Tổng kết chương III - Hình học 12

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I.Vectơ trong không gian:
 Khái niệm vectơ và những phép toán trên vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong hình học phẳng . Sau đây là một số kết quả mà ta thường sử dụng khi giải các bài toán vectơ
Quy tắc 3 điểm : 
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: 
I là trung điểm của đoạn thẳng AB , M là một điểm tuỳ ý . Ta có 
 3. Tính chất trọng tâm của tam giác ABC
 G là trọng tâm của tam giác ABC 
 4. Tích vô hướng: 
	+ ; ; 
	 + cùng phương 
	+ A , B , C thẳng hàng cùng phương 
II. Các vectơ đồng phẳng: 
Định nghĩa: 
Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng
Định lý: 
Cho ba véctơ trong đó không cùng phương 
 không đồng phẳng 
Định lý 2: 
Cho ba vectơ không đồng phẳng . Khi đó với mọi vectơ ta đều có 
 ( trong đó a1, a2 , a3 là duy nhất )
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I.Hệ trục toạ độ Đềcac vuông góc trong không gian
 Một hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục đôi một vuông góc Ox,Oy,Oz với ba vectơ đơn vị lần lượt là 
 được gọi là hệ toạ độ Đecac vuông góc trong không gian hoạc gọi đơn giản là hệ toạ độ Oxyz
 Trục Ox,Oy,Oz lần lượt gọi là trục hoành , trục tung , trục cao
II. Toạ độ của vectơ
1/ Định nghĩa 
Cho hệ toạ độ Oxyz và vectơ . Khi đó có duy nhất một bộ 3 số (a1,a2,a3) sao cho 
. Ta gọi bộ ba số (a1,a2,a3) là toạ độ của vectơ .Ký hiệu = (a1,a2,a3)
Vậy : = (a1,a2,a3). ( a1,a2,a3 lần lượt là hoành,tung,cao độ của )
Chú ý: 
	2/ Tính chất:
Cho hai vectơ . Ta có 
a) 	b) 
c) 	d) 
e) cùng phương 	 (nếu )
3/ Tích vô hướng 
Định nghĩa: 
Biểu thức toạ độ tích vô hướng : 
Hệ quả: + 	 
 + 
 + 
III. Toạ độ của điểm: 
Định nghĩa:
Cho hệ toạ độ Oxyz , điểm M và . Ta gọi toạ độ của là toạ độ của điểm M . 
Vậy :bộ ba số (x,y,z) được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu M(x,y,z) hay M=(x,y,z) nếu = 
 Chú ý: 
Định lý 
Cho . Ta có 
IV. Điểm chia đoạn theo tỉ số k 
Định nghĩa: M chia đoạn AB theo tỉ số k 
Định lý: M chia đoạn AB theo tỉ số k 
Hệ quả: M là trung điểm của đoạn AB 
MẶT CẦU
I.Phương trình của mặt cầu 
	Định lý 1: 
	Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm là I( a,b,c) và bán kính R có phương trình là 
 (1) 
	Định lý 2: 
	Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình dạng : (2)
	với a2+b2+c2-d>0 
	là phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và có bán kính là r= 
II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu (S): có tâm I(a,b,c) bán kính r và mặt phẳng 
: Ax+By+Cz = 0 . Đặt d= , ta có 
	+ d>R thì và (S) không có điểm chung 
	+ d=R thì tiếp xúc với (S) . Khi đó gọi là tiếp diện của (S).
+ d<R thì và (S) cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu của I trên và có bán kính là 
III. Phương trình của đường tròn trong không gian 
Trong không gian mỗi đường tròn C(H,r ) là giao tuyến của một mặt cầu S(I,R) với một mặt phẳng nên phương trình đường tròn (C) có dạng: .
DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu 
Cách giải:
	+ Nếu mặt cầu (S) cĩ dạng : (x – a )2 + (y – b )2 +( z – c )2 = R2 (1)
	 Thì tâm là I( a , b , c ) ; bán kính là R
	 + Nếu mặt cầu (S)cĩ dạng: x2 + y2 +z2+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2)
 	 Thì tâm I(-A , -B ,-C); Bán kính
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu 
Cách 1
	+ Tìm tâm I(a,b.c) và tính bán kính R
	+ Phương trình mặt cầu là (S):(x – a )2 + (y – b )2 +( z – c )2 = R2
Cách 2 
	+ Gọi (S) cĩ dạng x2 + y2 +z2+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (*)
	+ Từ giả thiết lập một hê gồm 4 phương trình 4 ẩn A ,B , C , D
	+ Giải hệ tìm A ,B ,C ,D . Thay vào (*) ta được kết quả.
Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S).
Cách giải
	+ Tìm toạ độ tâm I (a,b,c) và tính bán kinh R của (S)
	+ Viết phương trình tiếp diện (P) dạng : Ax + By + Cz + D = 0 (*) 
	+ Dùng điều kiện :(P) tiếp xúc (S) 
	+ Giải tìm các hệ số chưa cĩ . Thay vào (*).
Dạng 4: Xác định vị trí tưong đối của mặt phẳng (P) và mặt cầ (S)
Cách giải:
	+ Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của (S) 
	+ Tính d(I, (P) )
	 Nếu d > R : (P) khơng cắt (S)
 Nếu d = R : (P) tiếp xúc (S)
 Nếu d < R : (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường trịn cĩ pt 
Dạng 5: Tìm tâm và bán kính của đường trịn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu 
Cách giải
	+ Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của mặt cầu (S)
	+ Tâm H của đường trịn là hình chiếu của I trên (P).
	+ Bán kính đường trịn là r = 
TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
I.Định lý : 
 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ .Ta có 
 cùng phương
II. Định nghĩa tích có hướng: 
 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 
 Tích có hướng của hai vectơ và , ký hiệu 
III. Tính chất : 
	1. cùng phương với 	2. 	
	3. 	4. 
	5. đồng phẳng 	 6. 
	7. 
DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm tọa độ vectơ thỏa diều kiện cho trước
Cách giải: Dùng cơng thức tính tọa độ :
	 Gọi . Từ giả thiết suy ra 2 phương trình 2 ẩn số x, y . Giải tìm x, y.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A , B, C thẳng hàng 
Cách giải: Chứng minh hai vectơ cùng phương. 
Dạng 3: Chứng minh 4 điểm A, B ,C , D đồng phẳng( khơng đồng phẳng) 
Cách giải: 
 Ba vectơ đồng phẳng 
	 Ba vectơ khơng đồng phẳng 
Dạng 4: Tính diện tích tam giác , thể tích tứ diện 
Cách giải: Dùng cơng thức ; 
MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I.Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
1. Định nghĩa1: Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với .Ký hiệu 
2. Định nghĩa2: Cặp vectơ khác gọi là cặp VTCP của mặt phẳng nếu các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng 
3. Chú ý : 
+ Nếu là VTPT của thì cũng là VTPT của 
+ Nếu có cặp VTCP là thì vectơ là một VTPT của 
+ Mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó 
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : 
1/ Định lý : 
	Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm M(x,y,z) thoả mãn 
phương trình dạng : Ax+By+Cz+D = 0 với (1) , và ngược lại , tập hợp tất cả những điểm thoả mãn phương trình (1) là một mặt phẳng . 
2/ Định nghĩa:
Phương trình dạng: Ax+By+Cz+D = 0 với (1) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .
3/ Hệ quả: 
Nếu đi qua điểm M(x0,y0,z0) và có VTPT thì có phương trình là 
3/ Chú ý :
	Nếu : Ax+By+Cz+D = 0 thì là một VTPT của 
III. Các trường hợp riêng: Giả sử : Ax+By+Cz+D = 0
Nếu D = 0 thì đi qua gốc toạ độ O 
Nêu A = 0 , B0 và C0 thì chứa hoặc song song với trục Ox
Nếu A0 , B = 0 và C0 thì chứa hoặc song song với trục Oy.
Nếu A0 , B0 và C = 0 thì chứa hoặc song song với trục Oz 
Nếu A=B = 0 C thì song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy
Nếu đi qua ba điểm A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) với abc 0 thì : 
(*) gọi là phương trình theo đoạn chắn của . 
IV. Vị trí tương đối của hai mặy phẳng 
	Cho hai mặt phẳng :
	Khi đó : lần lượt là các VTPT của và .Ta có 
	+ cắt 	 không cùng phương 
	+ song song 	
	+ trùng 	
V. Chùm mặt phẳng : (đọc thêm SGK)
1. Định nghĩa: 
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng và được gọi là một chùm mặt phẳng.
