Tổng hợp kiến thức Toán Lớp 12 - Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Trang 107 
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 
Cho hàm số  y f x xác định trên tập D. 
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số  y f x trên tập D nếu   f x M với mọi 
x D và tồn tại 0 x D sao cho  0 f x M . 
Kí hiệu:  max
D
M f x 
+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số  y f x trên tập D nếu   f x m với mọi 
x D và tồn tại 0 x D sao cho  0 f x m 
Kí hiệu:  min
D
m f x 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số  y f x trên tập D nếu 
  f x M với mọi x D và tồn tại 0 x D sao cho  0 f x M . 
Kí hiệu:  max
D
M f x 
Cho hàm số 
 y f x xác định 
trên tập D 
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số  y f x trên tập D nếu 
  f x m với mọi x D và tồn tại 0 x D sao cho  0 f x m . 
Kí hiệu:  min
D
m f x 
 Trang 108 
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng 
1. Phương pháp giải 
Ta thực hiện các bước sau 
Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng). 
Bước 2. Tính   y f x ; tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định. 
Bước 3. Lập bảng biến thiên 
Bước 4. Kết luận 
Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải. 
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  y f x trên miền (a; b) ta sử dụng máy 
tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị) 
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất 
hiện là min. 
- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step 
19
b a
 (có thể làm tròn để Step đẹp). 
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx ta chuyển máy tính về chế độ Radian. 
2. Bài tập 
Bài tập 1. Cho hàm số   6 5 2
1 2 1
1
3 5 2
     f x x x x x .Khẳng định nào sau đây đúng? 
A.  
17
max
30
f x B.  
47
max
30
f x 
C.  
67
max
30
f x D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Tập xác định D 
Ta có     5 4 42 2 1 1 2 1         f x x x x x x 
Khi đó     40 1 2 1 0 1        f x x x x 
Bảng biến thiên 
 Trang 109 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy  
47
max
30
f x tại 1x 
Bài tập 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số  
2
6 8
1



x
f x
x
 trên khoảng  ; 1 . Khi đó giá trị của 
biểu thức 
2
6 8
1



a
P
a
 bằng 
A. 
22
5
 B. 
6
13
 C. 
58
65
 D. 
74
101
 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Hàm số liên tục trên khoảng  ; 1 
Ta có  
 
2
2
2
8 12 8
1
x x
f x
x
 
 

Khi đó  
 
 
2
2 ; 1
0 8 12 8 0 1
; 1
2
x
f x x x
x
  
      
    

Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy 
 
  2; 1
6 8 58
max 8
1 65
a
f x P
a

    

Bài tập 3. Cho hàm số  
2
2
1
1
 
 
 
x x
y f x
x x
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
A.  min 1f x B.  
1
min
3
f x 
C.  min 3f x D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Tập xác định D 
Ta có 
 
   
   
2 2
2 2 2
2 2
2 1 2 2 12 2 2
1
1 1 1
    
      
     
x x x xx x
y f x y
x x x x x x
Do đó 20 2 2 0 1       y x x 
Bảng biến thiên 
 Trang 110 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy  
1
min
3
f x tại 1x 
Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn 
1. Phương pháp giải 
Bước 1. Tính  f x 
Bước 2. Tìm các điểm  ;ix a b mà tại đó   0 if x hoặc   if x không xác định 
Bước 3. Tính      , ,if a f x f b 
Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. 
Khi đó 
 
 
;
max
a b
M f x và 
 
 
;
min
a b
m f x 
Chú ý: 
 Trang 111 
+) Hàm số  y f x đồng biến trên đoạn [a; b] thì 
   
   
max
min



f x f b
f x f a
+) Hàm số  y f x nghịch biến trên đoạn [a; b] thì 
   
   
max
min



f x f a
f x f b
2. Bài tập 
Bài tập 1. Cho hàm số 
2
1



x
y
x
. Giá trị của 
   
22
2; 3 2; 3
min max      
   
y y bằng 
A. 16 B. 
45
4
 C. 
25
4
 D. 
89
4
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Ta có 
 
2
3
0, 1
1

    

y x
x
, do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng    ; 1 ; 1;   Hàm số 
nghịch biến trên [2; 3]. 
Do đó 
 
 
 
