Tổng hợp kiến thức Toán Lớp 12 - Bài 4: Tiệm cận

 Trang 143 
BÀI 4. TIỆM CẬN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 
Đường thẳng 
0y y được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số 
 y f x nếu   0lim


x
f x y hoặc 0lim


x
y 
Đường thẳng 0x x được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 
 y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 
   
0 0
lim ; lim
  
   
x x x x
f x f x ; 
   
0 0
lim ; lim
  
   
x x x x
f x f x . 
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 
Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa 
1. Phương pháp giải 
Tiệm cận ngang 
Đường thẳng 0y y là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  y f x nếu   0lim


x
f x y hoặc 
  0lim


x
f x y 
Tiệm cận đứng 
Đường thẳng 0x x là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  y f x nếu một trong các điều kiện sau 
được thỏa mãn: 
 Trang 144 
   
0 0
lim ; lim
  
   
x x x x
f x f x ;    
0 0
lim ; lim
  
   
x x x x
f x f x 
2. Bài tập 
Bài tập 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 
2 1
1
x
y
x



 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có 
diện tích bằng 
A. 2 (đvdt) B. 3 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 4 (đvdt) 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Tập xác định  \ 1D  
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng 1x  và tiệm cận ngang là 2y  . Khi đó hình chữ nhật tạo bởi 
hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích 1.2 2S   (đvdt) 
Bài tập 2: Biết các đường tiệm cận của đường cong  
26 1 2
:
5
x x
C y
x
  


 và trục tung cắt nhau tạo 
thành một đa giác  H . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A.  H là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 
B.  H là một hình vuông có diện tích bằng 4 
C.  H là một hình vuông có diện tích bằng 25 
D.  H là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Tập xác định    ; 2 2; \ 5       
Ta có 
26 1 2
lim lim 5 5
5x x
x x
y y
x 
  
   

 là tiệm cận ngang của  C 
26 1 2
lim lim 7 7
5x x
x x
y y
x 
  
   

 là tiệm cận ngang của  C 
5 5
lim ; lim 5
x x
y x
  
     là tiệm cận đứng của  C 
Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là 5; 7; 5y y x   cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có 
kích thước 2 5 nên có diện tích bằng 10. 
Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số 
ax b
y
cx d



1. Phương pháp giải 
Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 
ax b
y
cx d



 thì 0c  và 0ad bc  
Khi đó phương trình các đường tiệm cận là 
 Trang 145 
+ Tiệm cận đứng 
d
x
c
  
+ Tiệm cận ngang 
a
y
c
 
2. Bài tập 
Bài tập 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số 
 2 1 1m x
y
x m
 


 có đường tiệm cận ngang 3y  
là 
A. 1m  B. 0m  C. 2m  D. 3m  
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 
  22 1 1 0 2 1 0m m m m m          
Phương trình đường tiệm cận ngang là 2 1y m  nên có 2 1 3 2m m    . 
Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 
1
1
x
y
mx



 có tiệm cận đứng là 
A. B.  \ 0 C.  \ 1 D.  \ 0; 1 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 
0 0
1 0 1
m m
m m
  
 
    
Bài tập 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 
3
1
x
y
mx



 không có tiệm cận đứng là 
A. B. 
1
0;
3
 
 
 
 C. 
1
3
 
 
 
 D.  0 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là 
0
0
1
1 3 0
3
m
m
m m

     

Bài tập 4: Cho hàm số 
1
ax b
y
x



. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điềm  0; 1A  và có đường tiệm 
cận ngang là 1y  . Giá trị a b bằng 
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 0a b  
 Trang 146 
Do đồ thị hàm số đi qua điểm  0; 1A  nên 1b   
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là 1y a a   (thỏa mãn điều kiện) 
Vậy 0a b  
Bài tập 5: Biết rằng đồ thị của hàm số 
 
