Tuyển chọn 30 đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – THPT

Đề số 1
Câu 1. a) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện và c - d =3
	Chứng minh rằng 
	b) Tam giác ABC có các góc và các cạnh thỏa mãn hệ thức:
	Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Câu 2. a) Giải phương trình:
	b) Tìm a để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất với 
Câu 3. Cho số tự nhiên a ≥ 3. Dãy (an) được xác định như sau:
([a] là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá a)
Tìm ?
Câu 4. Cho hai đường tròn có phương trình 
Cắt nhau theo hai giao điểm A và B. Một đường thẳng D bất kì qua B, cắt (O1) tại M và cắt (O2) tại N (B ở giữa M và N).
Xác định phương trình đường thẳng D sao cho đường tròn ngoại tiếp DAMN có bán kính lớn nhất.
đề số 2.
Câu 1. Cho hàm số , đặt 
(tức là giá trị lớn nhất của g(t) trên đoạn [x-4; x])
Tìm GTNN của f(x) trên tập các số thực.
Cho dãy xác định như sau: 
(trong đó {a} là kí hiệu phần lẻ của số thức a). Tìm ?
Câu 2. a) Giải phương trình 
	b) Cho DABC thỏa mãn 
	Chứng minh rằng .
Câu 3. Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
Câu 4. a) Cho elíp (E): với hai tiêu điểm F1 và F2. Gọi M là điểm thuộc elíp (E), M không trùng với các đỉnh thuộc trục lớn.
	Chứng minh rằng: (với )
	b) Cho hình chóp S.ABC, kí hiệu V là thể tích của khối chóp này. Chứng minh rằng nếu tồn tại một điểm O sao cho OS = 1; OA = OB = OC = 4 thì .
Đề số 3
Câu 1. a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
	b) Cho dãy số xác định như sau:
	Chứng minh mọi số hạng của dãy đã cho là số nguyên.
Câu 2. a) Cho phương trình 
Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
	b) Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc của nó đều nhọn và thoả mãn điều kiện:
Câu 3. a) Tìm a để hàm số có cực đại.
	b) Xác định hàm số bậc ba y = f(x) biết:
Câu 4. a) Cho hai mặt ABC và ABD của tứ diện ABCD có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đường vuông góc chung của AB và CD phải đi qua trung điểm của CD.
	b) Cho đường thẳng D và trên đó lấy một điểm A cho trước, hai số dương a và b sao cho a>b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b và đường thẳng D là phân giác góc . ứng với mỗi cặp điểm P, Q xét điểm M sao cho . Tìm tập hợp điểm M.
Đề số 4
Câu 1. y là hàm số của x, xác định bởi hệ thức 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại những điểm có tọa độ nguyên.
Câu 2. Giải hệ bất phương trình:
Câu 3. Tìm m để tồn tại cặp sô (x; y) không đồng thời bằng không và thỏa mãn phương trình: 
Câu 4. Cho một hình cầu tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng nếu lấy 1000 điểm khác nhau trong hình cầu đó thì ít nhất có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn .
Câu 5. Cho elíp và điểm thuộc elíp. Một đường thẳng D song song với tiếp tuyến của elíp tại M. Tìm phương trình của D sao cho D cắt elíp tại 2 điểm A, B mà diện tích DMAB lớn nhất.
Đề số 5.
Câu 1. Cho hàm số f: đ thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm trên .
Tìm hàm số f(x).
Câu 2. a) Cho x, y, z>0 thỏa mãn . Chứng minh rằng:
	b) Giải phương trình 
Câu 3. a) Chứng minh rằng "a, b ẻ, phương trình 
	không thể có 3 nghiệm phân biệt.
	b) Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì .
Câu 4. Chứng minh rằng nếu DABC nhọn thì 
Câu 5. Cho góc , điểm M di động trên CA, điểm N di động trên OB sao cho OM + ON = 2a (a là hằng số dương).
Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
I là điểm chia đoạn MN theo tỉ số l. Tìm quỹ tích điểm I.
Câu 6. Cho elíp (E): . A và B là các điểm thuộc (E) sao cho OA^OB (A, B di động) và cho biết . Trong tất cả các hình thoi ABCD nội tiếp elíp (E), tìm hình thoi có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất (hình thoi có tâm O).
Đề số 6.
Câu 1. Cho hàm số:
 (a là tham số, )
	Tìm a để trên đoạn [-sina; cosa] hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu cũng là GTNN của hàm số trên [-sina; cosa].