 
2; 3 2; 3
5
min 3 ; max 2 4
2
   y y y y 
Vậy 
   
222
2
2; 3 2; 3
5 89
min max 4
2 4
            
     
y y 
Bài tập 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 24  y x x 
Giá trị của biểu thức  P M m bằng 
A.  2 2 1 B.  2 2 1 C. 2 1 D. 2 1 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Tập xác định  2; 2 D 
Ta có  
2
2 2
4
1 , 2; 2
4 4
 
     
 
x x x
y x
x x
 
2
0
0 4
2 2; 2

      
   
x
y x x
x
       2 2 2; 2 0; 2 2; 2 2      y y y y 
Vậy  2 2, 2 2 2 2 2 2 1       M m P 
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 22 3  y x x m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng 
A. 6 B. 10 C. 7 D. 5 
Hướng dẫn giải 
 Trang 112 
Chọn A. 
Hàm số xác định và liên tục trên  0; 5D 
Ta có 2
0
0 6 6 0
1
 
        
x D
y x x
x D
     0 ; 1 1; 5 175    f m f m f m 
Dễ thấy      5 0 1 ,   f f f m nên 
 
   
0; 5
min 1 1  f x f m 
Theo đề bài 
 
 
0; 5
min 5 1 5 6     f x m m 
Bài tập 4. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 
2
1
 


x m m
y
x
 trên đoạn [2; 3]. Tất cả 
các giá trị thực của tham số m để 
13
2
 A B là 
A. 1; 2  m m B. 2 m 
C. 2 m D. 1; 2  m m 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3] 
Ta có 
 
 
2
2
1
0,
1
  
   

m m
y m
x
   
2
233 ; 2 2
2
 
      
m m
A y B y m m 
Do đó 
2
213 3 132
2 2 2
 
      
m m
A B m m 
2
1
3 6 0
2

       
m
m m
m
Bài tập 5. Biết hàm số  3 23 3 2 1 1    y x mx m x (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn 
nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là 
A. 1m B. 0m C. 3m D. 1 m 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
1
0
1 2
 
     
x
y
x m
Vì    2 1; 0 1   y y và theo bài ra 
 2; 0
max 6

y nên giá trị lớn nhất không đạt tại 2; 0  x x . Do đó 
giá trị lớn nhất đạt tại  1y hoặc  1 2y m . 
Ta có        
2
1 3 3, 1 2 1 2 2 1        y m y m m m 
- Trường hợp 1: Xét 3 3 6 1     m m 
 Trang 113 
Thử lại với 1 m , ta có 
 
 
1 2; 0
0
3 2; 0
    
   
  
x
y
x
 nên 1 m là một giá trị cần tìm. 
- Trường hợp 2: Xét 
         
2
2 1 2 2 5 1
1 2 2 1 6
1 3
2 1 2 0
2 2
        
 
      

m m
m m
m m
Vì    
21 3
2 0 1 2 2 0
2 2
        m m m m nên (1) vô nghiệm 
Dạng 3: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b] 
1. Phương pháp giải 
Thực hiện theo các bước sau 
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  f x trên đoạn  ;a b , giả sử thứ tự là M, m. 
Bước 2. 
+) Tìm 
 
 
;
max max ;
a b
y M m 
+) Tìm 
 ;
min
a b
y 
- Trường hợp 1: 
 ;
. 0 min 0  
a b
M m y 
- Trường hợp 2: 
 ;
0 min  
a b
m y m 
- Trường hợp 3: 
 ;
0 min    
a b
M y M M 
Bước 3. Kết luận. 
* Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k 
Thực hiện theo các bước sau 
Bước 1. Tìm 
 
 
 
 
; ;
max max ;f x A B
   
Bước 2. Xét các trường hợp 
+) A k tìm m, thử lại các giá trị m đó 
+) B k tìm m, thử lại các giá trị m đó 
2. Bài tập 
Bài tập 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 29 24 68   y x x x trên đoạn [-1; 4] bằng 
A. 48 B. 52 C. -102 D. 0 
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Bảng biến thiên của hàm số 3 29 24 68   y x x x trên  1; 4 
 Trang 114 
Suy ra bảng biến thiên của hàm số 3 29 24 68   y x x x trên đoạn  1; 4 là 
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 29 24 68   y x x x trên đoạn  1; 4 bằng 48. 
Cách khác: Theo trường hợp 3 thì 48 0 min 48    M y 
Bài tập 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 
2
1
 


x mx m
y
x
 trên đoạn [1; 2] bằng 2. 
Số phần tử của tập S là 
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Xét hàm số  
2
1
 