 
3 2019
3
a x a
y
x b
  

 
 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và 
trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a b bằng 
A. 3 B. -3 C. 6 D. 0 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là     3 3 2019 0a b a      
Phương trình các đường tiệm cận là 
3 3 0 3
3 3 0 3
x b b b
y a a a
       
   
      
 (thỏa mãn điều kiện) 
Vậy 0a b  
Bài tập 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
1
2
x
y
x m



 đi qua điểm 
 1; 2A là 
A. 4m  B. 2m   C. 4m   D. 2m  
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là 2 0 2m m    
Đường tiệm cận đứng là 1 2
2 2
m m
x m        (thỏa mãn) 
Bài tập 7: Cho hàm số 
1
2
mx
y
x m



 với tham số 0m  . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm 
số thuộc đường thẳng nào dưới đây? 
A. 2 0x y  B. 2 0x y  C. 2 0x y  D. 2y x 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là 22 1 0m m     . 
Phương trình các đường tiệm cận là 2 ;x m y m  nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là 
 2 ;I m m thuộc đường thẳng 2x y 
Bài tập 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 
4 5x
y
x m



 có tiệm cận đứng nằm bên 
phải trục tung là 
A. 0m  và 
5
4
m  B. 0m  
 Trang 147 
C. 0m  và 
3
4
m  D. 0m  
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 
5
4 5 0
4
m m     
Phương trình đường tiệm cận đứng là x m 
Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì 0m  
Vậy điều kiện cần tìm là 
0
5
4
m
m




Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ 
1. Phương pháp giải 
- Tiệm cận của đồ thị hàm số 
 
A
y
f x
 với A là số thực khác 0 và  f x là đa thức bậc 0n  . 
- Đồ thị hàm số 
 
A
y
f x
 luôn có tiệm cận ngang 0y  . 
- Đường thẳng 0x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  
A
y
f x
 khi và chỉ khi 0x là nghiệm của 
 f x hay  0 0f x  
- Tiệm cận của đồ thị hàm số 
 
 
f x
y
g x
 với    ,f x g x là các đa thức bậc khác 0. 
 - Điều kiện để đồ thị hàm số 
 
 
f x
y
g x
 có tiệm cận ngang là bậc  f x  bậc  g x . 
- Điều kiện để đường thẳng 0x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
 
 
f x
y
g x
 là 0x là nghiệm của 
 g x nhưng không là nghiệm của  f x hoặc 0x là nghiệm bội n của  g x , đồng thời là nghiệm bội m 
của  f x và m n 
2. Bài tập 
Bài tập 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 
2 2 1
2 1
mx x
y
x
 


 có tiệm cận đứng là 
A. 8m  B. 0m  C. 4m  D. 8m   
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
 Trang 148 
Tập xác định 
1
\
2
D
 
  
 
. Đặt   2 2 1g x mx x   
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì 
1
2
x   không là nghiệm của  g x 
1
0 2 0 8
2 4
m
g m
 
         
 
Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số 
2
1
2 6
x
y
x mx n


  
 (m, n là tham số) nhận đường thẳng 1x  là tiệm cận 
đứng, giá trị của m n bằng 
A. 6 B. 10 C. -4 D. -7 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Điều kiện: 2 2 6 0x mx n    . Đặt   2 2 6g x x mx n    
Do 1x  là nghiệm của   1f x x  nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng 1x  là tiệm cận đứng 
thì 1x  phải là nghiệm kép của phương trình 
 
 
22
1 2 7 0 2 7 1
0
52 1 06 0
g m n n m m
g x
nm mm n
         
     
         