2.Định lý:
 	Cho hai mặt phẳng : cắt mhau
	Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và đếu có phương trình dạng: 
	Ngược lại: mỗi phương trình dạng (*) đều là phương trình của mặt phẳng đi qua giao tuyến của 
 và 
DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Lập phương trình mặt phẳng (P)
Cách giải:
	+ Tìm một điểm M(x0 , y0 , z0 ) và một VTPT của (P)
	+ Phương trình của (P) là A(x – x0) + B( y – y0) + C( z – z0) = 0
Chú ý: Để tìm VTPT của (P) ta cĩ thể dùng một trong các trường hợp sau:
+ Mặt phẳng (P) cĩ cặp VTCP là thì VTPT của (P) là 
+ Hai mặt phẳng song song thì cĩ VTPT bằng nhau
+ Hai mặt phẳng vuơng gĩc nhau thì các VTPT của chúng vuơng gĩc nhau
+ Mặt phẳng vuơng gĩc với đường thẳng thì VTPT của (P) là VTCP của đường thẳng.
+ Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) cĩ pt là : 
+ Pt (Oxy) là z = 0 ; Pt (Oxz) là y = 0 ; pt(Oyz) là x = 0.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của hai mặt phẳng cắt nhau
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 , (Q) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 là 
 m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (m2 + n2 > 0)
Dạng 2: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng 
 (P) : Ax +By +Cz +D = 0 , (Q) : A’x + B’y +C’z +D’= 0
Cách giải:
+ (P) cắt (Q) (VTPT (P), (Q) khơng cùng phương)
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I.Phương trình tổng quát của đường thẳng
1. Định lý: 
	Trong khong gian Oxyz , mỗi đường thẳng là tập hợp tất cả các điểm M(x,y,z)thoả hệ phương trình 
	(1)
	 (2). 
 Ngược lại : Tập hợp các điểm thoả mãn (1) với ĐK (2) là một đường thẳng. 
2.Định nghĩa: 
	Hệ phương trình (1) với điều kiện (2) là phương trình tổng quát của đường thẳng 
II. Phương trình tham số của đường thẳng.
1.Định nghĩa:
Vectớ được gọi là VTCP của đường thẳng (d) nếu đường thẳng chứa song song hay trùng với (d). 
2.Định lý:
Trong không gian Oxyz đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0,y0,z0) và có VTCP =(a1,a2,a3)
Có phương trình tham số là : 
III. Phương trình chính tắc của đường thẳng. 
Định lý:
Trong không gian Oxyz đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0,y0,z0) và có VTCP =(a1,a2,a3)
có phương trình chính tắc là (d): (3) 
Với quy ước : thì phương trình chính tắc không tồn tại.
IV. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. 	
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho 2 đường thẳng (d) qua M0 có VTCP là và (d’) qua M có VTCP là . Khi đó:
	a) (d)và (d’) đồng phẳng 	
	b) (d) và (d’) cắt nhau 	
	c) (d) và (d’) song song 	
	d) (d) và (d’) trùng nhau 	
	e) (d) và (d’) chéo nhau	
Chú ý : Ta có thể xét vị trí của (d) và (d’) như sau:
	Xét hệ phương trình toạ độ giao điểm của (d) và (d’) :
	+ Nếu hệ có một nghiệm duy nhất (x0,y0,z0) thì (d) và cắt (d’) tại điểm M0(x0,y0,z0)
	+ Nếu hệ có vô số nghiệm thì (d) và (d’) trùng nhau 
	+ Nếu hệ vô nghiệm và cùng phương với thì (d) song song với (d’).
	+ Nếu hệ vô nghiệm và không cùng phương với thì (d) và (d’) chéo nhau.
2.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 
Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0,y0,z0) có VTCP và mặt phẳng có VTPT là (A,B,C). Khi đó ta có :
	a) (d) cắt 	
	b) (d) song song 
	c) (d) nằm trên 
	d) (d) vuông góc với 
Chú ý : Ta có thể xét vị trí tương đối của (d) và như sau: 
	Xét hệ phương trình toạ độ giao điểm của (d) và :
	+ Hệ vô nghiệm 
	+ Hệ có vô số nghiệm 
	+ (d) cắt Hệ có nghiệm duy nhất 
DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Dạ ... g :
 	1) Chứng tỏ rằng 
	2) Viết phương trình đường vuông góc chung của 
	3) Tính khoảng cách giữa 
	Đáp số: 2) 	3) 
Bài 16: Trong không gian Oxyz với mỗi số thực m xét đường thẳng 
	1) Tìm VTCP của Tìm giá trị của góc không đổi đó 
	2) Khi m thay đổi tìm quỹ tích giao điểm của 
	3) CMR: khoảng cách giữa 
	Đáp số : 1) VTCP là 
	2) Quỹ tích giao điểm với mp(Oxy) là x2+y2=1
	 Quỹ tích giao điểm với mp(Oyz) là hypebol y2-z2=1
	 Quỹ tích giao điểm với mp(Oxz) là hypebol x2-z2=1
	3) Khoảng cách bằng 1
Bài 17: Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(1;2;-2) và N( 2;0;-2) 
	1) Viết phương trình mp đi qua M , N và lần lượt vuông góc với các mặt toạ độ
	2) Viết p/ trình mp đi qua M , N và vuông góc với mp: 3x+y+2z-1=0
	Đáp số:
 	1) Mp vuông góc mp(Oxy): 2x+y-4=0
	 Mp vuông góc mp(Oyz): z+2=0, mp vuông góc mp(Oxz): z+2=0
	2) 4x+2y-7z-22=0
Bài 18: Viết phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) và vuông góc mp: 2x-z+1=0
	Đáp số: Ptts: Ptct: , Pttq: 
Bài 19: 1) Xác định giao điểm G của 3 mặt: 
	2) Viết pt tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng d qua giao điểm G, nằm trong mp(
	Hướng dẫn: 
	1) G(4;0;-2) 
	2) d nằm trong mp( và mp(P) đi qua G và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (. Suy ra Pttq: , Ptts: 	Ptct: 
Bài 20: Viết phươmg trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: 
	trên mặt phẳng (P): x+y+z-7=0
	Đáp số : 
Bài 21: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng: 
	Đáp số: Hai đường thẳng chéo nhau
Bài 22: Xét vị trí tương đối đối giữa đường thẳng d: và mặt phẳng
	Đáp số: Tích CTCP của đ/t và VTPT của mp là (a-1).a
	Nếu a=1 thì d không tồn tại 
	Nếu a=0 thì d 	Nếu (a-1).a thì d cắt 
Bài 23: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;3;1) đồng thời cắt cả hai đường thẳng: 	Đs: 
Bài 24: Trong không gian cho 3 điểm I(3;-1;5) , M( 4;2;-1) , N(1;-2;3) 
	1) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với MN 
	2) Tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua 3 điểm I , M , N 
	Đáp số: 1) (P): -3x-4y+4z-15=0	2) -12x+14y+5z+25=0
Bài 25: Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua điểm (-1;-2;5) và đồng thời vuông góc với hai mp: x+2y-3z+1=0 , 
2x-3y+z+1=0
Bài 26: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;-3) , B(1;6;2) , C(5;0;4) , D(4;0;6)
	1) Tìm phương trình mặt phẳng (ABC)
	2) Tìm phương trình mặt phẳng qua AB và song song CD
	Đáp số:
	1) x+y+z-9=0	2) 10x+9y+5z-74=0
Bài 27: Tìm phương trình mặt phẳng 
	1) Qua 2 điểm A(2;1;1) , B(3;2;2) và vuông góc với mp: x+2y-5z-3=0
	2) Qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp: x-3y+2z+13=0
	3) Là mp trung trực của đoạn thẳng AB
	Đáp số:
	1) 7x-6y-z-7=0	2) x-3y+2z-13=0	 3) 6x+y+z-23=0
Bài 28: Tìm phương trình mp đi qua ( 0;2;0) , (2;0;0) và tạo với mp(yOz) một góc 600
	Đáp số: 	 
Bài 29: Tìm phương trình mp đi qua điểm (3;4;1) và qua giao tuyến của hai mặt
	Đáp số : 
Bài 30: Cho a , b , c là 3 số khác 0
	1) Tìm pt mặt phẳng (P) đi qua điểm (1;1;1) và chứa trục Ox 
	2) Tìm pt mặt phẳng (Q) qua điểm (a,b,c) và chứa trục Oy
	3) Tìm pt mặt phẳngqua 3 điểm (0;b;c) , (a;0;c) , (a;b;0) 
	4) Tìm pt mặt phẳng đi qua diểm (1;0;) và có VTPT (a;b;c)
	Đáp số: 1) y-z=0 2) cx-az=0	 3) 4) ax+ by+cz-1=0
Bài 31: Tìm pt chính tắc của đường thẳng đi qua điểm ( 1;4;-2) và song song với đường thẳng : 	 . Đáp số : 
Bài 32: Lập pt tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng x+3y-z=0 và vuông góc với đường thẳng tại giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 
	Đáp số: 
Bài 33: Lập pt đường thẳng đi qua điểm (3,2,1) vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng đó . ( đáp số: )
Bài 34: Tìm p/t tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (-4,-5,3) và cắt cả hai đường thẳng 
	Đáp số: 
Bài 35: Tìm pt tham số của đường thẳng đi qua điểm (0,1,1) , vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng 	Đáp số: 
Bài 36: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): z-y-z-1=0
	1) Tìm p/t chính tắc của đưòng thẳng đ qua M(1;1;-2) song song với (P) và vuông góc với d
	2) Gọi N là giao điểm của d và (P) , Tìm điểm K trên d sao cho KM=KN
	Đáp số: 
	1) 	2) ( Dùng K(-1+2t;1+t;2+3t)
Bài 37: Cho đường thẳng )D) có p/t: và mặt phẳng (P): x+y+z=0
	1) Xác định giao điểm A của (D) và (P)
	2) Viết p/t đường thẳng qua A và vuông góc (P)
	Đáp số : 
	1) A(1;1;-2)	2) 
Bài 38: Cho đường thẳng (D) qua điểm (-1;-1;2) cắt Ox và cắt đường thẳng và (D’) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP với M(-2;-3;2), N(1;5;5) , P(-6;2;5)
	1) Tìm phương trình của (D) và (D’) 
	2) Tính góc giữa (D) và ()
	Đáp số: , 
Bài 39:Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 3x+y-z+1=0
	Đáp số: arcos
Bài 40: Cho 3 đường thẳng d1: x=t, y=5-2t, z=14-3t ; d2: x=1-4m, y=2+m, z=-1+5m
	 d3: 
	1) CMR: d1 và d2 chéo nhau
	2) CMR: d1 và d3 cắt nhau , tìm toạ độ giao điểm 
	3) Tính góc giữa d1 và d2 
	4) Tìm phương trình hai mặt phẳng (P1) và (P2) song song với nhau và lần lượt qua d1 , d2 
	Đáp số :2) Giao điểm (3;-1;5) 	3) 	
	4) Hai mp có VTPT là tích có hướng của hai VTCP của hai đường thẳng. Đáp số:
	 x-y+z-9=0 và x-y+z+2=0
Bài 41: Chứng tỏ hai đường thẳng d1: cắt nhau và lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó .Đáp số : 2x-y-2z+1=0
Bài 42: Cho đường thẳng d có phương trình : 
	1) Tìm phương trình mp(P)qua d và chứa điểm (1;-2;1)
	2) Tìm phương trình mp(Q) qua d và vuông góc với mp: x+y+2z=0
	3) Tìm phương trình mp(R) qua d và tạo với mp: x+y-z=0một góc bằng arcos 
	Hướng dẫn : Dùng phương trình chùm mặt phẳng 
	1) 20x-30y+14z-103=0	2) -4x+6y-z+44=0	3) 8x-6y+5z+8=0 hay 5x+6y+8z+161=0
Bài 43: Cho hai đường thẳng : (D): 
	1) Tính khoảng cách từ M(1;2;-1) đến (D)
	2) Tính khoảng cách từ N (1;-1;1)đến (D’) và tìm hình chiếu K của N trên(D’)
	Đáp số: 
	1) 	2) và K
Bài 44: Cho 3 đường thẳng d1: 
	1) Tìm phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d1 và d2
	2) Tìm phương trình tổng quát của đường vuông góc chung của d1 và d3
	Đáp số:
	1) 	2) 
Bài 45: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0
	Đáp số: 
Bài 46: Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(-1;2;3) , B(0;4;4) , C(2;0;3) , D(5;5;-4)
	1) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC)
	2) Tính thể tích tứ diện 
	Đáp số :1) (3;2;4)	2) 
Bài 47: Cho điểm A(0;2;0) và đường thẳng (D): 
	Tìm khoảng cách từ A đến (D) và toạ độ hình chiếu A’ của A trên (D)
	Đáp Số: d(A,(D))=2 và A’()
Bài 48: Cho hai đường thẳng (D): và (D’):
	1) CMR: (D) và (D’) chéo nhau
	2) Tính khoảng cách giữa (D) và (D’).
