Tổng hợp kiến thức Toán Lớp 12 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

 Trang 1 
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 
1. Định nghĩa 
Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K . 
* Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu    1 2 1 2 1 2, ;x x K x x f x f x     . 
Nhận xét: 
- Hàm số  f x đồng biến trên K thì đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng 
biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải. 
* Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu    1 2 1 2 1 2, ;x x K x x f x f x     
Nhận xét: 
Hàm số  f x nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn trong 
bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải. 
2. Định lý 
Định lí thuận 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . 
Nếu   0,f x x K    thì hàm số đồng biến trên khoảng K . 
 Trang 2 
Nếu   0,f x x K    thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . 
Nếu   0,f x x K    thì hàm số không đổi trên khoảng K . 
Định lí đảo 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . 
Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì   0,f x x K    . 
Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì   0,f x x K    . 
B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 
Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức  y f x 
1. Phương pháp giải 
Thực hiện các bước như sau: 
Bước 1. Tìm tập xác định D . 
Bước 2. Tính đạo hàm  y f x  . 
Bước 3. Tìm các giá trị x mà   0f x  hoặc những giá trị làm cho  f x không xác định. 
Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm. 
Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số  y f x (chọn đáp án). 
2. Bài tập 
Bài tập 1. Cho hàm số    
2019
21f x x  . Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. Hàm số đồng biến trên . 
B. Hàm số đồng biến trên  ;0 . 
C. Hàm số nghịch biến trên  ;0 . 
D. Hàm số nghịch biến trên . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Tập xác định D  . 
Đạo hàm          
2018 2018
2 2 22019. 1 . 1 2019. 1 . 2f x x x x x
       
Vì  
2018
22019. 1 0x  , x  nên dấu của đạo hàm cùng dấu với  x . 
Ta có  
0
0
1
x
f x
x
     
Ta có bảng biến thiên 
 Trang 3 
Vậy hàm số đồng biến trên  ;0 . 
Chú ý: Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến  ;0 . 
Bài tập 2. Cho hàm số   3 2 8 cosf x x x x x    . Với hai số thực ,a b sao cho a b . Khẳng định nào 
sau đây là đúng? 
A.    f a f b . B.    f a f b . 
C.    f a f b . D.    f a f b . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Tập xác định D  . 
Ta có      2 23 2 8 sin 3 2 1 7 sin 0,f x x x x x x x x             
 Suy ra  f x đồng biến trên . Do đó    a b f a f b   . 
Bài tập 3. Hàm số 2 2 3y x x   đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
A.  ; 1  . B.  1;3 . C.  1; . D.  3; . 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Tập xác định D  . 
Ta có  
  
 
2
2
2 2
2
2
2 2 2 3
2 3 2 3
2 3
x x x
y x x x x y
x x
  
       
 
0 2 2 0 1y x x       ; y không xác định nếu 1; 3x x   . 
Ta có bảng biến thiên 
Hàm số đồng biến trên khoảng  1;1 và  3; . 
Chú ý: - Vì    2f x f x nên có thể xét tính đơn điệu của hàm số  2y f x để suy ra kết quả. 
 Trang 4 
- Đạo hàm 
   
 2
.f x f x
y
f x

  . 
Dạng 2. Xét tính đơn điệu của hàm số  y f x khi cho hàm số  y f x 
1. Phương pháp giải 
Thực hiện theo ba bước như sau: 
Bước 1. Tìm các giá trị x mà   0f x  hoặc những giá trị làm cho  f x không xác định. 
Bước 2. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm. 
Bước 3. Kết luận tính đơn điệu của hàm số  y f x (chọn đáp án). 
2. Bài tập 
Bài tập 1: Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên là    2 1f x x x   . Hàm số đã cho đồng biến trên 
khoảng 
 A.  1; . B.    ;0 ; 1;  . C.  0;1 . D.  ;1 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Ta có    2
0
0 1 0
1
x
f x x x
x
       
Ta có bảng xét dấu 
x  0 1  
 f x  0  0  
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  1; . 
Bài tập 2. Cho hàm số  f x có đạo hàm        
2 3
1 1 2f x x x x     . Hàm số  y f x đồng biến 
trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? 
A.  1;1 . B.  1;2 . C.  ; 1  . D.  2; . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có  
2
0
1
x
f x
x
     