 

x mx m
y f x
x
Ta có 
 
 
 
2
2
0 1; 22
0
2 1; 21
  
    
   
xx x
y
xx
Mặt khác    
2 1 3 4
1 ; 2
2 3
 
 
m m
f f 
Do đó 
 1; 2
2 1 3 4
max max ;
2 3
   
  
 
m m
y 
- Trường hợp 1: 
 1; 2
3
2 1 2
max 2
52
2


   
  

m
m
y
m
+) Với 
3 3 4 17
2
2 3 6

   
m
m (loại) 
 Trang 115 
+) Với 
5 3 4 7
2
2 3 6

    
m
m (thỏa mãn) 
- Trường hợp 2: 
 1; 2
2
3 4 3
max 2
103
3


   
  

m
m
y
m
+) Với 
2 2 1 7
2
3 2 6

   
m
m (thỏa mãn) 
+) Với 
10 2 1 17
2
3 2 6

    
m
m (loại) 
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn. 
Bài tập 3. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 
  4 2
1
14 48 30
4
    f x x x x m trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng 
A. 108 B. 120 C. 210 D. 136 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Xét hàm số   4 2
1
14 48 30
4
    g x x x x m trên đoạn [0; 2] 
Ta có    
 
 
 
3
6 0; 2
28 48 0 2 0; 2
4 0; 2
   

        

 
x
g x x x g x x
x
Để 
 
 
 
 0; 2
0 30 30 30
max 30 0 16
14 302 30
     
      
   
g m
g x m
mg
 0;1; 2;...; 15; 16 m 
Tổng các phần tử của S là 136. 
Bài tập 4. Biết giá trị lớn nhất của hàm số 2
1
4
2
    y x x m bằng 18. 
Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. 0 5 m B. 10 15 m 
C. 5 10 m D. 15 20 m 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Xét hàm số   2
1
4
2
   g x x x liên tục trên tập xác định [-2; 2] 
Ta có      
2 2
1 0 1 0, 2; 2
4 4
 
         
 
x x
g x g x x
x x
 Trang 116 
 2
2 2
0
4 2 2; 2
4

       
 
x
x x x
x x
     5 1 4 2 32 ; 2 ; 2
2 2 2
g g g
 
     
Do đó 
 
 
2; 2
5
max
2
g x khi 2 x , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng 
5
2
 m 
Theo bài ra 
5
18 15,5
2
   m m . Vậy 15 20 m 
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN 
1. Phương pháp giải 
Thực hiện các bước sau 
Bước 1. Tìm 
 
 
 
 
;;
max ; min 
a ba b
f x f x  
Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của 
    y f x g m thì 
    max ;  M g m g m 
       
2 2
      
 
g m g m g m g m   
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi      g m g m  
Áp dụng bất đẳng thức 
   
2
   g m g m     
2 2
   
  ...  khi 
vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi 
trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao 
nhiêu? 
A. 180 (m/s) B. 36 (m/s) C. 144 (m/s) D. 24 (m/s) 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
 Ta có     2 12v t s t t t    
  2 12 0 6v t t t       
Vì      6 36; 0 0; 7 35v v v   nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s). 
Bài tập 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được 
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ 
được cho bởi công thức    2 /1
t
c t mg L
t


. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu 
của bệnh nhân cao nhất? 
A. 4 giờ B. 1 giờ C. 3 giờ D. 2 giờ 
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Xét hàm số    2 01
t
c t t
t
 

 
 
 
 
2
2
2
1 0;1
0
1 0;1
tt
c t
tt
  
    
    
Bảng biến thiên 
Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. 
Bài tập 4. Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 
3500
3
m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 
600.000 đồng / 2m . Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó 
là 
A. 75 triệu đồng B. 85 triệu đồng C. 90 triệu đồng D. 95 triệu đồng 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
 Trang 134 
Gọi  x m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là  2x m và  h m là chiều cao bể 
2
2
500 250
2
3 3
x h h
x
   Bể có thể tích bằng 
Diện tích cần xây   2 2 22
250 500
2 2 2 6 2 2
3
S xh xh x x x x
x x
       
Xét hàm        2 2
500 500
2 , 0 ; 4 0 5f x x x f x x f x x
x x

          
Bảng biến thiên 
Do đó 
 
   
0;
min 5 150f x f

  
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng min 150S  
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng. 
Bài tập 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình 
quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón 
tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? 
(bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép) 
A. 3
128 3
27
dm

