1 = A1 cos(wt + j)
bằng một vecto
φ là pha của x1 tại thời điểm t nào đó.
Dễ thấy rằng x1 = A1cosφ.
→ Tương tự như thế, ta cũng có thể biễu diễn hai đại lượng điều hòa bằng vecto quay.

x1 = A1 cos(wt + j1 ) và

x2 = A2 cos(wt + j2 )
+ Trong đó Δφ = φ1 – φ2 là độ lệch pha giữa hai dao động. Với một số trường hợp đặt biệt của Δφ, ta có:
 	Độ lệch pha Δφ	
 	Biễu diễn vecto quay	
Hệ quả
+ Cùng pha Δφ = 2kπ
x1 = x2 hay x1 = A1 A1	A2	x2	A2
+ Ngược pha Dj = (2k +1)p
x1 =- x2 hay x1 =- A1
A1	A2	x2	A2
+ Vuông pha Dj = (2k + 1) p
2
æ x ö2	æ x ö2
ç 1 ÷ + ç 2 ÷ = 1
è A1 ø	è A2 ø
Vận dụng phƣơng pháp vào giải toán:
Từ phương pháp trên, ta rút ra các kết quả đặc biệt cho những trường hợp đơn giản:
+ Với dao động của con lắc lò xo:
æ x ö2

æ v ö2
ì
x2 + ç
æ v ö2
è w ø
÷
ïA =
o	v và x tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau → ç A ÷
+ ç wA ÷
= 1 → í	.
è	ø	è	ø
ï
A2 - x2
ïîv = ±w
æ v ö2	æ a ö2
v và a tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau → ç wA ÷
+ ç w2 A ÷
= 1.
è	ø	è	ø
a	w2A	2
x và a tại thời điểm t bất kì luôn ngược pha nhau →
= -	= -w .
x	A
1 ív
Tại thời điểm t : ìx1
î 1
1 ív
Tại thời điểm t : ìa1
î 1
, tại thời điểm t ta có ìx2
2	ív
î 2
2	ív
, tại thời điểm t ta có ìa2
î 2
→ w=	.
 2	1 
v2 - v2
x2 - x2
1	2
 2	1 
a2 - a2
v2 - v2
1	2
→ w=	.
+ Tương tự như thế, với dao động điều hòa của con lắc đơn, ta cũg có:
s2 + v2 l
g
ì
æ s ö2
v và s tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau → ç	÷
æ v ö2
+ ç	÷
ïS0 =
a2 + v
2
gl
í
= 1 → ï	.
è S0 ø	è wS0 ø
ïa =
æ v ö2
ï 0
î
æ	a	ö2
v và a tại thời điểm t bất kì luôn vuông pha nhau → ç wS ÷ + ç w2S ÷ = 1 .
è	0 ø	è	0 ø
a	w2S	2
s và a tại thời điểm t bất kì luôn ngược pha nhau →
= - 0 = -w .
S0
 2	1 
v2 - v2
s2 - s2
1	2
s
1 ív
Tại thời điểm t : ìs1
î 1
1 ív
Tại thời điểm t : ìa1
î 1
, tại thời điểm t ta có ìs2
2	ív
î 2
2	ív
, tại thời điểm t ta có ìa2
î 2

→ w=	.
 2	1 
a2 - a2
v2 - v2
1	2
→ w=	.
Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2009) Một vật dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + φ). Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là :
A.	+
v2
a2
w4	w2
= A
2
B.	+
v2
a2
2
v2	a2
2
w2	a2
2
w2	w2
= A
C.	+
w2	w4
= A
D.	+	= A
v2	w4
Hƣớng dẫn:
+ Sử dụng công thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha
æ v ö2	æ a ö2
æ v ö2
æ a ö2
v2	a2
ç	÷ + ç	÷

