Tuyển tập Bất Đẳng Thức Solved

Tuyển tập Bất Đẳng Thức Solved

1. Posted by StRyKeR

2. Posted by manlio

3. Posted by manlio

4. Posted by hxtung

 

pdf 58 trang Người đăng ngochoa2017 Lượt xem 1313Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập Bất Đẳng Thức Solved", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tuyển tập Bất Đẳng Thức Solved
Nguyễn Việt Anh
Ngày 16 tháng 7 năm 2005
1
1. Posted by StRyKeR
Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+ y + z = 1. Chứng minh rằng :
xny + ynz + znx ≤ n
n
(n+ 1)n+1
2. Posted by manlio
Cho x1, x2, . . . , xn là các sổ thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng :
(x1 + x2 + . . .+ xn + 1)
2 ≥ 4(x21 + x22 + ....+ x2n)
3. Posted by manlio
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương. Chứng minh rằng :
1
x1
+
2
x1 + x2
+ . . .+
n
x1 + x2 + . . .+ xn
≤
( 1
x1
+
1
x2
+ . . .+
1
xn
)
4. Posted by hxtung
Tìm hằng số k, k′ tốt nhất sao cho
k ≤ v
v + w
+
w
w + x
+
x
x+ y
+
y
y + z
+
z
z + v
≤ k′
với mọi số thực v, w, x, y, z
5. Posted by pcalin
Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:√
(x+ y + z)
(1
x
+
1
y
+
1
z
)
≥ 1 +
√
1 +
√
(x2 + y2 + z2)
( 1
x2
+
1
y2
+
1
z2
)
6. Posted by Mitzah
Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC
bc cosA+ ca cosB + ab cosC
a sinA+ b sinB + c sinC
≥ 2r
7. Posted by georg
Chứng minh rằng (1
2
)n−1
≤ x2n + (1− x2)n ≤ 1
trong đó n > 1
2
8. Posted by Maverick
Tam giác ABC thỏa mãn sinA sinB sinC = 1
3
. Chứng minh khi đó ta có :
p3 + Sr + abc > 4R2p
9. Posted by Lagrangia
Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a+ c = 2b và đặt
A =
ax+ by + cz
az + by + cx
B =
ay + bz + cx
ax+ bz + cy
C =
az + by + cx
ay + bz + cx
Chứng minh rằng maxA,B,C ≥ 1
10. Posted by vineet
Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 :
(2a+ b+ c)2
2a2 + (b+ c)2
+
(a+ 2b+ c)2
2b2 + (c+ a)2
+
(a+ b+ 2c)2
2c2 + (a+ b)2
≤ 8
11. Posted by treegoner
Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:(
tan
A
2
+ tan
B
2
+ tan
C
2
)
(
√
cothA cothB +
√
cothB cothC +
√
cothC cothA) ≤ 3
12. Posted by DusT
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
2R
r
≤ E1
E2
trong đó
E1 =
1
sinA
+
1
sinB
+
1
sinC
E2 = sinA+ sinB + sinC
3
13. Posted by Reyes
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√
a3
a3 + (b+ c)3
+
√
b3
b3 + (c+ a)3
+
√
c3
c3 + (a+ b)3
≤ 1
14. Posted by Maverick
Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = 4
√
abcd. Chứng minh rằng
a+ d2
b
+
c+ a2
d
+
b+ c2
a
+
d+ b2
c
≥ 4(1 + E)
15. Posted by Alexander Khrabrov
Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và
a1 ≥ a2 ≥ . . . an ≥ an+1 = 0
Chứng minh rằng
n∑
k=1
akbk ≤
[
Pn
i=1 bi
]
+1∑
k=1
ak
16. Posted by Lagrangia
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng
cosA+ cosB + cosC < sinA+ sinB + sinC
17. Posted by galois
Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức
cos
(A−B
2
)
+ cos
(B − C
2
)
+ cos
(C − A
2
)
≥ sin
(3A
2
)
+ sin
(3B
2
)
+ sin
(3C
2
)
18. Posted by Valentin Vornicu
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng
2(a+ b+ c)− abc ≤ 10
19. Posted by Michael
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
a2
b2 + 1
+
b2
c2 + 1
+
c2
a2 + 1
≥ 3
2
4
20. Posted by hxtung
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong [0,
1
2
]. Chứng minh rằng( 1
x1
− 1
)( 1
x1
− 1
)
. . .