Câu 2. a) Giải phương trình: 
	b) Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: 
Câu 3. Cho . Chứng minh:
(Với k là số nguyên cho trước)
Câu 4. Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy.
Cho elíp . Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn, M là điểm di động trên elíp. Chứng minh rằng trực tâm H của DMA1A2 luôn nằm trên một elíp cố định.
Cho DABC có A(-1; 0), B(2; 0), C(0; 3). Tìm điểm M nằm trong tam giác để biểu thức MA.BC+MB.CA+MC.AB có giá trị nhỏ nhất.
Đề số 7.
Câu 1. a) Giải phương trình 
	b) Cho a là tham số thực. Hãy tìm nghiệm của hệ phương trình sau:
Câu 2. a) Cho hàm số:
	 với 
	Chứng minh rằng: 
	b) Cho p, q, r là các số thực, q ≠ 0 và m là số tự nhiên thỏa mãn:
	Chứng minh rằng: .
Câu 3. a) Cho phương trình 
	Chứng minh rằng phương trình trên có và chỉ có 2 nghiệm trái dấu.
b) Mỗi điểm trong mặt phẳng được gắn với một trong hai màu xanh, trắng. Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó tồn tại một tam giác đều cạnh bằng 1 hoặc bằng mà 3 đỉnh của nó cùng một màu.
Câu 4. a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho DABC có A(2; 5), trọng tâm , đường phân giác trong góc C có phương trình .
Điểm D có tọa độ (0; -6). Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho đạt giá trị lớn nhất.
	b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 parabol và . Chứng minh rằng nếu 2 parabol này cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì 4 điểm đó cùng thuộc một đường tròn.
Đề số 8.
Câu 1. a) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
	b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn 
	Chứng minh rằng: .
Câu 2. a) Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:
	b) Cho biểu thức 
	trong đó x, y thỏa mãn 2x - y - 2 = 0.
	Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 3. a) Cho DABC cân (AB = AC). Giả sử phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại D và BC = BD + AD. Tính góc ?
	b) Cho tứ diện ABCD, với tam diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí của điểm M để là nhỏ nhất.
Đề số 9.
Câu 1. a) Giả sử f(x) là một hàm số xác định với mọi x và thỏa mãn: 
.
	Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.
	b) Biết x, y, z, t là các số thực thuộc khoảng . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Câu 2. a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 (với x < y).
	b) Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm:
Câu 3. Trong mặt phẳg kẻ ô vuông đơn vị. Hãy tìm đường tròn có bán kính lớn nhất chỉ đi qua các đỉnh ô vuông mà không cắt một cạnh hình vuông nào cả.
Câu 4. a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng (a) qua AK cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Đặt V1 là thể tích của hình chóp S.AMKN và V là thể tích hình chóp S.ABCD. Xác định vị trí của mặt phẳng (a) để tỉ số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
	b) Trong mặt phẳg tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng d có phương trình 4x + 3y = 12. Ma là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Trên nửa đường thẳng đi qua 2 điểm A và M lấy điểm N sao cho . Điểm N chạy trên đường cong nào? Viết phương trình đường cong đó?
Đề số 10.
Câu 1. Cho hàm số . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên z để f(z) = f(2004).f(2005).
Câu 2. Giải phương trình .
Câu 3. Cho hệ phương trình (ẩn x, y, u, v)
	Tìm nghiệm của hệ sao cho tổng y + v là lớn nhất.
Câu 4. Giải phương trình: 
Câu 5. Cho DEFI vuông ở I và điểm P (P ≠ I). Lấy 2 điểm A, B lần lượt thuộc các đường thẳng IE, IF sao cho góc vuông. Gọi M là hình chiếu của P trên AB. Tìm tập hợp các điểm M khi A, B thay đổi.
Đề số 11.
Câu 1. a) Với giá trị nào của x, y thì 3 số dương sau đây đồng thời lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân: .
	b) Tìm giới hạn 
Câu 2. Cho hệ phương trình:
Chứng minh rằng hệ có cặp nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: .
Câu 3. Tìm a sao cho hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu đều dương và g(x) > 0, "x ≤ 0.
Câu 4. Cho DABC thỏa mãn điều kiện:
	Xác định dạng của tam giác ABC?
Câu 5. a) Cho đường thẳng D: 3x +25 = 0 và điểm F(-3; 0). Tìm quỹ tích những điểm M sao cho 5FM = 3MK với K là hình chiếu vuông góc của M trên D.
b) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn 
(α là tham số, α ẻ)
Đề số 12.
