1. Posted by StRyKeR
2. Posted by manlio
3. Posted by manlio
4. Posted by hxtung
Tuyển tập Bất Đẳng Thức Solved Nguyễn Việt Anh Ngày 16 tháng 7 năm 2005 1 1. Posted by StRyKeR Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+ y + z = 1. Chứng minh rằng : xny + ynz + znx ≤ n n (n+ 1)n+1 2. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các sổ thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng : (x1 + x2 + . . .+ xn + 1) 2 ≥ 4(x21 + x22 + ....+ x2n) 3. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương. Chứng minh rằng : 1 x1 + 2 x1 + x2 + . . .+ n x1 + x2 + . . .+ xn ≤ ( 1 x1 + 1 x2 + . . .+ 1 xn ) 4. Posted by hxtung Tìm hằng số k, k′ tốt nhất sao cho k ≤ v v + w + w w + x + x x+ y + y y + z + z z + v ≤ k′ với mọi số thực v, w, x, y, z 5. Posted by pcalin Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:√ (x+ y + z) (1 x + 1 y + 1 z ) ≥ 1 + √ 1 + √ (x2 + y2 + z2) ( 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 ) 6. Posted by Mitzah Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC bc cosA+ ca cosB + ab cosC a sinA+ b sinB + c sinC ≥ 2r 7. Posted by georg Chứng minh rằng (1 2 )n−1 ≤ x2n + (1− x2)n ≤ 1 trong đó n > 1 2 8. Posted by Maverick Tam giác ABC thỏa mãn sinA sinB sinC = 1 3 . Chứng minh khi đó ta có : p3 + Sr + abc > 4R2p 9. Posted by Lagrangia Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a+ c = 2b và đặt A = ax+ by + cz az + by + cx B = ay + bz + cx ax+ bz + cy C = az + by + cx ay + bz + cx Chứng minh rằng maxA,B,C ≥ 1 10. Posted by vineet Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 : (2a+ b+ c)2 2a2 + (b+ c)2 + (a+ 2b+ c)2 2b2 + (c+ a)2 + (a+ b+ 2c)2 2c2 + (a+ b)2 ≤ 8 11. Posted by treegoner Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:( tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 ) ( √ cothA cothB + √ cothB cothC + √ cothC cothA) ≤ 3 12. Posted by DusT Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 2R r ≤ E1 E2 trong đó E1 = 1 sinA + 1 sinB + 1 sinC E2 = sinA+ sinB + sinC 3 13. Posted by Reyes Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√ a3 a3 + (b+ c)3 + √ b3 b3 + (c+ a)3 + √ c3 c3 + (a+ b)3 ≤ 1 14. Posted by Maverick Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = 4 √ abcd. Chứng minh rằng a+ d2 b + c+ a2 d + b+ c2 a + d+ b2 c ≥ 4(1 + E) 15. Posted by Alexander Khrabrov Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và a1 ≥ a2 ≥ . . . an ≥ an+1 = 0 Chứng minh rằng n∑ k=1 akbk ≤ [ Pn i=1 bi ] +1∑ k=1 ak 16. Posted by Lagrangia Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng cosA+ cosB + cosC < sinA+ sinB + sinC 17. Posted by galois Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức cos (A−B 2 ) + cos (B − C 2 ) + cos (C − A 2 ) ≥ sin (3A 2 ) + sin (3B 2 ) + sin (3C 2 ) 18. Posted by Valentin Vornicu Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng 2(a+ b+ c)− abc ≤ 10 19. Posted by Michael Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng a2 b2 + 1 + b2 c2 + 1 + c2 a2 + 1 ≥ 3 2 4 20. Posted by hxtung Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong [0, 1 2 ]. Chứng minh rằng( 1 x1 − 1 )( 1 x1 − 1 ) . . . ( 1 x1 − 1 ) ≥ ( n x1 + x2 + . . .