= 1 ↔ ç	÷
+ ç	÷
= 1 hay
+	= A2
è vmax ø	è amax ø
Đáp án C
è wA ø	è w2A ø
w2	w4
Bài tập minh họa 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.	B. 4 cm.	C. 10 cm.	D. 8 cm.
Hƣớng dẫn:
+ Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng

v = v	= wA = 20 cm/s
max
Sử dụng công thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha.
æ v ö2
æ a ö2
æ v ö2
1 æ a ö2
ç wA ÷
+ ç w2 A ÷
= 1→ ç wA ÷
+ w2 ç wA ÷
= 1 → ω = 4 rad/s
è	ø	è	ø	è	ø	è	ø
+ Thay vào biểu thức đầu tiên → A = 5 cm.
Đáp án A
Bài tập minh họa 3: (Quốc gia – 2012) Một con lắc lò xo gồm vật nhẹ có độ cứng 100 N/m và vật nhỏ khối lượng m. Con lắc dao động điều hòa theo phương ngang với chu kì T. Biết ở thời điểm t vật có li độ 5 cm, ở thời điểm t + 0,25T vật có tốc độ 50 cm/s. Giá trị của m bằng
A. 0,5 kg.	B. 1,2 kg.	C. 0,8 kg.	D. 1,0 kg.
Hƣớng dẫn:
+ Biễu diễn vecto quay cho li độ x và vận tốc v của dao động. Lưu ý rằng tại cùng thời điểm t và v và x vuông pha nhau.
→ Vận tốc của vật tại thời điểm t + 0,25T ngược pha với li độ của vật tại thời điểm t.
→ Với hai đại lượng ngược pha, ta có:
vt+0,25
xt
= wA = w = 10 rad/s.
A
+ Khối lượng của vật m = k
w2
Đáp án D
= 100 = 1 kg.
102
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 200 N//m, khối lượng m = 200 g dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm. Tốc độ của con lắc khi qua vị trí có li độ x = 2,5 cm là bao nhiêu?
A. 8,67 m/s.	B. 3,06 m/s.	C. 86,6 m/s.	D. 0,002 m/s.
k
m
200
0, 2
Hƣớng dẫn:
102 - 2,52
+ Tần số góc của dao động w =	=	= 10p rad/s.
A2 - x2
→ Tốc độ của vật tại vị trí có li độ x: v = w
Đáp án B
= 10p
= 306 cm/s = 3,06 m/s.
Câu 6: Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi:
A. Cùng pha với li độ.	B. Sớm pha 0,5π so với li độ.
C. Ngược pha với li độ.	D. Trễ pha 0,5π so với li độ.
Hƣớng dẫn:
+ Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi ngược pha với li độ.
Đáp án C
Câu 7: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là
3
40	cm/s. Lấy p = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là
A. x =	æ	p ö
B.	æ	p ö
6cosç 20t - 6 ÷cm
x = 4cosç 20t + 3 ÷ cm
è	ø	è	ø
C. x =	æ	p ö
D.	æ	p ö
4cosç 20t -	÷cm
3
è	ø
x = 6cosç 20t +	÷ cm
6
è	ø
Hƣớng dẫn:
+ Chu kì của dao động T = Dt = 0,314 s → ω = 20 rad/s
n
x 2 + ç
æ v ö2
è w ø
÷
+ Biên độ dao động của chất điểm A =	= 4 cm
éj = p
+ Tại t = 0 thì x =
ê 0
p
(j ) =	→
3	kết hợp với v
> 0 → j = - p rad
4cos	0	2
ê
êj = -
0	0	3
Đáp án C
ëê 0	3
Câu 8: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k = 10 N/m và vật nặng có khối lượng 100 g, tại thời điểm t li độ và tốc độ của vật nặng lần lượt là 4 cm và 30 cm/s. Chọn gốc tính thế năng tại vị trí cân bằng. Cơ năng của dao động là:
A. 25.10 – 3 J.	B. 125J.	C. 12,5.10 – 3 J.	D. 250 J.
k
m
10
0,1
Hƣớng dẫn:
+ Tần số góc của dao động w =	=	= 10 rad/s.
→ Biên độ dao động A =

