Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác .
• Từng bước đưa về dạng uv hoặc u/v sau đó xét dấu của các hàm số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy được trực tiếp .
• Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc
• Có thể đưa về dạng đối lập .
• Có thể dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào .
• Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của các hàm số thông dụng
• Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm m để bpt có nghiệm trên tập xác định của nó , vô nghiệm ,hoặc có ít nhất nghiệm,
213 VẤN ĐỀ 8 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 214 Vấn đề 8 Bất PhươngTrình Lượng Giác A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác . • Từng bước đưa về dạng uv hoặc v u sau đó xét dấu của các hàm số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy được trực tiếp . • Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc • Có thể đưa về dạng đối lập . • Có thể dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào . • Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của các hàm số thông dụng • Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm m để bpt có nghiệm trên tập xác định của nó , vô nghiệm ,hoặc có ít nhất nghiệm, • Có thể đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán • Có thể áp dụng các bất đẳng thức quan biết như Côsi , Bunhia – cốp xki và các bấtđẳng thức khác .Nhờ đó các bài toán được giải quyết gọn gành và nhanh chóng . • Có thể dùng phương pháp đổi biến số Để giải bất phương trình ta có thể thực hiện các bước sau : - Đặt ẩn số ban đầu x = α(t) (hay t = α(x) , trong đó t được coi là ẩn số mới , α là hàm số liên tục theo t sao cho khi t biến thiên trên tập xác định D1 thì x biến thiên trên toàn bộ tập xác định D của bất phương trình đã cho - Kết hợp tập xác định D và các điều kiện ràng buộc khác để đua ra kết luận về nghiệm theo ẩn số ban đầu 215 Sau đây là một số ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để các bạn có thể tham khảo .. B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNGÏ DẪN GIẢI Bài 1 Giải bất phương trình : sin x ( cos x - 2 1 ) > 0 Giải Ta có : sin 0 (1)1cos 2 sin 0 (2)1cos 2 x x x x ⎡ >⎧⎪⎢⎨⎢ >⎪⎢⎩⎢ <⎧⎢⎪⎢⎨ <⎢⎪⎢⎩⎣ ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ π+π<<+π π+π<<π 2k 3 5x)1k2( 2k 3 x2k Bài 2 Giải bất phương trình : sinx < sin2x(*) Giải (*) ⇔ 2sinxcosx – sinx > 0 ⇔ sinx(2cosx –1 ) > 0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > 2 1cos 0sin x x ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < < 2 1cos 0sin x x ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +<<+ +<< ππππ πππ 2 3 22 2 3 2 lxl kxk (k,l ∈ Z) 216 Bài 3 Giải bất phương trình : cos3x - 3 sin3x ≥ 1 (1) Giải (1) ⇔ 2 13sin 2 33cos 2 1 ≥− xx ⇔ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 3 3cos πx ≥ 2 1 (1) Dựa vào đường tròn lượng