Bài tập Phương trình, BPT, HPT, BĐT mũ – logarit (Nguyễn Văn Xá)

Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit 
xa.nguyenvan@gmail.com 
9
9
A. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 
1. Cho PT 2 23 3log x log x 1 2m 1 0.+ + − − = 
a) Giải PT khi m = 2. 
b) Tìm m ñể PT ñã cho có nghiệm trên 31;3 . 
  
2. Tìm m ñể PT sau có nghiệm 
2 21 1 x 1 1 x9 (m 2).3 2m 1 0.+ − + −− + + + = 
3. Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên (0; 1) 
2
2 1
2
4log x log x m 0.− + = 
4. Chứng minh phương trình x 1 xx (x 1)+ = + có 
nghiệm dương duy nhất. 
5. Giải các phương trình sau 
3
2 2
2
8
4 22
2(3x)(27x )
x x 2 x x x
5
2
x 2x 1 x
x x x
x x x
1 11) log (x 3) log (x 1) log 4x.
2 4
2) 16log x 3log x 0.
3) 2 2 3. 4) log (5 4) 1 x.
ln x5) f '(x) 0 khi f (x) . 6) 2 .3 1.
x
12 15 207) 3 4 5 .
5 4 3
8)
− + −
− −
+ + − =
− =
− = − = −
= = =
     