= 42
+ 302
102

= 5 cm.
x +
2
v2
w2
→ Cơ năng của dao động E = 0,5kA2 = 0,0125 J.
Đáp án C
Câu 9: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, với phương trình dao động lần lượt là x1 = Acos(ωt + φ1) cm và x2 = Acos(ωt + φ2) cm. Tại thời điểm t1 dao động thứ nhất có li độ x1 = 5 cm, tại thời điểm t2 = t1 + 0,25T chất điểm hai có tốc độ là 10π cm/s. Biết rằng, tại mọi thời điểm, ta luôn có x1v1 + x2 v2 = 0 . Tần số góc của dao động
A. π rad/s	B. 2π rad/s	C. 3π rad/s	D. 10π rad/s
Hƣớng dẫn:
1	2
Từ phương trình x1v1 + x2v2 = 0 → x2 + x2 = C (với C là một hằng số) → hai dao động này vuông pha nhau.
→ Vận tốc của vật tại thời điểm t2 ngược pha với li độ của vật tại thời điểm t1.
→ w = v2 = 2p rad/s.
x1
Đáp án B
Câu 10: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo nhẹ có độ cứng k và vật nhỏ có khối lượng 1 kg. Con lắc dao động
điều hòa với chu kì T. Biết thời điểm t vật có li độ 5 cm, ở thời điểm t + 213 T
4
vật có tốc độ là 50 cm/s. Giá trị của k
bằng
A. 50 N/m	B. 100 N/m	C. 200 N/m	D. 150 N/m.
Hƣớng dẫn:
Ta có Dt = 213T = 53, 25T → hai thời điểm vuông pha nhau.
4
k
m
→ w =	= v2
x1
Đáp án B
→ k = 100 N/m.
Câu 11: Cho hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x1 = Acosωt và x2 = Acos(ωt + 0,25π). Tại thời điểm t1
dao động thứ nhất có li độ x1
= a, đến thời điểm t
2 = t1 +
p
4w dao động thứ hai có li độ x2
= b. Biểu thức nào sau đây là
đúng
A. ab = A2.	B. a2 + b2 = A2	C. b = c	D. A = baω
Hƣớng dẫn:
+ Hai dao động lệch pha nhau 0,25π và hai thời điểm lệch nhau nhau một lượng 0,125T → li độ tương ứng vuông pha nhau → a2 + b2 = A2.
Đáp án B
Câu 12: Một con lắc lò xo, gồm vật nặng có khối lượng m = 100 g đang dao động điều hòa với phương trình li độ x = Acos(wt + j)cm . Tại thời điểm t1 vật có li độ 2 cm, thời điểm t2 = t1 + 0,25T vật có tốc độ 10π cm/s, đến thời
điểm t
3 = t1 + 2
thì tốc độ của vật là 10 3p cm/s. Năng lượng dao động của vật là
T
A. 0,01 J	B. 0,24 J	C. 0,06 J	D. 0,02 J
Hƣớng dẫn:
Tần số góc của dao động w = v2 = 5p rad/s.
x1
2
2	3
+ Kết hợp với v2 + v2 = (wA)2 → A = 2
cm.
→ Năng lượng của dao động E = 0,5mω2A2 = 0,01 J.
Đáp án A
3
2
2
Câu 13: Một vật dao động điều hòa, khi li độ của vật là x1 = -1 cm thì vận tốc của vật là v1 = 5p	cm/s, khi li độ của vật là x2 =	cm thì vận tốc của vật là v2 = 5p	cm/s. Biên độ dao động của vật là
A. 2 cm	B. 3 cm	C. 4 cm	D. 5 cm
 1	2 
v2 - v2
x2 - x2
2	1
Hƣớng dẫn:
Ta có w =	= 5p rad/s.
x2 +
1	ç w ÷
æ v ö
2
 1
è	ø
→ Biên độ dao động của vật A =
Chọn A

