Tổng hợp một số vấn đề giải toán hình không gian

TỔNG HỢP MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN 
HÌNH KHÔNG GIAN
I. Đường thẳng và mặt phẳng .
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)
Phương pháp :
- Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng
Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đòng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó . Giao điểm , nếu có của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng .
2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt A tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P) .
Chú ý : Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P) và (Q) .
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng , chứng minh 3 đường thẳng đồng quy .
Phương pháp :
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó .
- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường nàylà điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba .
4. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động
Phương pháp :
M là giao điểm của hai đường thẳng di động d và d' . Tìm tập hợp các điểm M.
* Phần thuận : Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. M di đọng trên giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó .
* Giới hạn (nếu có)
* Phần đảo
Chú ý : nếu d di động nhưng luôn qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a không qua A thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A,a)
5. Thiết diện
Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của (P) với các mặt hình chóp .
Phương pháp :
Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước sau :
- Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)
- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác . Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này .
- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện . 
II.Đường thẳng // .
1. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3 .
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
2 . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 1)
Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước .
Phương pháp :
* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với một đường thẳng đã có)
Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy .
Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuyến :
Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết diện của hình chóp .
3 . Tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau.
Phương pháp :
Tính góc :
Lấy điểm O nào đó .
Qua O dựng a' // a và b' // b 
Góc nhọn hoặc góc vuông tạo bởi a',b' gọi là góc giữa a và b .
Tính góc : Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý hàm số côsin trong tam giác thường . 
III.Đường thẳng // với mặt phẳng .
1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp :
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(Cách 2 / dạng 2)
Thiết diện song song với một đườc thẳng cho trước
Phương pháp :
Nhắc lại một hệ quả : Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song song với d .
Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết . 
IV.Mặt phẳng //.
1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
Chú ý :Sử dụng tính chất 
ta có cách thứ 2 để chưngs minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) .
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 3)
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước .
Phương pháp :
- Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến :"Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau " .
- Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết .
- Chú ý : Nhớ tính chất 
V.Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
Phương pháp :
* Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
- Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P).
- Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) .
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau .
- Chứng minh hai đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia .
- Nêú hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng .
2. Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước .
Cho khối đa diện (S) , ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng (P) , (P) qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước .
- Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc với d thì :
(P) // a (hay chứa a)
(P) // b (hay chứa b)
Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên .
- Dựng mặt phẳng (P) như sau :
Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d , trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M .
mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P) .
Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học .
 VI.Đường vuông góc và đường xiên.
1. Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước .
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp :
Thực hiện các bước sau :
*Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng ).
*Xác định đường thẳng 
* Dựng AH vuông góc với c tại H
- Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P) .
- Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P)
Chú ý :
- Trước khi chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵn trên hình vẽ chưa.
- Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m thì 
- Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P))
- Nếu AB cắt (P) tại I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 
2. Ứng dụng của trục đường tròn
Định nghĩa : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó .
Ta có thể dùngn tính chất của trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
- Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách đều 3 điểm A,B,C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC))
- Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba điểm không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A,B,C; khi đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A,B,C .
3. Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động
Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O .
Phương pháp :
- Dựng , theo định lý ba đường vuông góc ta có 
- Trong mặt phẳng (P), nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P) .
4. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt phẳng di động .
Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm cố dịnh A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định .
Phương pháp :
- Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d
- Tìm 
- Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P) .
Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), nên H thuộc đường tròn đương kính AE .
5. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng
Cách xác định góc giữa a và (P) .
Phương pháp :
- Tìm giao điểm O của a với (P)
- Chọn điểm và dựng 
khi đó 
VII. Mặt phẳng vuông góc
1. Nhị diện góc giữa hai mặt phẳng
Khi giải các bài toán liên quan đến số đo nhị diện hay góc giữa hai mặt phẳng thì ta thường xác định góc phẳng của nhị diện. Nếu góc này chưa có sẵn trên hình ta có thể dựng nó theo phương pháp dưới đây .
Phương pháp :
- Tìm cạnh c của nhị diện (giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai mặt của nhị diện )
- Dựng một đoạn thẳng AB có hai đầu mút ở trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với một mặt của nhị diện .
- Chiếu vuông góc A ( hay B ) trên c thành H .
ta được là góc phẳng của nhị diện .
