200 bài toán thể tích

1TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN THỂ TÍCH HÌNH KHƠNG GIAN
Bài 01: Cho lăng trụ tư ù giác đều ABCD.A/B/C/D/ có chiều cao bằng a và góc của hai mặt bên kề nhau phát
xuất tư ø một đỉnh là .
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ .
b) Gọi M, N là trung điểm của BB/ và DD/ , tính góc của mp(AMN) và mặt đáy của lăng trụ .
Bài 02: Cho lăng trụ xiên ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu của C/ trên đáy
(ABC) trùng với O. Cho khoảng cách tư ø O đến CC/ là a và số đo nhị diện cạnh CC/ là 1200.
a) Chư ùng minh mặt bên ABB/A/ là hình chữ nhật.
b) Tính thể tích lăng trụ .
c) Tính góc của mặt bên BCC/B/ và mặt đáy ABC.
Bài 03: Cho hình hộp ABCDA/B/C/D/ có các mặt đều là hình thoi cạnh a. Ba cạnh xuất phát tư ø đỉnh A tạo
với nhau các góc nhọn bằng nhau và bằng  .
a) Chư ùng minh hình chiếu H của A/ trên (ABCD) nằm trên đư ờng chéo AC.
b) Tính thể tích hình hộp .
c) Tính góc của đư ờng chéo CA/ và mặt đáy của hình hộp .
Bài 04: Cho hình lập phư ơng ABCD.A/B/C/D/ có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau là 2
2
a
a) Tính thể tích hình lập phư ơng .
b) Lấy điểm M trên BC. Mặt phẳng MB/D cắt A/D/ tại N. Chư ùng minh MN C/D.
c) Tính góc của hai mặt phẳng (A/BD) với mặt phẳng (ABCD).
Bài 05: Cho hình lập phư ơng ABCD.A/B/C/D/ có đư ờng chéo bằng a
a) Dư ïng và tính đoạn vuông góc chung của hai đư ờng thẳng AC và DC/.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác A/C/ D/ . Mặt phẳng (GCA) cắt hình lập phư ơng theo hình gì. Tính diện
tích của hình này.
c) Điểm M lư u động trên BC. Tìm quỹ tích hình chiếu của A/ lên DM.
Bài 06: Cho lập phư ơng ABCD.A/B/C/D/ cạnh a. Gọi N là điểm giữa của BC.
a) Tính góc và đoạn vuông góc chung giư õa hai đư ờng thẳng AN và BC/ .
b) Điểm M lư u động trên AA/ . Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện giư õa mặt phẳng MBD/ và
hình lập phư ơng .
Bài 07: Cho hình chóp tư ù giác đều S.ABCD có chiều cao SH = a và góc ở đáy của mặt bên là .
a) Tính diên tích xung quanh và thể tích hình chóp này theo a và .
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
c) Điểm M lư u động trên SC. Tìm quỹ tích hình chiếu của S xuống mặt phẳng MAB.
Bài 08: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy a và góc giư õa hai cạnh bên kề nhau là .
a) Tính thể tích hình chóp .
b) Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp trong hình chóp .
c) Tính diện tích của thiết diện giư õa hình chóp và mặt phẳng qua AB và vuông góc với SC.
Bài 09: Đáy của hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền là a và một góc nhọn 600. Mặt bên qua
cạnh huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt còn lại hợp với đáy góc  .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
2a) Tính thể tích hình chóp này .
b) Một mặt phẳng qua cạnh đáy và cắt cạnh bên đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với 2 và 3 . Tìm tỉ số thể tích
của hai phần của hình chóp do mặt phẳng ấy tạo ra .
Bài 10: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AD = a và hai mặt bên SAB
và SAC vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy một góc và hợp với mặt phẳng SAD góc  .
a) Tính thể tích hình chóp .
b) Tính khoảng cách tư ø A đến mặt (SBC).
Bài 11: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABCvuông tại A và góc C = 600 , bán kính đư ờng tròn nội
tiếp là a. Ba mặt bên của hình chóp đều hợp với đáy góc  .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp .
b) Tính diện tích thiết diện qua cạnh bên SA và đư ờng cao của hình chóp .
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi có góc nhọn A =  . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông
góc với đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc  . Cho SA = a.
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình chóp .
b) Tính góc của SB và mặt phẳng (SAC).