= 2 cm.
Câu 14: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 2 cm và chu kì T. Gọi x1, v1 và x2, v2 lần lượt là li độ và vận tốc
của vật tại hai thời điểm t1 và t2 sao cho Δt = t2 – t1 = 0,2 s là khoảng thời gian ngắn nhất để trung bình của vật trong một chu kì là
v1x1 + x2 v2 = 0 . Tốc độ
A. 2 cm/s	B. 30 cm/s	C. 10 cm/s	D. 5 cm/s
Hƣớng dẫn:
Từ điều kiện x1v1 + x2v2 = 0 → hai thời điểm vuông pha nhau. → T = 4Δt = 0,8 s
→ Tốc độ trung bình trong một chu kì vtb
Đáp án C
= 4A = 10 cm/s.
T
Câu 15: Cho hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x1 = A1 cos(wt + j1 )cm , x2 = 6cos(wt + j2 )cm với
j - j = p . Tại thời điểm t dao động thứ nhất có li độ là x = 2 cm, tại thời điểm t = t + 1 s dao động thứ hai có
2	1
4
1
1
2	1
8f
li độ x2 = 3 cm và có tốc độ v2 = 20 cm/s. Tần số góc của dao động có giá trị
A. 10 rad/s	B. 10 3 rad/s
C. 20 rad/s
3
D. 20 rad/s.
Hƣớng dẫn:
Ta có ç 1 ÷ + ç 2 ÷ = 1 → ç	÷ + ç ÷ = 1→ A1 =	cm.
æ x ö2
æ x
ö2
æ 2 ö2
æ 3 ö2
4
è A ø
è A2 ø
è A1 ø
è 6 ø
3
→ Tần số góc của dao động v2 = wA2 Û 20 = w 6	→ w= 20 rad/s.
x1	A1
2
4
3
3
Đáp án C
Câu 16: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T = 1 s. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1 = 3 cm, tại thời điểm t2 = t1 + 0,25 s vật có tốc độ
A. 8π cm/s	B. 4π cm/s	C. 2π cm/s	D. 6π cm/s
Hƣớng dẫn:
+ Hai thời điểm vuông pha → v = ωx = 6π cm/s.
Đáp án D
Câu 17: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T = 4 s. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1 = 3 cm, tại thời điểm t2 = t1 + 1 s vật có li độ x2 = 4 cm. Biên độ dao động của vật
A. 5 cm	B. 4 cm	C. 7 cm	D. 1 cm
x2 + x2
1	2
Hƣớng dẫn:
Hai thời điểm vuông pha nhau, ta có A =
Đáp án A
= 5 cm.
1
1
Câu 18: Một vật có khối lượng m = 100 g dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ) cm. Tại thời điểm t1,
vật đi qua vị trí có li độ x1
= 4 cm, đến thời điểm t
2 = t1 + 4f
vật có li độ x2
= 3 cm. Tại thời điểm t
3 = t1 + 2f
thì vật
đạt tốc độ 6π cm/s. Cơ năng dao động của vật là
A. 5 mJ	B. 4 mJ	C. 7 mJ	D. 1 mJ
Hƣớng dẫn:
x2 + x2
1	2
+ Biên độ dao động của vật A =	= 5 cm.
Tần số góc của dao động w = 6p = 2p rad/s.
3
→ Năng lượng của dao động E = 0,5mω2A2 = 5 mJ.
Đáp án A
Câu 19: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1, tại thời điểm
t2 = t1 + Dt
vật có tốc độ là v2 = ωx1. Giá trị nhỏ nhất của Δt có thể có là
T 6
Hƣớng dẫn:
T 2
T 4
T 8
Với v2 = ωx1 → hai thời điểm vuông pha.
→ Giá trị nhỏ nhất của Δt = 0,25T.
Đáp án C
Câu 20: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(2t + φ) cm . Tại thời điểm t1 vật có vận tốc là v1 = 5 cm/s; tại thời điểm t2 = t ... ao động thứ nhất sớm pha hơn, ta dễ dàng xác định được x2 = 9,6cm
Đáp án D
3
3
2
Câu 22: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, tại các thời điểm t1, t2 vận tốc và gia tốc của vật tương ứng có
1
3
giá trị là v1
= 10
cm/s, a1
= -1 m/s2, v
= -10
cm/s và a2
=-	m/s2 . Li độ x2 ở thời điểm t2 là:
3
A. 3 cm.	B.
cm.	C. 1 cm.	D.
cm.
Hƣớng dẫn:
+ Áp dụng hệ thức độc lập thời gian giữa vận tốc và gia tốc, ta có:
ìæ v ö2	æ a	ö
ìæ 10 3 ö2
æ -100 ö2
ïç 1 ÷
+ ç 1 ÷ = 1
ïç wA ÷
+ ç w2 A ÷ = 1
ïè wA ø	è w2 A ø
í	2
ïç	ø	è	ø
2	2
ìw= 10
→ íA = 2
→ ïè
í
ïæ v2 ö
+ æ a2
ö = 1
ïæ -10 ö + æ - 3.100 ö = 1	î
ïç wA ÷	ç w2 A ÷
ïç	÷	ç	2	÷
îè	ø	è	ø
ïîè wA ø	è	w A	ø
A2 - ç
æ v2 ö2
è w ø
÷
22 - ç
æ -10 ö2
è 10 ø
÷
= 3 cm.
+ Li độ x2 của vật tại thời điểm t2: x2 =	=
Đáp án B
Câu 23: Hai điểm sáng dao động điều hòa trên một đường thẳng có cùng vị trí cân bằng, cùng biên độ có tần số f1 = 2
Hz; f2 = 4 Hz. Khi chúng có tốc độ v1 và v2 với v2 = 2v1 thì tỉ số độ lớn gia tốc tương ứng
a2 bằng
a1
A. 2.	B. 0,5.	C. 0,25.	D. 4.
Hƣớng dẫn:
w2
2
A2 - ç 2 ÷
æ v
ö2
è w2 ø
w2
æ v ö2
1
A2 - ç 1 ÷
è w ø
1
+ Từ biểu thức độc lập thời gian giữa vận tốc và gia tốc ta thu được:
a = w2
Þ a2 =
¾¾v2 =¾2v1¾® a2 =