+ + = + +     
     
2 2
2 2
x x x x 2x x x x
x 2x 2x
x x 1 x x
2 4 2
3
1 82
2
x x 1 x x 2
 2 4.2 2 4 0. 9) 3 4 5 .
10) log 2 2log 4 log 8.
11) 4 2 2(2 1)sin(2 y 1) 2 0.
112) 2(log x 1) log x log 0.
4
13) log x 1 log (3 x) log (x 1) 0.
14) 9 10.3 1 0. 15) 
+ −
+
+ − + −
− − + = + =
+ =
− + − + − + =
+ + =
+ − − − − =
− + =
2
2 2
x x
2x x x 2x 4x 2x
x x
2 2
9 3
x x 3x 1 x x x
1 1 1
2 2 2
2co
3 .2 1.
16) 4 2.4 4 0. 17) 3 4.3 3.
18) 1 log (9 6) log (4.3 6).
19) log (x 8) log (x 26) 2 0.
20) 125 50 2 . 21) 8 18 2.27 .
22) log (x 1) log (x 1) log (7 x) 1.
23) 6.9
+
+
=
− + = − = −
+ − = −
+ − + + =
+ = + =
− + + − − =
2 2
2
s x cos x 1 2cos x cos x 1
2cos x cos x 1
13.6
 6.4 0.
− + − +
− +
− +
+ =
x x x x
2 2
2 3
x 16x 4x
2
2 3 2
27 93
x x 1
2 1
2
x x 2x 1
24) 3 2 3x 2. 25) 3 5 6x 2.
26) ln(2x 3) ln(4 x ) l n(2x 3) ln(4 x ) .
27) log x 14.log x 40.log x 0.
1 x 128) log (x 5x 6) log log (x 3) .
2 2
29) log (4 4) x log (2 3).
30) 9 6 2 . 
+
+
+ = + + = +
− + − = − + −
− + =
−
− + = + −
+ = − −
+ =
2 2
3 27
9 81
2
x 25
x x x x 2
2
1 42
2
x x
2 1
2
2
2 2
x
1 log x 1 log x
 31) .
1 log x 1 log x
32) log (125x).log x 1. 
33) 8 3.2 16 0.
134) log (x 1) log (x 5) log (3x 1) .
2
35) log (e 2) log (e 3) 3.
36) log (x 1) 6 log x 1 2 0.
337) log 3
4
− − +
+ +
=
+ +
=
− − =
− − + = +
− + − =
+ − + + =
−
( ) ( )
2 2
27 3
x x
2 2 x
x x x x 2x
x x
2 2
2x 1 x 1
x x x x
4 2
2x 1
3.log x 2 log x.
138) log (4 15.2 27) 2 log 0.
4.2 3
39) 2 4.2 2 4 0.
40) 2 1 2 1 2 2 0.
41) log (2x x 1) log (2x 1) 4.
42) 3.8 4.12 18 2.27 0.
1 143) log (x 1) log x 2.
log 4 2
44)
+ −
− +
+
=
+ + + =
−
− − + =
− + + − =
+ − + − =
+ − − =
− + = + +
2
3 3
3 9x
3
x x 2
x sin(x )
x 4
2
3x 1 2x x
x
3
2 1
2
 log (x 1) log (2x 1) 2.
445) (2 log x) log 3 1.
1 log x
46) e e 2 ln(x 1 x ).
2 147) log 1 x 2 . 48) e tan x.| x |
49) 2 7.2 7.2 2 0.
1 650) 3 log (9x ).
log x x
51) 2 log 2x 2 log (9x 1
−
pi
−
+
− + − =
− − =
−
− = + +
−
= + − =
− + − =
+ = −
+ + − 3x 1) log (3x 1).−= −
2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT 
Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit 
xa.nguyenvan@gmail.com 
10
10
6
2
2 2 2
2x 1 x 1 x x 1
5log (3x)x x x 1 7
2 2
3x 7 2x 3
log (2x) log 6 log (4x )
2 7 2 7
3
52) 5.3 7.3 1 6.3 9 0.
53) 12.3 3.15 5 20. 54) x 36. x 0.
55) log (4x 12x 9) log (6x 23x 21) 4.
56) 4 x 2.3 .
57) log x 2log x 2 log x.log x.
58) log
− − +
+
+ +
− + − + =
+ − = − =
+ + + + + =
− =
+ = +
2
2
2
a 2 a 2
2
2 x 2
2
2 x 2
2 2
4 5
x x 3( ) x 3x 2.
2x 4x 5
59) log x log x log x log x.
60) (log 2x log 2x) log x
x 2
 (log log )log x 2.
2 x
61) log (x x 1).log (x x 1)
+ +
= + +
+ +
+ =
+ +
+ + =
− − + − =
2 2
2 2
2
20
x x 1 x
2 x 3
log 2x log x 2x 1 x 2
x 1 x
3
log x log 3x x x
 log (x x 1).
62) log (9 5.3 ) 4. 63) log (log (9 6)) 1.
64) 3 2 9 2 0. 65) 3 2 3 .
66) log (9 4.3 2) 3x 1.
67) 6.4 13.6 6.9 0. 68) 27 x 30.
68
+
− −
+
= − −
+ = − =
− − + = = +
− − = +
− + = + =
x x
2 2
x x x x x
x x x x( 6 35 ) ( 6 35 )
) log (2 4) x log (2 12) 3.
69) ( 3 8 ) ( 3 8) 6. 70) 3.4 2.9 5.6 .
71) 12. 72)4 6.2 32 0.+ −
+ − = + −
+ + − = + =
+ = − + =
6. Cho phương trình 
2
2 2(x 1).log (x 3) 2m. 2x 2.log (x 3) m 1 0.+ + − + + + + =
a) Giải phương trình khi m = -1. 
b) Tìm m ñể PT có nghiệm trên [ ]1;1 .− 
7. Tìm ñể ñể phương trình sau có nghiệm dương duy 
nhất: x x xm( 5 1) (m 2)( 5 1) (2m 1).2 .+ + + − = + 
8. Cho phương trình x x4 4m.(2 1) 0.− − = 
a) Giải PT khi m = 1. 
b) Tìm m ñể PT có 2 nghiệm trái dấu. 
9. Chứng minh PT x 24 (4x 1) 1+ = có ñúng 3 nghiệm 
thực phân biệt. 
10. Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên [ )32; :+∞ 
2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 m(log x 3).+ − = − 
11. Gải biện luận theo m phương trình 
2 2x 2mx 2 2x 4mx m 2 2a) 5 5 x 2mx m.+ + + + +− = + + 
2x mx m x
x x
b) log m log m log m 0.
c) m 2 m 2 m.
+ + =
+ + − =
12. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 
thoả mãn 1 22 x x 4 :< ≤ < 
2
1 1
2 2
(m 1) log (x 2) (m 5) log (x 2) m 1 0.− − − − − + − = 
13. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 
thoả mãn 2 21 2x x 1:+ > 
2 2 2 2
4 1
2
2log (2x x 2m 4m ) log (x mx 2m ) 0.− + − + + − =
14. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất 
2
5 2 5 2log (x mx m 1) log x 0.+ −+ + + + = 
15. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 
x x 1(m 1).4 (3m 2).2 3m 1 0.++ + − − + = 
B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 
16. Giải các bất phương trình 
2 2
x 2x 1 x
1 1 3 x
2 2
x 1 x x 1
2 3
1 1 2 x 1
2 4
1 3log x log x
2 2
x
1) log (4 4) log (2 3.2 ). 2) log x log 3.
3) 15.2 1 2 1 2 . 4) log x log (x 1).
5) log x 2.log (x 1) log 6 0. 6) log ( 2x) 2.
7) f '(x) 0 khi f (x) x log 2. 8) 2x 2 .
9
+
+ +
+
+ ≥ − >
+ ≥ − + ≤ +
+ − + ≤ − >
≤ = ≥
2 2
x x 2
5 5 5
1 x x x 1 1 x 1 x
2 4
0,5 2 16
2 x x x
1 43
2
x x 1
2 2
4
) log (4 144) 4log 2 1 log (2 1).
10) 8 2 4 2 5. 11) 5 5 24.
12) log x 4log x 2(4 log x ).
13) log x log x 0. 14) 25 15 2.9 .
15) log (2 1) log (2 2) 2.
16) log log
−
+ + + −
+
pi
+ − < + +
+ − + > − >
+ ≤ −
+ > + ≥
− − >
2
2 2
2
2
x 1
x 2x
x x
x x x2x 1
x x x2 2
2 2
x x x x 2
(x 2x x) 0.
2 4x 1617) 4. 18) 9 2.
x 2
1 1 4 2 219) (x 2x 1).( ) 0. 20) 0.
3 4 2 23
log x log (2x 1)21) . 22) 5.4 +2.25 7.10 . 
log (2x 1) log x
23) 8 3.2 16 0. 24) 
−
−
−
− − +
 + − <
  
