Vấn đề 4: Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

VẤN ĐỀ 4
TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I) Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn :
 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) & có đồ thị là (C):
1)f”(x) < 0, "xỴ(a;b) Þ(C) là đồ thị lồi trên (a;b).
2) f”(x) > 0, "xỴ(a;b) Þ(C) là đồ thị lõm trên (a;b).
3) f”(x) đổi dấu khi x đi qua x0 Þ U(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị (C).
* Chú ý: Tại x0, f”(x0) có thể tồn tại hoặc không tồn tại. 
II) Điều kiện để đồ thị (C): y = f(x) có một số tính chất:
1) (C) luôn luôn lồi (lõm) Û f”(x) 0) trên D.
2) Đồ thị (C) có điểm uốn Û f”(x) đổi dấu trên D.
3) U(x0;f(x0)) là điểm uốn của (C) 
* Chú ý: Nếu tìm được tọa độ điểm uốn thì dùng phương pháp đồng nhất.
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị của hàm số.
Tìm điều kiện để đồ thị của hàm số có các khoảng lồi, lõm và điểm uốn. 
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị của các hàm số sau:
 5) 
 6) 
 7) 
 8) 
Bài 2: Cho hàm số , đồ thị là ( Cm ), m là tham số.
Xác định giá trị của m để hàm số có cực trị.
Xác định giá trị của m để ( Cm ) nhận điểm I(1;2) làm điểm uốn.
Bài 3: CMR đồ thị (C):có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm uốn.
Bài 4: CMR đồ thị (C):có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm uốn.
Bài 5: Tìm a, b để (C): có điểm uốn I(1,-1).
Bài 6: Tìm a, b, c, d để (C): có hai điểm uốn là U1(1;1);U2(3;-7).
Bài 7: Cho hàm số : Xác định a, b, c để đồ thị hàm số có điểm uốn I(0;1) và đạt cực trị tại x=1.
Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số: 
Có hai điểm uốn.
Không có điểm uốn.
Bài 9: Cho hàm số: , a là tham số .
 Tìm a để đồ thị hàm số nhận các điểm sau làm điểm uốn:
U(1;-1).
M(0;-2) 
Bài 10: Cho hàm số (1) với m là tham số.
 Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.
 (ĐH Khối D – 2004)