Bảng xét dấu 
x  1 1 2  
 f x  0  0  0  
Hàm số  f x đồng biến trên khoảng  1;2 . 
 Trang 5 
Bài tập 3. Cho hàm số  y f x xác định trên khoảng  0;3 có tính chất 
   0, 0;3f x x    và   0f x  ,  1;2x  . 
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 
A. Hàm số  f x đồng biến trên khoảng  0;2 . 
B. Hàm số  f x không đổi trên khoảng  1;2 . 
C. Hàm số  f x đồng biến trên khoảng  1;3 . 
D. Hàm số  f x đồng biến trên khoảng  0;3 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Vì   0f x  ,  1;2x  nên  f x là hàm hằng trên khoảng  1;2 . 
Trên các khoảng      0;2 , 1;3 , 0;3 hàm số  y f x thỏa   0f x  nhưng   0f x  ,  1;2x  nên 
 f x không đồng biến trên các khoảng này. 
2. Bài tập: 
Dạng 3: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên tập xác định 
1. Phương pháp giải 
* Đối với hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + ta thực hiện theo các bước sau 
Bước 1. Tính 23 2y ax bx c    (1). 
Bước 2. Xét hai trường hợp 
Trường hợp 1: 0a  , thay trực tiếp vào (1) để xét. 
Trường hợp 2: 0a  , tính 2 3b ac   . 
Hàm số nghịch biến trên 2
0
3 0
a
b ac

     
Hàm số đồng biến trên 2
0
3 0
a
b ac

     
Bước 3. Kết luận (chọn đáp án). 
* Đối với hàm số 
ax b
y
cx d



 ta thực hiện theo các bước sau 
Bước 1. Tập xác định \
d
D
c
 
  
 
Bước 2. Tính 
 
2
ad bc
y
cx d

 

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 0ad bc   
 Trang 6 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định 0ad bc   
Bước 3. Kết luận. 
2. Bài tập: 
Bài tập 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  20;2 để hàm số 
3 2 3 1y x x mx    đồng biến trên ? 
A. 20 . B. 2 . C. 3 . D. 23 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Tập xác định D  . 
Ta có 23 2 3y x x m    
Hàm số trên đồng biến trên 23 2 3 0x x m    với mọi x . 
 10 1 9 03 0 9m m
 
     

Do m là số nguyên thuộc đoạn  20;2 nên có 1; 2m m  . 
Bài tập 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số    2 3 21 1 4y m x m x x      nghịch biến trên 
khoảng  ;  . 
A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Tập xác định D  . 
Ta có    2 23 1 2 1 1y m x m x      
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ; 0y    với x  . 
Với 1m  ta có 1 0y    với x  nên hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  . Vậy 1m  là giá 
trị cần tìm. 
Với 1m   ta có 
1
4 1 0 1
4
y x x m           không thỏa mãn. 
• Với 1m   ta có 0y  với 
2
2
1 0
4 2 2 0
m
x
m m
  
   
    
1 1
1
1
2
m
m
  

 
  

1
1
2
m    
Từ các trường hợp ta được 
1
1
2
m   . Do  0;1m m   
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn. 
 Trang 7 
Bài tập 3. Các giá trị của tham số m để hàm số 
1
1
mx
y
x



 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 
là 
A. 1m   . B. 1m   . C. 1m  . D. 1m  . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Tập xác định  \ 1D   
Ta có 
 
2
1 1
1 1
mx m
y y
x x
 
  
 
Xét 1m  , hàm số trở thành 1y  . (hàm hằng) 
Xét 1m  , hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi 
0, 1 1 0 1y x m m          . 
Lưu ý: Với 1m  thì  0, \ 1y x    . 
Bài tập 4. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
1mx
y
x m



 nghịch biến trên từng khoảng 
xác định là 
A.  ; 1  . B.  1;1 . C.  1; . D.  ;1 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Tập xác định  \D m  
Ta có 
 
2
2
1m
y
x m

 

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 
 
2
2
1
0
m
y
x m

  

