Tuyển tập một số bài toán sơ cấp chọn lọc

Tuyển tập một số vấn đề chọn lọc
www.diendantoanhoc.net
05 - 08 - 2006
2
Lời nói đầu
Cuốn sách nhỏ "Tuyển tập một số bài toán sơ cấp chọn lọc trên www.diendantoanhoc.net"
là món quà đặc biệt mà BTC kỳ thi VMEO II dành tặng cho các bạn thành viên đã tham
gia và đoạt giải. Đây cũng là một món quà mùa hè mà Nhóm Quản Lý muốn dành tặng cho
tất cả các bạn học sinh chuyên toán nói riêng và các bạn yêu thích toán sơ cấp nói chung.
Trong cuốn sách này chúng tôi giới thiệu với các bạn 250 bài toán thuộc 5 chủ đề lớn của
toán phổ thông bao gồm Số Học, Tổ Hợp, Hình Học, Giải Tích và Đại Số. Kèm theo các đề
toán là khoảng 20 bài viết chuyên đề nhỏ xoay quanh các bài toán Số Học, Tổ Hợp. Trong
mỗi bài viết chúng tôi đã cố gắng thể hiện đầy đủ những thảo luận của các bạn trên diễn đàn
về những bài toán đó. Một số bài viết chưa được post lên diễn đàn mà mới chỉ là những trao
đổi riêng giữa các thành viên cũng được giới thiệu trong tài liệu này. Chúng tôi rất vui mừng
vì biết được rằng, những trao đổi riêng như thế là khá phổ biến giữa các bạn thành viên. Đây
thực sự là một mong muốn lớn nhất của những người điều hành diễn đàn như chúng tôi.
Số Học và Tổ Hợp đều là những chủ đề thú vị và đẹp đẽ của toán sơ cấp. Tuy nhiên để
viết một tài liệu về hai chủ đề này là điều không dễ. Đối với Số Học chúng tôi lựa chọn nhiều
chủ để nhỏ dựa trên bộ khung là các bài toán đã có trên diễn đàn, và các kiến thức cơ bản
nhất của Số Học lần lượt được đưa vào các bài viết nhỏ, các bạn có thể đọc qua các bài
viết này và tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết số sơ cấp trong các cuốn sách chuyên khảo hơn,
chúng tôi giới thiệu hai cuốn sách: An introduction to the theory of number của G.H.Hardy
& E.M.Wright và Elementary theory of number của Sierpinsky. Bản điện tử của hai cuốn
sách này đều đã được giới thiệu trên diễn đàn. Về Tổ Hợp, chúng tôi chủ trương lựa chọn các
chủ đề một cách tương đối rời rạc, vì cho rằng không nên khiến các bạn phải tiếp thu các
kiến thức tổ hợp một cách quá giáo khoa. Đối với các bài toán tổ hợp chúng tôi cho rằng vẻ
đẹp của từng bài toán có ý nghĩa cao hơn tới việc nhận thức của mỗi người. Do đó chúng tôi
cố gắng lựa chọn những bài toán tổ hợp đẹp đẽ để kích thích tính tìm tòi của các bạn đọc.
Hai cuốn sách sơ cấp về tổ hợp không nên bỏ qua là 102 combinatorial problem của Titu
Andrecscu & Zuming Feng và Extrenal combinatorics của Stasys Jukna.
Tất nhiên các chủ đề về Hình Học, Giải Tích và Đại Số cũng rất thú vị, nhưng đó sẽ là
nội dung của các ấn phẩm tiếp theo của diễn đàn. Và bởi vì các ấn phẩm của diễn đàn chủ
yếu được xây dựng dựa trên những thảo luận của chính các bạn nên hi vọng trong thời gian
tới chúng ta sẽ còn có nhiều chủ đề thú vị và chất lượng ngày càng cao.