	Đáp số: 2) 
Bài 49: Cho hai đường thẳng (D):
	1) Tìm phương trình đường vuông góc chung của (D) và (D’) 
	2) Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1;-1;1) trên (D’) . Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (D) và cắt (D)
	Đáp số : 
	1) 	2) 
Bài 50: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình 
	 x2+y2+z2-2x-4y-6z=0
Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu 
Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P): x+y-z+k=0
Tìm toạ độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;14) và N(2;-1;5) và viết phươnh trình các mặt tiếp xúc của (S) tại các giao điểm đó 
Đáp số: 
Tâm (1;2;3) , bán kính R=
Giao điểm J1(2;-1;5) p/t tiếp diện: x-3y+2z-15=0 , J2( và p/t tiếp diện : 21z+7y+182z=0
Bài 51: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(6;-2;3) , B(0;1;6) , C( 2;0;-1) , D(4;1;0) 
CMR: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện 
Tích thể tích của tứ diện ABCD
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định toạ độ tâm I và bán kính của mặt cầu 
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A , B , C. Tìm toạ độ tâm và bán kính của nó 
Đáp số: 
 	2) V=12	
	3) (x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=17 có tâm I(2;-1;3) , bán kính R=
	4) , tâm () , bán kính 
Bài 52: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d: và tiếp xúc với mặt cầu (S):x2+y2+z2-2x-4y-6z-67=0
	Hướng dẫn: Viết pt của d về dạng tổng quát . (P) qua d nên (P) thuộc chùm mp xác định bởi 2 mp chứa d , dùng pt chùm và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P) bằng bán kính mặt cầu . Suy ra (P) :-2x+2y-z+28=0 hay 8x+4y+z-100=0
Bài 53: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;-3;-2) và cắt mặt cầu (S): (x+1)2+(y+2)2+(x+3)2=14 theo một đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất 
	Hướng dẫn: 
	Điểm A nằm bên trong mặt cầu , suy ra (P) cắt mặt cầu , đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất khi (P) nhận (I là tâm mặt cầu )làm VTPT, suy ra (P): -y+z-1=0
Bài 54: Trong không gian Oxyz cho các điểm M(-1;-1;4) và N(1;-1;2)
Viết phương trình mặt cầu (S1) đi qua M,N tiếp xúc với mặt phẳng Oxy và có tâm nằm trên Oyz
Viết phương trình mặt cầu (S2) đi qua M,N tiếp xúc với mặt phẳng Oxyvà có tâm nằm trên Oxz
Hướng dẫn:
Gọi I là tâm của mặt cầu thì I(0;b;c) và I cách đều M, N, suy ra có 2 mặt cầu 
Gọi J là tâm mặt cầu thì J(a;0;c) và JM=JN= suy ra có 2 mặt cầu và 
Bài 55: Cho 4 điểm A(0;1;0) , B(2;3;1) , C(-2;2;2) , D(1;-1;2)
CMR: ABCD là tứ diện có 3 mặt vuông 
Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
Đáp số:
Chứng minh các cặp vetơ tạo từ 4 điểm vuông góc 
Bài 56: Cho S(-3;1;-4) , A(-3;1;0) , B(1;3;0), C(3;-1;0) , D(-1;-3;0)
CMR: ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD
Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
Đáp số: 
Cm: 
Bài 57: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau đây 
	1) 
	2) 
	Đáp số:
	1) I(-18;22;-9) , r=3	2) I(-1;2;3) , r=8
Bài 58:Cho 3 điểm A(2;4;1) , B(-1;4;0) , C(0;0;-3)
Xác định tâm và bán kính của đưòng tròn (ABC)
Viết phương trình của đường tròn (ABC) 
Cho đường thẳng d :x=2-5t ,y=4+2t , z=1. Chúng minh rằng d cắt đường tròn tại 2 điểm tìm toạ độ 2 điểm đó
Đáp số: 
1) Tâm I(1;2;-1) , r =3	2) 
3) (2;4;1) , (48/29;120/29;1) 
Bài 59: Cho mặt cầu (S): (x+2)2+(y-1)2+z2=26 và đường thẳng d: 
Tìm giao điểm A,B của đường thẳng và mặt cầu . Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d
Lập phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A và B
Đáp số :
A(1;2;-4) , B(1,-3, 1) ; d(I,d)= 
3x+y-4z-21=0 và 3x-4y+z-16=0
Bài 60: Cho hai điểm A(-1;-3;1) , B(-3;1;5)
Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
Viết phương trình những tiếp diện với mặt cầu và chứa Ox. Tính toạ độ các tiếp điểm 
Đáp số:
1) (x+2)2+(y+1)2+(z-3)2=9	2) z=0 , 3y-4z=0 ; (-2;-1;0) , (-2;