Chú ý :
- Nếu đã có một đường thẳng d cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vuông góc với cạnh c của nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng của nhị diện đó như sau ; Chiếu vuông góc A ( hay B hay một điểm trên AB ) trên c thành H . Khi đó là góc phẳng của nhị diện .
- Nếu hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì .
- Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB có chung đáy AB thì ( I là trung điểm của AB ) là góc phẳng của nhị diện đó .
2. Mặt phân giác của nhị diện , cách xác định mặt phân giác .
Phương pháp :
C1 :
- Tìm một góc phẳng của nhị diện .
- Mặt phân giác của nhị diện là mặt qua cạnh c của nhị diện và phân giác Ot của góc phẳng xOy .
C2 :
- Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện .
- Mặt phân giác của nhị diện trên là mặt qua A và cạnh c của nhị diện .
3. Mặt phẳng vuông góc 
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .
Phương pháp :
- Cách 1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia .
- Cách 2 : chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 90 .
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
- Cách 1 : Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P) .
- Cách 2 : Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) .
- Cách 3 : Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A, B, C thuộc (P) .
- Cách 4 : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với (P) " .
- Cách 5 : Sử dụng định lý : " Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P) thì a vuông góc với (P) " .
4. Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặtphẳng . Thiết diện .
Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a không vuông góc với (P) . Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) .
Phương pháp :
- Từ một điểm trên a dựng b vuông góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b) .
Chú ý : Nếu có đường thẳng thì (Q) // d hay (Q) chứa d .
Bµi tËp vÒ h×nh häc kh«ng gian
Bµi tËp «n tËp ch­¬ng I
 VÊn ®Ò 1: C¸ch t×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng
Ph­¬ng ph¸p: Muèn t×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng, ta t×m hai ®iÓm chung cña hai mÆt ph¼ng. §­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm chung ®ã, lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng.
¸p dông:
Bµi 1: Cho mét ®iÓm S ë ngoµi mÆt ph¼ng () vµ 4 ®iÓm A, B, C, D n»m trong (); AB vµ CD kh«ng song song. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (SCD).
HD: AB CD = {I} ; (SAB) (SCD) = SI
Bµi 2: Cho hai ®o¹n th¼ng AB vµ CD kh«ng n»m trong cïng mét mÆt ph¼ng, M lµ mét ®iÓm trªn AB, vµ N lµ mét ®iÓm trªn CD. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (MCD) vµ (NAB).
HD: (MCD) ((NAB) = MN
Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BC, K lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BD sao cho KD < KB. T×m giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (IJK) víi c¸c mÆt ph¼ng (ACD) vµ (ABD).
HD: JK CD = {H} (IJK) (ACD) = IH
IH AD = {E} (IJK) (ABD) = KE
Bµi 4: Cho tø diÖn ABCD. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC.
a. T×m giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng (IBC) vµ (JAD).
b. M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB, N lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AC.
 T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (IBC) vµ (DMN).
HD: a. (IBC) (JDA) = IJ
b. BI MD = {P}; CI DN ={Q}; (DMN) (IBC) = PQ
Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD vµ D, E, F lµ trung ®iÓm cña AB, BC, SA.
a. T×m giao tuyÕn d1 cña 2 mÆt ph¼ng (SDC) vµ (SAE).
b. T×m giao tuyÕn d2 cña 2 mÆt ph¼ng (SDC) vµ (BFC).
c. d1 vµ d2 cã c¾t nhau kh«ng ?
HD: a, (SDC) (SAE) = SG = d1
b, BF SD = {K} (SDC) (BFC) = CK = d2
c, d1 d2 ={ I}
Bµi 6: Chøng minh r»ng cã v« sè ®­êng th¼ng c¾t c¶ 3 ®­êng th¼ng cho tr­íc ®«i mét chÐo nhau.
Bµi 7: Cho 2 ®­êng th¼ng d1 vµ d2 kh«ng n»m trong mét mÆt ph¼ng. LÊy ®iÓm A trªn d1 vµ ®iÓm B trªn d2. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (A,d2) vµ (B, d1).
HD: (A, d2) (B, d1) = AB
Bµi 8: Cho 4 ®iÓm A, B, C, D kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC.
a. Chøng minh IB vµ JA lµ 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau.
b. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (IBC) vµ (JAD).
c. Gäi M lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n AB vµ N lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n AC. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (IBC) vµ (DMN).