Cuốn sách nhỏ này ra đời dựa trên sự cộng tác của rất nhiều bạn thành viên. Đó là các
bạn K09, TuanTS, lehoan, NDTPX, clmt, anhminh, neverstop, bk2004, chuyentoan, camum,
3
4hungkhtn và lovepearl_maytrang. Bạn camum lựa chọn hầu hết các bài toán giải tích, mục
tổ hợp do lehoan tuyển chọn với sự cộng tác của NDTPX, các bài toán hình học do MrMATH
soạn cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của bk2004, chuyentoan và đã nhận được nhiều ý kiến
của bạn neverstop. Cuối cùng các bài toán số học được lựa chọn bởi K09 và lehoan, sau đó
TuanTS và MrMATH đã có nhiều thảo luận để hoàn thiện bản thảo. Trong quá trình tuyển
chọn chúng tôi nhận ra rằng có rất nhiều bài toán được sáng tạo bởi chính các bạn thành
viên. Trong thời gian tới mong rằng điều này sẽ được phát huy hơn nữa.
Cuốn sách này được soạn bằng phần mềm PCTEX version 5.0, gói vntex được giới thiệu
bởi bạn tamnd. File cài đặt chương trình và gói lệnh các bạn có thể dowload trên mạng
không quá khó khăn. Nếu có thắc mắc về việc sử dụng TEX các bạn có thể giải quyết bằng
các tham khảo các cuốn sách của tác giả Nguyễn Hữu Điển (sách cho Viện Toán Học ấn
hành), ngoài ra các bạn có thể tham gia các diễn đàn về TEX như www.viettug.com hoặc trao
đổi với các thành viên có kinh nghiệm soạn thảo trên diễn đàn.
Mặc dù đã cố gắng trong việc kiểm tra bản thảo, nhưng rất có thể chúng tôi vẫn bỏ sót
một số lỗi. Mọi ý kiến đóng góp cả về nội dung lần hình thức xin gửi về địa chỉ mail
nqk_mrmath@yahoo.com. Chúng tôi xin chân thành cám ơn và hứa sẽ cố gắng hơn trong
việc thiết kế các ấn phẩm tiếp theo.
Thay mặt Ban Biên Tập
a
MrMATH
www.diendantoanhoc.net
Nguyễn Quốc Khánh SV K9 Hệ Đào Tạo CNKHTN ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội
Cộng tác viên
Trong thời gian hoàn thành bản thảo, thực ra những gì được giới thiệu trong cuốn sách nhỏ
không hoàn toàn là tất cả những gì nhóm CTV làm được. Trên thực tế nhóm CTV đã hoàn
thiện được hầu hết các đề mục cho ba nội dung Hình Học, Giải Tích và Đại Số. Tuy nhiên
việc giới thiệu đồng thời tất cả 5 chủ đề có lẽ là không phù hợp lắm với mục đích chính. Bản
liệt kê dưới đây không nêu lên hết được các CTV và công việc của họ, nhưng dù sao cũng là
một tra cứu đủ dùng cho các bạn đọc.Trong ấn phẩm tiếp nối của cuốn sách nhỏ này, công
việc của các CTV sẽ được giới thiệu một các đầy đủ và chi tiết hơn.
a 1. Trần Nam Dũng (namdung) GV ĐHKHTN ĐHQG TP Hồ Chí Minh: [1].
a 2. Trần Quốc Hoàn (K09) SV K50 CA Đại Học Công Nghệ Hà Nội: [2], [3.6], [3.8].
a 3. Trần Mạnh Tuấn (TuanTS) SV K9 CNTN ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội: [2], [3.2], [3.3],[3.4].
a 4. Lê Hồng Quý (lehoan) HS lớp 12 chuyên toán ĐHSP Vinh: [6], [7.2], [7.3], [7.7].
a 5. Trần Đức Anh (camum) SV năm nhất hệ CLC ĐHSP Hà Nội: [10].