 2 1 0 1 1m m      . 
Dạng 4: Xét tính đơn điệu hàm số bậc cao, căn thức, lượng giác có chứa tham số 
1. Phương pháp giải 
Sử dụng các kiến thức 
Điều kiện cần để    
2 1
.
m
y x a g x

   m không đổi dấu khi x đi qua a là   0g a  . 
Cho hàm số  y f x liên tục trên K và  min
K
f x A . 
Khi đó bất phương trình  f x m nghiệm đúng với mọi x K khi và chỉ khi m A . 
Cho hàm số  y f x liên tục trên K và  max
K
f x B . 
Khi đó bất phương trình  f x m nghiệm đúng với mọi x K khi và chỉ khi m B . 
 Trang 8 
2. Bài tập 
Bài tập 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số 
   9 2 6 3 2 43 3 2 2019y x m m x m m m x       đồng biến trên 
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Tập xác định D  . 
Ta có    8 2 4 3 2 39 5 3 4 3 2y x m m x m m m x       
     3 5 2 3 2 39 5 3 4 3 2 .y x x m m x m m m x g x          
với      5 2 3 29 5 3 4 3 2g x x m m x m m m      . 
Nếu  
0
0 0 2
1
m
g m
m

  
 
thì y sẽ đổi dấu khi đi qua điểm 0x   hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến. Do đó để hàm 
số đồng biến trên thì điều kiện cần là  0 0g  
 2
0
3 2 0 1
2
m
m m m m
m

     
 
Thử lại: 
+ Với 0m  có 89 0y x   , x  nên hàm số đồng biến trên . 
+ Với 1m  có  4 49 10 0y x x    , x  nên hàm số đồng biến trên . 
+ Với 2m  có  4 49 50 0y x x    , x  nên hàm số đồng biến trên . 
Vậy với 
0
1
2
m
m
m

 
 
 thì hàm số đã cho đồng biến trên . 
Lưu ý: Nếu  0 0g  thì y luôn đổi dấu khi x qua 0, do đó nếu   0g x  vô nghiệm thi sẽ luôn có một 
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. 
Bài tập 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
   2 5 3 2 220 2019f x m x mx m m x       nghịch biến trên . Tổng giá trị của tất cả các phần tử 
thuộc S bằng 
A. 4 . B. 1. C. 1 . D. 5 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
 Trang 9 
Tập xác định D  . 
Ta có 
   2 4 2 25 3 2 20f x m x mx m m x       
   2 3 25 3 2 20 .x m x mx m m x g x         . 
Để hàm số nghịch biến trên thì   0f x  , x  (*) 
Nếu 0x  không phải là nghiệm của  g x thì  f x sẽ đổi dấu khi x đi qua 0x  , lúc đó điều kiện (*) 
không được thỏa mãn. 
Do đó điều kiện cần để hàm số đồng biến trên là 0x  là nghiệm của 
  2
4
0 20 0
5
m
g x m m
m
 
       
Thử lại: 
+ Với 4m   thì    4 2 2 280 12 12 80f x x x x x      , do đó 4m   không thỏa mãn. 
+ Với 5m  thì    4 2 2 2125 15 125 15 0f x x x x x        , x  do đó 5m  thỏa mãn. 
Vậy  5S  nên tổng các phần tử của S bằng 5. 
Lưu ý:  f x đổi dấu qua các nghiệm của phương trình 212 80 0x  . 
Bài tập 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  2018;2018m  để hàm số 2 1 1y x mx    
đồng biến trên  ;  . 
A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2017 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Tập xác định D  . 
Ta có 
2 1
x
y ...  định hàm số  y f x và    1y g x f mx   kết hợp với 
phần nhận xét ở Bài tập 1 cho kết quả. 
- Hàm số  f x đồng biến trên  0;2  Hàm số  1y f mx   nghịch biến trên 
0 1 2 1
;
m m
  
 
 
 có độ 
dài bằng 
2 2
3
3
m
m
   . 
Dạng 9: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số  y f x ,   y f u x , 
    y f u x h x   khi biết đồ thị của hàm số  y f x 
1. Phương pháp giải 
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số   y f u x ,     y f u x h x   
 Trang 25 
    y u x f u x   ,       .y u x f u x h x     
Bước 2: Từ đồ thị hàm số  y f x xác định nghiệm phương trình   0f x  , nghiệm của bất phương 
trình   0f x  và nghiệm của bất phương trình   0f x  . 
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn 
 0, 0y y   
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số  y f x ,   y f u x , 
    y f u x h x   
2. Bài tập 
Bài tập 1. Cho hàm số  y f x . Đồ thị hàm số  y f x như hình vẽ. Hàm số    3 2y g x f x   
nghịch biến trên khoảng 
A.  ; 1  . B.  2; . C.  0;2 . D.  1;3 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Từ đồ thị      
2 2
: ; 0
5
x
C y f x f x
x
       
 (1) 
Mà    2. 3 2   g x f x (2) 
Từ (1) và (2) ta có    
1 5
2 3 2 2
0 3 2 0 2 23 2 5
1
x x
g x f x
x
x

                 
Vậy hàm số  g x nghịch biến trên các khoảng 
1 5
;
2 2
 
 
 
 và  ; 1  . 
Lưu ý: Thông qua đồ thị hàm số  y f x  
 
2 2
0
5
x
f x
x
      
. 
 