+ xn − 1 )n 21. Posted by hxtung Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng 1 a+ b + 1 a+ 2b + · · ·+ 1 a+ nb < n√ a(a+ b) 22. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x1x2 . . . xn thỏa mãn x1x2 . . . xn = 1 bất đẳng thức sau xảy ra 1 n− 1 + x1 + 1 n− 1 + x2 + · · ·+ 1 n− 1 + xn ≤ 1 23. Posted by Mitzah Chứng minh rằng √ 2n+ 1− √ 2n+ √ 2n− 1− · · · − √ 2 + 1 > √ 2n+ 1 2 24. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1]. Chứng minh rằng 1 (1− x)(1− y)(1− z) + 1 (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 2 25. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z = 3. Chứng minh rằng √ x+ √ y + √ z ≥ xy + yz + zx 26. Posted by keira-khtn Chứng minh rằng 2x2 2x2 + (y + z)2 + 2y2 2y2 + (z + x)2 + 2z2 2z2 + (x+ y)2 ≤ 1 5 27. Posted by georg Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng mambmc ≥ rarbrc 28. Posted by alekk Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau xy + yx > 1 29. Posted by billzhao Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin 2A+ sin 2B + sin 2C ≤ sinA+ sinB + sinC 30. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng 5(x+ y + z) + 18 ≥ 8(√xy +√yz +√zx) 31. Posted by Mitzah Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c a a+ 2b+ c + b b+ 2c+ a + c c+ 2a+ b ≤ 1 32. Posted by Lagrangia Cho x1, x2, x3, x4, x5 > 0. Chứng minh rằng (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) 2 ≥ 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1) 33. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3(a+ b+ c) ≥ ab+ bc+ ca+ 2 Chứng minh rằng a3 + bc 2 + b3 + ca 3 + c3 + ab 5 ≥ √ abc( √ a+ √ b+ √ c) 3 6 34. Posted by hxtung Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt S = a+ b+ c+ d T = ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd R = abc+ abd+ acd+ bcd H = abcd Chứng minh rằng S 4 ≥ √ T 6 ≥ 3 √ R 4 ≥ 4 √ H 35. Posted by Maverick Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức a(hb + hc) + b(hc + ha) + c(ha + hb) ≥ 12S 36. Posted by Lagrangia Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng 3 √ S ≤ p+ 4 √ abcd 37. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3 + b3 c + b3 + c3 a + c3 + a3 b ≥ 2 3 ( √ ab+ √ bc+ √ ca)2 38. Posted by hxtung Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn và thỏa mãn (x1) k + (x2) k + · · ·+ (xn)k ≥ 0 với mọi số nguyên dương k. Đặt d = max |x1|, . . . , |xn| Chứng minh rằng x1 = d và (x− x1)(x− x2) · · · (x− xn) ≤ xn − dn với mọi số thực x ≥ d 7 39. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng abc+ bcd+ cda+ dab ≤ 1 + 176abcd 27 40. Posted by keira-khtn Với x1, x2, . . . , xn và y1, y2, . . . , yn là các số thực dương. Chứng minh rằng∑ min (xixj, yiyj) ≤ ∑ min (xiyj, xjyi) 41. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c ≥ 6. Chứng minh rằng√ a2 + 1 b+ c + √ b2 + 1 c+ a + √ c2 + 1 a+ b ≥ 3 √ 17 2 42. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức√ (a2b+ b2c+ c2a)(ab2 + bc2 + ca2) ≥ abc+ 3 √ (a3 + abc)(b3 + abc)(c3 + abc) 43. Posted by Myth Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng√ x+ 3 √ y + 4 √ z ≥ 32√xyz 44. Posted by Maverick Cho a, b > 0.