+ −
> −
−
+ −
− − − ≥ >
− −
+≤ ≤
+
− − ≤ 2x 12log (2 1) x 1.− − ≤ −
Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit 
xa.nguyenvan@gmail.com 
11
11
2
1 5
5
x 12
x 1 x 1
1
2
x
x 3 1 2
3
3 1
3
2
x
25) log (x 6x 8) 2log (x 4) 0.
x 3x 226) log 0. 27) ( 5 2) ( 5 2) .
x
2x 328) log (log (9 72)) 1. 29) log (log ) 0.
x 1
30) 2.log (4x 3) log (2x 3) 2.
x 1 331) ln ln(x x 1) 0. 32) log (
2
−
− +
− + + − <
− + ≥ + ≥ −
+
− ≤ ≥
+
− + + ≤
+
− − + >
2 2
2
5 5
2 2
1 2
2
2x 1 2x 1 x 2
x 3
3
2x 4x 2 2x x 1
2
x 4 2
x x 2
log x log x
x x
x 2) 1.
x 2
1 133) log 2x 3x 1 log (x 1) .
2 2
34) 3 2 5.6 0. 35) log (3x) log x 11.
36) 2 16.2 2 0.
37) (log 8 log x ).log 2x 0.
2.3 238) 5 x 10. 39) 1.
3 2
40) 
+ +
− − − −
+
+
>
+
− + + − ≥
− − ≤ + <
− − ≤
+ ≥
−
+ ≤ ≤
−
2
2
3 1 2
2 3
2 2
2
1 1
2 2
2 x 1 x x x 2 3
xlog (log ( 2log x 1) 3)
2
2
x
x 9 0,7 4
4 x 1 2
logx.(log x logx 3) 0.
41) (x 1)log x (2x 5)log x 6 0.
142) 3 6.3 ( ) .
3
143) ( ) 1.
3
x x44) log (log (3 9)) 1. 45) log log 0.
x 4
46) x 8.e x(x
− − + − −
+ − +
−
+ − ≥
+ + + + ≥
+ >
≥
 +
− ≤ <  + 
− >
2
2 2
x 1
3 2
2 2
2
x 2 2 x
2 1 1 log x 4x x
x 2x x x 2x x 1
x
2 0,5
.e 8).
47) log ( x 3 x 1) 2log x 0.
48) 3x 5x 2 2x
 3 .2x. 3x 5x 2 (2x) .3 .
1 149) ( ) 3.( ) 12. 50) x 32.
3 3
51) 9 7.3 2.
3152) log log (2
16
−
+ +
− − − − −
−
+ − − + ≤
− − + + >
> − − + +
+ > ≤
− ≤
− 2x
2
1 15 5
5 25
) 2. 53)log (2x) 1.
54)log (x 5) 3.log (x 5) 6log (x 5) 2 0.
  ≤ ≥  
− + − + − + ≤
17. Tìm m ñể BPT sau nghiệm ñúng với mọi x: 
x x 1 2
2
m
a) 4 2(m 2).2 m 2m 2 0.
b) log (x 2x m 1) 0.
+
− + + + + >
− + + >
18. Cho bất PT x x 2m.4 (m 1).2 m 1 0.++ − + − > 
a) Giải bất phương trình khi 5m .
6
= 
b) Tìm m ñể bất PT nghiệm ñúng với mọi x. 
19. Giải biện luận theo m bất phương trình 
2 2m m mm m
2
1
2
1
a) log (log x) log (log x) log 2.
2
b) log (x mx 1) 1.
+ ≥
+ + <
20. Tìm m ñể bất phương trình sau nghiệm ñúng với 
( ] [ )x ;0 1; :∀ ∈ −∞ ∪ +∞ 
2 2 2x x x x 1 x xm.4 (m 1).10 25 0.− − + −+ + − > 
21. Cho bất PT x xm.9 4(m 1).3 m 1.+ − + > 
a) Giải BPT khi m = 2. 
b) Tìm m ñể BPT nghiệm ñúng với mọi x. 
22. Tìm tập xác ñịnh của hàm số 
2
5
2
2 (2 x)
a) y 1 log (x 5.x 2).
b) y log (x 2).log 2 2.
:
−
= − +
= + −
23. Tìm m ñể hệ 
3
2 3
2 2
x 1 3x m 0
1 1log x log (x 1) 1
2 3