Câu 1. a) Cho hàm số y = f(x) là hàm số tuần hoàn và có đạo hàm "xẻR. Chứng minh rằng hàm số y = f’(x) cũng là hàm số tuần hoàn.
	b) Chứng minh rằng hàm số không phải là hàm tuần hoàn
Câu 2. a) Cho dãy số (xn) xác định bởi :
	Tìm a sao cho x2004 = x2005.
	b) Cho các số thực x, y thỏa mãn:
	Chứng minh rằng 
Câu 3. a) Giải phương trình 
	b) Trong các hình nón ngoại tiếp hình cầu cho trước. Hình nón nào có thể tích nhỏ nhất.
Câu 4. Trong mặt phẳng cho hai đường tròn:
	P và Q lần lượt là các điểm chuyển động theo thứ tự trên (C1) và (C2) sao cho Ox là phân giác trong của góc . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn .
Đề số 13
Câu 1. a) Cho hàm số . Chứng minh rằng .
	b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số .
Câu 2. a) Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên .
	b) Tìn tất cả các giá trị của k sao cho phương trình sau có không ít hơn 2 nghiệm dương khác nhau: 
Câu 3. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình vuông OABC và OA’B’C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
	b) Cho họ đường tròn . Chứng minh rằng các đường tròn luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố định khi m thay đổi.
Câu 4. Cho dãy số (xn) được xác định như sau: 
	Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Đề số 14.
Câu 1. a) Tìm giới hạn của dãy số 
b) Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số .
Câu 2. a) Cho hai số thức a, b, thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng 5a + 12b ≥ 37.
	b) Cho hàm số , a là tham số. Tìm a để .
Câu 3. a) Cho các số thực a, x, y, z thỏa mãn:
	Chứng minh rằng 
	b) Chứng minh rằng với mọi số thưc a, b, c phương trình:
	luôn có nghiệm thuộc khoảng .
Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình thoi có diện tích bằng 8. Góc nhọn của đáy bằng , đường cao của hình chóp bằng 2. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chóp tại các điểm thuộc cạnh đáy.
	Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm mặt cầu và đỉnh của hình chóp đi qua giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Đề số 15
Câu 1. a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tậi x = 0, hàm số có đạo hàm với mọi xẻR.
	b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ y ≥ z. Chứng minh rằng:
Câu 2. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 4 nghiệm trên đoạn 
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng là giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 3. a) Giải hệ phương trình: 
b) Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) đồng biến trên đoạn [a; b] và:
Chứng minh rằng tồn tại các ố a, b, g phân biệt trong đoạn [a; b] sao cho:
.
Câu 4. a) Trong hệ tọa độ Oxy cho elíp có phương trình (E): 
. Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn; B1, B2 là các đỉnh trên trục bé của (E), M là điểm bất kì trên (E). Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp DMA1A2 và DMB1B2 tiếp xúc với elíp (E).
b) Trong mặt phẳng cho n điểm A1, A2,...,An và vectơ cố định. Viết phương trình đường thẳng d nhận vectơ làm vectơ chỉ phương sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ Ai, i = 1,...,n đến d là nhỏ nhất.
Đề số 16.
Câu 1. a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình:
Câu 2. a) Cho hàm số f(x) xác định trên R và không đồng nhất bằng 0, thỏa mãn điều kiện:	1) f(x+y) = f(x).f(y), "x,yẻR
	2) f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
	Chứng minh rằng f(x) có đạo hàm mọi cấp tại xẻR. Tính 
	b) Cho và 
Chứng minh rằng 
Câu 3. a) Trong tất cả các tứ diện OABC đỉnh O có 3 mặt vuông, hãy tìm tứ diện có: đạt giá trị nhỏ nhất. Trong đó a, b, g lần lượt là góc giữa các mặt OBC, OCA, OAB với mặt phẳng (ABC).
	b) Cho a, b, là các số thỏa mãn . Chứng minh rằng:
	1) 
`	2) .
Đề số 17.
Câu 1. a) Tính giá trị của biểu thức với 
	b) Cho hàm số thỏa mãn các điều kiện:
	 và với mọi . Tính f(1789)?
Câu 2. a) Giải phương trình .
	b) Cho các dãy số và 
	1) Chứng minh rằng un là dãy tăng còn xn là dãy giảm.
	2) Chứng minh rằng 
Câu 3. a) Chứng minh rằng 
	b) Cho DABC, gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm DABC. Tính độ dài AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC.
Câu 4. Cho hai điểm F và F’ cố định. Một đường thẳng D chuyển động sao cho D và F, F’ cùng ở trên một mặt phẳng cố định và F, F’ luôn ở về một phía đối với D. Chứng minh rằng nếu tích các khoảng cách từ F và F’ tới D bằng k2 không đổi thì đường thẳng D luôn tiếp xúc với một elíp cố định.
Đề số 18.
Câu 1. a) Cho hàm số thỏa mãn: 
	Nếu f(1) = 1, hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n.
	b) Xác định số dương a sao cho .
Câu 2. a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
	b) Giải phương trình 
Câu 3. Trên một tờ giấy trắng kẻ ô carô vô hạn có n ô được tô đen, vào các thời điểm t = 1, 2,... xảy ra sự biến đổi màu đồng thời của tất cả các ô trên tờ giấy theo qui tắc sau: Mỗi ô k có được màu mà thời điểm trước đó phần lớn trong 3 ô sau có: Chính ô k và các ô kề phải và kề trên nó (2 trong 3 ô này là được). Chứng minh rằng:
Sau một thời gian hữu hạn, trên tờ giấy không còn ô màu đen.
Các ô đen bị loại trừ không muộn hơn tại thời điểm t = n.
Câu 4. Trong không gian cho 4 đường thẳng d1, d2, d3, d4 song song với nhau, trong đó không có 3 đường thẳng nào cùng nằm trong một mặt phẳng. Mặt phẳng (P) cắt 4 đường thẳng trên theo thứ tự tại A, B, C, D; một mặt phẳng (Q) khác (P) cắt 4 đường thẳng ấy theo thứ tự taịi A’, B’, C’, D’. Chứng tỏ rằng các tứ diện D’ABC và DA’B’C’ có thể tích bằng nhau.
Đề số 19.
Câu 1. a) Cho hàm số f xác dịnh trên và thỏa mãn các điều kiện:
	Tính 
	b) Tồn tại hay không các số thực a, b để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt: 
Câu 2. a) Cho và 
	Chứng minh rằng 
	b) Giải hệ phương trình:
Câu 3. a) Cho dãy vô hạn được xác định như sau: 
u1 = 1 và un+1 = 1+u1.u2...un, n =1, 2...
Đặt . Tìm ?
b) Hỏi có thể xếp vào hình lập phương cạnh 1 hai hình tứ diện đều cạnh sao cho miền trong của hai hình tứ diện đó không có điểm chung nào hay không?
Câu 4. Hình chữ nhật (Q) ngoại tiếp elíp (E): nếu mỗi cạnh hình chữ nhật tiếp xúc với elíp (E). Hãy xác định:
Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.
Đề số 20.
Câu 1. a) Cho 0<x<1, 0<y<1, và x≠y. Chứng minh rằng:
	b) Hàm số f(x) xác định trên và thỏa mãn điều kiện:
Câu 2. a) Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m, các đồ thị của hàm số trên đều tiếp xúc nhau.
	b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình:
có nghiệm là .
Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: 
Xác định công thức truy hồi?
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho?
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(2; 4), B(3; 1), C(1; 4) và đường thẳng d: x - y - 1 =0.
Tìm trên đường thẳng d một điểm M sao cho AM +BM nhỏ nhất.
Tìm điểm N trên d sao cho AN +CN nhỏ nhất.
Đề số 21.
Câu 1. Cho tam thức bậc hai 
Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng là số chính phương với mọi aẻZ.
Câu 2. 1) Cho dãy số được xác định như sau:
	Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
	2) Chứng minh rằng trong DABC ta có: 
Câu 3. Cho 5 số thực dương x, y, z, a, b thoả mãn 
	Chứng minh bất đẳng thức 
Câu 4. 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. M, N là trung điểm của AB và SC. AN cắt (SBD) tại P. MN cắt (SBD) tại Q. 
Chứng minh QM = QN.
2) Cho 2 đường tròn 
(a là hằng số khác 0; m là tham số)
Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến với (C) và (Cm) tại mỗi điểm chung này vuông góc với nhau.
((C) và (Cm) như vậy gọi là 2 đường tròn trực giao)
Đề số 22.
Thi hsg Lớp 12 tỉnh Nghệ An Năm 04-05
Bài 1. a) Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
.
b) Giải phương trình: 2003x + 2005x = 4006x + 2.
Bài 2. a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:	
b) Tìm m để tồn tại cặp số (x; y) không đồng thời bằng o và thỏa mãn phương trình:
Bài 3. Tìm tất cả các đa thức p(x) thỏa mãn:
 "x.
Bài 4. a) Cho a, b, c, d là 4 số thực và thỏa mãn các điều kiện:
	a2 + b2 = 1 và c – d = 3.
Chứng minh rằng: .
b) Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường tròn (Cm):
	x2 + y2 – 2(m – 1)x – (m + 6)y + m + 10 = 0 (m ạ 0)
Chứng minh rằng: Các đường tròn (Cm) luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố định khi m thay đổi
Đề số 23.
Câu 1. 1) Tìm đa thức P(x) bậc ≥1 thoả mãn điều kiện
2) Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x.
Câu 2. 1) Chứng minh rằng nếu DABC thỏa mãn điều kiện 
thì đó là tam giác đều
2) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình 
Câu 3. Cho elip (E) có phương trình với 2 tiêu điểm là F1 và F2. M là điểm di động trên elíp. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DMF1F2. Tìm quỹ tích điểm I.
Câu 4. Cho dãy số (un) xác định bởi:
 và , với n ≥ 1
	Tính 
Đề số 24.
Câu 1. 1) Giải hệ phương trình 
 2) Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình:
Câu 2. 1) Cho các số thực a, x, y, z thoả mãn:
	Chứng minh rằng: 
2) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c. Phương trình sau luôn có nghiệm thuộc khoảng : 
Câu 3. Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình 
	(trong đó a>0 là số cố định, còn m là tham số)
Chứng minh rằng quỹ tích tất cả những điểm có phương tích bằng nhau đối với mọi đường tròn (Cm) là một đường thẳng D. Viết phương trình của D.
Chứng minh rằng qua mỗi điểm (x0; y0) không nằm trên D, và khác với điểm O(0; 0) và A(2a; 0) có một và chỉ một đường tròn (Cm).
Chứng minh rằng nếu M là điểm bất kì của đường tròn (Cm) thì tỉ số không phụ thuộc vào M. Tìm giá trị k theo m.
Câu 4. Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn các điều kiện c + d = 6, . 
Chứng minh bất đẳng thức: .
Đề số 25
Câu 1. 1) Cho hàm số có đồ thị (Cm)
Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định khi m ≠ 1 và .
2) Giải hệ phương trình: 
Câu 2. a) Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
	b) Chứng minh rằng với mọi n ta có bất đẳng thức:
Câu 3. Với điều kiện nào thì ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Câu 4. Qua tâm O của 2 đường tròn đồng tâm vẽ hai đường thẳng vuông góc d1 và d2. Đường thẳng D di động quay quanh O về cùng một hướng cắt các đường tròn nhỏ và lớn lần lượt tại A và B (tức A, B nằm cùng phía đối với O). Qua A vẽ đường thẳng , qua B vẽ đường thẳng . các đường thẳng cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích điểm M.
Đề số 26
Câu 1. 1) Tồn tại hay không các đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn:
	2) Chứng tỏ rằng với a≠0 thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Câu 2. 1) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	2) Cho số a>0 và dãy số (un) xác định bởi: 
	Tìm 
Câu 3. Giải hệ: với 
Câu 4. 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên AD’ và BD lấy các điểm M và N tương ứng thoả mãn AM = DN = x, .
	Chứng minh rằng khi thì MN ngắn nhất.
	2) Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn: và . Chứng minh rằng 
Đề số 27
Câu 1. 1) Giả sử các hàm số f, g: liên tục và thỏa mãn điều kiện:
	Với mọi x>0 mà g(x) ≠ x, ta đều có f(g(x)) =1 Û f(x) ≠ 1. Chứng minh rằng tồn tại x0 > 0 sao cho g(x0) = x0.
	b) Xác định m sao cho mọi x đều là nghiệm của bất phương trình:
Câu 2. Xét dãy số (an) xác định bởi
	Chứng minh dãy số (an) có giới hạn và nếu đặt thì x0 là nghiệm của phương trình .
Câu 3. a) Giải phương trình 
	b) Cho DABC có . Chứng minh:
Câu 4. a) Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a. Các cạnh còn lại đều không lớn hơn a. Gọi V là thể tích của tứ diện đó. Chứng minh rằng: .
	b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn và một điểm M(x0; y0) nằm ngoài đường tròn. từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 và MT2 với đường tròn, trong đó T1, T2 là các tiếp điểm. Viết phương trình đường thẳng T1T2 và chứng minh rằng khi M chạy trên một đường thẳng d cố định không cắt đường tròn đã cho thì đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định.