Bài 13: Cho tam giác đều ABC cạnh a trên đư ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng của tam giác tại B và C
lần lư ợt lấy điểm D lư u động và E cố định sao cho CE = a 2 . Đặt BD = x.
a) Tính x để tam giác DAE vuông tại D. Trong trư ờng hợp này tính góc của hai mặt phẳng (DAE) và
(ABC).
b) Giả sư û x = 2
2
a . Tính thể tích hình chóp ABCED.
c) Kẻ CH vuông góc với AD . Tìm quỹ tích của H khi x biến thiên.
Bài 14: Cho hình chóp tư ù giác đều SABCD có cạnh đáy là a. Mặt phẳng qua AB và trung điểm M của SC
hợp với đáy một góc  .
a) Tính thể tích của hình chóp.
b) Gọi I và J là điểm giư õa của AB và BC. Mặt phẳng qua IJ và vuông góc với đáy chia hình chóp thành hai
phần. Tính thể tích của hai phần này .
Bài 15: Lấy điểm C lư u động trên nư ûa đư ờng tròn đư ờng kính AB = 2R và H là hình chiếu của C lên AB.
Gọi I là trung điểm của CH. Trên nư ûa đư ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng của nư ûa đư ờng tròn tại I ta lấy
điểm D sao cho góc ADB bằng 900 . Đặt AH = x.
a) Tính thể tích của tư ù diện DABC theo R vàx . Tính x để thể tích này lớn nhất .
b) Xác định tâm I và tính hình cầu ngoại tiếp tư ù diện AIBD.
c) Chư ùng minh khi C lư u động trên nư ûa đư ờng tròn thì tâm hình cầu ở câu b chạy trên đư ờng thẳng cố định.
Bài 16: Đáy của hình chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền
vuông góc với đáy, mỗi mặt bên còn lại tạo với đáy góc 450.
 a) Chư ùng minh rằng chân đư ờng cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh huyền.
 b) Tính thể tích và diện tích toàn phần hình chóp.
Bài 17: Cho hình lập phư ơng ABCD.A/B/C/D/. Gọi O làgiao điểm các đư ờng chéo của ABCD. Biết OA/ = a.
a) Tính thể tích hình chóp A/.ABD, tư ø đó suy ra khoảng cách tư ø đỉnh A đến mặt phẳng A/BD.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
3b) Chư ùng minh rằng AC/ vuông góc với mặt phẳng A/BD.
Bài 18: Một hình chóp tư ù giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB =  .
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp .
b) Chư ùng minh rằng đư ờng cao hình chóp bằng 2cot 1
2 2
a   .
c) Gọi O là giao điểm các đư ờng chéo của đáy ABCD. Xác định góc  để mặt cầu tâm O đi qua năm điểm
S, A, B, C, D.
Bài 19: Cho hình chóp tư ù giác đều có cạnh bên tạo với đáy góc 600 và cạnh đáy bằng a.
a) Tính thể tích hình chóp.
b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy.
c) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính bán kính mặt cầu đó .
Bài 20: Một lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB/ = a, chân đư ờng vuông góc
hạ tư ø B/ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC .
a) Tính góc giư õa cạnh bên và đáy và tính thể tích của lăng trụ .
b) Chư ùng minh rằng mặt bên AA/C/C là hình chư õ nhật.
Bài 21: Cho hình nĩn cĩ đường cao h. Một mặt phẳng ( α) đi qua đỉnh S của hình nĩn tạo với mặt đáy hình nĩn
một gĩc 600, đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nĩn và cắt mặt đáy của hình nĩn theo dây cung AB, cung AB
cĩ số đo bằng 600. Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 22: Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuơng gĩc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của
khối chĩp A.BCNM.
Bài 22: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với, , AB = a, AD = 2a , SA = a và SA vuơng gĩc
với mặt đáy (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC) vuơng gĩc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 23: Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường trịn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ
diện OO'AB.
Bài 24: Cho hình chĩp S.ABCD đáy hình thang, ABC = BAD, BA = BC = a, AD = 2a, SA = a 2 , SA
 (ABCD). H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuơng và tính khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD).
Bài 25: Cho hình cĩp tam giác đều S.ABC đỉnh S, cĩ độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung
điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuơng gĩc với mặt
phẳng (SBC).