HD: Dïng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng.
Gi¶ sö IB vµ JA kh«ng chÐo nhau, th× IB vµ JA n»m trong cïng 1 mp, 
 n»m trong 1 mp tr¸i víi gi¶ thiÕt.
VËy IB vµ JA chÐo nhau.
C©u b,c t­¬ng tù bµi tËp 3.
Bµi 9: Gäi lµ mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh bëi 2 ®­êng th¼ng a, b c¾t nhau t¹i O, vµ c lµ mét ®­êng th¼ng c¾t mp() t¹i I kh¸c O.
a. X¸c ®Þnh giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (O,c) vµ ().
b. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c vµ kh«ng trïng víi I. T×m giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng (M,a) vµ (M,b). Chøng minh r»ng giao tuyÕn nµy lu«n n»m trong mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh khi M di ®éng trªn c.
HD: a, (O,c) () = OI
b, (M, a) (M, b) = OM, OM (O, c).
Bµi 10: Cho 2 ®­êng th¼ng a, b chÐo nhau vµ mét ®iÓm M kh«ng thuéc 2 ®­êng th¼ng ®ã. H·y dùng mét ®­êng th¼ng ®i qua M vµ c¾t c¶ 2 ®­êng th¼ng a, b.
VÊn ®Ò 2: C¸ch chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng, chøng minh 3 ®­êng th¼ng ®ång quy t¹i mét ®iÓm.
Ph­¬ng ph¸p: 
+ Muèn chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng, ta chøng minh 3 ®iÓm ®ã lµ c¸c ®iÓm chung cña 2 mÆt ph¼ng ph©n biÖt. Lóc ®ã chóng n»m trªn giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng.
+ Muèn chøng minh 3 ®­êng th¼ng ®ång quy, ta chøng minh giao ®iÓm cña 2 ®­êng th¼ng nµy lµ ®iÓm chung cña hai mÆt ph¼ng mµ giao tuyÕn lµ ®­êng th¼ng thø ba.
¸p dông:
Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c DEF kh«ng n»m trong cïng mét mÆt ph¼ng, AB c¾t DE t¹i M; BC c¾t EF t¹i N; AC c¾t DF t¹i L. Chøng minh: M, N, L th¼ng hµng.
HD: CÇn chøng minh 
M, N, L n»m trªn giao tuyÕn cña 2 mp (ABC) vµ (DEF).
Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD; E,F,G lµ 3 ®iÓm lÇn l­ît trªn AB, AC, AD. Gäi M, N , L lµ giao ®iÓm lÇn l­ît cña BC vµ EF; CD vµ FG; BD vµ EG. Chøng minh: M, N, L th¼ng hµng.
HD: CÇn chøng minh 
M, N, L n»m trªn giao tuyÕn cña 2 mp (BCD) vµ (EFG).
Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD. Gäi E, F, G lÇn l­ît lµ 3 ®iÓm trªn 3 c¹nh AB, AC, BD sao cho EF c¾t BC t¹i I, EG c¾t AD t¹i H. Chøng minh CD, IG, HF ®ång qui.
Bµi 4: Cho 2 mÆt ph¼ng () vµ () c¾t nhau theo giao tuyÕn d. Ta lÊy 2 ®iÓm A, B thuéc mp(), nh­ng kh«ng thuéc d vµ mét ®iÓm O kh«ng thuéc () vµ (). C¸c ®­êng th¼ng OA, OB lÇn l­ît c¾t () t¹i A’, B’. Gi¶ sö ®­êng th¼ng AB c¾t d t¹i C.
a. Chøng minh 3 ®iÓm O, A, B kh«ng th¼ng hµng.
b. Chøng minh 3 ®iÓm A’, B’, C’ th¼ng hµng, vµ tõ ®ã suy ra 3 ®­êng th¼ng AB, A’B’ vµ d ®ång qui.
Bµi 5: Chøng minh r»ng nÕu 3 ®­êng th¼ng kh«ng cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng vµ v¾t nhau tõng ®«i mét thi chóng ®ång qui.
Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC n»m ngoµi mÆt ph¼ng (); cho biÕt 3 c¹nh cña tam gi¸c kÐo dµi c¾t () t¹i I, J, K. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng.
Bµi 7: Cho tø diÖn ABCD. Gäi A’ vµ B’ lµ träng t©m cña hai tam gi¸c BCD vµ ACD, I lµ trung ®iÓm cña CD.
a. Chøng minh r»ng 2 ®­êng th¼ng AA’ vµ BB’ giao nhau t¹i G.
Suy ra 4 ®­êng th¼ng nèi tõ mçi ®Ønh cña tø diÖn ®Õn träng t©m cña mÆt ®èi ®ång qui.
b. Chøng minh r»ng A’B’ song song víi AB vµ tÝnh .
Bµi 8: Cho 4 ®iÓm A, B, C, D kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng. Gäi I lµ ®iÓm n»m trªn ®­êng th¼ng BD nh­ng kh«ng thuéc ®o¹n BD. Trong mÆt ph¼ng (ABD), ta vÏ mét ®­êng th¼ng qua I c¾t 2 ®o¹n th¼ng CB vµ CD lÇn l­ît t¹i M vµ N.
a. Chøng minh 4 ®iÓm K, L, M, N cïng thuéc mÆt ph¼ng.
b. Gäi O1 lµ giao ®iÓm cña 2 ®­êng th¼ng BN vµ DM, O2 lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng BL vµ DK vµ J lµ giao ®iÓm cña 2 ®­êng th¼ng LM vµ KN. Trong 5 ®iÓm A, C, J, O1, O2 cã ba bé ba ®iÓm nµo th¼ng hµng kh«ng ?
c. Gi¶ sö 2 ®­êng KM vµ LN c¾t nhau t¹i H. Chøng minh r»ng ®iÓm H thuéc ®­êng th¼ng AC.
HD: a, K, L, M, N (IMK)
b, (ABN) (ADM) = AJO1 
(BCL) (CDK) = CJO2
c, (ABC) (ADC) = ACH
Bµi 9: Cho h×nh chãp S.ABCD. Mét mp(P) c¾t c¸c c¹nh SA, SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i A’, B’, C’, D’. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Chøng minh r»ng A’C’, B’D’ vµ SI ®ång qui.
HD: A’C’ B’D’ = {K}
K A’C’ (SAC), K B’D’ (SBD)
mµ (SAC) (SBD) = SI K SI
A’C’ , B’D’ vµ SI ®ång qui
VÊn ®Ò 3: C¸ch t×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng.
Ph­¬ng ph¸p: Cho ®­êng th¼ng d vµ mp(). Gi¶ sö d c¾t (). Muèn t×m giao ®iÓm cña d vµ (), ta chän mÆt ph¼ng phô chøa d, c¾t () theo giao tuyÕn (d) dÔ nh×n thÊy. Trong mp phô () , d c¾t () t¹i I. §Ý lµ giao ®iÓm cña d vµ mp().
¸p dông:
Bµi 1: Cho tø diÖn OABC. Trªn c¸c c¹nh OA, OB, OC, ta lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm A’, B’, C’. LÊy ®iÓm M n»m trong tam gi¸c ABC.
a. T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng B’C’ víi mp(OAM).
b. §­êng th¼ng OM víi mp(A’B’C’).
HD: a, cã AM BC = {K}, B’C’ OK = {H}
H lµ giao ®iÓm cña B’C’ víi (OAM)
b, OM A’H = {E} E lµ giao ®iÓm cña OM víi (A’B’C’).
Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BC, K lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BD vµ kh«ng trïng víi trung ®iÓm cña BD. T×m giao ®iÓm cña CD vµ AD víi mp(MNK).
HD: NK CD = {I}
IM AD = {J}
AD (MNK) = {J}
Bµi 3: Cho 4 ®iÓm A, B, C, D kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng. Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BC. Trªn ®o¹n th¼ng BD, ta lÊy ®iÓm P sao cho BP = 2PD.
T×m giao ®iÓm cña:
a. §­êng th¼ng CD víi mp(MNP).
b. §­êng th¼ng AD víi mp(MNP).
Bµi 4: Cho h×nh chãp S.ABCD, d¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC.
a. T×m giao ®iÓm I cña AM víi (SBD). Chøng minh: IA = 2IM.
b. T×m giao ®iÓm F cña SD víi (ABM). Chøng minh F lµ trung ®iÓm cña SD.
c. Gäi N lµ mét ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB. T×m giao ®iÓm cña MN víi (SBD).
VÊn ®Ò 4: C¸ch t×m tËp hîp giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng di ®éng
Ph­¬ng ph¸p:
+ Gäi 2 ®­êng th¼ng di ®éng d vµ d’, d d’ = {M}. Muèn t×m tËp hîp M ta lµm nh­ sau:
T×m hai mÆt ph¼ng cè ®Þnh lÇn l­ît chøa d vµ d’, M di ®éng trªn giao tuyÕn cè ®Þnh cña hai mÆt ph¼ng ®ã.
+ Giíi h¹n (nÕu cã).
+ PhÇn ®¶o.
 ¸p dông:
Bµi 1: Cho mét mÆt ph¼ng (P) vµ 2 ®­êng th¼ng d1 vµ d2 ®ång qui t¹i O. Hai ®iÓm A vµ B cè ®Þnh ë ngoµi mÆt ph¼ng (P). MÆt ph¼ng (Q) l­u ®éng qua AB c¾t d1 t¹i M vµ d2 t¹i M. T×m quü tÝch giao ®iÓm I cña Am vµ BN.
 Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ tø gi¸c, AB vµ CD kh«ng song song, M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh SB. MÆt ph¼ng (ADM) c¾t SC t¹i N. 
T×m tËp hîp giao ®iÓm cña Am vµ DN.
Bµi 3: Cho h×nh chãp S.ABCD. Mét mÆt ph¼ng (P)l­u ®éng qua AB c¾t SC vµ SD lÇn l­ît t¹i E vµ F. T×m tËp hîp giao ®iÓm M cña AE vµ BF.
Bµi 4: Cho 2 ®­êng th¼ng d1 vµ d2 c¾t nhau t¹i O vµ mét ®­êng th¼ng kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng víi d1 vµ d2. M lµ mét ®iÓm trªn . T×m giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng (M,d1) vµ (M,d2). T×m quü tÝch cña giao tuyÕn khi M l­u ®éng trªn .
 VÊn ®Ò 5: C¸ch x¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp vµ mÆt ph¼ng
Ph­¬ng ph¸p: Cho h×nh chãp S.A1,A2, A3,,An vµ mp(). NÕu () c¾t mét mÆt nµo ®ã cña h×nh chãp (mÆt bªn hay mÆt ®¸y) th× () sÏ c¾t mÆt nµy theo mét ®o¹n th¼ng gäi lµ ®o¹n giao tuyÕn cña () víi mÆt ®ã.
C¸c ®o¹n giao tuyÕn nèi tiÕp nhau, t¹o thµnh mét ®a gi¸c ph¼ng gäi lµ thiÕt diÖn. Nh­ vËy, muèn t×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi (), ta t×m c¸c ®o¹n giao tuyÕn (nÕu cã). §a gi¸c t¹o bëi c¸c ®o¹n giao tuyÕn lµ thiÕt diÖn cÇn t×m.
VËn dông:
Bµi 1: Cho tø diÖn ABCD. Gäi H, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC. Trªn ®­êng th¼ng CD lÊy ®iÓm M sao cho KM kh«ng song song víi BD. T×m thiÕt diÖn cña tø gi¸c ABCD víi mp(HKM).
Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AC vµ BC trong tam gi¸c BCD, ta lÊy ®iÓm M sao cho 2 ®­êng th¼ng KM vµ CD c¾t nhau. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn ABCDE víi mp(HKM).
Bµi 3: Cho h×nh chãp S.ABCD. Trong tam gi¸c SCD, ta lÊy mét ®iÓm M.
a. T×m giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng (SBM) vµ (SAC).
b .T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng BM víi mp(SAC).
T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(ABM).
Bµi 4: H×nh chãp tø gi¸c S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh CB vµ CD lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh SA. T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(MHK).
Bµi 5: Cho tø diÖn ®Òu ABCD, c¹nh b»ng a. KÐo dµi BC mét ®o¹n CE = a, kÐo dµi BD mét ®o¹n EF = a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB.
a. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(MEF).
b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.