Đặt A = ( √ a+ √ b)2 B = a+ 3 √ a2b+ 3 √ ab2 + b 4 C = a+ √ ab+ b 3 Chứng minh rằng A ≤ B ≤ C 8 45. Posted by hxtung Cho x, y, z là cá số thực dương. Chứng minh rằng 3(x2 − x+ 1)(y2 − y + 1)(z2 − z + 1) ≥ (xyz)2 + xyz + 1 46. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c (a+ b− c)2(b+ c− a)2(c+ a− b)2 ≥ (a2 + b2 − c2)(b2 + c2 − a2)(c2 + a2 − b2) 47. Posted by Lagrangia Cho tam giác ABC thỏa mãn  ≤ B̂ ≤ Ĉ ≤ pi 2 và B̂ ≥ pi 3 . Chứng minh rằng mb ≥ ha 48. Posted by alekk Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≤ a2b+ b2c+ c2a+ 1 49. Posted by alekk Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng √ b+ c( √ a+ b+ √ a+ c) ≥ b+ c 2 + √ ab+ √ ac 50. Posted by Arne Chứng minh bất đẳng thức cosec pi 2 + cosec pi 4 + · · ·+ cosec pi 2n−1 ≤ cosec pi 2n luôn đúng với mọi số nguyên dương n. Trong đó cosec(x) = 1 sinx với x 6= kpi 51. Posted by Lagrangia Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2. Chứng minh rằng n− 1 2 (an + bn) + cn ≥ nabc ( a+ b 2 )n−3 9 52. Posted by Maverick Cho các số thự dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng x1 x1x2 x2 · · ·xnxn ≥ (x1 + x2 + · · ·+ xn n )x1+x2+···+xn 53. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a c + b a + c b ≥ a+ b+ c 54. Posted by hxtung Cho dãy số x1, x2, . . . , xn thỏa mãn x1 + x2 + · · ·+ xk ≤ √ k với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n. Chứng minh rằng x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n ≥ 1 4 ( 1 + 1 2 + · · ·+ 1 n ) 55. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+ bc+ ca = 1. Chứng minh rằng a√ 1 + a2 + b√ 1 + b2 + c√ 1 + c2 ≤ 3 2 56. Posted by Maverick Cho các số dương a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn. Chứng minh rằng( a1 + a2 + · · ·+ an b1 + b2 + · · ·+ bn )b1+b2+···+bn ≥ ( a1 b1 )b1 (a2 b2 )b2 · · · ( an bn )bn 57. Posted by alekk Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x3 x2 + y2 + y3 y2 + z2 + z3 z2 + x2 ≥ x+ y + z 2 10 58. Posted by Cho các số a1, a2, . . . , an−1 > 0 thỏa mãn a1 + a2 + · · ·+ an = 1 và b1, b2, . . . , bn là các số thực. Chứng minh bất đẳng thức b21 + b22 a1 + · · ·+ b 2 n an−1 ≥ 2b1(b2 + · · ·+ bn) 59. Posted by manlio Chứng minh rằng với các số thực dương a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức( 1 + a21 a2 )( 1 + a22 a3 ) · · · ( 1 + an1 a1 ) ≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) 60. Posted by Moubinool Chứng minh rằng a3 x + b3 y + c3 z ≥ (a+ b+ c) 3 3(x+ y + z) với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z 61. Posted by cezar lupu Cho hàm số f : R→ R thỏa mãn f(x) + f(y) ≤ 2− |x− y| với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng f(x) ≤ 1 với mọi số thực x. 62. Posted by hxtung Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong khoảng ( 0, pi 2 ) sao cho tan x1 + tanx2 + · · ·+ tan xn ≤ n Chứng minh rằng sin x1 sin x2 · · · sin xn ≤ 1√ 2n 63. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 + ab2 c3 + 1 + bc2 a3 + 1 + ca2 b3 ≥ 18 a3 + b3 + c3 11 64. Posted by Maverick Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Chứng minh rằng a2 − b2 c + b2 − c2 a + c2 − a2 b ≥ 3a− 4b+ c 65. Posted by Maverick Cho x, y, z ≥ 1. Chứng minh rằng xx 2+2yzyy 2+2zxzz 2+2xy ≥ (xyz)xy+yz+zx 66. Posted by Maverick Cho các số thực a1, a2, · · · , an nằm trong khoảng ( 0, 1 2 ) và thỏa a1 + a2 + · · ·+ an = 1 Chứng minh rằng ( 1 a1 − 1 )( 1 a2 − 1 ) · · · ( 1 an − 1 ) ≥ (n2 − 1)n 67. Posted by hxtung Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1, a2, · · · , an ta có bất đẳng thức a1 a2 + a3 + a2 a3 + a4 + · · ·+ an a1 + a2 > n 4 68. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab+ bc+ cd+ da = 1. Chứng minh rằng a3 b+ c+ d + b3 a+ c+ d + c3 a+ b+ d + d3 a+ b+ c ≥ 1 3 69. Posted by hxtung Cho tam giác ABC. Đặt x = r R , y = a+ b+ c 2R Chứng minh rằng y ≥ √x( √ 6 + √ 2− x) 12 70. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng x3 (1 + y)(1 + z) + y3 (1 + z)(1 + x) + z3 (1 + x)(1 + y) ≥ 3 4 71. Posted by Arne Cho a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1. Chứng minh rằng min (ai − aj) ≤ 1 10 72. Posted by Lagrangia Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng 1 sin A 2 + 1 sin B 2 + 1 sin C 2 ≥ 2 ( 1 cos A−B 4 + 1 cos B−C 4 + 1 cos C−A 4 ) 73. Posted by Maverick Cho các số thực dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng∑ xixj(x 2 i + x 2 j) ≤ ( ∑ xi) 4 8 74. Posted by hxtung Chứng minh rằng a21 + ( a1 + a2 2 )2 + · · ·+ ( a1 + a2 + · · ·+ an n )2 ≤ 4(a21 + a22 + · · ·+ a2n) 75. Posted by Maverick Cho a, b, c & ... b, c > 0 thỏa mãn max(a, b, c) < 2min(a, b, c) chứng minh rằng 27a2b2c2 ≥ (2b− a)(2c− b)(2a− c)(a+ b+ c)3 46 304. Posted by manlio Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có ma(bc− a2) +mb(ca− b2) +mc(ab− c2) ≥ 0 305. Posted by Lagrangia Cho a, b, c ∈ R thỏa a ≥ b ≥ c. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca ≥ 7 3 (a− b)(b− c) 306. Posted by harazi Cho x, y, z > 0 thoar xy + yz + zx+ xyz = 4. Chứng minh rằng 3 ( 1√ x + 1√ y + 1√ z )2 ≥ (x+ 2)(y + 2)(z + 2) 307. Posted by wpolly Cho x ∈ [1.5, 5]. Chứng minh rằng(√ 2x− 3 +√15− 3x+√x+ 1 )2 < 71.25 308. Posted by nickolas Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 + a+ b + 1 1 + b+ c + 1 1 + c+ a ≤ 1 2 + a + 1 2 + b + 1 2 + c 309. Posted by Namdung Cho x1, x2, · · · , x2004 là các số thực thỏa −1 ≤ xi ≤ 1 với i = 1, 2, . . . , 2004 thỏa mãn x31 + x 3 2 + · · ·+ x32004 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của x1 + x2 + · · ·+ x2004 310. Posted by manlio Cho xi, yi với i = 1, 2, . . . , n là 2n số thực dương thỏa mãn xi + yi = 1. Chứng minh rằng (1− x1x2 · · ·xn)m + (1− ym1 )(1− ym2 ) · · · (1− ymn ) ≥ 1 47 311. Posted by harazi Cho a, b, c ≥ 0 thỏa ab+ bc+ ca = 3. Chứng minh rằng a2 − a+ b2 − b+ c2 − c ≥ 1− abc 312. Posted by xxxxtt Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5 3 . Chứng minh rằng 1 a + 1 b − 1 c < 1 abc 313. Posted by khoa Cho a, y, x, t > 0 thoar xy + xz + xt+ yz + yt+ zt = 6. Chứng minh rằng√ x4 + 1 2 + √ y4 + 1 2 + √ z4 + 1 2 ≤ x2 + y2 + z2 + t2 314. Posted by Lagrangia Cho hàm số f : R → (0,∞) là hàm tăng nghiêm ngặt. Giả sử rằng a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an. Chứng minh rằng f(a1) f(a2) + f(a2) f(a3) + · · ·+ f(an) f(a1) ≥ f(a2) f(a1) + f(a3) f(a2) + · · ·+ f(a1) f(an) 315. Posted by harazi Cho a1, a2, . . . , an là các số