( 1
x1
− 1
)
≥
( n
x1 + x2 + . . .+ xn
− 1
)n
21. Posted by hxtung
Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng
1
a+ b
+
1
a+ 2b
+ · · ·+ 1
a+ nb
<
n√
a(a+ b)
22. Posted by hxtung
Chứng minh rằng với các số thực dương x1x2 . . . xn thỏa mãn x1x2 . . . xn = 1 bất đẳng
thức sau xảy ra
1
n− 1 + x1 +
1
n− 1 + x2 + · · ·+
1
n− 1 + xn ≤ 1
23. Posted by Mitzah
Chứng minh rằng
√
2n+ 1−
√
2n+
√
2n− 1− · · · −
√
2 + 1 >
√
2n+ 1
2
24. Posted by hxtung
Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1]. Chứng minh rằng
1
(1− x)(1− y)(1− z) +
1
(1 + x)(1 + y)(1 + z)
≥ 2
25. Posted by hxtung
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z = 3. Chứng minh rằng
√
x+
√
y +
√
z ≥ xy + yz + zx
26. Posted by keira-khtn
Chứng minh rằng
2x2
2x2 + (y + z)2
+
2y2
2y2 + (z + x)2
+
2z2
2z2 + (x+ y)2
≤ 1
5
27. Posted by georg
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
mambmc ≥ rarbrc
28. Posted by alekk
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau
xy + yx > 1
29. Posted by billzhao
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
sin 2A+ sin 2B + sin 2C ≤ sinA+ sinB + sinC
30. Posted by hxtung
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng
5(x+ y + z) + 18 ≥ 8(√xy +√yz +√zx)
31. Posted by Mitzah
Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c
a
a+ 2b+ c
+
b
b+ 2c+ a
+
c
c+ 2a+ b
≤ 1
32. Posted by Lagrangia
Cho x1, x2, x3, x4, x5 > 0. Chứng minh rằng
(x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
2 ≥ 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1)
33. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
3(a+ b+ c) ≥ ab+ bc+ ca+ 2
Chứng minh rằng
a3 + bc
2
+
b3 + ca
3
+
c3 + ab
5
≥
√
abc(
√
a+
√
b+
√
c)
3
6
34. Posted by hxtung
Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt
S = a+ b+ c+ d
T = ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd
R = abc+ abd+ acd+ bcd
H = abcd
Chứng minh rằng
S
4
≥
√
T
6
≥ 3
√
R
4
≥ 4
√
H
35. Posted by Maverick
Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức
a(hb + hc) + b(hc + ha) + c(ha + hb) ≥ 12S
36. Posted by Lagrangia
Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng
3
√
S ≤ p+ 4
√
abcd
37. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a3 + b3
c
+
b3 + c3
a
+
c3 + a3
b
≥ 2
3
(
√
ab+
√
bc+
√
ca)2
38. Posted by hxtung
Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn và thỏa mãn
(x1)
k + (x2)
k + · · ·+ (xn)k ≥ 0
với mọi số nguyên dương k. Đặt d = max |x1|, . . . , |xn|
Chứng minh rằng x1 = d và
(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn) ≤ xn − dn
với mọi số thực x ≥ d
7
39. Posted by hxtung
Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
abc+ bcd+ cda+ dab ≤ 1 + 176abcd
27
40. Posted by keira-khtn
Với x1, x2, . . . , xn và y1, y2, . . . , yn là các số thực dương. Chứng minh rằng∑
min (xixj, yiyj) ≤
∑
min (xiyj, xjyi)
41. Posted by hxtung
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c ≥ 6. Chứng minh rằng√
a2 +
1
b+ c
+
√
b2 +
1
c+ a
+
√
c2 +
1
a+ b
≥ 3
√
17
2
42. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức√
(a2b+ b2c+ c2a)(ab2 + bc2 + ca2) ≥ abc+ 3
√
(a3 + abc)(b3 + abc)(c3 + abc)
43. Posted by Myth
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng√
x+
3
√
y + 4
√
z ≥ 32√xyz
44. Posted by Maverick
Cho a, b > 0.Đặt
A = (
√
a+
√
b)2
B =
a+
3
√
a2b+
3
√
ab2 + b
4
C =
a+
√
ab+ b
3
Chứng minh rằng
A ≤ B ≤ C
8
45. Posted by hxtung
Cho x, y, z là cá số thực dương. Chứng minh rằng
3(x2 − x+ 1)(y2 − y + 1)(z2 − z + 1) ≥ (xyz)2 + xyz + 1
46. Posted by hxtung
Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c
(a+ b− c)2(b+ c− a)2(c+ a− b)2 ≥ (a2 + b2 − c2)(b2 + c2 − a2)(c2 + a2 − b2)
47. Posted by Lagrangia
Cho tam giác ABC thỏa mãn  ≤ B̂ ≤ Ĉ ≤ pi
2
và B̂ ≥ pi
3
. Chứng minh rằng
mb ≥ ha
48. Posted by alekk
Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 ≤ a2b+ b2c+ c2a+ 1
49. Posted by alekk
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
√
b+ c(
√
a+ b+
√
a+ c) ≥ b+ c
2
+
√
ab+
√
ac
50. Posted by Arne
Chứng minh bất đẳng thức
cosec
pi
2
+ cosec
pi
4
+ · · ·+ cosec pi
2n−1
≤ cosec pi
2n
luôn đúng với mọi số nguyên dương n. Trong đó cosec(x) = 1
sinx
với x 6= kpi
51. Posted by Lagrangia
Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2. Chứng minh rằng
n− 1
2
(an + bn) + cn ≥ nabc
(
a+ b
2
)n−3
9
52. Posted by Maverick
Cho các số thự dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng
x1
x1x2
x2 · · ·xnxn ≥
(x1 + x2 + · · ·+ xn
n
)x1+x2+···+xn
53. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
a
c
+
b
a
+
c
b
≥ a+ b+ c
54. Posted by hxtung
Cho dãy số x1, x2, . . . , xn thỏa mãn
x1 + x2 + · · ·+ xk ≤
√
k
với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n. Chứng minh rằng
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n ≥
1
4
(
1 +
1
2
+ · · ·+ 1
n
)
55. Posted by Maverick
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+ bc+ ca = 1. Chứng minh rằng
a√
1 + a2
+
b√
1 + b2
+
c√
1 + c2
≤ 3
2
56. Posted by Maverick
Cho các số dương a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn. Chứng minh rằng(
a1 + a2 + · · ·+ an
b1 + b2 + · · ·+ bn
)b1+b2+···+bn
≥
(
a1
b1
)b1 (a2
b2
)b2
· · ·
(
an
bn
)bn
57. Posted by alekk
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng
x3
x2 + y2
+
y3
y2 + z2
+
z3
z2 + x2
≥ x+ y + z
2
10
58. Posted by
Cho các số a1, a2, . . . , an−1 > 0 thỏa mãn a1 + a2 + · · ·+ an = 1 và b1, b2, . . . , bn là các số
thực. Chứng minh bất đẳng thức
b21 +
b22
a1
+ · · ·+ b
2
n
an−1
≥ 2b1(b2 + · · ·+ bn)
59. Posted by manlio
Chứng minh rằng với các số thực dương a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức(
1 +
a21
a2
)(
1 +
a22
a3
)
· · ·
(
1 +
an1
a1
)
≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an)
60. Posted by Moubinool
Chứng minh rằng
a3
x
+
b3
y
+
c3
z
≥ (a+ b+ c)
3
3(x+ y + z)
với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z
61. Posted by cezar lupu
Cho hàm số f : R→ R thỏa mãn
f(x) + f(y) ≤ 2− |x− y|
với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng f(x) ≤ 1 với mọi số thực x.