5
6
Mục lục
I Một số chủ đề Số Học 9
1 Tổng hai bình phương 11
2 Các đề toán số học chọn lọc 17
3 Một số chủ đề số học chọn lọc 23
3.1 Số bập bênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Định lý Fermat nhỏ và một ứng dụng đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Một số tính chất của hàm tổng các chữ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Hai ứng dụng của phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Định lý phần dư Trung Hoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Biểu diễn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Một dạng phương trình Diophante đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8 Số nguyên phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8.2 Thuật toán Euclid và ước chung lớn nhất của hai số nguyên phức . . . 41
3.8.3 Số phức nguyên tố và vấn đề phân tích các số nguyên phức . . . . . . . 43
3.8.4 Sử dụng số nguyên phức để giải một số bài toán . . . . . . . . . . . . . 44
3.9 Phương trình Carmichael . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.10 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Tổng nghịch đảo 53
II Một số chủ đề Tổ Hợp 59
5 Bổ đề Sperner 61
5.1 Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Bổ đề KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Chứng minh định lý điểm bất động Brower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Các đề toán tổ hợp chọn lọc 65
7 Một số chủ đề tổ hợp chọn lọc 71
7.1 Bài toán Rubik lục lăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Nguyên lý bất biến và nửa bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7
8 MỤC LỤC
7.2.1 Bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2.2 Nửa bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3 Phương pháp phân nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4 Vai trò của các bộ số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.5 Hai bài toán về phủ các hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.6 Câu hỏi mở về một tính chất của chùm các đường tròn . . . . . . . . . . . . . 86
7.7 Định lí Konig-Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.8 Định lý Erdos - Skerezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.9 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 Góc cùng màu 95
8.1 Khái niệm góc cùng màu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Mở rộng bài toán 6 người . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3 Phương pháp hàm đếm và vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.4 Mở rộng một đề thi IMO 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
III Một số bài toán khác 109
9 Hình Học 111
10 Giải Tích 117
11 Đại Số 125
Phần I
Một số chủ đề Số Học
9
Chương 1
Tổng hai bình phương
Trần Nam Dũng
Giới thiệu. Định lý Fermat Euler là một viên ngọc tuyệt vời của Toán Học thế kỷ 17− 18.
Từ thời phổ thông khi đọc được chứng minh (của Lagrange) dưới đây, tôi đã từng ngây ngất
trước vẻ đẹp của nó. Nhiều năm nay đọc lại bài viết của GS.T ikhomirov trên tạp chí Kvant,
tôi lại tiếp tục bất ngờ với những chứng minh mới của một kết quả cũ. Quá thích thú với bài
báo, tôi đã dịch ra Tiếng Việt và nhiều lần truyền vẻ đẹp của các phép chứng minh thần diệu
trong bài đến các thế hệ học sinh của tôi. Hôm nay, tôi xin dành tặng các bạn thành viên diễn
đàn www.diendantoanhoc.net bản dịch này.
Các bạn hãy để ý xem những số nguyên tố đầu tiên 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Các số 5, 13 và
17 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương:
5 = 12 + 22 13 = 22 + 32 17 = 12 + 42.
Còn các số còn lại 3, 7, 11, 19 thì không thể biểu diễn như vậy được. Có thể bằng cách nào đó
giải thích điều đó hay không? Có, và đúng hơn là ta có định lý sau đây:
Định lý Fermat Euler. Điều kiện cần và đủ để một số nguyên tố lẻ có thể biểu diễn
được dưới dạng tổng hai bình phương là số dư trong phép chia số ấy cho 4 là 1.
Trong các trường hợp ban đầu của p có thể kiểm tra tính đúng đắn của định lý này 5 = 4.1+1,
13 = 4.3 + 1, 17 = 4.4 + 1 còn 3 = 4.0 + 3, 7 = 4.1 + 3, 11 = 4.2 + 3 và 19 = 4.4 + 3.