thực thỏa a 2 1 + a 2 2 + · · ·+ a2n = 1. Chứng minh rằng n+ 1 ≥ (a1 + a2 + · · ·+ an)(a1 + a2 + · · ·+ an + a31 + a32 + · · ·+ a3n) 316. Posted by Namdung Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với mọi cặp số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 > bc ta có bất đẳng thức (a2 − bc)2 > k(b2 − ca)(c2 − ab) 317. Posted by nickolas Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ (a+ b+ c) 3 4 48 318. Posted by khoa Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng (a) √ 8a2 + 1 + √ 8b2 + 1 + √ 8c2 + 1 ≤ 3(a+ b+ c) (b) Tổng quát với 0 ≤ k ≤ 8 ta có bất đẳng thức √ ka2 + 9− k + √ kb2 + 9− k + √ kc2 + 9− k ≤ 3(a+ b+ c) (c) Tìm số k lớn nhất để bất đẳng thức trên đúng 319. Posted by khoa Cho a, b, c > 0 thỏa a 4 3 + b 4 3 + c 4 3 = 3. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 21 ≥ √ (a+ b)(a+ c) + √ (b+ c)(b+ a) + √ (c+ a)(c+ b) 320. Posted by nickolas Cho a, b, c ≥ 0 sao cho 2max(a2, b2, c2) ≤ a2 + b2 + c2. Chứng minh rằng (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3) ≥ 4(a6 + b6 + c6) 321. Posted by Lagrangia Cho 0 < a1 < a2 < · · · < an. Chứng minh rằng 1 a1 + 1 a2 + · · ·+ 1 an ≤ 1 a1an ( n(a1 + an)− (a1 + a2 + · · ·+ an) ) 322. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a2(2a+ b) + b2(2b+ 3) + c2(2c+ 3) ≥ 3(9abc− 1) 323. Posted by Namdung Cho x, y, z > 0 thỏa x+ y + z = xyz. Chứng minh rằng 3125x6y4z2 ≤ 729(1 + x2)3(1 + y2)2(1 + z2) 324. Posted by Arrne Cho a, b, c thỏa a+ b+ c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 > 0⇔ a5 + b5 + c5 49 325. Posted by Gil Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng (a2 + b2 + c2)(−a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c) ≤ abc(ab+ bc+ ca) 326. Posted by harazi Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+ b+ c ≤ 3. Chứng minh bất đẳng thức 9 (1 a + 1 b + 1 c ) − 3 ≥ 8(a+ b+ c) abc 327. Posted by harazi Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (a2 + b2) ( 2ab a+ c − c ) + (b2 + c2) ( 2bc b+ a − a ) + (c2 + a2) ( 2ca c+ b − b ) ≥ 0 328. Posted by A1lqdSchool Cho x, y, z là các số thực dương thỏa x+ y + z = 2. Chứng minh rằng x2y + y2z + z2x ≤ 1 + x 4 + y4 + z4 2 329. Posted by Namdung Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn (x+ y + z)3 = 32xyz. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x4 + y4 + z4 x+ y + z 330. Posted by arosisi Chứng minh rằng tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 ≥ 2 + 8 sin A 2 sin B 2 sin C 2 ≥ 2 331. Posted by darij grinberg Cho x1, x2, · · · , x100 là các số nguyên dương thỏa mãn 1 x1 + 1 x2 + · · ·+ 1 x100 = 20 Chứng minh rằng có ít nhất hai số bằng nhau 50 332. Posted by manlio Cho a ≥ b ≥ c ≥ d. Chứng minh rằng (a+ b+ c+ d)2 ≥ 8(ac+ bd) 333. Posted by Arrne Chứng minh bất đẳng thức sau vơi mọi số thực a, b, c (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab+ bc+ ca) 334. Posted by Lagrangia Chứng minh răng với ∀x, y, z > 0 ta có bất đẳng thức x (x+ y)(x+ z) + y (y + z)(y + x) + z (z + x)(z + y) ≤ 9 4(x+ y + z) 335. Posted by manlio Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có (x2y + y2z + z2x)(xy2 + yz2 + zx2) ≥ xyz(x+ y + z)3 336. Posted by