giác : (1) ⇔ 3 π− + k2π ≤ 3x + 3 π− ≤ 3 π− + k2π ⇔ 3 2 3 2 9 2 πππ kxk ≤≤+− Bài 4 Giải bất phương trình : 2x2 sinx – 1 ≤ 2sinx(sinx – 1) + cos2x (*) Giải (*) ⇔ 2x2sinx – 1 ≤ 2sin2x – 2sinx + 2 – 2sin2x ⇔ (2x2 + 2)sinx ≤ 2 ⇔ (x2 + 1)sinx ≤ 1 ⇔ sinx ≤ 1 (vì x2 + 1 > 0 ∀x ∈ R) ⇔ x ∈ R Bài 5 Giải bất phương trính : cos2x + 3 sinx.cosx < 1 (1) Giải (1)⇔ cos2x + 3 sin2x < 1 ⇔ sin 2 1 6 2 <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + πx ⇔ πππππ 2 6 13 6 22 6 5 kxk +<+<+ ⇔ ππππ kxk +<+ 3 Bài 6 Giải bất phương trình : cosx + xcos 1 ≥ 2 5 (*) Giải (*) ⇔ 0 cos 1cos 2 5cos2 ≥ +− x x 217 ⇔ ( )( ) x xx cos 1cos22cos −− ≥ 0 ⇔ x x cos 1cos2 − ≤ 0 (do cosx < 2 , ∀x) ⇔ 0 < cosx ≤ 2 1 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < ≥ 0cos 2 1cos x x ⇔ 0 < cosx ≤ 2 1 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +≤<+ +<<+ ππππ ππππ 2 2 52 2 3 2 3 2 2 kxk kxk Bài 7 Giải bất phương trình : x2cos1 x2sin − ≤ 0 (1) Giải (1) ⇔ xsin2 x2sin 2 ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ ) ⇔ cotg x ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ ) ⇔ π+π≤≤π+π kxk 2 loại trừ x = kπ Bài 8 Định m để bất phương trình vô nghiệm : sin (2x - 3 π ) ≥ m - 2 3 Chú ý : • f(x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ max f(x) , x ∈ D • f(x) ≥ m vô nghiệm khi m > max f(x) , x ∈ D Ta có : sin (2x - 3 π ) [ ]1,1−∈ Từ đó suy ra : sin (2x - 3 π ) có max bằng 1 Bất phương trình vô nghiệm ⇔ m - 2 3 > 1 ⇔ m > 1 + 2 3 218 Bài 9 Định m để bất phương trình có nghiệm : sin2x – sinx ≥ m2 – 2m , x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π∈ 4 ,0 Giải Khi x 0, 4 π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ thì ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤ = 2 2t0 xsint Xét f(t) = t2 – t ; f’(t) = 2t – 1 t 0 2 1 2 2 f’(t) 1 _ 0 + 1 f(t) 0 2 21− 4 1− Bảng biến thiên cho ta : maxf(x) = 0 , với x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∈ 2 2,0 Bất phương trình có nghiệm ⇔ m2 – 2m ≤ maxf(x) , ⇔ m2 – 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2. Bài 10 Giải bất phương trình : cos3x.cos3x – sin3x.sinx ≤ 8 5 (1) Giải (1) ⇔ cos3x(4cos3x – 3cosx) – sin3x(3sinx – 4sin3x) ≤ 8 5 ⇔ 4(cos6 + sin6) – 3(sin4x + cos4x) ≤ 8 5 219 ⇔ 4(1 – 3sin2x.cos2x) – 3(1 – 2sin2x.cos2x) ≤ 8 5 ⇔ 1 – 6sin2x.cos2x ≤ 8 5 ⇔ sin22x ≥ 4 1 ⇔ sin2x ≤ - 2 1 ∨ sin2x ≥ 2 1 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +≤≤+ +≤≤+ ππππ ππππ 2 3 222 3 2 3 522 3 4 kxk kxk ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +≤≤+ +≤≤+ ππππ ππππ kxk kxk 36 6 5 3 2 Bài 11 1-\ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình : sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4 sin2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −π 2 x 4 thoả mãn hệ bất phương trình : ⎪⎩ ⎪⎨⎧ −>+ <− x3x 31x 2 2-\ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : f(x) = 5cosx – cos5x trên