Đôi chút về lịch sử định lý. Ai là người đầu tiên phát hiện ra điều này, và khi nào? Vào
dịp Noel năm 1640 (trong thư đề ngày 25.12.1640) nhà toán học vĩ đại Pierre de Fermat
(1601-1665) đã thông báo cho Mersenne, bạn thân của Descartes và là "liên lạc viên" chính
của các nhà bác học đương thời rằng "Mọi số nguyên tố có số dư trong phép chia cho 4 bằng
1 đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của hai bình phương". Thời đó chưa
có các tạp chí toán học, tin tức được trao đổi qua các lá thư và các kết quả thông thường chỉ
được thông báo mà không kèm theo chứng minh.
11
12 CHƯƠNG 1. TỔNG HAI BÌNH PHƯƠNG
Thực ra thì sau gần 20 năm sau bức thư đó, trong bức thư gửi cho Carcavi, được gửi
vào tháng 8 năm 1659, Fermat đã tiết lộ ý tưởng của phép chứng minh định lý trên. Ông
viết rằng ý tưởng chính của phép chứng minh là dùng phương pháp xuống thang, cho phép
từ giả thiết rằng định lý không đúng với p = 4k + 1, suy ra nó không đúng với một số nhỏ
hơn, cuối cùng ta sẽ đi đến số 5, mà khi đó rõ ràn ... a như sau:
f(m) = am− E(am) với mọi số nguyên m ∈ Z.
Chứng minh rằng với mọi  > 0 đoạn [0, ] chứa vô số phần tử của f(Z) (tập hợp toàn bộ các
giá trị của f). Từ đó suy ra có vô số số hữu tỷ
p
q
thoả mãn:∣∣∣∣a− pq
∣∣∣∣ < |q| .
Bài toán 10.47. Cho các số thực a1, a2, ..., ak. Với số tự nhiên n tuỳ ý đặt:
bn =
k∏
i=1
sin(nai).
Biết rằng lim
n→∞
bn = 0. Chứng minh rằng tồn tại chỉ số i mà
ai
pi
∈ Z.
Bài toán 10.48. Giả sử rằng {an} là một dãy số thực bị chặn thoả mãn:
1
n
n∑
i=1
ai → b
1
ln(n)
n∑
i=1
ai → c.
Chứng minh rằng b = c.
Bài toán 10.49 (Bổ đề Dirichlet - 1842). Cho số thực α và n ∈ N . Chứng minh rằng tồn
tại số nguyên p ∈ Z và số tự nhiên q ∈ N thoả mãn:
i)
∣∣∣∣α− pq
∣∣∣∣ < 1qn.
ii)
∣∣∣∣α− pq
∣∣∣∣ < 1q(n+ 1) .
Từ đó suy ra rằng với mọi số vô tỷ α đều tồn tại vô số phân số
p
q
thoả mãn:∣∣∣∣α − pq
∣∣∣∣ < 1q2 .
Với điều kiện là q→ +∞.
Lời Bình. Có thể mở rộng bổ đề Dirichlet cho nhiều số. Hãy chứng minh trong trường hợp
hai số sau đây Chứng minh rằng với hai số thực α, β và số tự nhiên n tồn tại hai số nguyên
p, r ∈ Z và số tự nhiên q ∈ N , q ≤ n2 thoả mãn:∣∣∣∣α− pq
∣∣∣∣ < 1qn và
∣∣∣∣α− rq
∣∣∣∣ < 1qn.
124 CHƯƠNG 10. GIẢI TÍCH
Bài toán 10.50. i) Xét dãy số {xn} xác định bởi:{
x1 = t 6= 0
xn+1(xn + t) = t+ 1 với mọi số tự nhiên n.
Tính giới hạn:
lim
n→∞
xn.
ii) Xét dãy số {yn} xác định bởi:
y1 = a 6= −1
yn+1 =
3
√
2y2n + 2− 2
2yn +
√
2y2n + 2
với mọi số tự nhiên n.
Tính giới hạn:
lim
n→∞
yn.
a
Chương 11
Đại Số
Bài toán 11.1. Ký hiệu Nm là tập hợp tất cả các số nguyên không bé hơn số nguyên m cho
trước. Tìm tất cả các hàm f : Nm → Nm thoả mãn:
f(x2 + f(y)) = y + (f(x))2 ∀x, y ∈ Nm.
Bài toán 11.2. Số thực c được gọi là giá trị bội của dãy số (xn) nếu tồn tại hai chỉ số k, l
thoả mãn xk = xl = c. Với mỗi cặp số thực (a, b) ta lập dãy số:
U(a, b) : u0 = a, u1 = b− un+1 = un + un−1 với mọi số tự nhiên n
Chứng minh tồn tại a, b nguyên sao cho dãy U(a, b) có hơn 2006 giá trị bội.
Bài toán 11.3. Xét dãy số {an} thoả mãn a1, a2, a3 là các số nguyên và an+3 = an+1 + an
với mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p ta có p là ước của số:
an+3p+1 − an+p+1 − an+1.
Bài toán 11.4. Với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 1, xét đa thức:
Pn(x) =
[n−2
3
]∑
k=0
C3k+2n .x
k.
Tìm tất cả các số nguyên a thoã mãn 3
[
n− 1
2
]
|Pn(a3) với mọi n ≥ 2.
Bài toán 11.5. Xét dãy số (an) xác định như sau:{
a1 = a2 = a3 = a4 = 1
an.an−4 = an−1an−3 + a2n−2 với mọi n > 4.
Chứng minh rằng an ∈ Z với mọi n ∈ N .
Bài toán 11.6. Với điều kiện xi > 0 với mọi i = 1, n. Tính giá trị sau:
c = minmax {x1, 1
x1
+ x2, ...,
1
xn−1
,
1
xn
}.
Giả sử có thêm điều kiện x1 + x2 + ...+ xn = 1. Tính:
c = minmax { x1
1 + x1
,
x2
1 + x1 + x2
, ...,
xn
1 + x1 + x2 + ...+ xn
}.
125
126 CHƯƠNG 11. ĐẠI SỐ
Bài toán 11.7. Cho dãy tăng các số tự nhiên {ai} thoả mãn tính chất với hai tập con
I, J ∈ {1, 2, ..., n} và I 6= J thì ta có: ∑
i∈I
ai 6=
∑
i∈J
ai.
Tính giá trị lớn nhất của:
n∑
i=1
1
ai
.
Bài toán 11.8. Tìm tất cả các hàm số f : (1,+∞)→ R thoả mãn:
f(x)− f(y) = (y − x)f(xy) với mọi x, y > 1.
Bài toán 11.9. Tồn tại hay không số thực u có tính chất [un]−n là số chính phương với mọi
số tự nhiên n.
Bài toán 11.10. Cho dãy số dương {an} thoả mãn:{
a0 = a2005
ai = 2 · √ai−1ai+1 ∀1 ≤ i ≤ 2005.
Chứng minh rằng an = a2005−n với mọi 0 ≤ n ≤ 2005.
Bài toán 11.11. Cho dãy số {an} thoả mãn a1 = a2000 và với mọi n ∈ N :
xn+2 =
xnxn+1 + 5x
4
n
xn − xn+1 .
Chứng minh rằng x2 6= x1999.
Bài toán 11.12. Xét hàm số f(x) = 3(|x + |x − 1| − |x + 1|) và đặt xn+1 = f(xn) với mọi
n ≥ 0. Hỏi có bao nhiêu số thực x0 thoả mãn x0 = x2007 và các số x0, x1, ..., x2006 là đôi một
phân biệt.
Bài toán 11.13. Hỏi có tồn tại hay không đa thức P (x) bậc n mà đa thức hợp m lần của P
là P (...(P (x))...)︸ ︷︷ ︸
m lần P
nhận đủ các nghiệm là 1, 2, ..,mn.
Bài toán 11.14. Cho số nguyên n > 1 và n số thực a1, a2, .., an. Đặt:
S =
n∑
i=1
a2i
P = min
i<j
(ai − aj)2
Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:
S
P
≥ n(n − 1)(n + 1)
12
.
127
Bài toán 11.15. Cho số tự nhiên n > 1 và n số thực a1, a2, .., an. Chứng minh rằng tồn tại
n số thực b1, b2, ..., bn thoả mãn tính chất:
ai − bi ∈ Z với mọi 1 ≤ i ≤ n∑
1≤i<j≤n
(bi − bj)2 ≤ n
2 − 1
12
.
Bài toán 11.16. Cho a, b, c, x, y, z là sáu số thực dương thoả mãn đẳng thức ax+by+cz = xyz.
Chứng minh bất đẳng thức:
x+ y + z >
√
4(a+ b+ c) +
√
8(ab+ bc+ ca).
Bài toán 11.17. Trên mặt phẳng cho n vecto sau đây ~v1, ~v2, ..., ~v3 có:
n∑
i=1
|~vi| = h.
Chứng minh rằng có k vecto ~vi1, ~vi2, ..., ~vin trong số các vecto { ~vi1} sao cho:
|
k∑
j=1
~vij| ≥
h
pi
.
Bài toán 11.18. Giả sử số tự nhiên n có ít nhất 2 ước số nguyên tố khác nhau. Chứng minh
rằng tồn tại một hoán vị (a1, a2, .., an) của (1, 2, .., n) mà:
n∑
k=1
k cos
2piak
n
= 0.
Bài toán 11.19. Cho các số nguyên dương p, thoả mãn p = 2n + 1 là số nguyên tố và a
không chia hết cho p. Chứng minh mệnh đề sau:
n∑
k=1
(
sin
2piak
p
)
chẵn ⇐⇒ p|an − 1.
Bài toán 11.20. Tìm điều kiện cần và đủ của các số tự nhiên b1, b2, ..., bn sao cho ta có đẳng
thức sau với 1 ≤ k ≤ n − 1:
n∑
i=1
cos
(
2kpi
n
bi
)
=
n∑
i=1
sin
(
2kpi
n
bi
)
.
Bài toán 11.21. Cho đa thức f(x) = xn + a1x
n−1 + ...+ an−1x+ an ∈ R[x]. Cho n số thực
phân biệt b1, b2, ..., bn thoả mãn
n∑
i=1
= −a1. Chứng minh rằng:
n∑
i=1
f(bi)∏
j 6=i
(bi − bj) = 0.
128 CHƯƠNG 11. ĐẠI SỐ
Bài toán 11.22. Chứng minh bất đẳng thức:
n∑
k=1
(1 + x2k)
n/2∏
j 6=k
(bk − bj) ≥ n.
Bài toán 11.23. Cho số tự nhiên n và ui = cos
2i− 1
2n+ 1
· pi với 1 ≤ i ≤ n. Chứng minh rằng:
2n =
n∑
i=1
1√
1− u2i
∏
j 6=i,1≤j≤n+1
|ui − bj|
.
Từ đó suy ra định lý Markov: giả sử đa thức hệ số thực f(x) = xn+ a1x
n−1+ ...+ an−1x+ an
thoả mãn: √
1− x2 · |f(x)| ≤ 1 ∀x ∈ [−1, 1].
Chứng minh rằng:
|a0| ≤ 2n.
Bài toán 11.24. Ký hiệu phép toán ∗ như sau. Với hai số thực dương x, y:
x ∗ y = x+ y
1 + xy
.
Tính giá trị biểu thức 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ 2006 với thứ tự các phép toán tuỳ ý.
Bài toán 11.25. Chứng minh rằng tồn tại phân hoạch:
N = {[nα]|n ∈ N} ∪ {[nβ]|n ∈ N}.