Bài 26: Cho hình tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bài 27: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ độ dài cạnh đáy AB = a, gĩc SAB = α. Tính thể tích hình chĩp
S.ABCD theo a và α.
Bài 28: Hình chĩp S.ABCcĩ SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuơng tại B. Cho BSC = 450, gọi
ASB = α; tìm α để gĩc nhị diện (SC) bằng 600.
Bài 29: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Gọi O1 là tâm của hình vuơng A1B1C1D1. Tính thể tích
khối tứ diện A1B1OD.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
4Bài 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cĩ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên ' = a 3AA . Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của AB và A'B'.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'.
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB').
Bài 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là một tam giác vuơng tại A, AC = b, gĩc C = 600.
Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một gĩc 300.
a. Tính độ dài đoạn AC’.
b. Tính thể tích của khối lăng trụ .
Bài 32: Cho hình chĩp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuơng tại B, cạnh SA vuơng gĩc với đáy, gĩc ACB = 600,
BC = a, SA = 3a . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 33: Cho hình chĩp S.ABC đáy là tam giác ABC vuơng tại A , gĩc ABC = 600, BC = a, SB vuơng gĩc với
mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một gĩc 450. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC.
a. Tính thể tích của hình chĩp S.ABC
b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đĩ.
Bài 34: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng ( α ) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB tương
ứng tại các điểm M, N, P, Q.
a. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 35: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a và SA = SB = SD = a.
a. Tính diện tích tồn phần và thể tích hình chĩp S.ABCD theo a.
b. Tính cosin của gĩc nhị diện (SAB,SAD)
Bài 36: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao
cho: 2SM SN
BM DN
  .
a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số SP
CP
.
b. Tính thể tích hình chĩp S.AMNP theo thể tích V của hình chĩp S.ABCD.
Bài 37: Cho hình chĩp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh cịn lại đều bằng 1.
a. Tính thể tích hình chĩp  ... rªn nưa ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC) t¹i I, lÊy ®iĨm S sao cho gãc ASB = 900.
a) Chøng minh r»ng mỈt ph¼ng (SAB) t¹o víi mỈt ph¼ng (ABC) gãc 600.
b) Cho AH = x. TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn SABC theo R vµ x. T×m vÞ trÝ cđa C ®Ĩ thĨ tÝch ®ã lín nhÊt.
Bài 154: Cho ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R trong mỈt ph¼ng (P) vµ mét ®iĨm M n»m trªn ®­êng trßn ®ã sao
cho gãc MAB b»ng 300. Trªn ®­êng vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (P) t¹i A, lÊy ®iĨm S sao cho SA = 2R. Gäi H vµ K lÇn
l­ỵt lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A trªn SM, SB.
a) Chøng minh r»ng SB vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (KHA).
b) TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn SKHA.
Bài 155: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a. Gäi K lµ trung ®iĨm cđa c¹nh BC vµ I lµ t©m cđa
mỈt bªn CC’D’D.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh lËp ph­¬ng víi mỈt ph¼ng (AIK).
b) TÝnh thĨ tÝch cđa c¸c h×nh ®a diƯn do mỈt ph¼ng (AIK) chia ra trªn h×nh lËp ph­¬ng.
Bài 156: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu S.ABCD. Gäi M, N, P lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh AD, AB, SC.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mỈt ph¼ng (MNP).
b) So s¸nh thĨ tÝch cđa hai khèi ®a diƯn do mỈt ph¼ng (MNP) chia ra trªn h×nh chãp.
Bài 157: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu cã chiỊu cao h vµ c¹nh ®¸y a. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi lËp ph­¬ng cã mét mỈt
n»m trªn ®¸y cđa h×nh chãp vµ 4 ®Ønh n»m trªn 4 c¹nh bªn cđa h×mh chãp ®ã.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
14
Bài 158: Cho h×nh l¨ng trơ tam gi¸c ®Ịu ABC.A1B1C1. Trªn tia A1B1 lÊy ®iĨm M sao cho B1M = 12 A1B1. Qua M
vµ c¸c trung ®iĨm cđa A1C1 vµ B1B dùng mét mỈt ph¼ng. TÝnh tØ sè thĨ tÝch hai phÇn cđa khèi l¨ng trơ do mỈt ph¼ng
nµy chia ra.