Vậy 4m n   . 
Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số 
  2
2
2 1
6
m n x mx
y
x mx n
  

  
 nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. 
Giá trị m n bằng 
A. 8 B. 9 C. 6 D. -6 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Điều kiện 2 6 0x mx n    
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2y m n  
2 0m n   (1) 
Đặt   2(2 ) 1f x m n x mx    và   2 6g x x mx n    
Nhận thấy  0 0f  với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung 0x  là tiệm cận đứng thì 
 0 0 6 0 6g n n      . Kết hợp với (1) suy ra 3m  . 
Vậy 9m n  
Bài tập 4: Cho hàm số 
2
2
1
4 9
ax x
y
x bx
 

 
 có đồ thị  C (a, b là các số thực dương và 4ab  ). Biết rằng 
 C có tiệm cận ngang y c và có đúng một tiệm cận đứng. Giá trị của tổng 3 24T a b c   bằng 
A. 8 B. 9 C. 6 D. 11 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
 Trang 149 
Điều kiện 24 9 0x bx   
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 
4 4
a a
y c   
Đồ thị  C có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau: 
Trường hợp 1: Phương trình 24 9 0x bx   có nghiệm kép 0x x và không là nghiệm của 
2 1 0ax bx   
2 144 0 12b b      . Vì 0b  nên 
1 1
12
3 12
b a c     
Thử lại ta có hàm số 
2
2
1
1
3
4 12 9
x x
y
x x
 

 
 (thỏa mãn) 
Vậy 
1 1
3. 12 24. 11
3 12
T     
Trường hợp 2: 24 9 0x bx   có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn 
2 1 0ax x   . Điều này không xảy ra vì 4ab  . 
Chú ý: a; b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu. 
Dạng 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ 
Cho hàm số vô tỷ  y f x 
- Tìm tập xác định D của hàm số. 
- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  y f x thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít 
nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn lim
x
y

 hoặc lim
x
y

 hữu 
hạn. 
2. Bài tập 
Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số 22 4y x ax bx    có tiệm cận ngang 1y   
Giá trị 32a b bằng 
A. 56 B. -56 C. -72 D. 72 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Điều kiện 2 4 0ax bx   
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 0a  
Khi đó, ta có 
 2lim lim 2 4
x x
y x ax bx
 
      
   
2
2
2
4 4
lim lim 2 4 lim 1
4 2x x x
a x bx
y x ax bx
ax bx x  
  
      
  
 Trang 150 
4 0
4
1 4
2
a
a
b
b
a
 

     
. Vậy 32 56a b   
Chú ý: Để lim 1
x
y

  thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có 4 0a   . Khi đó lim
2x
b
y
a

 
Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 
2 2 3
2 1
mx x x
y
x
  


 có một đường 
tiệm cận ngang là 2y  ? 
A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Tập xác định 
1
\
2
D
 
  
 
Ta có 
1 1
lim ; lim
2 2x x
m m
y y
 
 
  
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là 
1
2
32
2
1 5
2
2
m
m
y
m m

 
     

Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số  y f x , xác định tiệm cận của đồ thị hàm số 
 

A
y
g x
 với A là số thực khác 0,  g x xác định theo  f x 
1. Phương pháp giải 
- Xác định tiệm cận đứng: 
+ Số tiệm cận của đồ thị hàm số 
 
A
y
g x
 là số nghiệm của phương trình   0g x  . 
+ Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số  y f x để xác định số nghiệm của phương trình 
  0g x  để suy ra số đường tiệm cận đứng. 
- Xác định ti ...  có 
6
2 .1 4
2
a
a
a

     
. 
Vì 0a  nên 6a  . 
Bài tập 5. Cho hàm số 
1
1
x
y
x



 có đồ thị  C . Hai đường tiệm cận của  C cắt nhau tại I. Đường thẳng 
: 2d y x b  (b là tham số thực) cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A, B. Biết 0b  và diện tích tam 
giác AIB bằng 
15
4
. Giá trị của b bằng 
A. -1. B. -3. C. -2. D. -4 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Ta có tọa độ điểm  1;1I . 
Phương trình hoành độ giao điểm của  C và d là 
 Trang 170 
     2
11
2
2 3 1 0 *1
xx
x b
f x x b x bx
 
   
      
. 
Đường thẳng d cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi   0f x  có hai nghiệm phân biệt 
khác 1 
 