Với hai số vô tỷ dương α, β thoả mãn
1
α
+
1
β
= 1. Tuy nhiên không tồn tại ba số vô tỷ dương
α, β, λ sao cho ta có phân hoạch:
N = {[nα]|n ∈ N} ∪ {[nβ]|n ∈ N} ∪ {[nλ]|n ∈ N}.
Bài toán 11.26. Trong bảng số m.n có tính chất tổng mỗi hàng hay cột đều là số nguyên.
Chứng minh rằng có thể thay mỗi số trong bảng bởi một trong hai số nguyên gần nó nhất sao
cho tổng các hàng và cột đều không đổi.
Bài toán 11.27. Cho tập n số thực tuỳ ý {an}. Chứng minh rằng tồn tại tập con T ∈ A sao
cho tổng các số trong T là một số thực sai khác với số nguyên gần nó nhất không quá
1
n+ 1
.
Bài toán 11.28. Cho n số thực bất kỳ {an}. Chứng minh rằng có thể tìm các số {bi} mà bi
là một trong hai số nguyên gần ai nhất và với k bất kỳ:∣∣∣∣ k∑
j=1
aij −
k∑
j=1
bij
∣∣∣∣ ≤ n+ 14 .
129
Bài toán 11.29. Cho các số thực dương a, b, c, d thoả mãn a > b > c > d > e (với e là cơ số
của logarith tự nhiên). Chứng minh rằng:
ae
b
+ be
c
+ ce
d
+ de
a
< be
a
+ ce
b
+ de
c
+ ae
d
.
Bài toán 11.30. Với mội số nguyên dương n tìm số thực dương q = q(n) tốt nhất sao cho
với mọi dãy n số thực x1, x2, ..., xn ta có bất đẳng thức:
(1)
n∑
i=1
( i∑
j=1
xi
)2
≥ q ·
n∑
i=1
x2i
(2)
n∑
i=1
( i∑
j=1
xi
)2
≤ q ·
n∑
i=1
x2i .
Bài toán 11.31. Xét dãy số {an} xác định như sau:a1 = 2an+1 = [3an
2
]
với mọi số tự nhiên n.
Chứng minh rằng
(1) Trong dãy số này có vô hạn số chẵn và vô hạn số lẻ.
(2) Tồn tại số thực α sao cho an+1 =
[
α
(
3
2
)n]
+ 1.
(3) Số 0, a1a2, ... là số vô tỷ hay hữu tỷ.
Ngoài ra có tồn tại hay không số thực α sao cho an+1 =
[
3
2
αn
]
+ 1?
Bài toán 11.32. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f : R→ R mà:
f(f(x)) = x2 − 3x− 2 với mọi số thực x.
Bài toán 11.33. Chứng minh đẳng thức sau đối với n tự nhiên tuỳ ý:[
1
2
+
√
n
3
− 1
12
]
=
[
3
√
n+
[
1
2
+
√
n
3
− 1
12
]]
.
Bài toán 11.34. Chứng minh đẳng thức sau đây với mọi số tự nhiên n:
n∑
p=1
p∑
q=1
[
− 1 +
√
8q + (2p − 1)2
2
]
= −n(n+ 1)(n + 2)
3
.
Bài toán 11.35. Giả sử P và Q là các đa thức thoả mãn P 3 6≡ Q2. Chứng minh rằng:
deg(P 3 −Q2) ≥ deg(P ) + 3
2
.
Nếu đặt F = P 3 −Q4 thì ta có:
deg(F ) ≥ 5
2
· deg(Q) + 1.
130 CHƯƠNG 11. ĐẠI SỐ
Bài toán 11.36. Tìm tất cả các hàm số f : R→ R thoả mãn:
f(x− f(y)) = 4f(x)− f(y)− 3x với mọi x, y ∈ R.
Bài toán 11.37. Cho các số thực a, b, c thoả mãn (b− 1)2 − 4ac = 9. Xét dãy các đa thức:{
f(1, x) = ax2 + bx+ c
f(n+ 1, x) = f(1, f(n, x)) với mọi số tự nhiên n.
Tìm số nghiệm thực x ∈ R của phương trình f(n, x) = 1.
Bài toán 11.38. Tìm tất cả các bộ số thực (x1, x2, .., xn) thoả mãn:
(x1 + x2 + ...+ xk)(xk + ...+ xn) = 1 với 1 ≤ k ≤ n.
Bài toán 11.39. Cho a, b là 2 số tự nhiên khác 1. Chứng minh mệnh đề:
bn − 1|an − 1 ∀n ∈ N =⇒ ∃k ∈ N a = bk.
Bài toán 11.40. Giả sử f : R → R là một hàm số thoả mãn với mọi số thực dương x tồn
tại đa thức Pc(x) có tính chất:
|f(x)− Pc(x)| ≤ cx2006 ∀x ∈ R.
Chứng minh rằng f là một đa thức.
Bài toán 11.41. Tìm tất cả các đa thức P hệ số nguyên sao cho đa thức:
Q(x) = (x2 + 6x+ 10)(P (x))2 − 1 = (R(x))2
là bình phương của một đa thức hệ số nguyên.
Bài toán 11.42. Cho số tự nhiên m > 3 và các số p1, p2, .., pn là tất cả các số nguyên tố
không vượt quá m. Chứng minh rằng:
n∑
k=1
(
1
pk
+
1
p2k
)
≥ ln(ln(n)).
Bài toán 11.43. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho với mọi n và xn là nghiệm của phương
trình
cosx
x
= n ta luôn có cos axn + cos bxn ≥ 2− x2n.
Bài toán 11.44. Tìm tất cả các số thực k sao cho tồn tại hàm số f khả vi trên toàn R thoả
mãn với mọi số thực x thì: {
f(x) ≤ 1
(f(x))2 + (f ′(x))2 = k.
Bài toán 11.45. Tìm tất cả các hàm số f : [0, 1]→ [0, 1] thoả mãn:
f(xy) = xf(x) + yf(y) với mọi x, y ∈ R.
131
Bài toán 11.46. Tìm tất cả các toàn ánh f : R→ R thoả mãn:
f(f(x − y)) = f(x)− f(y) với mọi x, y ∈ R.
Bài toán 11.47. Cho x là một số thực thoả mãn [nx2] = [x[xn]] + 1 với số tự nhiên n bất
kỳ. Chứng minh rằng x =
1 +
√
5
2
.
Chứng minh rằng nếu x3 = x2+1 và x > 0 thì tồn tại các số {Cn} nhận giá trị 0, 1, 2 mà:
[nx] + [nx2] + [nx3] = [x[n4]] + Cn.
Bài toán 11.48. Một học sinh chơi với các hệ số của phương trình bậc hai như sau. Lấy hai
số p, q bất kỳ, xét phương trình x2 + px+ q = 0. Nếu phương trình có hai nghiệm p1, q1 thi lại
xét phương trình x2 + p1x+ q1. Hỏi học sinh đó có thể chơi quá 5 lượt hay không (không tính
phương trình đầu tiên).
Bài toán 11.49. Cho tập hợp hữu hạn A có không ít hơn 6 phần tử sao cho nếu a, b, c, d, e, f
là 6 phần tử phân biệt của A thì ab+ cd+ ef cũng thuộc vào A. Tìm giá trị lớn nhất của số
các phần tử của A.
Bài toán 11.50. Trên mặt phẳng toạ độ cho 101 đường thẳng và đánh dấu tất cả các giao
điểm của chúng. Hỏi có thể xảy ra hay không tình huống trên mỗi đường thẳng có đúng 50
điểm đánh dấu có hoành độ dương và 50 điểm được đánh dấu khác có hoành độ âm.
a