w2
æ 2v ö2
2
A2 - ç 1 ÷
è 2w1 ø
w2
1
A2 - ç 1 ÷
æ v ö2
è w ø
1
w2
w
1
= 2 = 4 .
A2 - ç
æ v ö2
è w ø
÷
a1
Đáp án D
w2 =2w1	a1	2
Câu 24: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 2 s. Gốc O trùng vị trí cân bằng. Tại thời điểm t1
vật có li độ
x1, tại thời điểm
t2 = t1 + 0,5 s vận tốc của vật có giá trị là v2 = b. Tại thời điểm
t3 = t2 + 1 s vận tốc của
vật có giá trị v3 = b + 8p cm/s. Li độ x1 có độ lớn gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 4,2 cm.	B. 4,8 cm.	C. 5,5 cm.	D. 3,5 cm.
Hƣớng dẫn:
v2
x1
b
x1
+ Ta để ý rằng, trong dao động điều hòa thì li độ và vận tốc luôn vuông pha nhau.
+ Hai thời điểm t1
và t2
vuông pha nhau do vậy v2
sẽ ngược pha với x1, ta có
=	= w = p rad.
Tương tự, thời điểm t3

ngược pha với t2

nên ta có

= 1 Û
= 1 Þ b + 8p = -1 Þ b = -4p .
b + 8p
b
b
v3 v2
Thay vào biểu thức trên ta tìm được
Đáp án A
x1 = 4 cm.
Câu 25: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang, lúc li độ của vật bằng 10% biên độ dao động thì tốc độ bằng bao nhiêu phần trăm tốc độ cực đại?
A. 99,5%.	B. 91,9%.	C. 90,0%.	D. 89,9%.
Hƣớng dẫn:
1 - ç A ÷
æ x ö2
è	ø
+ Áp dụng hệ thức độc lập cho hai dao động vuông pha, ta có:
æ x ö2
ç A ÷
æ v ö2
+
ç v	÷
= 1 → v	=
v

= 0,995 .
è	ø	è
max ø
max
Đáp án A
Câu 26: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên cùng một trục tọa độ Ox với phương trình lần lượt là
x1 = A1 coswt và x2 = 2A1 cos(wt + p) , tại thời điểm t ta có:
A. 4x2 + x2 = 4A2.
B. 2x1 = x2.	C. 2x = -x .	D. x = -x .
1	2	1
Hƣớng dẫn:
1	2	1	2
+ Với hai dao động ngược pha ta luôn có
x1 = - A1 = - 1 → 2x = -x .
1	2
Đáp án C
x2	A2	2
Câu 27: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình x = Acos(wt + j) . Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc
của vật. Đặt m = 1
w2
. Hệ thức đúng là:
A. A2 = m2 (v2 + ma2 ).
Hƣớng dẫn:
B. A2 = m(m v2 + a2 ).
C. A2 = v2 + ma2.
D. A2 = m(v2 + ma2 ).
+ Với hai đại lượng vuông pha, ta có:
æ v ö2	æ a ö2
v2	a2
ç	÷ + ç	÷