Bài 159: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu S.ABCD. Qua A, B vµ trung ®iĨm cđa SC dùng mét mỈt ph¼ng. Tinh tØ sè thĨ
tÝch hai phÇn cđa khèi chãp do mỈt ph¼ng nµy chia ra.
Bài 160: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iĨm M thay ®ỉi trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC)
t¹i A (M kh«ng trïng víi A). Gäi O vµ H theo thø tù lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC vµ MBC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ
thĨ tÝch khèi tø diƯn OHBC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bài 161: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’. ThiÕt diƯn cđa h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi mỈt ph¼ng ®i qua ®Ønh
A, trung ®iĨm cđa c¹nh BC vµ t©m cđa mỈt DCC’D’ chia khèi lËp ph­¬ng thµnh hai phÇn. TÝnh tØ sè thĨ tÝch cđa hai
phÇn ®ã.
Bài 162: Cho h×nh tø diƯn ABCD cã BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gäi H lµ ch©n cđa ®­êng cao h×nh tø diƯn
xuÊt ph¸t tõ A, K lµ ch©n cđa ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng AD. §Ỉt AH = a, HK = b. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø
diƯn ABCD theo a vµ b.
Bài 163: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c c©n víi AB = AC = a vµ gãc BAC b»ng α. C¹nh SA = h cđa
h×nh chãp vu«ng gãc víi ®¸y. LÊy trung ®iĨm P cđa BC vµ c¸c ®iĨm M, N lÇn l­ỵt trªn AB, AC sao cho AM = AN =
AP. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp S.AMPN.
Bài 164: Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC = a), BB’ = CC’ = a lµ hai ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (ABC) vỊ cïng mét phÝa víi mỈt ph¼ng ®ã. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp A.BCC’B’.
Bài 165: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu S.ABCD, ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = SB = SC = SD = a.
a) TÝnh ®­êng cao vµ thĨ tÝch khèi chãp theo a.
b) Gäi M, N, P lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, AD, SC. MỈt ph¼ng (MNP) c¾t SB, SD lÇn l­ỵt t¹i Q, R. So s¸nh
c¸c ®o¹n th¼ng QB, RD víi SB.
c) Chøng minh r»ng mỈt ph¼ng (MNP) chia khèi chãp thµnh hai phÇn cã thĨ tÝch b»ng nhau.
Bài 166: Trong mỈt ph¼ng (P) cho h×nh thoi ABCD víi AB = a , BD = 2
3
a . Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P)
vµ ®i qua giao ®iĨm cđa hai ®­êng chÐo h×nh thoi, lÊy ®iĨm S sao cho SB = a .
a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ASC lµ tam gi¸c vu«ng.
b) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp SABCD.
Bài 167: Cho h×nh tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a . Gäi A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AB, AC, CD, BD.
a) Chøng minh r»ng A’B’C’D’ lµ h×nh vu«ng.
b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo a .
c) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo a nÕu A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ ®iĨm n»m trªn c¹nh
AB, AC, CD, BD sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’ =
4
a
Bài 168: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a, c¹nh bªn SA = 2a vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (ABC). Gäi M vµ N lÇn l­ỵt lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A trªn c¸c ®­êng th¼ng SB vµ SC. TÝnh thĨ tÝch cđa
khèi chãp A.BCMN.
Bài 169: Cho khèi chãp tam gi¸c ®Ịu S.ABC cã chiỊu cao b»ng h vµ gãc ASB b»ng 2 . TÝnh thĨ tÝch khèi chãp.
Bài 170: BiÕt thĨ tÝch khèi hép ABCDA1B1C1D1 b»ng V. TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn ACB1D1.
Bài 171: Cho tø diƯn ®Ịu SABC cã c¹nh lµ a. Dùng ®­êng cao SH
a) Chøng minh SA  BC.
b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp SABC.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
15
Bài 172: Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n AB = AC = a. Mp(SBC) vu«ng gãc víi mp(ABC) vµ
SA = SB = a.
a) CMR tam gi¸c SBC lµ tam gi¸c vu«ng.
b) Cho SC = x.TÝnh thĨ tÝch khèi chãp theo a vµ x.
Bài 173: Cho mét h×nh chãp cã ®¸y lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n cã c¹nh gãc vu«ng b»ng a. MỈt bªn qua c¹nh
huyỊn vu«ng gãc víi ®¸y, hai mỈt bªn cßn l¹i ®Ịu t¹o víi ®¸y gãc 45o
a) CMR h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®Ønh h×nh chãp xuèng ®¸y lµ trung ®iĨm c¹nh huyỊn cđa ®¸y.
b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp.
Bài 174: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu S.ABCD cã c¹nh bªn t¹o víi ®¸y mét gãc 60o vµ c¹nh ®¸y b»ng a. TÝnh thĨ
tÝch cđa khèi chãp.
Bài 175: Cho l¨ng trơ ®Ịu ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 cã diƯn tÝch lµ 3 S vµ hỵp víi mỈt ®¸y gãc 
a) TÝnh thĨ tÝch l¨ng trơ.
b) S kh«ng ®ỉi, cho  thay ®ỉi. TÝnh  ®Ĩ thĨ tÝch l¨ng trơ lín nhÊt.
Bài 176: Cho l¨ng trơ ®Ịu ABCDA1B1C1D1 c¹nh ®¸y a. Gãc gi÷a ®­êng chÐo AC1 vµ ®¸y lµ 60o . TÝnh thĨ tÝch
khèi l¨ng trơ.
Bài 177: Cho l¨ng trơ ®øng ABCA1B1C1, ®¸y ABC c©n ®Ønh A. Gãc gi÷a AA1 vµ BC1 lµ 30o vµ kho¶ng c¸ch gi÷a
chĩng lµ a. Gãc gi÷a hai mỈt bªn qua AA1 lµ 60o. TÝnh thĨ tÝch l¨ng trơ
Bài 178: Cho l¨ng trơ ABCA1B1C1 ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a. H×nh chiÕu cđa A1 lªn m¨t ph¼ng (ABC) trïng víi
t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.BiÕt gãc BAA1 = 45o. TÝnh thĨ tÝch l¨ng trơ.
Bài 179: Cho h×nh hép ABCDA1B1C1D! cã ®¸y lµ h×nh thoi ABCD c¹nh a, gãc A b»ng 60o. Ch©n ®­êng vu«ng
gãc h¹ tõ B1 xuèng ®¸y ABCD trïng víi giao ®iĨm hai ®­êng chÐo cđa ®¸y. BiÕt BB1 =a
a). TÝnh gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y.
b). TÝnh thĨ tÝch cđa khèi hép.
Bài 180: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA (ABCD) vµ SA = a 2 . Trªn c¹nh
®¸y AD lÊy ®iĨm M thay ®ỉi, ®Ỉt gãc ACM =  . H¹ SN CM. Chøng minh N lu«n thuéc mét ®­êng trßn cè ®Þnh
vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn SACN theo a vµ 
Bài 181: Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 cĩ đáy ABC là một tam giác đêï c¹nh a, ®iĨm A1 c¸ch ®Ịu c¸c ®iĨm
A, B, C. C¹nh AA1 t¹o víi mỈt ph¼ng ®¸y mét gãc 60o.
a) TÝnh thĨ tÝch khèi l¨ng trơ.
b) Chøng minh mỈt bªn BCC1B1 lµ mét h×nh ch÷ nhËt
Bài 182: H×nh l¨ng trơ ®øng ABCA1B1C1 ®¸y ABC lµ mét tam gi¸c vu«ng t¹i A, AC = b, gãc C = 60o. §­êng
chÐo BC1 t¹o víi mp(A A1C1C) mét gãc 30o.
a) TÝnh ®é dµi AC1.
b) TÝnh thĨ tÝch khèi l¨ng trơ.
Bài 183: Cho h×nh l¨ng trơ ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c mỈt bªn ®Ịu lµ h×nh vu«ng c¹nh a . Gäi E , D lµ trung ®iĨm
AC vµ BD . MỈt ph¼ng (ADE) chia khèi l¨ng trơ thµnh hai phÇn tÝnh tØ sè thĨ tÝch hai phÇn.
Bài 184: Cho h×nh chãp tam gi¸c SABC cã SA = x; BC = y; c¸c c¹nh cßn l¹i ®Ịu b»ng 1.
a) TÝnh thĨ tÝch khèi chãp theo x, y.
b) Víi x, y b»ng bao nhiªu th× thĨ tÝch khèi chãp lín nhÊt?
Bài 185: Trong khơng gian cho đoạn OO1 = H và hai nửa đường thẳng Od, O1d1 cùng vuơng gĩc với OO1 và
vuơng gĩc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên O1d1 sao cho ta luơn cĩ OM2+O1N2 =k2 (k cho trước)
a) Chứng minh đoạn MN cĩ độ dài khơng đổi.
b) Xác định vị trí M trên Od và N trên O1d1 sao cho tứ diện OO1MN cĩ thể tích lớn nhất
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
16
Bài 186: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là một tam giác vuơng tại A , AC = b, 060ˆ C .
Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một gĩc 030 .
a. Tính độ dài đoạn AC’ b. Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài 187: Cho h×nh l¨ng trơ ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ mét tam gi¸c ®Ịu c¹nh a vµ ®iĨm A’ c¸ch ®Ịu c¸c ®iĨm A , B ,
C. C¹nh AA’ t¹o víi mỈt ph¼ng ®¸y mét gãc 600. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi l¨ng trơ.
Bài 188: Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Ịu lµ b»ng a ba gãc ë ®Ønh A ®Ịu b»ng 600 . TÝnh
thĨ tÝch khèi hép theo a.
Bài 189: Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a, SA = 2a vµ SA vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (ABC) . Gäi M, N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A trªn SB, SC . TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp A.BCNM.
Bài 190: Cho hình chĩp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuơng tại B, cạnh SA vuơng gĩc với đáy, gĩc ACB =600,
BC = a, 3aSA  . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 191: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n, c¹nh ®¸y BC = a, gãc BAC =  . C¸c c¹nh bªn t¹o
víi ®¸y mét gãc  . TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp.
Bài 192: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh diƯn tÝch b»ng 3 vµ gãc gi÷a hai ®­êng chÐo cđa
®¸y b»ng 600, gãc gi÷a c¸c c¹nh bªn vµ mỈt ®¸y b»ng 450 . TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
Bài 193: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh AB = BC = CD = AD
2
1 , tam gi¸c SBD
lµ tam gi¸c vu«ng n»m trªn mp vu«ng gãc víi ®¸y cã c¸c c¹nh gãc vu«ng SB = 8a, SD = 15a. TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
Bài 194: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O, SA vuơng gĩc với hình chĩp. Cho AB = a,
SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC  (AHK) và tính thể tích hình
chĩp OAHK
Bài 195: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mỈt bªn SAD lµ tam gi¸c ®Ịu vµ n»m trong
mỈt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi M, N, P lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm c¸c c¹nh SB, BC, CD. Chøng minh r»ng AM vu«ng
gãc víi BP vµ thĨ tÝch khèi tø diƯn CMNP.
Bài 196: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a 3 mỈt ph¼ng (SAB )
vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng ®¸y. Gäi M, N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm c¸c c¹nh AB, BC. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.BMDN
vµ tÝnh cosin cđa gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng SM, DN .
Bài 197: Cho h×nh l¨ng trơ ABC .A’B’C’cã ®é dµi c¹nh bªn b»ng 2a, ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A, AB = a, AC =
a 3 vµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®Ønh A’ trªn mỈt ph¼ng (ABC) lµ trung ®iĨm c¹nh B . TÝnh theo a thĨ tÝch khèi
chãp A’ABC vµ tÝnh cosin gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AA’, B’C’.
Bài 198: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB = a , AD = a 2 , SA = a vµ SA vu«ng
gãc víi (ABCD). Gäi M , N lÇn l­ỵt lµ tung ®iĨm cđa AD vµ SC , I lµ giao ®iĨm cđa BM vµ AC.
a, Chøng minh r»ng mỈt ph¼ng (SAC) vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng ( SMB).
b, TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn ANIB.
Bài 199: Cho h×nh l¨ng trơ ®øng ABC .A’B’C’ cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng , AB = BC = a , AA’ = a 2 . Gäi
M lµ trung ®iĨm cđa c¹nh BC . TÝnh theo a thĨ tÝch khèi l¨ng trơ ABC. A’B’C’ vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng
AM, B’C.
Bài 200: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a.
SA vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = 2a , Gäi M , N lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA , SD.
 a/ Chøng minh r»ng BCNM lµ h×nh ch÷ nhËt. b/ TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp SBCNM.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com www.MATHVN.com