đoạn ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ππ− 4 ; 4 (Đại học An ninh 2001) Giải 1-\ Ta có : sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4sin2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −π 2 x 4 ⇔ sinxcos4x + 1 – cos4x = 1 - 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −π− x 2 cos1 ⇔ cos4x(sinx – 1) = 2(sinx – 1) ⇔ (sinx – 1) (cos4x – 2) = 0 ⇔ ⎢⎣ ⎡ = = 2x4cos 1xsin ( vô nghiệm) 220 Vậy sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ; k ∈ Z 2 | 1| 3 3 x x x − −⎩ ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >++ −>− <− 03xx 31x 31x 2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −> < 2x 4x ⇔ -2 < x < 4 Điều kiện của bài toán được thoả mãn ⇔ k = 0 Khi đó nghiệm của phương trình : x = 2 π 2-\ Ta có : f(x) = 5cosx – cos5x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ππ−∈ 4 ; 4 f’(x) = -5sinx + 5sin5x f’(x) = 0 ⇔ sin5x = sinx ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∈π+π= π= Zk; 3 k 6 x 2 kx Vì x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ππ−∈ 4 ; 4 , ta thấy x = 0 ; x = 6 π ; x = 6 π Lại có : f”(x) = -5cosx + 25cos5x f”(x) = 20 > 0 f” ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π± 6 = -15 3 < 0. Vậy hàm số f(x) đạt cực đại tại x = ± 6 π và giá trị cực đại là f ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π± 6 = 3 3 Ngoài ra : f 23 4 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π− ; f 23 4 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π Vậy giá trị lớn nhất của f(x) là 3 3 (khi x= ± 6 π ) 221 Bài 12 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm : mxx ≥+ 2sin 2 1sin3 2 (*) Giải (*) ⇔ 3 (1 – cos2x) + sin2x ≥ 2m ⇔ sin ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 3 2 πx ≥ 2 32 −m Để bất phương trình vô nghiệm thì : 2 32 −m > 1 ⇔ m > 2 23 + Bài 13 Giải bất phương trình 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx)(1) Giải (1) ⇔ (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] > 0 Đặt f(x) = (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] • f(x) = 0 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ =−−+ =+ 2 02 2 12 0cossin 2 t tt xx với t = cosx – sinx ⇔ ⎢⎣ ⎡ =− =+ 1sincos 0cossin xx xx ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ =∨= =∨= 2 30 4 7 4 3 π ππ xx xx Do x là hàm số tuần hoàn nên ta chỉ cần xét dấu của f(x) trên [0 ; 2π] Trong 1 chu kỳ [0 ; 2π] nghiệm là : ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ << << ππ ππ 2 4 7 2 3 4 3 x x Vậy nghiệm của bất phương trình là : 222 ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +<<+ +<<+ ππππ ππππ 222 4 7 2 2 32 4 3 kxk kxk (k ∈ Z) Bài 14 Giải bất phương trình : (sinx + cosx)2 ≥ (tgx + cotgx)2 (1) Giải Ta có : ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥+ ≤+ (BCS) 4cot (Cauchy) 2cossin 2 2 gxtgx xx Do vế trái và vế phải hoàn toàn đối lập Vậy (1) vô