2 2 17 0
1 2 0
b b
b
f
    
   
  
. 
Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của (*). 
Khi đó    1 1 2 2;2 , ;2A x x b B x x b  . 
Ta có  1 11;2 1IA x x b    ;  2 21;2 1IB x x b    . 
Diện tích tam giác IAB là      1 2 2 1
1
1 2 1 1 2 1
2
S x x b x x b        
  
2
1 2
1 1 2 17
1 1 .
2 2 2
b b
b x x b
 
     . 
Theo giả thiết thì 
21 2 17 15
4 4
b b b  
 
     
2 2 2 2
1 1 16 225 1 9
4
b
b b b
b
             
. 
Do 0b  nên 4b   . 
Chú ý: 
- Với tam giác ABC có 
   ; ; ;AB a b AC c d  
thì 
1
2
ABCS ad bc   . 
- Nếu phương trình bậc 
hai 2 0ax bx c   có 
hai nghiệm phân biệt 
1 2,x x thì 1 2x x
a

  
Bài tập 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  1C và  2C lần lượt có phương trình 
   
2 2
1 2 1x y    và  
2 21 1x y   . Biết đồ thị hàm số 
ax b
y
x c



 đi qua tâm của  1C , đi qua 
tâm của  2C và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả  1C và  2C . Tổng a b c  là 
A. 5. B. 8. C. 2. D. -1. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Đường tròn  1C có tâm  1 1;2I ; 1 1R  và  2C có tâm  2 1;0I  ; 2 1R  . 
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 0ac b  . 
Gọi  C là đồ thị hàm số 
ax b
y
x c



. 
Khi đó ta có các đường tiệm cận  C là x c  và y a . 
Ta có  1 2
12
1
,
0 1
1
a b c
c
I I C a b
a b
a c
c
   
    
     
. 
 Trang 171 
Đường thẳng x c  tiếp xúc với cả  1C và  2C nên 
1 1
0
1 1
c
c
c
  
 
 
1a b   
Khi đó tiệm cận ngang của  C là 1y  tiếp xúc với cả  1C ,  2C thỏa mãn bài toán. 
Vậy 1; 0 2a b c a b c       . 
Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số 



ax b
y
cx d
 đến các đường tiệm cận 
1. Phương pháp giải 
Giả sử đồ thị hàm số 
ax b
y
cx d



 có các đường tiệm 
cận là 1 :
d
x
c
   và 2 :
a
y
c
  . 
Gọi 00
0
;
ax b
M x
cx d
 
 
 
 là điểm bất kì trên đồ thị. 
Khi đó   01 1 0;
cx dd
d d M x
c c

     và 
 
 
0
2 2
0 0
;
ax b a ad bc
d d M
cx d c c cx d
 
    
 
. 
Vậy ta luôn có 
1 2 2
.
ad bc
d d K
c

  là một số 
không đổi. 
Khi đó 
1 2 1 22 2d d d d K   nên 
 1 2min 2d d K  khi 1 2d d 
 
 
20
0
0
cx d ad bc
cx d ad bc
c c cx d
 
     

. 
Bài tập: Xét hàm số 
2 1
1
x
y
x



 có hai đường 
tiệm cận là 1x  và 2y  . Khi đó tích các 
khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến 
hai đường tiệm cận là 
2 1
1
1
d
 
  . 
2. Bài tập 
Bài tập 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị 
2 1
2 3
x
y
x



 với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm 
M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng 
A. 4. B. 2. C. 8. D. 6. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Gọi 1 2,d d lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 
 Trang 172 
Áp dụng công thức, ta có 
1 2
6 2
. 2
4
d d

  . 
Bài tập 2. Cho hàm số 
2 3
2
x
y
x



  C . Gọi M là điểm bất kỳ trên  C , d là tổng khoảng cách từ M đến 
hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng 
A. 10. B. 6. C. 2. D. 5. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Gọi 1 2,d d lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 
Áp dụng công thức, ta có 
1 2
4 3
. 1
1
d d
 