 B. 3
128 3
81
dm

 C. 3
16 3
27
dm

 D. 3
64 3
27
dm

Hướng dẫn giải 
 Trang 135 
Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, 
tức là 4OA dm 
Chọn A 
Thể tích của hình nón  2 2
1 1
. . . 16 .
3 3
V r h h h    với 0 4h  
Ta có      2
1 4 3
. 16 3 0
3 3
V h h V h h       
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là 3
128 3
27
dm

. 
Bài tập 6. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 32 m . 
Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất 
A. 
1
; 8
2
R m h m  B. 1 ; 2R m h m  C. 
1
2 ;
2
R m h m  D. 
1
4 ;
5
R m h m  
Hướng dẫn giải 
Chọn B 
Từ giả thiết ta có 2
2
2
2V R h h
R
     
Diện tích toàn phần của thùng phi là 2 2
2
2 2 2tpS Rh R R
R
  
 
    
 
Xét hàm số   2
2
f R R
R
  với  0;R  
Ta có  
 3
2 2
2 12
2
R
f R R
R R

    
  0 1f R R    
 Trang 136 
Bảng biến thiên 
Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi 1 2R h   
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì 1 ; 2R m h m  . 
Bài tập 7. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. 
Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí 
lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí 
nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) 
A. 120 triệu đồng B. 164,92 triệu đồng C. 114,64 triệu đồng D. 106,25 triệu đồng 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C 
Đặt    
2 24 1 4 17 8 , 0;4AM x BM x CM x x x x            
Khi đó tổng chi phí lắp đặt là 2.20 40 8 17y x x x    (đơn vị: triệu đồng) 
 2
2 2
8 17 2 44
20 40. 20.
8 17 8 17
x x xx
y
x x x x
   
   
   
 2
12 3
0 8 17 2 4
3
y x x x x

         
Ta có    
12 3
80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120
3
y y y
 
       
 
Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng. 
Dạng 12. Tìm m để  ; 0F x m  có nghiệm trên tập D 
1. Phương pháp giải 
Thực hiện theo các bước sau 
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng    f x g m 
 Trang 137 
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số  f x trên D 
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số  A m sao cho đường thẳng  y g m cắt đồ 
thị hàm số  y f x 
Bước 4. Kết luận 
Chú ý: 
+)Nếu hàm số  y f x liên tục và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình 
   f x g m có nghiệm khi và chỉ khi 
     min max
D D
f x g m f x  
+)Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến 
thiên để xác định điều kiện sao cho đường thẳng  y g m nằm ngang cắt đồ thị hàm số  y f x tại k 
điểm phân biệt 
2. Bài tập 
Bài tập1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  100;100 để phương trình 
2 1x x m   có nghiệm thực? 
A. 100 B.101 C. 102 D. 103 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Điều kiện 1x   
Đặt 
2
0
1
1
t
t x
x t

   
 
Ta được phương trình 2 22 1 2 1t t m m t t        
Xét hàm số   2 2 1, 0f t t t t     
  2 2 0 1f t t t       
Bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi 2 100 2m m    
Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn 
 Trang 138 
Bài tập 2. Cho phương trình  2 22 2 1 2 0m x x x x      ( m là tham số). Biết rằng tập hợp các giá 
trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;1 2 2 
 
 là đoạn  ;a b . Giá trị của biểu thức 
2T a b   là 
A. 4T  B. 
7
2
T  C. 3T  D. 
1
2
T  
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Đặt 2 2 2t x x   
Xét hàm số   2 2 2t x x x   trên đoạn 0;1 2 2   
 
2
1
0 1
2 2
x
t x t x
x x

     
 
Vì      0 2; 1 1; 1 2 2 3t t t    nên  1;3t 
Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình   21 2m t t   có nghiệm thuộc đoạn 
 
2 2
1;3
1
t
m
t

 

 có nghiệm thuộc đoạn  1;3 (1) 
Xét hàm số  
2 2
1
t
f t
t



 trên đoạn  1;3 
 
 
 
2
2
2 2
0, 1;3
1
t t
f t t
t
 
    

 khi hàm số đồng biến trên đoạn  1;3 
Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì 
 
 
 
