Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007 - 2008 đề thi môn: Toán dành cho học sinh các trường thpt không chuyên

Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007 - 2008 đề thi môn: Toán dành cho học sinh các trường thpt không chuyên

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi C1(O; r) là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2(K; R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng: r = căn 1 + h2 - 1/h

b) Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích của hình chóp.

 

doc 3 trang Người đăng haha99 Ngày đăng 09/02/2018 Lượt xem 414Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007 - 2008 đề thi môn: Toán dành cho học sinh các trường thpt không chuyên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
sở gd&đt vĩnh phúc
------------------------
đề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007-2008
đề thi môn: toán
Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
------------------------------------
Bài 1. Giải hệ phương trình: 
Bài 2. Giải phương trình: 
Bài 3. Tìm tất cả các cặp số thực để với mọi xẻR ta có: 
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi C1(O; r) là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2(K; R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD). 
Chứng minh rằng: 
 Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích của hình chóp. 
Bài 5. Cholà một hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn . Chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số sao cho . 
----Hết----
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh ....................................................................................... SBD.......................
sở gd&đt vĩnh phúc
------------------------
kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007-2008
hướng dẫn chấm môn: toán
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
------------------------------------
Bài 1 (2.0 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
ĐK: 
0.25
Lập phương hai vế PT đầu của hệ có: 
0.50
+Với thay vào PT thứ hai của hệ có: 
Đối chiếu ĐK, suy ra là một nghiệm của hệ.
0.50
+Với thay vào PT thứ hai của hệ có: 
Đối chiếu ĐK, suy ra là một nghiệm của hệ.
0.50
Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm như trên.
0.25
Bài 2 (2.5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
ĐK: 
0.25
PT đã cho (1)
0.25
Đặt (2). Từ (1)&(2) suy ra: 
0.50
. Đặt 
0.50
Dễ thấy đồng biến và 
0.50
Thay vào (2) , kết hợp với ĐK suy ra: 
0.25
Vậy PT đã cho có duy nhất họ nghiệm: 
0.25
Bài 3 (1.5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Đặt . Khi đó 
0.50
 . Dễ thấy . Khi đó:
0.50
0.25
Thử lại thấy và thỏa mãn yêu cầu. Vậy có hai cặp số cần tìm.
0.25
Bài 4 (3.0 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
a) Gọi I là tâm ABCD; M, J, N tương ứng là trung điểm DA, AB, BC
Dễ thấy O và K cùng nằm trên đường thẳng SI.
Trong DSMN có: IN = 1 ị ị nửa chu vi DSMN: .
0.25
Dễ thấy r chính là bán kính đường tròn nội tiếp DSMN. Mặt khác có:
 ị (1).
0.25
b) Hình cầu (C2) tiếp xúc cạnh AB tại J, khoảng cách từ K đến mp(ABCD) = r
Suy ra: .
0.25
Gọi E là tiếp điểm của (C2) với SA ị (2)
0.50
Xét 2 trường hợp:
TH1: K ≡ O.
Từ (2) suy ra: (3). 
Mặt khác (4)
0.50
Từ (1), (3), (4) có: , dễ thấy không tồn tại h thỏa mãn.
0.25
TH2: K đối xứng O qua I.
Khi đó có (5).
0.50
Từ (1), (3), (5) có: , giải PT được duy nhất 
0.25
Tính được thể tích của hình chóp bằng: 
0.25
Bài 5 (1.5 điểm):
Nội dung trình bày
Điểm
Đặt là hàm liên tục trên [0; 1]
0.50
Với mỗi số nguyên dương n tính được: (1)
0.25
Do g liên tục, nên từ (1) ị tồn tại và sao cho và (2)
0.25
Từ (2) và g liên tục ị tồn tại nằm giữa và (khi đó ) sao cho: 
 (Đpcm).
0.50
------------------------------

Tài liệu đính kèm:

  • docToan 12(07-08).doc