  . 
Khi đó 
1 2 1 22 . 2d d d d d    . 
Vậy min 2d  . 
Bài tập 3. Cho hàm số 
1 3
3
x
y
x



 có đồ thị  C . Điểm M có hoành độ dương, nằm trên  C sao cho 
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của  C . Khoảng 
cách từ M đến tâm đối xứng của  C bằng 
A. 5. B. 3 2 . C. 2 5 . D. 4. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Giả sử    00 0 0
0
3 1
; 0; 3
3
x
M x C x x
x
 
   
 
. 
Đồ thị  C có tiệm cận đứng 1 : 3x  , tiệm cận ngang 2 : 3y  và tâm đối xứng  3;3I . 
Khi đó  1 1 0; 3d d M x    và  2 2
0
8
;
3
d d M
x
  

. 
Theo giả thiết 
0
1 2 0 0
00
716
2 3 7
13
x
d d x x
xx

      
  
 (do 0 0x  ). 
Vậy  7;5 2 5M IM  . 
Bài tập 4. Cho hàm số 
4 5
1
x
y
x



 có đồ thị  H . Gọi  0 0;M x y với 0 0x  là một điểm thuộc đồ thị 
 H thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của  H bằng 6. Giá trị của biểu thức 
 
2
0 0S x y  bằng 
A. 4. B. 0. C. 9. D. 1. 
 Trang 173 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Đồ thị  H có tiệm cận đứng 1 : 1x   và tiệm cận ngang 2 : 4y  . 
Gọi  00 0 0
0
4 5
; , 1, 0
1
x
M x H x x
x
 
    
 
. 
Khi đó  1 1 0; 1d d M x    và  2 2 1 2
0
9
; . 9
1
d d M d d
x
    

. 
Ta có 
1 2 1 22 6d d d d   nên  1 2min 6d d  khi 
0
1 2 0
00
29
1
41
x
d d x
xx

     
  
. 
Do 0 0x  nên  4;7 9M S   . 
Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số 



ax b
y
cx d
1. Phương pháp giải 
Giả sử đồ thị hàm số 
ax b
y
cx d



 có đồ thị  C có 
các đường tiệm cận là 1 :
d
x
c
   , 2 :
a
y
c
  và 
;
d a
I
c c
 
 
 
. 
Gọi 00
0
;
ax b
M x
cx d
 
 
 
 là điểm bất kỳ trên đồ thị. 
Khi đó tiếp tuyến của  C tại M là 
 
  002
00
:
ax bad bc
d y x x
cx dcx d

  

. 
Gọi 1A d  
 
 
 
0
0 0
22
;
ad bcbc ad acxd
A IA
c c cx d c cx d
   
       
. 
2B d  
 0
0
2
2 ;
cx dd a
B x IB
c c c
 
    
 
. 
Do đó 
2
4
.
ad bc
IA IB K
c

  là một số không đổi. 
Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sau 
Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB. 
2
21 1
.
2 2
IAB
ad bc
S IA IB K
c


   . 
Câu 2: Tìm điểm  M C hoặc viết phương trình 
tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến tạo với hai trục 
tọa độ một tam giác vuông có 
a) Cạnh huyền nhỏ nhất. 
2 2 2 . 2AB IA IB IA IB K    . 
Dấu bằng xảy ra khi IA IB . 
b) Chu vi nhỏ nhất 
Ta có 
2 . 2 . 2 2IA IB AB IA IB IA IB K K      
Dấu bằng xảy ra khi IA IB . 
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất. 
Ta có 
1
2 2
K
R AB  
Dấu bằng xảy ra khi IA IB . 
d) Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. 
 Trang 174 
Do IAB vuông tại I nên 
2
21 1
.
2 2
IAB
ad bc
S IA IB K
c


   là một số không 
đổi. 
Ngoài ra, ta có 
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y
 