 
1;3 1;3
min maxf t m f t  
   
1 7
1 3
2 4
f m f m       
Vậy 
1 7
; 4
2 4
a b T     . 
Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình 
4 4
2x y
x y m
 

 
  ,x y có nghiệm là 0m 
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A.  0 20; 15m    B.  0 12; 8m    C. 0
3
;0
2
m
 
 
 
 D. 
0
1 9
;
2 4
m
 
 
 
Hướng dẫn giải 
Chọn D 
Ta có 
 
 4 4
12
2
x y
x y m
 

 
 Trang 139 
Từ (1) suy ra 2y x  thay vào (2) ta được (2)  
44 2x x m    (3) 
Xét hàm số    
44 2f x x x   có tập xác định D  
       
3 33 34 4 2 0 2 2 1f x x x f x x x x x x              
Bảng biến thiên 
Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực 
Dựa vào bảng biến thiên ta được 
0
1 9
2 2 ;
2 4
m m
 
    
 
. 
Dạng 13. Tìm m để bất phương trình        ; 0; ; 0; , 0; ; 0F x m F x m F x m F x m    có nghiệm 
trên tập D 
1. Phương pháp giải 
Thực hiện theo các bước sau 
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng    g m f x hoặc    g m f x hoặc    g m f x hoặc 
   g m f x 
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số  f x trên D 
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m 
Bước 4. Kết luận 
Chú ý: Nếu hàm số  y f x liên tục và có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì 
+) Bất phương trình    g m f x có nghiệm trên D    max
D
g m f x  
+) Bất phương trình    g m f x nghiệm đúng    min
D
x D g m f x    
+) Bất phương trình    g m f x có nghiệm trên    min
D
D g m f x  
+) Bất phương trình    g m f x nghiệm đúng    max
D
x D g m f x    
2. Bài tập 
Bài tập 1: Các giá trị của tham số m để bất phương trình 
4
0
1
x m
x
  

 có nghiệm trên khoảng  ;1 
là 
A. 5m  B. 3m   C. 1m  D. 3m  
Hướng dẫn giải 
 Trang 140 
Chọn B 
Bất phương trình đã cho tương đương với 
4
1
x m
x
 

Xét hàm số 
4
1
y x
x
 

 trên khoảng  ;1 
 
 
 
2
2 2
1 44
1
1 1
x
y
x x
 
   
 
 
 
3 ;1
0
1 ;1
x
y
x
  
   
   
Bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên, để bất phương trình 
4
0
1
x m
x
  

có nghiệm trên khoảng  ;1 thì 3m   . 
Bài tập 2. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số  0;2019m để bất phương trình 
 
3
2 21 0x m x    nghiệm đúng với mọi  1;1x  . Số các phần tử của tập S là 
A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2 
Hướng dẫn giải 
Chọn C 
Đặt 21t x  , với    1;1 0;1x t    
Bất phương trình đã cho trở thành 3 2 3 21 0 1t t m m t t        (1) 
Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi  0;1t 
Xét hàm số    3 2 21 3 2f t t t f t t t      
 
 
 
0 0;1
0 2
0;1
3
t
f t
t
  
  
  

Vì    
2 23
0 1 1;
3 27
f f f
 
   
 
 nên 
 
 
0;1
max 1f t  
Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi  0;1t khi và chỉ khi 1m  
 Trang 141 
Mặt khác m là số nguyên thuộc  0;2019 nên  1;2;3;...;2019m 
Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán. 
Bài tập 3. Cho hàm số  y f x liên tục trên  1;3 và có 
đồ thị như hình vẽ. 
Bất phương trình   1 7f x x x m     có nghiệm 
thuộc  1;3 khi và chỉ khi 
A. 7m  
B. 7m  
C. 2 2 2m   
D. 2 2 2m   
Hướng dẫn giải 
Chọn A 
Xét hàm số 1 7P x x    trên đoạn  1;3 
Ta có        2 8 2 1 . 7 8 1 7 16 4P x x x x P            
Dấu bằng xảy ra khi 3x  
Suy ra 
 1;3
max 4P

 tại 3x  (1) 
Mặt khác dựa vào đồ thị của  f x ta có 
 
 
1;3
max 3f x

 tại 3x  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
 
  
1;3
max 1 7 7f x x x

     tại 3x  
Vậy bất phương trình   1 7f x x x m     có nghiệm thuộc  1;3 khi và chỉ khi 
 
  
1;3
max 1 7 7m f x x x m

       .