− − − <


+ − ≤

 có nghiệm. 
24. Tìm m ñể bất PT sau nghiệm ñúng với mọi x 0 :≤ 
x 1 x xm.2 (2m 1).(3 5) (3 5) 0+ + + − + + < 
25. Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm 
2 2
x m x mlog (x 1) log (x x 2).− −− > + − 
26. Tìm x > 1 ñể BPT 22(x x)
m
log (x m 1) 1
+
+ − < nghiệm 
ñúng với mọi 0 m 4.< ≤ 
C. BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 
27. Chứng minh với mọi a > 0 hệ PT sau có nghiệm 
duy nhất 
x ye e ln(1 x) ln(1 y)
.
y x a
 − = + − +

− =
28. Chứng minh HPT sau có nghiệm dương duy nhất 
x
2
y
2
y
e 2007
y 1
.
x
e 2007
x 1

= −
−


= −

−
Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit 
xa.nguyenvan@gmail.com 
12
12
29. Giải các hệ phương trình 
3x 2
2 y 1
x x 1
2 x 1
x
2 5y 4y
x x 2x 2 3 1
1) . 2) .4 2 y y y 2y 2 3 1
2 2
−
+
−
 = −  + − + = + 
 +
=  + − + = + +
y x
x y
4 2
x 4 y 3 0 log xy log y
3) . 4) .
log x log y 0 2 2 3
 − + = = 
 
− = + =  
3 2x y
x
3 2x y
y
log (x 2x 3x 5y) 36 2.3 2
5) . 6) .
log (y 2y 3y 5x) 36 .3 12
 + − − =
− = 
 
+ − − ==  
x y1 4
4
2 2
1log (y x) log 1 2 3.2 2 0y7) . 8) .
y 1 x y 1
x y 25

− − =  − + =
 
− = − − 
+ =
x x x y
2 2
x 2
52
2 log y 2 .log y 5 3 .2 1152
9) . 10) .
log (x y) 24 log y 5
− + + = = 
 
+ =+ =  
x
2 3 y9 3
log (6x 4y) 2x 1 2 y 1
11) . 12) .
log (6y 4x) 23log (9x ) log y 3
 + =− + − =  
  + =
− = 
2 2
2
2 2
4 2
ln(1 x) ln(1 y) y x log (x y ) 513) . 14) .
x 12xy 2y 0 2log x log y 4
+ − + = −  + = 
 
− + = + =  
2 2
2 2
x y x 1
ln(1 x) ln(1 y) x y
15) . 
x 12xy 2y 0
x y y x
16) .
2 2 x y+ −
+ − + = −

− + =
 + = +

− = −
17)
2 2
5 5
9x y 5
.
log (3x y) log (3x y) 1

− =

+ − − =
18) 2 3
2 3
log x 3 5 log y 5
.
3 log x 1 log y 1
 + − =

− − = −
19)
2x y
2x y 22 23.( ) 7.( ) 6
.3 3
log(3x y) log(y x) 4log 2 0
−
−

 + −


− + + − =
20)
x y
2 2
2 2 (y x)(xy 2)
.
x y 2

− = − +

+ =
21) 2x 1 y y 2
ln x ln y (y x)(xy 2011)
.
2 2 (2x y 1)− −
− = − +

− = − −
22) 
x y
2 2
2 2
e e (log y log x)(xy 1)
.
x y 1

− = − +

+ =
23) 
2 2
3 32log (x 16) log (x 16)2 2 24
.3x 1
cos 0
x 4
− − + =

 +
<
 −
D. BẤT ðẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN 
LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ MŨ – LOGARIT 
30. Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng 
a b c a b c
1 1 1 a b c3( ).
3 3 3 3 3 3
+ + ≥ + + 
31. Cho a, b, c dương và thoả mãn a + b = c. CMR: 
a) Nếu x > 1 thì x x xa b c .+ < 
b) Nếu x 
32. So sánh hai số epi và e.pi 
33. Cho a > 0, b > 0, x > y > 0, chứng minh rằng 
x x y y y x(a b ) (a b ) .+ < + 
34. Chứng minh rằng 
11 
sin x cos x 2
3x1 2sin x tan x 2
2
x
2
x
a) 2 2 2 , x .
b) 2 2 2 , x (0; ).
2
x
c) e 1 x , x 0.
2
xd) e cos x 2 x , x .
2
−
+
+ ≥ ∀ ∈
pi
+ ≥ ∀ ∈
> + + ∀ >
+ ≥ + − ∀ ∈
ℝ
ℝ
35. Tìm GTLN, NN của hàm số 
x
a) y 2= trên ñoạn [ ]1;1 .− 
b) y x ln x= trên ñoạn 1 ;1 .
e
 
  
2c) f (x) x ln(1 2x)= − − trên ñoạn [ ]2;0 .− 
d) f (x) x ln x 3= − + trên khoảng ( )0; .+∞ 
2ln x
e) g(x)
x
= trên ñoạn 31;e .   
36. Cho hàm số 
2x 1
2x 1
af (x)
1 a
−
−
=
+
 với a là hằng số 
dương. Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt 
n
1 2 2nA f ( ) f ( ) ... f ( ).
2n 1 2n 1 2n 1
= + + +
+ + +
Chứng minh rằng 
2
n
n 2n 2A ln( ), n *.
2
+ +
> ∀ ∈ℕ 
37. Chứng minh rằng 
2 2a) a ln b b ln a ln a ln b,− > − với 0 < a < b < 1. 
a a b b b ab) (2 2 ) (2 2 ) ,− −+ ≤ + với a b 0.≥ > 
a b c a b cc) 27 27 27 3 3 3 ,+ + ≥ + + với a + b + c = 0.