 
 nên M luôn là 
trung điểm của AB. 
Ta có 
S K
r
p IA IB AB
 
 
Vậy r lớn nhất khi IA IB AB  nhỏ nhất và bằng 
2 2K K . 
Dấu bằng xảy ra khi IA IB . 
e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất. 
Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có 
2 2 2
1 1 1 2 2
. 2
K
IH
IA IB KIH IA IB
      . 
Dấu bằng xảy ra khi IA IB . 
Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy 
ra khi IA IB nên IAB vuông cân tại I. Gọi  là 
góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang 2 thì 
   2; ; 45d d Ox      nên hệ số góc của tiếp 
tuyến là tan 45 1k      . 
Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết 
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
ax b
y
cx d



 khi biết hệ số góc 1k  hoặc 1k   . 
2. Bài tập 
Bài tập 1. Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



 có đồ thị  C . Tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc 
 C cắt các đường tiệm cận của  C tạo thành tam giác có diện tích bằng 
A. 4. B. 2 2 . C. 4 2 2 . D. 2 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Áp dụng công thức, ta có 
2 2 1
2
1
S
 
  . 
Bài tập 2. Cho hàm số 
1
2 3
x
y
x



  C . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số  C . 
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị  C đạt giá trị lớn nhất bằng 
A. 
1
2
. B. 1. C. 2 . D. 5 . 
Hướng dẫn giải 
 Trang 175 
Chọn A. 
Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là 
3 1
;
2 2
I
 
 
 
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại  M C bất kỳ với hai đường tiệm cận. 
Khi đó ta có 
2
4 4 3 2
. 1
4
ad bc
IA IB
c
  
   . 
Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có 
2 2 2
1 1 1 2 2
2
. 2
IH
IA IBIH IA IB
      . 
Vậy 
max
2
2
IH  . 
Bài tập 3. Cho hàm số 
2 1
2
x
y
x



 có đồ thị  C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của  C . 
Biết tiếp tuyến  của  C tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho 
đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi 
 và hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây? 
A.  28;29 . B.  29;30 . C.  27;28 . D.  26;27 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có 
 
2
3
0
2
y
x

  

. 
Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ 
số góc của tiếp tuyến  phải là 1k   . 
Do 0,y x   nên 1k   . 
Xét phương trình 
 
2
2 33
1
2 2 3
x
y k
x x
  
      
  
. 
- Với 2 3 2 3x y      Tiếp tuyến  1 : 2 3 2 3y x       
 4 2 3y x     . 
Khi đó 1 cắt Ox, Oy tại hai điểm    4 2 3;0 , 0;4 2 3M N  và  
21
4 2 3
2
OMNS   . 
- Với 2 3 2 3x y      tiếp tuyến  1 : 2 3 2 3y x       
 4 2 3y x     . 
Khi đó 1 cắt Ox, Oy tại hai điểm    4 2 3;0 , 0;4 2 3P N  và  
21
4 2 3 27,85
2
OPQS    . 
 Trang 176 
Bài tập 4. Cho hàm số 
1
2
x
y
x



, gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2m  . 
Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm  1 1;A x y và cắt tiệm cận ngang của đồ 
thị hàm số tại điểm  2 2;B x y . Gọi S là tập hợp các số m sao cho 2 1 5x y   . Tổng bình phương các 
phần tử của S bằng 
A. 4. B. 9. C. 0. D. 10. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Điều kiện 2 2 0m m    . 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : 2x   và tiệm cận ngang : 1y  . 
Ta có 
 
 
2 2
3 3
2
2
y y m
mx
    

 và  
3
2
m
y m
m

  . 
Phương trình đường thẳng d là  
2
3 3
2
m
y x m
mm

    . 
6
2;
m
A d A
m
 
   
 
;  2 2;1B d B m    
Do đó 22 1
16
5 2 2 5 2 4 6 0
3
mm
x y m m m
mm

               
. 
Vậy  
2 23 1 10S     . 
 Trang 177