2
0
2 5
x
f x
x
      
. 
 Trang 26 
Hàm số  3 2y f x  nghịch biến  đánh giá  2 3 2 0y f x     . 
Chú ý: 
Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số  y f x với trục hoành  chọn hàm cụ thể thỏa mãn 
     2 2 5y f x x x x     
 2 3 2y f x     . 
Lập bảng xét dấu. 
 Kết luận. 
Bài tập 2. Cho hàm số  y f x liên tục trên . Hàm số  y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 
   
2019 2018
1
2018
x
g x f x

   trên khoảng nào dưới đây? 
A.  2;3 . B.  0;1 . C.  1;0 . D.  1;2 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có    1 1g x f x    
Do đó  
1 1 0
0 1 1
1 2 3
x x
y f x
x x
              
Vậy hàm số đồng biến trên  1;0 . 
Nhận xét: Hàm số  g x có    1 1g x f x    . 
Từ đồ thị hàm số  y f x , ta có  
1
1
2
x
f x
x
     
  1 1 2f x x      . 
Bài tập 3. Cho hai hàm số  f x và  g x có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng hai hàm số  2 1f x  và 
 g ax b có cùng khoảng nghịch biến  ;m n , ,m n . Khi đó giá trị của biểu thức  4a b bằng 
 Trang 27 
A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Hàm số  y f x nghịch biến trên khoảng  1;3 
Hàm số  2 1y f x  có  2 2 1y f x   
Với    0 2. 2 1 0 2 1 0 1 2 1 3 1 2               y f x f x x x 
Vậy hàm số  2 1y f x  nghịch biến trên khoảng  1;2 
Hàm số  y g ax b  có đạo hàm  .y a g ax b   
 
0
. 0
2 2
b
x
ax b ay a g ax b
ax b b
x
a

             

Nếu 
2
0
b b
a
a a

    
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
2
; ; ;
b b
a a
   
     
   
 (không thỏa mãn). 
Nếu 
2
0
b b
a
a a

    
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
2
;
b b
a a
 
 
 
Do hàm số có cùng khoảng nghịch biến là  1;2 nên 
2 2
1 1
2
4
2 2
b
aa a
b b b
a a
 
     
   
    
 
. 
Vậy 4 4a b   . 
Dạng 10. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình, tìm điều kiện có nghiệm 
của phương trình 
1. Phương pháp giải 
 Trang 28 
* Cho hàm số  y f x liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D, ta có 
Với mọi ,u v D mà    f u f v u v   
Nhận xét:    0 0f x f x x x   . Do đó phương trình   0f x  có nhiều nhất một nghiệm 
* Cho hàm số  y f x liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D , ta có 
Với mọi    , :u v D f u f v u v    . 
Với mọi    , :u v D f u f v u v    . 
* Nếu hàm số  y f x liên tục và có  min
D
f x A , 
D
max B thì phương trình    f x g m có 
nghiệm thuộc tập hợp  D A g m B   . 
2. Bài tập 
Bài tập 1. Biết phương trình 3 327 23 1 26 1x x x    có một nghiệm thực dương 
1
6
a c
x
b d
  với 
, ,b c d là các số nguyên tố. Khẳng định đúng là 
A.  6 1a d b c    . B.  6 1a d b c    . 
C.  5 1a d b c    . D.  5 1a d b c    . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Phương trình 
   
33 3 327 23 1 26 1 3 3 26 1 26 1x x x x x x x          . (1) 
Xét hàm số    3 23 1 0f t t t f t t      , t  
 Hàm số đồng biến trên . 
Phương trình (1):     33 33 26 1 3 26 1 27 26 1 0f x f x x x x x         
1 0
1 1 23
1 1 23
2 6 3
2 6 3
x
x
x
  
