Bài tập Nhị thức Newton

May 2011 
Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói: ngã, đứng dậy là thành công. 
(Isaac Newton 1642 – 1727) Page 1 
NHỊ THỨC NEWTON 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Trong bài viết này, ta quy ước n,k là các số tự nhiên và 0 , 1k n n   . 
Cho một tập hợp A gồm n phần tử. 
 Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hoán vị. Số các hoán vị của n phần tử là !nP n 
 k phần tử sắp thứ tự của A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số các chỉnh hợp là 
 
!
!
k
n
nA
n k


 (A: Arrangements) 
 k phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số các tổ hợp là 
 
!
! ! !
k
k n
n
A nC
k k n k
 

 (C: Combinations) 
 Công thức nhị thức Newton:   1 1 2 2 2 1 1
0
...
n
n n n n n n n k n k k
n n n n
k
a b a C a b C a b C ab b C a b    

        (1) 
Trong đó: Vế phải (1) là tổng của n + 1 số hạng, số hạng k n k knC a b
 là số hạng thứ k + 1. 
 Các công thức thường dùng: 0 00! 1; 1 nn n nA C C    ; 
k n k
n nC C
 ; 1 11
k k k
n n nC C C
 
  
  0 1 2 21 ...n n nn n n nx C C x C x C x      ; cho x = 1 ta được: 0 1 22 ...n nn n n nC C C C     
   0 1 2 21 ... 1n n n nn n n nx C C x C x C x       ; cho x = 1 ta được  0 1 20 ... 1
n n
n n n nC C C C      
 Trong một số dạng toán tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức, đôi khi ta phải lấy đạo hàm hoặc tích 
phân các đa thức    1 np x x  hoặc    1 np x x x  . Khi đó ta thường phải tính đạo hàm p’(x) và 
tính  ' 1p  hoặc  
b
a
p x dx với một trong hai cận có thể là 0 hoặc 1 . 
BÀI TẬP 
1) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển 
a) 
9
2
12x
x
  
 
 b) 
7
5
12x
x
 
 
 
 c) 
7
3
4
1x
x
 
 
 
 (D04) 
2) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong kt 53
1 nx
x
  
 
 biết rằng  14 3 7 3n nn nC C n    
3) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong kt  2 nx biết rằng:  0 1 1 2 23 3 3 ... 1 2048nn n n nn n n nC C C C       
May 2011 
Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói: ngã, đứng dậy là thành công. 
(Isaac Newton 1642 – 1727) Page 2 
4) Tìm số hạng chứa x4 trong kt
n
2 2x – 
x
 
 
 
, biết rằng: 1 n 1 1 2 2 n 2n n n n n nC C 2C C C C 225
    
5) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển Newton: 
12
4 11 x
x
   
 
 ĐS: 27159 
6) Áp dụng kt của  1002x x chứng minh rằng: 
99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1100C 101C 199C 200C 0
2 2 2 2
                  
       
7) Cho kt  
x 1
3 x 1 2
2
81 log 3 1log 9 7 52 2

    
 
. Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong kt này là 224. 
8) Tìm các số hạng nguyên trong kt  933 2 ĐS: 4536. 
9) Xét kt  9 2 90 1 2 93 2 ...x a a x a x a x      . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số  , 0,1,...,9ia i . 
10) Xét     20 1 21 2 ...
n n
nP x x a a x a x a x       . Biết 
1231 2
0 2 3 ... 22 2 2 2
n
n
a aa aa       . Hãy tìm hệ số 
lớn nhất trong các hệ số  , 0,1,...,ia i n (A08) ĐS: 126720. 
11) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho trong kt  1 nx có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7
5
. 
12) Tính tổng 0 1 21 1 1...
2 3 1
n
n n n nS C C C Cn
    

13) Tính tổng    0 1 22 3 ... 1 1n nn n n nS C C C n C       
14) Tính tổng 1 3 5 2 12 2 2 2
1 1 1 1...
2 4 6 2
n
n n n nS C C C Cn
     (A07) 
15) Khai triển  2 31 nx x x   thành đa thức 20 1 2 ... nna a x a x a x    . Tìm n biết 
0
1024
n
k
k
a

 . 
16) Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng trong dãy số sau: 0 1 2 2323 23 23 23; ; ;...;C C C C . 
17) Giải pt 6 7 8 9 8 23 3 2x x x x xC C C C C     ĐS: x = 15. 
18) Giải bpt 2 2 32
1 6 10
2 x x x
A A C
x
   . 
19) Cho A là 1 tập hợp có 20 phần tử. 
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? 
b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn. ĐS: 524287. 
(ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh – 2001)