Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Biến đổi phương trình về dạng (hoặc )
2. Xét tính đơn điệu của hàm số f (hoặc f và g)
3. Chỉ ra một nghiệm của phương trình là (thường là nhẩm nghiệm).
4. Dựa vào tính duy nhất, kết luận là nghiệm duy nhất của phương trình 
? Ghi nhớ:
a). Phương trình có dạng .
Nếu là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên và phương trình có nghiệm thì là nghiệm duy nhất của phương trình trên .
b). Phương trình có dạng .
Nếu là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên , là hàm số nghịch biến (hoặc đồng biến) trên và phương trình có nghiệm thì là nghiệm duy nhất của phương trình trên .
VD1. Giải phương trình 
a). 	b). 
HDG a). 
+ Viết lại: (1)
+ Nếu thì: . Do đó phương trình vô nghiệm.
+ Nếu thì: và liên tục trên 
 đồng biến trên 
+ Ta lại có . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
HDG b). 
+ Viết lại: 
+ ĐK: . Ta có: , và liên tục trên 
 đồng biến trên 
+ Ta lại có: . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
VD2. Giải hệ phương trình 
a). 	b). 
HDG a).
+ Viết lại: (1)
+ Xét . Ta có: 
 nghịch biến trên . Do đó: 
+ Vậy (1) suy ra 
HDG b).
+ Viết lại: (I)
+ Xét . Ta có: đồng biến trên .
+ CHỨNG MINH: Nếu hệ (I) có nghiệm thì 
	Giả sử (1). Ta có: , vì f là hàm số đồng biến trên .
	Khi đó: (2)
	Suy ra (3)
	Từ (1), (2), (3) (vô lý). 
+ Do đó: (I) 
+Vậy: Hệ phương trình có hai nghiệm , .
VD3. Giải phương trình .
HDG.
+ ĐK: 
+ Viết lại: (1)
+ Ta có . Do đó ta chỉ xét (1) với .
+ Với Ta lại có: và 
 đồng biến trên 
	 và đồng biến trên .
+ Khi đó đồng biến trên . ( và )
+ Mặt khác: . Vậy là nghiệm duy nhất của (1).
BÀI TẬP ÔN LUYỆN
1. Giải các phương trình sau:
a). 	b). 	
c). 	d). 
2. Giải các phương trình sau:
a). 	b). 
c). 	d).