Bài tập đường thẳng

BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG
I.Viết phương trình đường thẳng:
–Tìm một vec tơ chỉ phương của đường thẳng 
–Tìm điểm M(x0;y0;z0) của đường thẳng .
–Phương trình tham số của đường thẳng với t ÎR
Nếu Phương trình chính tắc của 
1.Viết phương trình giao tuyến (c) của 2 mp cắt nhau:
(P): A1x +B1y +C1z+D = 0 (Q): A2x +B2y +C2 z+D = 0
Phương pháp :
–Tìm vec tơ pháp tuyến của (P)
– Tìm vec tơ pháp tuyến của (Q)
–Tính 
–Tìm một điểm chung M của (P) và (Q) bằng cách cho một trong 3 biến x ; y ; z một giá trị tùy ý , thay vào (P) và (Q) tính giá trị của 2 biến còn lại.
Thí dụ : Trong không gian Oxy z cho 2 mp(P):2x–y+z+2 = 0 và mp(Q):x+y+2z–1 = 0 .Viết phương trình của giao tuyến (c) của (P) và (Q) .
GIẢI
 là vec tơ pháp tuyến của (P) là vec tơ pháp tuyến của (Q)
.
BÀI TẬP:
Viết phương trình đường thẳng (c) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) sau:
a)(P):2x–y+3z +1 = 0 (Q)x-y+z+5=0 	ĐS:x=4 -2t ; y=9-t z = t 
b)(P): x–3y +z = 0 	 (Q):x+y-z +4 = 0 	ĐS:x = -2+2t ; y = 2t ; z= 2+4t 
c)(P): 3y-z-7=0 	 (Q):3x+3y-2z -17 = 0 	ĐS: x= 1+t ; y= t ;z = -7 +3t
d)(P) : 3x-y+2z-7 = 0	 (Q):x+3y-2z +3 = 0	ĐS: x= -2t ; y= 2 +4t ; z = 9/2 +5t
2.Viết phương trình của đường thẳng đi qua 2 điểm M(x0 ; y0 ; z0) N (x1 ; y1 ; z1)
Phương pháp :
_tính vec tơ 
_
Thí dụ ;Viết phương trình của đường thẳng đi qua 2 điểm M(1 ; 0 ;-3) N(3;-1 ;0)
GIẢI:
BÀI TẬP:
Viết phương trình đương thẳng (d) đi qua 2 điểm sau đây:
a)M(1 ;-2 ;1 ) N(3 ; 1 ;-1 ) DS:x=1+2t ; y =-2+3t ;z =1 – 2t
b)M( 2 ; 3 ;-1) N(1 ; 2; 4) DS:x=2-t ; y = 3 – t ; z = -1 +5t
c)M(1 ; -2 ; 3) N(3 ; 1 ; 4) DS: x= 1+2t ;y = -2 +3t ; z=3 +t
d)M(2 ;-1 ; -2) N(4 ;-1 ; 1) DS: x= 2 +2t ; y =-1 z = -2+3t
3.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng 
_Tìm vecto chỉ phương của 
_Lập luận (d) //(a)=>(d) nhận là vec tơ chỉ phương.