nghiệm Bạn đọc có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô nghiệm dể dàng . Bài 15 Giải bất phương trình : 4sin3sin 62cossin4 10cossinlog 2 2 5 −+>⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− +− xx xx xx (*) Giải (*) ⇔ 4sin3sin 5sin4sin2 9sinsinlog 22 2 5 −+>⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ ++ xx xx xx (1) Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1) (1) ⇔ 43 542 9log 22 2 5 −+>⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ ++ tt tt tt Đặt a = 2t2 + 4t + 5 ; b = t2 + t + 9 (1) ⇔ ba a b −>⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 5log ⇔ log5a – log5b > a – b • Với a > b ⇒ ⎩⎨ ⎧ >− <− 0 0loglog 55 ba ba ⇒ (1) vô nghiệm • Với a < b ⇔ 2t2 + 4t + 5 < t2 + t + 9 ⇔ -4 < t < 1 223 ⇒ ⎩⎨ ⎧ <− >− 0 0loglog 55 ba ab ⇒ (1) có nghiệm –4 < t < 1 ⇔ -4 < sinx < 1 ⇔ x ∈ R Bài 16 Giải bất phương trình : 2cos2x + 4sinx – cosx ≥ 4 (*) Giải (*)⇔ 2 – 4sin2x + 4sinx – cosx ≥ 4 ⇔ 4sin2x – 4sinx + 1 + cosx + 1 ≤ 0 ⇔ (2sinx – 1)2 + cosx + 1 ≤ 0 (1) mà (2sinx – 1)2 ≥ 0 ; (cosx + 1) ≥ 0 ⇒ vế trái ≥ 0 (1) có nghiệm khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= 2 1sin 1cos x x ⇒ vô nghiệm ⇒ (*) vô nghiệm . Bài 17 Giải bất phương trình : α α αα α 3 3 3 2 2 sin sin28 sin 2 sin sin4 −≤+− (*) Giải Đặt x = αsin 2 với ⏐t⏐ ≥ 2 Bpt (*) ⇔ 21 33 2 −≤+− xxx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤+− ≥ 2 3 3 2111 2 x x xx x (1) Đặt f(x) = VT = 1113 3 +− xx ; f’(x) = ( ) 4 23 2 342 3 2 3 311 2 13111 2 1 x x xxxxxx −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −− < 0 với x ≥ 2 224 g(x) = VP = 2 2 x x − ; g’(x) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + − 3 2 41 22 1 x x x > 0 ⇒ f(x) giảm và g(x) tăng ∀x ≥ 2 Với x = 3 thì f(x) = g(x) Vậy (1) ⇔ x ≥ 3 ⇔ αsin 2 ≥ 3 ⇔ α α sin sin32 − ≥ 0 ⇔ 0 < sinα ≤ 3 2 Bài 18 Giải bất phương trình : 9 cos 1cos sin 1sin 22 ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + x x x x Giải Điều kiện : x ≠ 2 πk VT = 2 cos 1cos2 sin 1sin 2 2 2 2 +++++ x x x x = xx xx 22 22 cossin cossin5 ++ = x2sin 45 2+ Ta có : 0 < sin22x ≤ 1 ⇒ 4 2sin 4 2 ≥x ⇒ VT ≥ 9 bpt ⇔ sin22x = 1 ⇔ sin2x = ± 1 ⇔ 2x = 2 π + kπ ⇔ x = 4 π + k 2 π Bài 19 Cho bất phương trình : 92 cos 12 ++++ m x mxtg ≥ 0 (1) Tìm m để (1) luôn đúng với mọi m ∈ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 ;0 π Giải Đặt t = xcos 1 với 0 < x < 2 π ⇒ t > 1 (1) ⇔ t2 + 1 + (m + 1)t + 2m + 9 ≥ 0 ∀t > 1 225 ⇔ m(t + 2) ≥ -t2 – t – 10 ∀t > 1 ⇔ m ≥ 2 102 + −−− t tt = f(t) ∀t > 1 (do t > 1 ⇒ t > -2 ⇒ t + 2 > 0) D = (1 ; +∞) f’(t) = 2 2 )2( 84 + +−− t tt f’(t) = 0 ⇔ t = 322 ±− t 1 -2+2 2 +∞ f’(t) + 0 - f(t) 3-4 3 -4 (+) -∞ Vậy m ≥ 343− Bài 20 Giải bất phương trình : 1sin2cos 2 sin2 2 ≥++ xxx trên [0 ; 2π] (*) Giải (*) ⇔ 2sin2t + cos2t + 2sin2t ≥ 1 (đặt t = 2 x ) ⇔ 2sin2t + cos2t + 1 + 2sin2t ≥ 2 ⇔ sin2t + 2 12cos +t + sin2t ≥ 1 ⇔ sin2t + cos2t + sin2t ≥ 1 ⇔ sin2t ≥ 0 ⇔ sinx ≥ 0 ⇔ x ∈ [0 ; π] Bài 21 Giải bất phương trình : cos2x + sinx –1 < 0 (1) Giải (1)⇔ -2sin2x + ... osx > cotgx(*) Giải (*) ⇔ cosx > x x sin cos ⇔ cosx 0 sin 11 >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − x ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > < ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > 1 sin 1 0cos 1 sin 1 0cos x x x x (Bạn đọc tiếp tục tự giải ) 228 Bài 26 Định m để bất phương trình có nghiệm : 2cos2x + x 2sin4 + 5 – m ≤ 0 (*) Giải (*) ⇔ 542 2 2cos1 2cos ++ − x x ≤ m Đặt t = 2cos2x với t ∈ [ 2 1 ; 2] Bpt ⇔ t + 52 + t ≤ m ⇔ t tt 252 ++ ≤ m Đặt f(t) = t tt 252 ++ với t ∈ [ 2 1 ; 2] f’(t) = 2 2 2 t t − f’(t) = 0 ⇔ t = 2± t 1 2 -2+2 2 2 f’(t) - 0 + f(t) 19 2 8 2 2 +5 Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 522 + Bài 27 Giải bất phương trình : x x x x sin1 sin1 sin1 sin1 + −+− + ≤ a (*) Giải Điều kiện x ≠ nπ , n nguyên Ta có : (*) ⇔ x x x x sin1 sin1 sin1 sin1 + −+− + ≤ a ⇔ x xx 2cos1 cossin22 − − ≤ a 229 ⇔ gx x cot2 sin 2 2 − ≤ a ⇔ 2cotg2x – 2cotgx + 2 – a ≤ a (1) ∆’ = 2a – 3 • a ≥ 2 3 ⇒ ∆’ ≥ 0 Khi đó (1) ⇔ 2 321cot 2 321 −+≤≤−− agxa Vậy kπ + α và kπ + β (k ∈ Z) với - 2 π < α < 2 π và - 2 π < β < 2 π và cotgα = 2 321 −+ a và cotg β = 2 321 −− a Bài 28 Giải bất phương trình : 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx) (1) Giải Ta có : (1) ⇔ 2(sinx + cosx) < 2(cos2x – sin2x) + sinxcosx(sinx + cosx) ⇔ (sinx + cosx)[2(cosx – sinx) + sinxcosx – 2] > 0 Đặt t = cosx – sinx ⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += −= 2 4 cos2 1sin 2 t xt tx π Khi đó ta có : ( ) 021 2 12 4 cos2 2 >⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ttx π ⇔ 0)3)(1( 2 1 4 cos2 >−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− ttx π Do t – 3 < ∀x ⇒ (1) ⇔ 0)1( 4 cos >−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − tx π 230 ⇔ (a) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2 1 4 cos 0 4 cos π π x x ∨ (b) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2 1 4 cos 0 4 cos π π x x Giải a) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có : • cos ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 4 πx > 0 ⇔ 242 πππ <−<− x ⇔ 4 3 4 ππ <<− x • cos 2 1 4 >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + πx ⇔ 444 πππ <+<− x ⇔ 0 2 <<− xπ Kết hợp nghiệm ta được : 4 π− + k2π < x < 2(k + 1)π (k ∈ Z) Giải : b) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có : • cos ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 4 πx < 0 ⇔ 2 3 62 πππ <−< x ⇔ 4 7 4 3 ππ << x • cos 2 1 4 <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + πx ⇔ 4 7 44 πππ <+< x ⇔ 2 30 π<< x Kết hợp nghiệm ta được : 4 3π + k2π < x < 2 3π + k2π (k ∈ Z) Bài 29 Giải bất phương trình : 4(sin4x + cos4x) > 2sinx.cosx + 3 (1) Giải Ta có : (1) ⇔ 32sin 2 2cos1 2 2cos14 22 +> ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − xxx ⇔ 2sin22x + sin2x –1 > 0 ⇔ 2(sin2x + 1)(sin2x - 2 1 ) < 0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≠ < 12sin 2 12sin x x ⇔ ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +≠ ++<<+ ππ ππππ 2 2 32 12 6 22 6 5 kx kxk 231 ⇔ ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +≠ ++<<+ ππ ππππ kx kxk 4 3 1 1212 5 Bài 30 Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình : a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a > 0 có tập nghiệm là R Giải Giả sử a thoả mãn đề bài .Vì bất phương trình có nghiệm là R nên x = 2 π là nghiệm , do đó ta phải có a 0 2 cos3 2 sin4 2 4 >++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − aππ ⇔ 82a – 3 > 0 ⇔ a > 82 3 Vậy là mọi a thoả mãn đề bài đều nằm trong khoảng a > 82 3 Giả sử a > 82 3 .Vì cos2x ≥ 0 Nên 4 – sinx ≥ 3 ⇔ (4 – sinx)4 ≥ 81 ∀x Vì a > 0 nên ta có : a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a ≥ 81a – 3 + a = 82a – 3 > 0 Vậy khi a > 82 3 thì bất phương trình có tập nghiệm là R Bài 31 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình : a2 + 2a – sin2x = 2acosx nghiệm đúng ∀x Giải Vì sin2x = 1 – cos2x nên đặt t = cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1 và bất phương trình trở thành : y = t2 – 2at + a2 – 2a – 3 > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1] Đây là 1 parabol quay bề lõm về phía trên , có đỉnh tại điểm t = a , nên già trị bé nhất ymin cùa nó trên [-1 , 1] là : 232 ymin = ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥−= <<−= ≤−+=− 1a khi 21 1a1- khi 32)( -1a khi 241 2 2 ay aay aay y > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1] ⇔ ymin > 0 khi t ∈ [-1 ; 1] • Khi a ≤ -1 : a2 + 4a – 2 > 0 ⇔ a < -2 - 6 • Khi –1 0 ⇔ a > 2 3 (loại) • Khi a ≥ 1 : a2 – 2 > 0 ⇔ a > 2 Vậy bất phương trình nghiệm đúng ∀x khi a > 2 hoặc a < -2 - 6 Bài 32 Giải bất phương trình : cos2x + 5cooxsx + 3 ≥ 0 (*) Giải (*) ⇔ 2cos2x + 5cosx + 3 ≥ 0 (1) Đặt t = cosx với –1 ≤ t ≤ 1 (1) ⇔ 2t2 + 5t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ -2 ∨ t ≥ - 2 1 So sánh điều kiện ta có : 2 1− ≤ t ≤ 1 ⇔ 2 1− ≤ cosx ≤ 1 ⇔ - 3 2π + k2π ≤ x ≤ 3 2π + k2π Bài 33 Giải bất phương trình : sinx + cosx – 3sinxcosx ≤ 1 (1) Giải Đặt t = sinx + cosx , ⏐t⏐ ≤ 2 ⇒ t2 = 1 + 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx = 2 12 −t (1) ⇔ t – 3( 2 12 −t ) ≤ 1 ⇔ 2t – 3(t2 –1) ≤ 2 ⇔ -3t2 + 2t + 1 ≤ 0 ⇔ t ≤ - 3 1 ∨ t ≥ 1 233 So điều kiện nhận : ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −≤≤− ≤≤ 3 12 21 t t • 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ 1 ≤ sinx + cosx ≤ 2 ⇔ 1 ≤ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 4 cos2 πx ≤ 2 ⇔ 2 2 ≤ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 4 cos πx ≤ 1 ⇔ ππ 2 4 k+− ≤ x - 4 π ≤ ππ 2 4 k+ ⇔ k2π ≤ x ≤ 2 π + k2π • - 2 ≤ t ≤ 3 1− ⇔ - 2 ≤ sinx + cosx ≤ - 3 1 ⇔ 3 1 4 cos2 −≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −≤− πx ⇔ -1 ≤ 23 1 4 cos −≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − πx (*) Đặt cosα = 23 1− (*) ⇔ α + k2π ≤ x - 4 π ≤ 2π - α + k2π ⇔ α + 4 π + k2π ≤ x ≤ 4 9π - α + k2π 234 Bài 34 1-\ Tìm k để bất phương trình sau có nghiệm : 3 .sinx + 2sin2 2 x ≥ k 2-\ Tìm nghiệm của bất phương trình : 3 .sinx + 2sin2 2 x ≥ 1 Thoả điều kiện : log2 (x2 – x +2) ≤ 2 (Đề Đại Học Tổng Hợp TP HCM ) Giải 1-\ 3 .sinx + 2sin2 2 x ≥ k ⇔ xcos1xsin3 −+ ≥ k ⇔ 2 1kxcos 2 1xsin 2 3 −≥− ⇔ 2 1k 6 xsin −≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π− Bất phương trình vô nghiệm khhi và chỉ khi 2 1k − ≥ 1 ⇔ k ≥ 3 2-\ theo trên với k = 1 , ta có : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π− 6 xsin ≥ 0 ⇔ π+π≤π−≤π k2 6 xk2 ⇔ k2 6 7xk2 6 π+π≤≤π+π (1) Mặt khác : log2 (x2 – x +2 ) ≤ 2 ⇔ x2 – x + 2 ≤ 4 ( vì x2 – x + 2 > 0 , x∀ ) ⇔ x2 – x + 2 = 0 ⇔ 1− ≤ x ≤ 2 (2) Trong (1) , với k = 1− thì : 6 x 6 5 π≤≤π− . Khi đó , giao với (2) , ta lấy 6 x1 π≤≤− . Với k = 0 thì 6 7x 6 π≤≤π ; giao với (2) ta lấy 2x 6 ≤≤π . Vậy các giá trị x được lấùy trong (1) để thoả mãn (2) là : 1− ≤ x≤ 2. 235 Bài 35 Tìm y để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x : ysinysinycosx2ycosx 2 +− ≥ 0 (Đề Đại Học Tài Chính _ Kế toán ) Giải ysinysinycosx2ycosx 2 +− ≥ 0 , ∀ x . π+π=⇔⎩⎨ ⎧ ≥=• k22x0ysin 0ycos •cos y ≠ 0 , bất phương trình nghiệm đúng ∀ x ⇔ Bài 36 Chứng minh rằng bất phương trình : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x Được thoả mãn ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π∈∀ 3 ;0x (Đề Đại Học Y Dược TP HCM) Giải Ta có : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x ; x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π∈ 2 ;0 ⇔ sinxcos2x + 2sin2xcosx +3sinx – 4sin3x < 9cos3x ; x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π∈ 2 ;0 Khi x = 2 π , bất phương trình có dạng : 1− < 0 ( đúng ) Khi x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π∈ 2 ;0 ⇒ cosx > 0 Chia hai vế bất phương trình cho cos3x > 0 , ta được : tgx + 2tg2x + 3tgx(1 + tg2x) – 4tg3x 0 Đặt t = tgx ; với x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ π∈ 2 ;0 ⇒ tgx ≥ 0 hay t ≥ 0 Xét hàm số : f(t) = t3 – 2t2 –4t +9 ; t [ ]+∞∈ ;0 f’(t) = 3t2 – 4t – 4 ; f’(t) = 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ −= = 3 2t 2t 236 Bài 37 Cho phương trình : 4cos5xsinx – 4sin5xcosx = sin24x + m (1) 1-\ Biết rằng x = π là 1 nghiệm của (1) . Hãy giải phương trình (1) trong trường hợp đó. 2-\ Cho biết x = 8 π− là 1 nghiệm của (1) . Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn : 2x3x 24 +− < 0 . (Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải Ta có (1) ⇔ mx4sin)xsinx(cosxcosxsin4 244 +=− ⇔ mx4sin)xsinx)(cosxsinx(cosx2sin2 22222 +=−+ ⇔ mx4sinx4sin 2 =− (2) 1-\ x = π là nghiệm của (1) nên cũng là nghiệm của (2) . m4sin4sin 2 =π−π ⇒ m = 0 Do đó (2) : ⇔ 0x4sinx4sin 2 =− ⇔ ⎢⎣ ⎡ ==1x4sin 0x4sin ⇔ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∈π+π= ∈π= ⇔⎢⎢⎣ ⎡ ∈π+π= ∈π= )Z( 28 x )Zk( 4 kx )Z(2 2 x4 )Zk(kx4 AAAA 2-\ . x = 8 π− là nghiệm cùa (2) : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π− 2 sin 2 sin 2 = m ⇔ m = 2− Vậy (1) ⇔ 2x4sinx4sin 2 −=− ⇔ ⎢⎣ ⎡ −== 1x4sin )loai(2x4sin ⇔ )Zk( 2 k 8 x)Zk(2k 2 x4 ∈π+π−=⇔∈π+π−= * Mặt khác : 2x3x 24 +− < 0 ⇔ ⎢⎣ ⎡ −<<− <<⇔<<⇔<−− 1x2 2x12x10)2x)(1x( 222 ∈<π+π−< k,2 2 k 8 1 Z xảy ra ⇔ k = 1 237 2− < 2 k 8 π+π− < 1− , k ∈ Z không xảy ra . Vậy cỉ có x = 8 3 28 π=π+π− là thoả mãn bài toán . Bài 38 Xác định m để bất phương trình sau vô nghiệm : mxx ≥+ 2sin 2 1sin3 2 (Đại học dân lập Lạc Hồng , năm 1998 – 1999) Giải mxx ≥+ 2sin 2 1sin3 2 ⇔ mxx ≥+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2sin 2 1 2 2cos13 ⇔ 2 32 2 32cos 2 32sin 2 1 −=−≥− mmxx ⇔ 2 322cos 3 sin2sin 3 cos −≥− mxx ππ ⇔ 2 32 3 2sin −≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − mx π Bất phương trình vô nghiệm khi 1 2 32 >−m hay m > 2 32 + Bài 39 Giải bất phương trình : [ ]cos x 3 sin x 2, x 0;2 + < ∈ π Giải cos x 3 sin x 2 cos x 3 sin x 2 0 + < ⇔ + − < Đặt f (x) cos x 3 sin x 2. = + − ta có f xác định và liên tục trên 0; 2 π f (x) 0 cos x 3 sin x 2= ⇔ + = cos cos x sin sin x cos 3 3 4 π π π⇔ + = 238 cos(x ) cos 3 4 π π⇔ − = 7x 12 x 12 π⎡ =⎢⇔ ⎢ π⎢ =⎢⎣ x 0 12 π 2 π 12 7π 2π f(x) - 0 + 0 - Vậy trong [ ]0; 2 , π f(x) chỉ có 2 nghiệm là 12 π và 7 . 12 π Ta có : . f (0) 1 2 0= − < . f ( ) 3 2 0 2 π = − > . f (2 ) 1 2 0π = − < Vậy : Tập nghiệm của bất phương trình là 70; ; 2 12 12 π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤∪ π⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦ 239 C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 sinx.(cosx - 1 2 ) > 0 Đáp số : k2 x k2 3 5(2k 1) x k2 3 π⎡ π < < + π⎢⎢ π⎢π + < < + π⎢⎣ Bài 2 sin 2x 1 cos2x− ≤ 0 Đáp số : k x k 2 π + π ≤ ≤ π+ π Bài 3 Định m để bất phương trình vô nghiệm : sin 2x 3 π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ m - 3 2 Đáp số : m > 1 + 3 2 Bài 4 sin2x – sinx ≥ m2 – 2m , x ∈ [0 , 4 π ] Đáp số : 0 ≤ m ≤ 2 Bài 5 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm : 22 cos x cos x 1 cos x 2 − + − ≤ m – 1, x ∈ [0 , π ] Đáp số : m ≥ -1 Bài 6 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 240 2xcos 1xcosxcos2 2 − +− ≤ m – 1 ,x [ ]π∈ ,0 Nhắc lại : 1) f(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ min f(x) , x ∈ D 2) f(x) ≤ m vô nghiệm khi m < min f(x) , x ∈ D Đặt t = cosx , t [ ]1,1−∈ f(t) = 2t 1tt2 2 − +− ; f’(t) = 2 2 )2t( 1t8t2 − +− f’(t) = 0 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−= −−= 2 144t 2 144t t -1 2 144 − 1 2 144 + f’(t) + 0 - f(t) 3 4− f ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 2 144 -2 Bài 7. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm : (m2 – 3m + 2)cos2x = m(m -1)
Tài liệu đính kèm: