Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số

Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong bài này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó ) và phương pháp giải các dạng toán đó.
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm  hai đồ thị của hai hàm số  và  cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số  .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng   cắt đồ thị hàm số .
Chú ý : Nếu hàm số  liên tục trên D và ,  thì phương trình :  có nghiệm 
Ví dụ 1:  Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
Giải:
1)Xét hàm số  có tập xác định là D=R.
 Ta có: 
 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình  vô nghiệm  không đổi dấu trên R, mà  đồng biến.
Mặt khác:  và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm .
2) ĐK: 
Xét hàm số  với  
Ta có: .
 vô nghiệm
 không đổi dấu trên D, mà   
Mặt khác: 
 phương trình có nghiệm  .
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.
Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
.
Giải:
1) Phương trình 
 Xét hàm số  với  
Ta có: .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm .
2) Điều kiện: . 
Khi đó phương trình 
(Vì )
Xét hàm số  với .
Ta có: .
Do   .
Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4] 
Suy ra phương trình có nghiệm 
Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm  (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:   
Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có: .
Hệ có nghiệm  có nghiệm .
 với 
có .
Vậy hệ có nghiệm .
Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
Giải:
Ta có: .
* Nếu  vô nghiệm.
* Nếu  đúng
 có nghiệm   
Suy ra hệ có nghiệm  có nghiệm   
Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:
.
Dựa vào bảng biến thiên  hệ có nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có: . Thay vào (1) ta được:
  (3).
Hệ có nghiệm  có nghiệm . Xét hàm số f(y) với 
 đồng biến trên các khoảng  và 
Suy ra hệ có nghiệm .
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý 
 Số nghiệm của phương trình  chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số   và  . Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:    
Giải:
Đặt . Ta có phương trình :
. 
Xét hàm số 
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình :  có ba nghiệm phân biệt.
Giải:
Phương trình  (do )
Xét hàm số 
.
Dựa vào bảng biến thiên .
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để  phương trình :  có đúng một nghiệm . 
Giải:
Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó:
Phương trình .
Xét hàm số :  với 
Ta có:  với  nghịch biến.
Mà:  và 
Vậy phương trình có đúng một nghiệm  
.
Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình :  có ba cặp nghiệm phân biệt .
Giải:
Ta có :  (do x=0 không là nghiệm phương trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:    (a) .
Hệ có ba cặp nghiệm  (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn   .
Xét hàm số  với .
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt 
    .
Vậy  là những giá trị cần tìm.
Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt , ta tìm được  và phương trình  (1) trở thành  (2). Khi đó (1) có nghiệm   (2) có nghiệm .
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm  ).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình  có bao nhiêu nghiệm ?.
Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.
.
 .
.
 Giải: 
1) Điều kiện: .
Phương trình 
Đặt 
Ta có phương trình :    (1).
Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm 
Xét hàm số  với , có   .
Vậy phương trình có nghiệm .
2) Điều kiện: 
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành:  (2).
Xét hàm số 
. 
Dựa vào bảng biến thiên của 
Suy ra (1) có nghiệm  có nghiệm .
Xét hàm số  với , có   
Suy ra  là hàm đồng biến trên  
Vậy phương trình có nghiệm . 
3) Điều kiện : .
Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho , ta được:    ( * ).
Đặt 
 Khi đó ( * ) trở thành:     (3).
Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm .
Xét hàm số f(t) với , có: .
.
Vậy phương trình có nghiệm .
Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:
Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t : 
.
Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:
 vì .
Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình
   có nghiệm .
 có nghiệm trên .
Giải:
1) Đặt  và   .
Phương trình đã cho trở thành:  (3) ( vì ).
Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm t thỏa mãn .
Xét hàm số  với , ta có: 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm .
2) Đặt . Với .
Phương trình đã cho trở thành: 
Phương trình đã cho có nghiệm trên  có nghiệm 
Xét hàm số  với  , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2]
Suy ra . 
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 12: Xác định  mọi giá trị của tham số m để hệ sau có  2 nghiệm phân biệt 
Giải: Điều kiện : .
  (Do ).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt  có hai nghiệm phân biệt .
Đặt  và (2) trở thành
Từ cách đặt  ta có:  Với mỗi giá trị  thì cho ta đúng một giá trị . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt  có 2 nghiệm phân biệt .
Xét hàm số  với  
Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt .
Các bạn có thể tham khảo thêm tại: 
Nguyễn Tất Thu - Trường THPT Lê Hồng Phong - Biên Hòa - Đồng Nai