_Viết phương trình tham số của (d) :x=x0 +ta1 ; y =y0 +ta2 ; z=z0 +ta3
Thí dụ: Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua M(1;2;2) và song song với đường thẳng :(a): 
Vec tơ chỉ phương của (a) 
(d)//(a)=>(d) nhận là vec tơ chỉ phương =>(d): x=1+3t ; y = 2+2t ; z= 2-t
Bài tập : 
Viết phương trình của đường thẳng(d) qua A và song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng :
a)A(2 ; 3 ;- 1) (P):x-2y-3z-3=0 (Q): 2x+y –z =5 = 0 DS: x=2+t ; y=3-t ; z= -1 +t
b)A(2 ; 3 ;-5) (P):3x – y +2z – 7 = 0 (Q): x+3y -2z +3 = 0 DS: x=2-2t ;y=3+4t ;z=-5+5t
c)A(2 ; 1 ; -1 ) (P):x+y-z+3=0 (Q):2x-y+5z-4 = 0 DS:x=1+4t ; y = 2-7t ;z = -1-3t
d)A(1;2;-1) (P):x+y-z+3=0 (Q):2x-y+5z-4=0 DS: x = 1+4t ; y= 2-7t ; z = -1-3t
4)Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(x0; y0 ; z0) và vuông góc với (P) :Ax+By +Cz +D=0
Phương pháp :
-Tìm vec tơ pháp tuyến của (P): 
-Lập luận (d) vuông góc với (P) =>(d) nhận là vec tơ chỉ phương 
-(d) : x=x0+tA ; y = y0 +tB ; z =z0 +tC
Thí dụ :Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1 ;-2 ;3) và vuông góc với mp(P):3x-2y+4z-1=0
Vec tơ pháp tuyến của (P) là : 
(d) vuông góc với (P) => (d) nhận là vec tơ chỉ phương 
=> Phương trình tham số của (d) : x= 1 +3t ; y= -2-2t ; z = 3 +4t
Bài tập :
Viết phương trình của (d) đi qua M(x0;y0;z0) và vuông góc với mặt phẳng (P)
a)M(-2 ;0 ;1 ) (P) x-2y+2z-1=0 DS:x=-2+t ; y= -2t ; z= 1+2t
b)M(0 ; 2;3) (P) : 3y +2z -4 = 0 DS: x = 0 ;y =2+3t ; z= 3+2t
c)M(1;2;3) (P)º(Oxy) DS: x= 1 ; y= 2 ;z = 3+t
d)O (P) :7x +4y -3z +1=0 DS: x=7t ;y =4t ;z= -3t
5.Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0 ) và vuông góc với đường thăng (d) và cắt đường thẳng (d):x=x0 +ta1 ; y = y0+ta2; z = z0 +ta3
Phương pháp :
-Tìm vec tơ chỉ phương của (d) 
-Viết phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với (d) {(P) qua M và có vec tơ pháp tuyến 
_Tìm giao điểm B của (d) và (P) .
-Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và B
Thí dụ :Trong không gian Oxyz cho điểm A (-4 ; -2 ; 4) và đường thẳng (d): x=-3+2t ; y = 1-t ;z= -1+4t 
Giải:
Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với (d) => (P) qua A và có vec tơ pháp tuyến là vec tơ chỉ phương của (d) => (P) qua A (-4 ; -2 ; 4) và có vec tơ pháp tuyến =>(P):2(x+4)-1(y+2)+4(z-4)=0 =>(P):2x-y+4z-10=0
Gọi M là giao điểm của (d) và (P) , tọa độ của M là :
(D)qua 2 điểm AM .Vậy (D):x=-4+3t ; y = -2+2t ; z= 4 – t
Bài tập :
Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (a):
a)A(2 ;-1 ; 1) (a):x=3 ; y =2t ; z= 4-2t DS : x=2-t ; y= -1+2t ; z=1+2t
b)A(3 ;-2;1) (a):x = -2+t ; y = 1+2t ; z = -2t DS:x = 3+16t ;y= -2-7t ; z = 1-t
c)A(0 ; 1 ;2) (a): x=1+2t ; y = t z= -1 – t DS : x= 0 ; y = 1 + t ;y=2+t;
d)A(0 ;1 ;-1) (a): x= t ; y= ;z=-t DS:x=13t ; y = 1-28t ; z= -1 +20t.
6.Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp(P):Ax +By +Cz +D = 0 và cắt 2 đường thẳng (d): x=x0 +ta1 ; y = y0 +ta2 ; z =z0 +ta3 và (d’): x=x1 +t’b1 ; y = y1 +t’b2 ; z =z1 +t’b3
Phương pháp :
-Tìm giao điểm A và B của (d) và (d’) với (P).
-Viết phương trình của đường thẳng qua 2 điểm A ; B
Thí dụ:
Trong không gian Oxyz cho mp(P):y+2z = 0 và 2 đường thẳng (d): x=1+2t ; y = t ; z= 4t và (d’): x= 2-t’ ; y = 4+2t’ ; z= 1.Viết phương trình (a) nằm trong (P) và cắt cả 2 đường thẳng (d) và (d’).
