Vấn đề 3: Các bài toán liên quan đến đường thẳng

VẤN ĐỀ 3
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho ; 
 Đặt;; 
 1) 
2) 
3) 
*Chú ý: 
a) 
b) 
c) 
II)Chùm đường thẳng:
Phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng có dạng: 
III) Góc giữa hai đường thẳng:Cho ;
Gọilà góc giữa & thì: 
*Chú ý:
1) 
2) 
IV)Khoảng cách từ điểmđến đường thẳng : 
* Đặc biệt: + +
IV)Khoảng cách từ điểmđến đường thẳng :
* Đặc biệt: 
+
+
V) Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau: ; là: 
*Cách chọn phương trình đường phân giác :
+Phân giác góc nhọn chọn dấu trái dấu với tích + Phân giác góc tù chọn dấu cùng dấu với tích 
VI)Ý nghĩa hình học của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Cho & hai điểm &
M1 và M2 nằm về cùng một phía đối với 
M1 và M2 nằm về hai phía đối với 
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Cho toạ độ ba đỉnh, ba phương trình ba cạnh của tam giác:
Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh, trung tuyến, đường cao, đường trung 
 trực, đường phân giác.
Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Tính các góc trong của tam giác. 
Vận dụng công thức khoảng cách tìm chiều cao của tam giác, chiều cao của hình bình hành, hình thang để tính diện tích của tam giác, hình bình hành, hình thang, tìm chu vi, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
BÀI TẬP
Bài 1: Trên mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-1;2), B(2;1) và C(2;5).
Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của các đường thẳng AB và AC. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC.
Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 (Đề thi TN THPT 1993-1994)
Bài 2: Cho ABC có A(-4;0); B(0;2); C(2;0).
Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Viết phương trình các đường cao của tam giác. Từ đó tìm tọa độ trực tâm của tam giác.
Tìm tọa độ chân đường cao đỉnh A trên cạnh BC của .
Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua cạnh BC.
Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác. Từ đó tìm tọa độ trọng tâm của tam giác.
 Viết phương trình các đường trung trực các cạnh của tam giác . Từ đó tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tính các khoảng cách: d(A;(BC)); d(B;(AC)); d(C;(AB)).
Tính diện tích và chu vi ABC.
Viết phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC.Tìm tọa độ chân các đường phân giác trong và ngoài của góc A trên cạnh BC.
Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC.
Tính các góc của ABC.
Bài 3: Cho ABC với A(5;4); B(2;7); C(-2;-1).
Viết phương trình các cạnh của ABC.
Viết phương trình các đường cao của ABC. Từ đó suy ra tọa độ trực tâm H của tam giác.
Tìm tọa độ chân đường cao D của đường cao đỉnh C trên cạnh AB.
Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác. Từ đó suy ra tọa độ trong tâm G của tam giác.
Viết phương trình các đường trung trực của tam giác. Từ đó suy ra tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tính d(A;(BC)); d(B;(AC)).
Tính .
Viết phương trình tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp ABC.
Bài 4:
Viết phương trình đường thẳng qua A(2;-2) và cách điểm B(3;1) một đoạn bằng 3.
Viết phương trình đường thẳng qua A(2;-2) và cách đều hai điểm B(3;1) và C(3;4).
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(3;1), B(-1;3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y +1 = 0.
Tìm toạ độ của điểm C trên đường thẳng d sao cho ABC là tam giác cân.
Tìm toạ độ của điểm C trên đường thẳng d sao cho ABC vuông tại C.
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng : x+2y-6=0; : x-3y+9=0.
Tính góc tạo bởi và .
Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) tới và.
Viết phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng và.
Bài 7: Cho biết phương trình các cạnh: 
AB: 3x-2y+1 = 0, AC: x-y+1 = 0, BC: .
Viết phương trình đường cao AH.
Viết phương trình đường trung tuyến AM của .
Viết phương trình đường trung bình song song với cạnh BC của .
Viết phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc A của .
Bài 8: Cho hai đường thẳng a: 3x-4y+25=0; b: 15x+8y-41=0.
Viết phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng a và b.
Gọi A; B lần lượt là giao điểm của a và b với trục toạ độ Ox, và I là giao điểm của a và b. Viết phương trình đường phân giác trong của góc AIB.
Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với đường thẳng Ox một góc bằng 600 .
Viết phương trình đường thẳng đi qua I sao cho khoảng cách từ O tới đường thẳng đó bằng .
Bài 9: Cho tam giác ABC biết phương trình của đường thẳng AB là 3x-2y+1 = 0, phương trình của đường thẳng AC là x-y+1 = 0, còn đường trung tuyến đi qua C có phương trình 2x-y-1 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 10: Cho tam giác ABC biết phương trình của đường thẳng AB là x-2y+7 = 0. Hai trung tuyến đi qua A và B lần lượt có phương trình x+y-5 = 0 và 2x+y-11 = 0. Viết phương trình hai cạnh AB và AC. 
Bài 11: Cho tam giác ABC biết toạ độ đỉnh C(1;5), hai đường cao AH và BK lần lượt có phương trình : x+3y-1 = 0 và 2x-y-8 = 0. Tính diện tích tam giác đó.
Bài 12: Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC biết ba cạnh của nó lần lượt có phương trình: (AB) 3x-y+4 = 0; (BC) 2x-y+1 = 0 và (AC) x-2y = 0.
Bài 13: Tam giác ABC có hai cạnh AB và AC lần lượt cho bởi hai phương trình x+3y-1=0; 3x+5y-6=0. Viết phương trình cạnh thứ ba biết rằng trực tâm của tam giác đó là điểm gốc toạ độ O.
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;4); B(2;-1); C(-2;-4).
Viết phương trình các đường cao và tìm toạ độ trực tâm H của tam giác.
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC, toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.Chứng minh rằng .
Đường phân giác trong và ngoài của góc C cắt cạnh AB lần lượt tại M và N. Tìm toạ độ của M và N. Viết phương trình các đường phân giác đó.
Tìm toạ độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm , phương trình đường thẳng AB là x - 2y +2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. (ĐH KHỐI A 2002)