= 1→ m
+ m2 	= 1 → A2 = m(v2 + ma2 ).
è wA ø	è w2A ø
Đáp án D
A2	A2
Câu 28: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc ω = π rad/s. Gọi x1 và v1 lần lượt là li độ và
vận tốc của chất điểm tại thời điểm t1; x2
và v2
lần lượt là li độ và vận tốc của chất điểm tại thời điểm
t2 = t1
T .
4
Biết rằng
v1 + v2 = 2p rad/s. Tỉ số giữa thế năng và cơ năng của chất điểm tại thời điểm t1 là
x1	x2
A. 1,8	B. 0,3	C. 2	D. 0,5
Hƣớng dẫn:
A2 - x2
v	v	A2 - x2	A2 - x2
5
+ Ta có v = w
→ 1 + 2 = w 1 + w 2 = 2
rad/s.
æ A ö2
ç x ÷ -1
è 1 ø
x1	x2
→ Biến đổi toán học ta thu được:
x1
æ A ö2
ç x
è 2 ø
÷ -1
+
æ x ö2

æ x ö2
x2
= 2 .

æ x ö2	E

æ x ö2
+ Với hai thời điểm vuông pha, ta luôn có ç 1 ÷
+ ç 2 ÷
= 1, nếu ta đặt
x = ç 1 ÷
= t1 → ç 2 ÷
= 1 - x , thay vào
1 -1 x
phương trình trên.	+
Đáp án D
è A ø	è A ø
1
1 - x
-1
= 2 → x = 0,5
è A ø
E	è A ø
Câu 29: (Lục Nam – 2018) Cho hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt x1 = 2cos(ωt) cm, x2 = 4cos(ωt + π) cm. Ở thời điểm bất kì, ta luôn có:
A. x1 = - v1 = 1 .	B.
x1 = - v1 = - 1 .	C.
x1 = v1 = 1 .	D.
x1 = v1 = - 1 .
x2	v2	2
Hƣớng dẫn:
x2	v2	2
x2	v2	2
x2	v2	2
+ Với hai đại lượng ngược pha, ta luôn có
x1 = v1 = - A1 = - 1 .
Đáp án D
x2	v2	A2	2
v2	x2
Câu 30: (Thiệu Hóa – 2018) Tốc độ và li độ của một chất điểm dao động điều hòa có hệ thức
x tính bằng cm, v tính bằng cm/s. Tốc độ trung bình của chất điểm trong nửa chu kì là
= 1 , trong đó
640	16
A. 0.	B. 32 cm/s.	C. 8 cm/s.	D. 16 cm/s.
Hƣớng dẫn:
+ Từ phương trình trên, ta thu được:
íA = 4
ìvmax = wA = 8p → ω = 2π rad/s → T = 1 s.
î
→ Tốc độ trung bình trong một chu kì vtb
Đáp án D
= 4A = 16 cm/s.
T
Câu 31: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên cùng một trục tọa độ Ox. Tại thời điểm bất kì, vận tốc của các chất điểm lần lượt là v , v với v2 + 2 v2 = 3600 (cm/s)2 . Biết A1 = 8 cm. Giá trị của A2 là
2
2
1	2	1	2
2
A. A2 = 4
Hƣớng dẫn:
cm.	B. A2 = 6
cm.	C. A2 = 2
cm.	D. A2 = 4 cm.
2	2	v2	v2
+ Biến đổi toán học v1 + 2v2 = 1 +
602
2
(30 2 )2
= 1 → hai dao động vuông pha nhau.
v2	v2
ìïwA1 = 60

2
2
A =8
ìïw= 7,5
→ So sánh với phương trình độc lập thời gian
1	+ 2	= 1 → í
¾¾1 ¾®í	.
(wA )2
(wA )2
ïwA
= 30
ïA = 4
Đáp án A
1	1	î	2	î 2
Câu 32: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20
3
cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40
là:
cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm
A. 4 cm.	B. 8 cm.	C. 10 cm.	D. 5 cm. Hướng dẫn:
+ Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng v = vmax = ωA = 20 cm/s.
→ Gia tốc và vận tốc trong dao động điều hòa là vuông pha nhau, ta có công thức độc lập thời gian
æ v ö2
æ a ö2
æ 10 ö2
æ 40 3 ö2
ç wA ÷
+ ç w2A ÷
= 1 Û ç 20 ÷
+ ç 20w ÷
= 1→ ω = 4 rad/s.
è	ø	è	ø	è	ø	è	ø
→ A = 5 cm.
Đáp án D
3
2
3
Câu 33: Một chất điểm dao động điều hòa: Tại thời điểm t1 có li độ 3 cm thì tốc độ là 60	cm/s. Tại thời điểm t2 có
2
2
li độ 3
cm thì tốc độ 60
cm/s. Tại thời điểm t3 có li độ 3
cm thì tốc độ là:
3
A. 60 cm/s	B. 30
Hƣớng dẫn:
cm/s	C. 30 cm/s	D. 30
cm/s
+ Áp dụng hệ thức độc lập thời gian cho li độ và vận tốc, ta có:
ìæ x ö2
æ v ö2
ìæ 3 ö2
æ 60 3 ö2
ïç 1 ÷
+ ç 1 ÷ = 1
ïç A ÷
+ ç wA ÷ = 1
ïè A ø	è wA ø
↔ ïè	ø	è	ø
→ ìA = 6	.
í	2	2
í	2	2
íwA = 120
ïæ x2 ö
+ æ v2 ö = 1
ïæ 3 
ö + æ 60 
ö = 1	î
2
2
ïç A ÷	ç wA ÷
ïç	÷	ç	÷
1 - ç 3 ÷
æ x
ö2
è A ø
1 - ç
æ 3
3 ö2
è	ø
6
÷
îè	ø	è	ø
ïîè A ø	è wA ø
→ Tốc độ tại thời điểm t3: v
Đáp án A
= wA
= 120
= 60 cm/s.
3
Câu 34: Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1 m/s và gia tốc là -10
thì vật có tốc độ là 2 m/s. Phương trình dao động của vật là
m/s2 . Khi đi qua vị trí cân bằng
A. x =
æ
10cosç 20t
- p ö cm .	B. x =
÷
3
æ
20cosç 20t
- p ö cm .
÷
3
è	ø	è	ø
C. x =
æ
20cosç10t
- p ö cm .	D. x =
÷
6
æ
10cosç10t
- p ö cm .
÷
6
è	ø	è	ø
Hƣớng dẫn:
+ Áp dụng hệ thức độc lập thời gian với hai đại lượng vuông pha là vận tốc và gia tốc:
æ v ö2	æ	a	ö2
ç v	÷
+ ç wv
÷ = 1 với vmax là tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng vmax = 2 m/s.
è max ø	è	max ø
æ 1 ö2	æ -10 3 ö2
→ ç 2 ÷ + ç
2w	÷
= 1→ ω = 10 rad/s và A = 20 cm.
è	ø	è	ø
→ x =	æ	- p öcm/s.
20cosç10t	÷
6
è	ø
Đáp án C
Câu 35: Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa, vật nặng có m = 0,3 kg. Gốc thế năng chọn ở vị trí cân bằng, cơ
3
năng của dao động là 24 mJ, tại thời điểm t vận tốc và gia tốc của vật lần lượt là 20 dao động của vật là
cm/s và –400 cm/s2. Biên độ
A. 3 cm	B. 4 cm	C. 1 cm	D. 2 cm
Hƣớng dẫn:
+ Cơ năng của con lắc E =
1 mw2A2
2
→ wA =	2E =
m
2.24.10-3
0,3
= 0, 4 m/s.
→ Áp dụng hệ thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha vận tốc và gia tốc, ta có:
æ v ö2
æ a ö2
æ 20 3 ö2
æ -400 ö2
ç wA ÷
+ ç w2 A ÷
= 1 ↔ ç
40 ÷
+ ç 40w ÷
= 1 → ω = 20 rad/s.
è	ø	è	ø
→ A = 2 cm.
Đáp án D
è	ø	è	ø
Câu 36: Một vật dao động điều hòa với chu kì T, có li độ x, vận tốc v, gia tốc a. Ở thời điểm t1 thì các giá trị đó là x1,
v1, a1; thời điểm t2
thì các giá trị đó là x2, v2, a2. Nếu hai thời điểm này thỏa t
t = m T
2	1	4
, với m là số nguyên dương
lẻ, thì điều nào sau đây sai?
A. x 2 + x 2 = A2.	B. v2 + v2 = v2