GIẢI:
Bài Tập:
Viết phương trình của đường thẳng (a) năm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng (d) ; và (d’)
a)(P):6x+3y-13z+39 = 0 (d):x=1+t ;y=5+2t ;z =1-t (d’):x = 2; y= -3+t’ ; z= 5+2t’
b) (P):2x – 3y +6z -11 = 0 (d):x= 1+2t ; y = -1 +t ;z = 1 (d’):x=4 ;y= -5 +t’ ;z= -2 + 2t’;
c)(P):5x – 4y +2z = 0 (d):x = 2t ; y= 1+t ;z= 2 -2t (d’) : x= 2+t’ ;y = 3 – 3t’ ; z= 1;
d)(P):x – 9y +2z +11 = 0 (d): x= 6+t ; y= -7 -9t ;z = 3+2t (d’): 
7.Cho 2đường thẳng (d): x=x0 +ta1 ; y = y0 +ta2 ; z =z0 +ta3 và (d’): x=x1 +t’b1 ; y = y1 +t’b2 ; z =z1 +t’b3 và điểm M(x3 ;y3 ;z3 ) .Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt cả 2 đường thẳng kia.
Phương pháp:
_Viết phương trình mp(P) đi qua M và đường thẳng (d)
_Viết phương trình mp(Q) đi qua M và đường thẳng (d’)
_Tìm vec tơ pháp tuyến của (P) và (Q)
_Tính 
_Viết phương trình đường thẳng (a) đi qua M và có vec tơ chỉ phương 
_Thử lại Nếu (a) song song (d) hoặc (d’) bài toán vô nghiệm. Nếu (a) không song song với (d) và (d’) thì (a) là đường thẳng cần tìm.
Thí dụ :trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng (d):x=t ;y=-t ;z = -4 -2t và (d’):x=1-3t’ ;y =t’ ; z =2-t’ và điểm M (2 ; 3 ; 1). Viết phương trình của đường thẳng (a) đi qua M và cắt cả 2 đường thẳng (d) và (d’)
GIẢI:
Gọi (P) là mp đi qua M và (d) t = 0=>A(0 ; 0 ;- 4)Î(d)
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M và (d’) t ‘ = 0 =>B(1;0;2)Î(d’) và là vec tơ chỉ phương của (d’)
=>(a) là giao tuyến của (P) và (Q)=>
Bài Tập
Viết phương trình đường thẳng (a) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng (d) và (d’)
1)M(1;1;-2) (d):x=-2+t ;y = -t ;z=-1 +3t (d’):x = -1-2t’ ; y= 1+5t’ ; z = t’ DS: (a) x=1-23t ;y=1-15t;z=-2+26t
2)M(-4 ; -5 ; 3) 
3)M(5 ; 2 ; 5) 
4)M(1 ; -1 ; 1) (d):x=1+2t ; y =t ; z= 3-t (d’):x = -2+t’ ; y= 3 – 2t’ ; z =t’ DS:x = 1-6t ; y = -1 – t ;z=1 +7t
8.Viết phương trình của đường thẳng (a’) là hình chiếu vuông góc của (a): x=x0 +ta1 ; y = y0 +ta2 ; z =z0 +ta3 lên mp(P):Ax+By +Cz +D = 0
Phương pháp:
-Tìm giao điểm A của (a) và (P).
_Tìm B Î(a) 
-Viết phương trình của đường thẳng qua B và vuông góc (P).
_tìm giao điểm B’ của (d) và (P).
_viết phương trình của đường thẳng AB’
Thí dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (a):’Viết phương trình hình chiếu vuông góc (a’) của (a) lên:
a)mpOxy	b)mp(P):2x-3y+z-2=0
GIẢI:
là hình chiếu của B lên mpOxy
b)Gọi A là giao điểm của (a) và mp(P).Tọa độ của A là :
B(1;-1;0)Î(a) .Gọi (d) là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) =>(d):x=1+2t ; y=-1-3t ; z = t;
B’ là giao điểm của (d) và (P)=>tọa độ của B’ là nghiệm của hệ :
(a’) là đường thẳng qua A;B’=>
Bài tập:
Viết phương trình của đường thẳng (a’) là hình chiếu của (a) lên mp(P)
1)(a):	 (P):3x+5y-z-2 = 0 DS:x=8t ; y = -7t ; z =-2-11t
2)(a):x =1+2t ; y ==2+3t ; z = 3+t (P)ºmp(Oyz) DS: (a’) :x = 0;y = =2+3t ; z = 3+t
3)(a): x ==2+t ; y = 7-9t ; z =-2 –t (P):2x – 3y +z – 1 = 0DSLa’):x = 2+t ;y = 1+t ; z = t
4)(a):x= 2t ; y = 1+2t ; z =-2+t (P):2x –y +z+4=0 DS: x=2t ; y = -6 +5t ; z= -2+t
9)Cho 2 đường thẳng (d): x=x0 +ta1 y = y0 +ta2 ;z =z0 +ta3 và (d’): x=x1 +t’b1 y = y1 +t’b2 ; z =z1 +t’b chéo nhau .Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’).