62. Posted by hxtung
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong khoảng
(
0, pi
2
)
sao cho
tan x1 + tanx2 + · · ·+ tan xn ≤ n
Chứng minh rằng
sin x1 sin x2 · · · sin xn ≤ 1√
2n
63. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1 + ab2
c3
+
1 + bc2
a3
+
1 + ca2
b3
≥ 18
a3 + b3 + c3
11
64. Posted by Maverick
Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Chứng minh rằng
a2 − b2
c
+
b2 − c2
a
+
c2 − a2
b
≥ 3a− 4b+ c
65. Posted by Maverick
Cho x, y, z ≥ 1. Chứng minh rằng
xx
2+2yzyy
2+2zxzz
2+2xy ≥ (xyz)xy+yz+zx
66. Posted by Maverick
Cho các số thực a1, a2, · · · , an nằm trong khoảng
(
0, 1
2
)
và thỏa
a1 + a2 + · · ·+ an = 1
Chứng minh rằng (
1
a1
− 1
)(
1
a2
− 1
)
· · ·
(
1
an
− 1
)
≥ (n2 − 1)n
67. Posted by hxtung
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1, a2, · · · , an ta có bất đẳng thức
a1
a2 + a3
+
a2
a3 + a4
+ · · ·+ an
a1 + a2
>
n
4
68. Posted by Maverick
Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab+ bc+ cd+ da = 1. Chứng minh rằng
a3
b+ c+ d
+
b3
a+ c+ d
+
c3
a+ b+ d
+
d3
a+ b+ c
≥ 1
3
69. Posted by hxtung
Cho tam giác ABC. Đặt
x =
r
R
, y =
a+ b+ c
2R
Chứng minh rằng
y ≥ √x(
√
6 +
√
2− x)
12
70. Posted by Maverick
Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng
x3
(1 + y)(1 + z)
+
y3
(1 + z)(1 + x)
+
z3
(1 + x)(1 + y)
≥ 3
4
71. Posted by Arne
Cho a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1. Chứng minh rằng
min (ai − aj) ≤ 1
10
72. Posted by Lagrangia
Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng
1
sin A
2
+
1
sin B
2
+
1
sin C
2
≥ 2
(
1
cos A−B
4
+
1
cos B−C
4
+
1
cos C−A
4
)
73. Posted by Maverick
Cho các số thực dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng∑
xixj(x
2
i + x
2
j) ≤
(
∑
xi)
4
8
74. Posted by hxtung
Chứng minh rằng
a21 +
(
a1 + a2
2
)2
+ · · ·+
(
a1 + a2 + · · ·+ an
n
)2
≤ 4(a21 + a22 + · · ·+ a2n)
75. Posted by Maverick
Cho a, b, c & ... b, c > 0 thỏa mãn max(a, b, c) < 2min(a, b, c) chứng minh rằng
27a2b2c2 ≥ (2b− a)(2c− b)(2a− c)(a+ b+ c)3
46
304. Posted by manlio
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có
ma(bc− a2) +mb(ca− b2) +mc(ab− c2) ≥ 0
305. Posted by Lagrangia
Cho a, b, c ∈ R thỏa a ≥ b ≥ c. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca ≥ 7
3
(a− b)(b− c)
306. Posted by harazi
Cho x, y, z > 0 thoar xy + yz + zx+ xyz = 4. Chứng minh rằng
3
( 1√
x
+
1√
y
+
1√
z
)2
≥ (x+ 2)(y + 2)(z + 2)
307. Posted by wpolly
Cho x ∈ [1.5, 5]. Chứng minh rằng(√
2x− 3 +√15− 3x+√x+ 1
)2
< 71.25
308. Posted by nickolas
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng
1
1 + a+ b
+
1
1 + b+ c
+
1
1 + c+ a
≤ 1
2 + a
+
1
2 + b
+
1
2 + c
309. Posted by Namdung
