Vấn đề Hệ phương trình đẳng cấp

 91
Bài 4: 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Dạng: 
f(x,y) a
g(x,y) b
=⎧⎨ =⎩
 với 
2
2
f(tx, ty) t f(x,y)
g(tx,ty) t g(x,y)
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
2. Cách giải: 
* Tìm nghiệm thỏa x = 0 (hay y = 0) 
* với x 0≠ ( hay y 0≠ ), đặt y tx= (hay x ty= ) 
* Đối với hệ 
2 2
2 2
1 1 1 1
ax bxy cy d 0
a x b xy c y d 0
⎧ + + + =⎪⎨ + + + =⎪⎩
Ta có thể khử y2 (hay x2) rồi tính y theo x ( hay x theo y) rồi thay vào 
một trong 2 phương trình của hệ. 
II. CÁC VÍ DỤ: 
Ví dụ 1: 
Cho hệ phương trình: 
2 2
2 2
3x 2xy y 11
x 2xy 3y 17 m
⎧ + + =⎪⎨ + + = +⎪⎩
1. Giải hệ phương trình với m = 0 
2. Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm ? 
(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A) 
Giải 
1. m = 0 : Hệ 
2 2
2 2
3x 2xy y 11
(I)
x 2xy 3y 17
⎧ + + =⎪⇔ ⎨ + + =⎪⎩
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ . 
Đặt y = tx 
Hệ 
2 2 2 2
2 2 2 2
3x 2tx t x 11
(I)
x 2tx 3t x 17
⎧ + + =⎪⇔ ⎨ + + =⎪⎩
2 2
2 2
x (3 2t t ) 11 (1)
x (1 2t 3t ) 17 (2)
⎧ + + =⎪⇔ ⎨ + + =⎪⎩
 92
(1) chia (2): 
2
2
3 2t t 11
171 2t t
+ + =+ +
2 516t 12t 40 0 t 2 t
4
⇔ − − = ⇔ = ∨ = − 
. 2 2t 2 : (2) x .11 11 x 1 x 1= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± y 2x 2⇒ = = ± 
. 25 4 3t : (2) 3x 16 x
4 3
= − ⇔ = ⇔ = ± 5 5 3y x
4 3
⇒ = − = ∓ 
Tóm lại có 4 nghiệm: (1, 2), (-1, -2), 4 3 5 3 4 3 5 3, , ,
3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Đặt 17 + m = k. Hệ 
2 2
2 2
3x 2xy y 11
x 2xy 3y k
⎧ + + =⎪⇔ ⎨ + + =⎪⎩
Đặt y = tx ⇒Hệ: 
2 2
2 2
x (3 2t t ) 11 (4)
x (1 2t 2t ) k (5)
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
2
2
2
(4) 3 2t t 11: (k 33)t 2(k 11)t 3k 11
(5) k1 2t 3t
+ + = ⇔ − + − + − =+ + 
* k = 33: m 16,⇒ = phương trình (6) có nghiệm t = - 2 
* k 33 : (6)≠ có nghiệm: 
2' (k 11) (k 33)(3k 11) 0⇔∆ = − − − − ≥ 2k 44k 121 0= − + ≤ 
22 11 3 k 22 11 3⇔ − ≤ ≤ + 
với k = m + 17. 
22 11 3 m 17 22 11 3
5 11 3 m 5 11 3
⇔ − ≤ + ≤ +
⇔ − ≤ ≤ +
Ví dụ 2: 
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm. 
2
2
xy y 12
x xy m 26
⎧ − =⎪⎨ − = +⎪⎩
Giải 
Hệ 
y(x y) 12 (1)
x(x y) m 26 (2)
− =⎧⇔ ⎨ − = +⎩
 93
(2) chia (1) 
2
(m 26)y(m 26)y xx
1212
y(x y) 12 y (m 14) 144
+⎧+⎧ ==⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪− = + =⎩ ⎩
Vậy hệ có nghiệm khi m 14 0 m 14+ > ⇔ > − . 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
4.1. Định m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
2 2
x mxy y m
x (m 1)xy my m
⎧ + + =⎪⎨ + − + =⎪⎩
4.2. Định m để hệ phương trình: 
3 3 2
3 2 2
1x my (m 1)
2
x mx y xy 1
⎧ − = +⎪⎨⎪ + + =⎩
Có nghiệm và mọi nghiệm đều thỏa: x + y = 0 
4.3. Cho hệ phương trình: 
2 2
2
x 4xy y m
y 3xy 4
⎧ − + =⎪⎨ − =⎪⎩
a. Giải hệ khi m = 1 
b. chứng minh hệ luôn có nghiệm. 
 94
Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt 
4.1. 
2 2
2 2
x mxy y m (1)
x (m 1)xy my m (2)
⎧ + + =⎪⎨ + − + =⎪⎩
(1) – (2) : 2xy (1 m)y 0 y 0 x (m 1)y+ − = ⇔ = ∨ = − 
Hệ phương trình: 2 2 2 2
y 0 x (m 1)y
x mxy y m x mxy y m
= = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨+ + = + + =⎪ ⎪⎩ ⎩
22
2
x (m 1)yy 0
my (4)x m(3)
2m 3m 2
= −⎧=⎧⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨=⎪ ⎪⎩ − +⎩
Hệ đã cho có nghiệm 
(3)co ù nghiệm
m 0
(4)co ù nghiệm
⎡⇔ ⇔ ≥⎢⎣
4.2. Giả sử 0 0(x ,y ) là nghiệm. Từ x + y = 0 ta có: 0 0y x= − 
Thế vào hệ : 
3 2
0
3
0
1x (m 1) (m 1) (1)
2
x (2 m) 1 (2)
⎧ + = +⎪⎨⎪ − =⎩
Vế phải (2)khác 0 ⇒vế trái của (2) cũng khác 0. 
2(1) m 1 1: (m 1) m 0 m 1
(2) 2 m 2
+ = + ⇔ = ∨ = ±− 
Thử lại: 
a/ Với m = 0: hệ cho x và y không thỏa: x + y = 0 m 0⇒ = (loại) 
b/ Với m = - 1: Hệ đã cho trở thành: 
3 3
3 2 2
x y 0
x x y xy 1
⎧ + =⎪⎨ − + =⎪⎩
3 2 2
1xy x 3 3
1x x y xy 1 y
3 3
⎧ =⎪= −⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− + =⎪ ⎪⎩ = −⎪⎩
 thỏa x + y = 0. 
 95
c/ Với m = 1. Hệ trở thành: 
3 3
3 2 2
x y 2
x x y xy 1
⎧ − =⎪⎨ + + =⎪⎩
Đặt y = tx 
3 3
3 2
x (1 t ) 2
x (t t 1) 1
⎧ − =⎪⇒ ⎨ + + =⎪⎩
t 1 2 t 1 y x,⇒ − = − ⇔ = − ⇒ = − 
3x 1 x 1⇒ = ⇔ = x y 0⇒ + = 
Vậy m 1= ± nhận. 
4.3. y = 0 không thỏa phương trình: 2y 3xy 4− = . Đặt x = ty 
Hệ 
2 2
2 2
2
2
2
y (t 4t 1) m
y (t 4t 1) m
4y (1 3t)
y (1 3t) 4
y (1 3t) 4
⎧ − +⎧ =⎪− + =⎪⇔ ⇔ −⎨ ⎨− =⎪ ⎪⎩ − =⎩
a. Với m = 1: ta có hệ: 
2
2
t 4t 1 1 (1)
1 3t 4
y (1 3t) 4 (2)
⎧ − + =⎪ −⎨⎪ − =⎩
(1) cho 1t 3 t
4
= ∨ = 
. 2t 3 : (2) 8y 4VN= ⇔ − = 
. 21 1t : (2) y 4 y 4
4 4
= ⇔ = ⇔ = ± 
x = ty = 1± 
b. Hệ 
2 2
2
4 2
x 4xy 1 m y 4x
3yy 4x
3y 11y (49 9m)y 16 0 (*)
⎧ ⎧+ = −=⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨−⎪ ⎪ − − − =⎩ ⎩
(*) luôn có nghiệm ⇒ĐPCM.