Phương pháp:
-Tìm vec tơ chỉ phương của (a) và b.
- Gọi M,N là 2 điểm thuộc (a) và thuộc (b) =>M(x0+ta1;y0+ta2 ;z0+ta3) và N(x1+t’b1;y1+t’b2 ;z1 +t’b3 )
_MN là đường vuông góc chung của (a) và (b) óGiải hệ pt tìm t và t’
_Tìm M và N ,Viết phương trình đường thẳng MN
Thí dụ:Cho 2 đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’).
GIẢI :
Gọi là vec tơ chỉ phương của (d) và (d’).
MÎ(d)=>M(1 ; -4+2t ; 3+t) N Î(d)=>N(-3u ; 3+2u ; -2)=>
MN là đường vuông góc chung của (d) và (d;) ó
=M((1;-2;4) và N(3 ; 1 ; -2)=>(MN)x=1+2t ; y= -2 +3t ; z=4-6t
BÀI TẬP: 
Viết phương trình đường vuông góc chung (a) của 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’)
1) 
2) 
3) 
4) : 
10.Cho đường thẳng (a): và (P):Ax +By +Cz +D=0. Viết phương trình (a’) đối xứng của (a) qua (P).
Phương pháp:
-Tìm giao điểm A của (a) và (P).
-Lấy điểm B trên (a).Viết phương trình đường thẳng (d) qua B và vuông góc với (P).
-Tìm giao điểm H của (d) và (P).
-Tìm B’ sao cho H là trung điểm của BB’.
_Viết phương trình của đường thẳng AB’
Thí dụ 1: Cho đường thẳng (a): .Viết phương trình đường thẳng (a’) đối xứng của (a) qua mpOyz
GIẢI
Gọi A là giao điểm của (a) và mpOyz=>A(0;-5;7) Xét B(-2;-1;1) H là hình chiếu vuông góc của B lên mpOyz =>H(0;-1;1).Gọi B’ là đối xứng của B qua mpOyz =>H là trung điểm của BB’=>B’(2;-1;1).
Phương trình của (a’) :x=4t ; y= -5 +4t ;z=7-6t
Thí dụ 2:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):x = 5+3t ;y = 5+2t ; z = 2+ t và (P):5x + 3y +4z + 2 = 0.Viết phương trình của đường thẳng (a) đối xứng của đường thẳng (d) qua mpP.
GIẢI 
Gọi A là giao điểm của (d) và (P) =>A(-1 ; 1 ;0).Cho t = 0=>B(5 ; 5 ;2) Î(d).
Gọi (d’) là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) => (d’):x = 5 +5t ; y = 5 +3t ;z = 2+4t;
Gọi H là giao điểm của (d) và (P) =>H(0 ; 2 ;-2) . B’ là điểm đối xứng của B qua (P)=>H là trung điểm của BB’ =>B’(-5 ; -1 ;-6)=>(a):x=-1 – 4t ; y= 1 -2t ; z = -6t
BÀI TẬP :
Viết phương của đường thẳng (a) là đường thẳng đối xứng của (d) qua mp(P) biết:
1)(d):x= 2-t ; y =1+2t ;z = -2t (P)ºOxy ĐS:x=2 – t ; y=1 +2t ; z = 2t
2)(d):x =-2 +t ; y = 7-9t ; z = -2 –t (P):2x – 3y +z -1 = 0 DS: x = -1+7t ; y = -2 -3t ; z = -3 +5t