Cho x1, x2, · · · , x2004 là các số thực thỏa −1 ≤ xi ≤ 1 với i = 1, 2, . . . , 2004 thỏa mãn
x31 + x
3
2 + · · ·+ x32004 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của
x1 + x2 + · · ·+ x2004
310. Posted by manlio
Cho xi, yi với i = 1, 2, . . . , n là 2n số thực dương thỏa mãn xi + yi = 1. Chứng minh rằng
(1− x1x2 · · ·xn)m + (1− ym1 )(1− ym2 ) · · · (1− ymn ) ≥ 1
47
311. Posted by harazi
Cho a, b, c ≥ 0 thỏa ab+ bc+ ca = 3. Chứng minh rằng
a2 − a+ b2 − b+ c2 − c ≥ 1− abc
312. Posted by xxxxtt
Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5
3
. Chứng minh rằng
1
a
+
1
b
− 1
c
<
1
abc
313. Posted by khoa
Cho a, y, x, t > 0 thoar xy + xz + xt+ yz + yt+ zt = 6. Chứng minh rằng√
x4 + 1
2
+
√
y4 + 1
2
+
√
z4 + 1
2
≤ x2 + y2 + z2 + t2
314. Posted by Lagrangia
Cho hàm số f : R → (0,∞) là hàm tăng nghiêm ngặt. Giả sử rằng a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an.
Chứng minh rằng
f(a1)
f(a2)
+
f(a2)
f(a3)
+ · · ·+ f(an)
f(a1)
≥ f(a2)
f(a1)
+
f(a3)
f(a2)
+ · · ·+ f(a1)
f(an)
315. Posted by harazi
Cho a1, a2, . . . , an là các số thực thỏa a
2
1 + a
2
2 + · · ·+ a2n = 1. Chứng minh rằng
n+ 1 ≥ (a1 + a2 + · · ·+ an)(a1 + a2 + · · ·+ an + a31 + a32 + · · ·+ a3n)
316. Posted by Namdung
Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với mọi cặp số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 > bc ta có
bất đẳng thức
(a2 − bc)2 > k(b2 − ca)(c2 − ab)
317. Posted by nickolas
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng
a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ (a+ b+ c)
3
4
48
318. Posted by khoa
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng
(a)
√
8a2 + 1 +
√
8b2 + 1 +
√
8c2 + 1 ≤ 3(a+ b+ c)
(b) Tổng quát với 0 ≤ k ≤ 8 ta có bất đẳng thức
√
ka2 + 9− k +
√
kb2 + 9− k +
√
kc2 + 9− k ≤ 3(a+ b+ c)
(c) Tìm số k lớn nhất để bất đẳng thức trên đúng
319. Posted by khoa
Cho a, b, c > 0 thỏa a
4
3 + b
4
3 + c
4
3 = 3. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 + 21 ≥
√
(a+ b)(a+ c) +
√
(b+ c)(b+ a) +
√
(c+ a)(c+ b)
320. Posted by nickolas
Cho a, b, c ≥ 0 sao cho 2max(a2, b2, c2) ≤ a2 + b2 + c2. Chứng minh rằng
(a+ b+ c)(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3) ≥ 4(a6 + b6 + c6)
321. Posted by Lagrangia
Cho 0 < a1 < a2 < · · · < an. Chứng minh rằng
1
a1
+
1
a2
+ · · ·+ 1
an
≤ 1
a1an
(
n(a1 + an)− (a1 + a2 + · · ·+ an)
)
322. Posted by Maverick
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a2(2a+ b) + b2(2b+ 3) + c2(2c+ 3) ≥ 3(9abc− 1)
323. Posted by Namdung
Cho x, y, z > 0 thỏa x+ y + z = xyz. Chứng minh rằng
3125x6y4z2 ≤ 729(1 + x2)3(1 + y2)2(1 + z2)
324. Posted by Arrne
Cho a, b, c thỏa a+ b+ c = 0. Chứng minh rằng
a3 + b3 + c3 > 0⇔ a5 + b5 + c5
49
325. Posted by Gil
Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng
(a2 + b2 + c2)(−a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c) ≤ abc(ab+ bc+ ca)
326. Posted by harazi
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+ b+ c ≤ 3. Chứng minh bất đẳng thức
9
(1
a
+
1
b
+
1
c
)
− 3 ≥ 8(a+ b+ c)
abc
327. Posted by harazi
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
(a2 + b2)
( 2ab
a+ c
− c
)
+ (b2 + c2)
( 2bc
b+ a
− a
)
+ (c2 + a2)
( 2ca
c+ b
− b
)
≥ 0
328. Posted by A1lqdSchool
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa x+ y + z = 2. Chứng minh rằng
x2y + y2z + z2x ≤ 1 + x
4 + y4 + z4
2
329. Posted by Namdung
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn (x+ y + z)3 = 32xyz. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của
P =
x4 + y4 + z4
x+ y + z
330. Posted by arosisi
Chứng minh rằng
tan
A
2
+ tan
B
2
+ tan
C
2
≥ 2 + 8 sin A
2
sin
B
2
sin
C
2
≥ 2
331. Posted by darij grinberg
Cho x1, x2, · · · , x100 là các số nguyên dương thỏa mãn
1
x1
+
1
x2
+ · · ·+ 1
x100
= 20
Chứng minh rằng có ít nhất hai số bằng nhau
50
332. Posted by manlio
Cho a ≥ b ≥ c ≥ d. Chứng minh rằng
(a+ b+ c+ d)2 ≥ 8(ac+ bd)
333. Posted by Arrne
Chứng minh bất đẳng thức sau vơi mọi số thực a, b, c
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab+ bc+ ca)
334. Posted by Lagrangia
Chứng minh răng với ∀x, y, z > 0 ta có bất đẳng thức
x
(x+ y)(x+ z)
+
y
(y + z)(y + x)
+
z
(z + x)(z + y)
≤ 9
4(x+ y + z)
335. Posted by manlio
Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có
(x2y + y2z + z2x)(xy2 + yz2 + zx2) ≥ xyz(x+ y + z)3
336. Posted by arosisi
Cho a, b, c ≥ 0 và thỏa mãn điều kiện tồn tại căn thức. Chứng minh rằng
√
1− x+
√
4− y + x+
√
9− z + y +√16 + z ≤ 10
337. Posted by harazi
Các số thực a, b, c, d thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16. Chứng minh rằng
ab+ bc+ cd+ da+ ac+ bd ≤ 5 + abcd
338. Posted by sigma
Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa (a+ b)(b+ c)(c+ d)(d+ a) = 1. Chứng minh rằng
(2a+ b+ c)(2b+ c+ d)(2c+ d+ a)(2d+ a+ b)a2b2c2d2 ≤ 1
16
339. Posted by georg
Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 thỏa ab+ bc+ ca = 2abc. Chứng minh rằng
√
a+ b+ c ≥ √a− 1 +√b− 1 +√c− 1
51
340. Posted by Anh Cuong
Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0. Chứng minh rằng
x2y
z
+
y2z
x
+
z2x
y
≥ 2(x2 + y2 + z2)− xy − yz − zx
341. Posted by treegoner
Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta có
a6 + b6 + c6
(a2 + b2 + c2)2
≥ R2
342. Posted by hxtung
Cho a, b, c là các số thuiực dưong. Chứng minh rằng
3
√
(a+ b)(b+ c)(c+ a)
8
≥
√
ab+ bc+ ca
3
343. Posted by romano
Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta có
(cosA)3 + (cosB)3 ≥ 2(cos A+B
2
)2
344. Posted by Minh Thang
Cho tam giac ABC. Chứng minh rằng
9
4
≥ sin2A+ sin2B + sin2C + 1
3
(ma −mb
c
+
mb −m− c
a
+
mc −ma
b
)
≥ 2
345. Posted by fuzzylogic
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
ab
a5 + b5 + ab
+
bc
b5 + c5 + bc
+
ca
c5 + a5 + ca
≤ 1
346. Posted by Fierytycoon
Cho ai ≥ 1 với i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh rằng
(1 + a1)(2 + a2) · · · (1 + an) ≥ 2
n
n+ 1
(1 + a1 + b1 + · · ·+ an)
52
347. Posted by ThAzN1
Chứng minh rằng với x, y, z > 0 ta có
x2 + 1
(x+ y)(x+ z)
+
y2 + 1
(y + z)(y + x)
+
z2 + 1
(z + x)(z + y)
≥ (
√
x+
√
y +
√
z)2
2(x2 + y2 + z2)
348. Posted by wpolly
Cho các số a1, a2, a3, a4, a5 thỏa mãn
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+
1
a5
= 1
Chứng minh rằng
a
4 + a21
+
a
4 + a22
+
a
4 + a23
+
a
4 + a24
+
a
4 + a25
≤ 1
349. Posted by xtar
Cho x, y, z > 0 chứng minh rằng
1
3
(
x+
y2
x
+
z3
y2
)(x+ y
2
)2
≥
(x+ y + z
3
)3
≥ z
(x+ y
2
)2
350. Posted by manlio
Cho a, b, c là 3 cạnh ta giác và x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng
a2x2 + b2y2 + c2z2 ≥ xy(a2 + b2 − c2) + yz(b2 + c2 − a2) + zx(c2 + a2 − b2)
351. Posted by harazi
Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 6 và a+ b+ c ≥ 2 +max(a, b, c). Tìm giá trị nhỏ
nhất của √
4− a2 +
√
4− b2 +
√
4− c2
352. Posted by MM.Karim
Cho 1 > a, , b, c > −1. Chứng minh rằng
ab+ bc+ ca+ 1 > 0
353. Posted by Heman
53
354. Posted by TonyCui
Cho x ∈ (0, pi
4
). Chứng minh rằng
sin ln sinx < cos ln cos x
355. Posted by nickolas
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có
mamb
ab
+
mbmc
bc
+
mcma
ca
≥ 9
4
356. Posted by ThAzN1
Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
1
a+ bc+ 3abc
+
1
b+ ca+ 3abc
+
1
c+ ab+ 3abc
≥ 2
ab+ bc+ ca+ abc
357. Posted by TonyCui
Cho x, y > 0. Chứng minh rằng
xx + yy ≥ xy + yx
358. Posted by keira-khtn
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng
(a5 − a2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c2 + 3) ≥ (a+ b+ c)3
359. Posted by cuong
Cho a, y, z > 0 thỏa a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng√
x+
(y − z)2
12
+
√
y +
(z − x)2
12
+
√
z +
(x− y)2
12
≤
√
3
360. Posted by keira-khtn
Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất
S = xx
361. Posted by RNecula
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
m2a +m
2
b +m
2
c
ma +mb +mc
≥ 3S
2
54
362. Posted by manlio
Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
(xy + yz + zx)
( 1
(x+ y)2
+
1
(y + z)2
+
1
(z + x)2
)
≥ 9
4
363. Posted by phuchung
Chứng minh rằng
cosA
1− cosA +
cosB
1− cosB +
cosC
1− cosC ≥ 3
364. Posted by romano
Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực. Chứng minh rằng
(n− 1)(x21 + x22 + · · ·+ x2n) + n n
√
x21x
2
2 · · ·x2n ≥ (x1 + x2 + · · ·+ xn)2
365. Posted by bénabar
Chứng minh rằng với R > 0 ta có∫ pi
2
0
e−R sinxdx ≤ pi
2R
(1− e−R)
366. Posted by amir2
Chứng minh trong mọi tam giác ta có
1− sinA
1 + sinA
+
1− sinB
1 + sinB
+
1− sinC
1 + sinC
≤ 1
367. Posted by nickolas
Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có
R
2r
≥ ma
ha
≥ 1
2
(b
c
+
c
b
)
368. Posted by Mamat
Chứng minh với mọi a, b, c > 0 ta có
a
7 + b3 + c3
+
b
7 + a3 + c3
+
c
7 + a3 + b3
≤ 1
3
55
369. Posted by nthd
Cho a1, a2, . . . , an là các số tự nhiên phân biệt và số thực cho trước x ≥ 1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của
E =
ax1 ln a1 + a
x
2 ln a2 + · · ·+ axn ln an
ax1 + a
x
2 + · · ·+ axn
370. Posted by mahbub
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k, n thỏa 1 ≤ k ≤ 2n ta có(
2n+ 1
k − 1
)
+
(
2n+ 1
k + 1
)
≥ 2 · n+ 1
n+ 2
· · ·
(
2n+ 1
k
)
371. Posted by cezar
Dãy số {an} đuợc định nghĩa như sau x1 > 0 và
x(n+ 1) =
x1
n+ 1
+
x2
n+ 2
+ · · ·+ xn
n+ n
Chứng minh rằng xn họi tụ về 0.
372. Posted by Lagrangia -BĐT Karamata
Cho 2 dãy số x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn và y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn thỏa mãn
? x1 ≥ y1
? x1 + x2 ≥ y1 + y2
? · · · · · ·
? x1 + x2 + · · ·+ xn−1 ≥ y1 + y2 + · · ·+ yn−1
? x1 + x2 + · · ·+ xn = y1 + y2 + · · ·+ yn
Khi đó với mọi hàm số lồi f ta đều có
f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn) ≥ f(y1) + f(y2) + · · ·+ f(yn)
373. Posted by hxtung
Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng
a2
a2 + 2bc
+
b2
b2 + 2ca
+
c2
c2 + 2ab
≥ 1 ≥ bc
a2 + 2bc
+
ac
b2 + 2ac
+
ba
c2 + 2ba
374. Posted by minhkhoa
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab+ bc+ ca = 3. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 + abc ≥ a+ b+ c+ 1
56
375. Posted by galois
Cho tam giác ABC chứng minh rằng
sinA+ sinB + sinC > 2
376. Posted by Viet Math
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương ta có
√
a4 + b4 + c4 +
√
a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥
√
a3b+ b3c+ c3a+
√
ab3 + bc3 + ca3
377. Posted by levi
Cho x, y, z > 0 thỏa xy + yz + zx+ xyz = 4. Chứng minh rằng
1 + x+ y + z ≤ x+ y + z + 1
x
+
1
y
+
1
z
378. Posted by silouan
Cho a, b, c, x, y, z > 0. Chứng minh rằng
xn
(y + z)m
+
yn
(z + x)m
+
zn
(x+ y)m
≥ x
n−m + yn−m + zn−m
2m
379. Posted by romano
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng
(a)
a
1 + b
+
b
1 + c
+
c
1 + a
≥ 3
2
(b)
a
2 + b
+
b
2 + c
+
c
2 + a
≤ 1
57
Sẽ tiếp tục được cập nhật ...
58

Tài liệu đính kèm:

  • pdfBatDangThuc_MathLinks.ro.pdf