arosisi Cho a, b, c ≥ 0 và thỏa mãn điều kiện tồn tại căn thức. Chứng minh rằng √ 1− x+ √ 4− y + x+ √ 9− z + y +√16 + z ≤ 10 337. Posted by harazi Các số thực a, b, c, d thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16. Chứng minh rằng ab+ bc+ cd+ da+ ac+ bd ≤ 5 + abcd 338. Posted by sigma Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa (a+ b)(b+ c)(c+ d)(d+ a) = 1. Chứng minh rằng (2a+ b+ c)(2b+ c+ d)(2c+ d+ a)(2d+ a+ b)a2b2c2d2 ≤ 1 16 339. Posted by georg Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 thỏa ab+ bc+ ca = 2abc. Chứng minh rằng √ a+ b+ c ≥ √a− 1 +√b− 1 +√c− 1 51 340. Posted by Anh Cuong Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0. Chứng minh rằng x2y z + y2z x + z2x y ≥ 2(x2 + y2 + z2)− xy − yz − zx 341. Posted by treegoner Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta có a6 + b6 + c6 (a2 + b2 + c2)2 ≥ R2 342. Posted by hxtung Cho a, b, c là các số thuiực dưong. Chứng minh rằng 3 √ (a+ b)(b+ c)(c+ a) 8 ≥ √ ab+ bc+ ca 3 343. Posted by romano Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta có (cosA)3 + (cosB)3 ≥ 2(cos A+B 2 )2 344. Posted by Minh Thang Cho tam giac ABC. Chứng minh rằng 9 4 ≥ sin2A+ sin2B + sin2C + 1 3 (ma −mb c + mb −m− c a + mc −ma b ) ≥ 2 345. Posted by fuzzylogic Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng ab a5 + b5 + ab + bc b5 + c5 + bc + ca c5 + a5 + ca ≤ 1 346. Posted by Fierytycoon Cho ai ≥ 1 với i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh rằng (1 + a1)(2 + a2) · · · (1 + an) ≥ 2 n n+ 1 (1 + a1 + b1 + · · ·+ an) 52 347. Posted by ThAzN1 Chứng minh rằng với x, y, z > 0 ta có x2 + 1 (x+ y)(x+ z) + y2 + 1 (y + z)(y + x) + z2 + 1 (z + x)(z + y) ≥ ( √ x+ √ y + √ z)2 2(x2 + y2 + z2) 348. Posted by wpolly Cho các số a1, a2, a3, a4, a5 thỏa mãn 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 a4 + 1 a5 = 1 Chứng minh rằng a 4 + a21 + a 4 + a22 + a 4 + a23 + a 4 + a24 + a 4 + a25 ≤ 1 349. Posted by xtar Cho x, y, z > 0 chứng minh rằng 1 3 ( x+ y2 x + z3 y2 )(x+ y 2 )2 ≥ (x+ y + z 3 )3 ≥ z (x+ y 2 )2 350. Posted by manlio Cho a, b, c là 3 cạnh ta giác và x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng a2x2 + b2y2 + c2z2 ≥ xy(a2 + b2 − c2) + yz(b2 + c2 − a2) + zx(c2 + a2 − b2) 351. Posted by harazi Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 6 và a+ b+ c ≥ 2 +max(a, b, c). Tìm giá trị nhỏ nhất của √ 4− a2 + √ 4− b2 + √ 4− c2 352. Posted by MM.Karim Cho 1 > a, , b, c > −1. Chứng minh rằng ab+ bc+ ca+ 1 > 0 353. Posted by Heman 53 354. Posted by TonyCui Cho x ∈ (0, pi 4 ). Chứng minh rằng sin ln sinx < cos ln cos x 355. Posted by nickolas Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có mamb ab + mbmc bc + mcma ca ≥ 9 4 356. Posted by ThAzN1 Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng 1 a+ bc+ 3abc + 1 b+ ca+ 3abc + 1 c+ ab+ 3abc ≥ 2 ab+ bc+ ca+ abc 357. Posted by TonyCui Cho x, y > 0. Chứng minh rằng xx + yy ≥ xy + yx 358. Posted by keira-khtn Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng (a5 − a2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c2 + 3) ≥ (a+ b+ c)3 359. Posted by cuong Cho a, y, z > 0 thỏa a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng√ x+ (y − z)2 12 + √ y + (z − x)2 12 + √ z + (x− y)2 12 ≤ √ 3 360. Posted by keira-khtn Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất S = xx 361. Posted by RNecula Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng m2a +m 2 b +m 2 c ma +mb +mc ≥ 3S 2 54 362. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng (xy + yz + zx) ( 1 (x+ y)2 + 1 (y + z)2 + 1 (z + x)2 ) ≥ 9 4 363. Posted by phuchung Chứng minh rằng cosA 1− cosA + cosB 1− cosB + cosC 1− cosC ≥ 3 364. Posted by romano Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực. Chứng minh rằng (n− 1)(x21 + x22 + · · ·+ x2n) + n n √ x21x 2 2 · · ·x2n ≥ (x1 + x2 + · · ·+ xn)2 365. Posted by bénabar Chứng minh rằng với R > 0 ta có∫ pi 2 0 e−R sinxdx ≤ pi 2R (1− e−R) 366. Posted by amir2 Chứng minh trong mọi tam giác ta có 1− sinA 1 + sinA + 1− sinB 1 + sinB + 1− sinC 1 + sinC ≤ 1 367. Posted by nickolas Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có R 2r ≥ ma ha ≥ 1 2 (b c + c b ) 368. Posted by Mamat Chứng minh với mọi a, b, c > 0 ta có a 7 + b3 + c3 + b 7 + a3 + c3 + c 7 + a3 + b3 ≤ 1 3 55 369. Posted by nthd Cho a1, a2, . . . , an là các số tự nhiên phân biệt và số thực cho trước x ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của E = ax1 ln a1 + a x 2 ln a2 + · · ·+ axn ln an ax1 + a x 2 + · · ·+ axn 370. Posted by mahbub Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k, n thỏa 1 ≤ k ≤ 2n ta có( 2n+ 1 k − 1 ) + ( 2n+ 1 k + 1 ) ≥ 2 · n+ 1 n+ 2 · · · ( 2n+ 1 k ) 371. Posted by cezar Dãy số {an} đuợc định nghĩa như sau x1 > 0 và x(n+ 1) = x1 n+ 1 + x2 n+ 2 + · · ·+ xn n+ n Chứng minh rằng xn họi tụ về 0. 372. Posted by Lagrangia -BĐT Karamata Cho 2 dãy số x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn và y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn thỏa mãn ? x1 ≥ y1 ? x1 + x2 ≥ y1 + y2 ? · · · · · · ? x1 + x2 + · · ·+ xn−1 ≥ y1 + y2 + · · ·+ yn−1 ? x1 + x2 + · · ·+ xn = y1 + y2 + · · ·+ yn Khi đó với mọi hàm số lồi f ta đều có f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn) ≥ f(y1) + f(y2) + · · ·+ f(yn) 373. Posted by hxtung Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng a2 a2 + 2bc + b2 b2 + 2ca + c2 c2 + 2ab ≥ 1 ≥ bc a2 + 2bc + ac b2 + 2ac + ba c2 + 2ba 374. Posted by minhkhoa Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab+ bc+ ca = 3. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + abc ≥ a+ b+ c+ 1 56 375. Posted by galois Cho tam giác ABC chứng minh rằng sinA+ sinB + sinC > 2 376. Posted by Viet Math Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương ta có √ a4 + b4 + c4 + √ a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ √ a3b+ b3c+ c3a+ √ ab3 + bc3 + ca3 377. Posted by levi Cho x, y, z > 0 thỏa xy + yz + zx+ xyz = 4. Chứng minh rằng 1 + x+ y + z ≤ x+ y + z + 1 x + 1 y + 1 z 378. Posted by silouan Cho a, b, c, x, y, z > 0. Chứng minh rằng xn (y + z)m + yn (z + x)m + zn (x+ y)m ≥ x n−m + yn−m + zn−m 2m 379. Posted by romano Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng (a) a 1 + b + b 1 + c + c 1 + a ≥ 3 2 (b) a 2 + b + b 2 + c + c 2 + a ≤ 1 57 Sẽ tiếp tục được cập nhật ... 58
Tài liệu đính kèm: