Vấn đề 4: Các bài toán liên quan đến các đường thẳng và các mặt phẳng

VẤN ĐỀ 4
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐƯỜNG THẲNG &CÁC MẶT PHẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
1) & đồng phẳng
a)(D) cắt (D’) Û Û 
b) (D) //(D’) ÛÛ 
c) (D) º(D’) Û Û 
2) (D) và (D’) chéo nhau Û
3) (D) ^ (D’) Û
II) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
1) cắt 4)
2) // 3)
* Để tìm giao điểm của hai đường thẳng & ta giải hệ gồm hai phương trình của & .
* Để tìm giao điểm của đường thẳng & mặt phẳng ta giải hệ gồm hai phương trình của & 
III) Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng :
+ Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc . + Hình chiếu 
IV) Tìm điểm A’đối xứng A qua mặt phẳng :
+ Tìm hình chiếu H của A lên . + A’ đối xứng A qua H là trung điểm AA’. Từ đó tìm A’.
V) Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng:
+ Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc . + Hình chiếu 
VI) Tìm điểm A’đối xứng A qua đường thẳng :
+ Tìm hình chiếu H của A lên . + A’ đối xứng A qua H là trung điểm AA’. Từ đó tìm A’.
VII)Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (a):
 Gọi D là đường thẳng cần tìm thì D = (a) Ç (b). Trong đó (b) là mặt phẳng chứa d và vuông góc (a)
VIII)Viết phương trình hình chiếu song song của đường thẳng d lên mặt phẳng (a) theo phương D (d và D là hai đường thẳng chéo nhau hay cắt nhau):
 Gọi D là đường thẳng cần tìm thì D = (a) Ç (b). Trong đó (b) là mặt phẳng chứa d và song song D (hay chứa d và D khi d và D cắt nhau)
IX)Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau D và D’ :
*C1: (D và D’ có dạng tham số)
+ Lấy; 
+ MM’là đường vuông góc chung D và D’ & 
+ Tìm M; M’. Đường thẳng MM’ chính là đường vuông góc chung cần tìm.
*C2: (D và D’ có dạng tổng quát)
+Gọi d là đường vuông góc chung của D và D’thì d có VTCP là .
+Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa D và nhận làm VTCP.
+Lập phương trình mặt phẳng (b) chứa D’ và nhận làm VTCP.
+Khi đó d = (a) Ç (b)
*Đặc biệt: Khi D và D’ chéo nhau nhưng vuông góc ta có thể làm như sau:
+Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa D và vuông góc D’.
+Viết phương trình mặt phẳng (b) chứa D’ và vuông góc D.
+ Khi đó đường vuông góc chung d = (a) Ç (b).
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
BÀI TẬP
Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (trong trường hợp chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm):
 và 
 và 
 và 
 và .
Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng (trong trường hợp cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng):
 và : x + 2y + z - 1 = 0.
 và : x + 2y - 4z + 1 = 0.
 và .
Bài 3 : Trong không gian tọa độ cho 3 điểm A(1;4;0) , B(0;2;1) và C(1;0;-4).
Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB. 
Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (a).
Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. (Đề thi TN THPT Kì II 1996-1997)
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;2;3), B(2;0;0), C(0;1;2).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng .
(Đề thi Thử môn Toán của BGD 1996-1997_ Dùng tham khảo cho việc ra đề kiểm tra cuối năm)
Bài 5 :Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;0;-2) , B(0;-4;-4) và mặt phẳng (a) có phương trình 3x – 2y + 6z + 2 = 0.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (a).
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (a).
(Đề thi TN THPT Kì II 1997-1998)
Bài 6 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0), B(1;1;1), C(1/3;1/3;1/3).
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) vuông góc với đường thẳng OC tại C. Chứng minh 3 điểm O,B,C thẳng hàng. 
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng g là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (a).(Đề thi TN THPT 2000-2001)
Bài 7:Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz, cho điểm D(-3;1;2) và mặt phẳng (a) đi qua 3 điểm: A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1; 8).
Viết phương trình đường thẳng AC.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a).(Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)
Bài 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(a):x+ y+ z –1 = 0 và đường thẳng (d): . 
Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt phẳng tọa độ. 
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm tương ứng của đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy. (Đề thi TN THPT 2001-2002)
Bài 9: Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’.
Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song và tính khoảng cách giữa chúng.
Chứng minh AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (AB’D’) và (MNP).
Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B và hai mặt phẳng (A’CD) và (ABB’A‘).
Chứng minh giao điểm của đường chéo A’C với mặt phẳng (AB’D’) là trọng tâm AB’D’.
Bài 10: Cho hai đường thẳng : d: d’: 
Xét vị trí tương đối của d và d’
Tính khoảng cách của d và d’.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và song song d’.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;3;1) đồng thời cắt d và d’.
Bài 11: Cho mặt phẳng (P): và .
Viết phương trình mặt phẳng qua M và song song mặt phẳng (P).
Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P).
Tìm tọa độ điểm N đối xứng M qua mặt phẳng (P).
Bài 12:
Tìm tọa độ hình chiếu của lên đường thẳng (d): .
Tìm tọa độ điểm N đối xứng M qua đường thẳng (d).
Bài 13: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: lên mặt phẳng (P): x – y + 3z + 8 = 0.
Bài 14: Viết phương trình hình chiếu song song của đường thẳng d: theo phương đường thẳng D:
Bài 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng D: và D’:.
Bài 16: Cho hai đường thẳng D:và D’:. Chứng minh D ^ D’. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
 và 
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng .
Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. (ĐH KHỐI A 2002)
Bài 18: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có các cạnh bằng a.
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.(ĐH KHỐI B 2002)
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-y+2 = 0 và đường thẳng dm : (m là tham số). Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). (ĐH KHỐI D 2002)
Bài 20: 
Cho hình lập phương ABCD. A/B/C/D/. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A/C, D].
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B (a;0; 0), D (0;a;0), A/ (0;0;b) (a > 0; b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC/.
Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a và b.
Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A/BD) và (MBD) vuông góc nhau.
(ĐH KHỐI A 2003)
Bài 21: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.(ĐH KHỐI B 2003)
Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng 
dk: 
 Tìm k để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0.
 (ĐH KHỐI D 2003)
Bài 23: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A (2;0; 0), B (0;1;0), S(0;0;). Gọi M là trung điểm cạnh SC.
Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM.
Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. (ĐH KHỐI A 2004)
Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d:. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. (ĐH KHỐI B 2004)