.	C. x x

= A2.	D. a2 + a2 = a2	.
1	2
Hƣớng dẫn:
+ Với gia thuyết t

2 - t1
1	2	max	1 2
= m T , m là số nguyên lẻ → hai dao động này vuông pha nhau.
4
1	2	max
Vậy đáp án C là không thõa mãn cho trường hợp hai dao động vuông pha
Đáp án C
Câu 37: Một con lắc đơn dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng. Thời điểm ban đầu vật ở bên trái vị trí cân bằng, dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 0,01 rad, vật được truyền tốc độ π cm/s theo chiều từ trái sang phải. Chọn trục Ox nằm ngang, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương từ trái sang phải. Biết năng lượng dao động của con lắc là 0,1 mJ, khối lượng vật là 100 g, g = π2 = 10 m/s2. Phương trình dao động của vật là
A. s =
2 cosæ pt - 3p ö cm.	B. s = 4cosæ pt - p ö

cm.
ç	4 ÷	ç	4 ÷
è	ø	è	ø
C. s =
2 cosæ pt + 3p ö cm.	D. s = 4cosæ pt + 3p ö cm.
ç	4 ÷	ç	4 ÷
è	ø	è	ø
Hƣớng dẫn:
ï
ì 2	2	v2
s0 = s
+ Áp dụng hệ thức độc lập:
+ w2
→ s2 =
2 + v2
2 → a = a	»
2.10-2 rad.
í
ïE = 1 mw2s2
0	s	2E ms0	0
îï	2	0
1 - mv
2
2E
g
l
Tha α vào biểu thức của năng lượng E = 1 mgla2 → l = 1 m → w =	= p rad/s
0	2	0
+ Tại thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí s =- 2 s theo chiều dương, do vậy j = - 3p , vậy phương trình dao động
2	0	0	4
của con lắc đơn là s = 2 cosæ pt - 3p ö cm.
ç	4 ÷
è	ø
Đáp án A
Câu 38: (Quốc gia – 2012) Một vật dao động điều hòa với tần số góc 5 rad/s. Khi vật đi qua li độ 5 cm thì nó có tốc độ là 25 cm/s. Biên độ giao động của vật là
A. 5,24 cm.	B. 5 2 cm.	C. 5 3 cm.	D. 10 cm.
x2 + ç	= 5 2 cm
æ v ö2
è w ø
÷
+ Sử dụng công thức độc lập thời gian A =
Đáp án B
Câu 39: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 ≈ π2 m/s2. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc v = – 15,7 cm/s. Phương trình dao động của con lắc là:
A. s = 5 2 cosæ pt + p ö cm.	B. s = 5 2 cosæ pt - p ö cm.
ç	4 ÷	ç	4 ÷
÷
÷
è	ø	è	ø
C. s =
æ
5 2 cosç 2
pt + p ö cm.	D. s =
4
æ
5 2 cosç 2
pt - p ö cm.
4
è	ø	è	ø
Hƣớng dẫn:
+ Tần số góc của dao động w = 2p = 2p = p rad/s.
l
g
l
10
T	2
→ Chiều dài con lắc T = 2p	↔ 2 = 2p	→ l = 1 m.
s2 +
æ v
 0 
ö2
0
ç w ÷
è	ø
52 + ç
æ 15, 7 ö2
è	ø
p
÷
ìs = la = 5
2
→ Tại thời điểm ban đầu, ta có í 0	0
→ S =	=
= 5	cm.
îv0
= -15,7	0
+ Mặc khác s
= 5 2 cosj = 5 → j = ± p , kết hợp với v = -wS sin j < 0 → j = p .
0	0	0	4	0	0	0	0	4
→ Phương trình dao động của con lắc s = 5 2 cos æ pt + p ö cm.
ç	4 ÷
è	ø
Đáp án A