   
  

 là nghiệm có dạng đã cho 
1, 2, 23, 3a b c d     
 6 1a d b c     . 
Bài tập 2. Biết phương trình  3 28 12 10 3 10 1 10 1x x x x x      có một nghiệm thực dương 
a b
x
c

 với , ,a b c và ,a c là các số nguyên tố cùng nhau. 
Khẳng định đúng là 
 Trang 29 
A.  2 3a c b   . B.  4 3a c b   . 
C.  2 3a c b   . D.  4 3a c b   . 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Nhận xét: 
- Vế trái là đa thức bậc ba, vế phải chứa căn bậc hai nên ta biến đổi để xuất hiện  
3
10 1x  . Ta có 
     
3
10 1 10 1 10 1 2 10 1 10 1 2 10 1x x x x x x            
Khi đó phương trình có dạng      
33
2 10 1 2 10 1ax b ax b x x       
Điều kiện 
1
10
x  
Phương trình đã cho      
33
2 1 2 2 1 10 1 2 10 1x x x x        (1). 
Xét hàm số    3 22 3 2 0f t t t f t t      , t  
 Hàm số đồng biến trên . 
Phương trình 
       2
2 1 0
1 2 1 10 1 2 1 10 1
2 1 10 1
x
f x f x x x
x x
 
         
  
2
1
7 41
2
4
2 7 1 0
x
x
x x


  
   
 7, 41, 4 4 3a b c a c b        . 
Bài tập 3. Biết phương trình 
3
1 2 1
22 1 3
x
xx
 

 
, có một nghiệm thực 
2
a b
x

 , với , ,a b c và c là 
số nguyên tố. Khẳng định đúng là 
A. 2 1ac b  . B. 2ac b  . 
C. 2 1ac b  . D. 2ac b  . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
kiện  131xx   
Phương trình đã cho     32 1 2 2 2 1 3x x x x        
       
3 3
3 3 31 1 2 1 2 1 1 2 1x x x x f x f x            (1) 
 Trang 30 
với   3f t t t  
Xét hàm số   3f t t t  , có   23 1f t t   , t   Hàm số đồng biến trên . 
Do đó      
3
6 6
3
3 2
12 1 0
1 1 2 1 2
1 2 1
0
x x
x x
x x
x x x
   
      
       
0
1 5
1, 5, 2 2 11 5
2
2
x
x a b c ac b
x

         
 

. 
Bài tập 4. Cho hàm số  y f x có   0 f x , x  . Tất cả các giá trị thực của x để  
1
2f f
x
 
 
 
là 
A. 
1
0;
2
x
 
 
 
. B.  
1
;0 ;
2
x
 
    
 
. 
C. 
1
;
2
x
 
  
 
. D.  
1
;0 0;
2
x
 
   
 
. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có   0 f x , x  nên hàm số  y f x nghịch biến trên 
Do đó    
1 1 1 2 1
2 2 0 ;0 ;
2
x
f f x
x x x
   
            
   
Bài tập 5. Bất phương trình 3 22 3 6 16 4 2 3x x x x      có tập nghiệm là  ;a b . Tổng a b có 
giá trị bằng 
A. 2 . B. 4. C. 5 . D. 3 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Điều kiện: 2 4x   
Xét   3 22 3 6 16 4f x x x x x      trên đoạn  2;4 . 
Có  
 
 
2
3 2
3 1 1
, 2;4
2 42 3 6 16
x x
f x x
xx x x
 
     
  
 , do đó hàm số đồng biến trên  2;4 . 
Bất phương trình đã cho    1 2 3 1    f x f x 
So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là  1;4 5S a b    . 
Bài tập 6. Cho   3 2mf x x x   .Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình   f f x x 
có nghiệm trên đoạn  1;4 là 
 Trang 31 
A. 6 . B. 9. C. 21 . D. 22 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Đặt  
 
 
   
t f x
t f x f t t f x x
f t x

     

. (1) 
Xét hàm số     3 2 2mg u f u u u u     có   23 2 0g u u    , u  . 
Do đó     31 2mt x f x x x      . (2) 
Phương trình   f f x x có nghiệm trên đoạn    1;4 2 có nghiệm trên đoạn 
   3 31;4 1 2 4 0;1;2;3;4;5;6m m     
Tổng các giá trị là  1 2 3 4 5 6 21      . 
Bài tập 7. Cho hàm số   5 33 4f x x x m   . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương 
trình    33f f x m x m   có nghiệm trên đoạn  1;2 ? 
A. 15 . B. 16. C. 17 . D. 18 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Đặt     33    t f x m f x t m , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình 
 
 
   
3
3 3
3
f t x m
f t t f x x
f x t m
  
   
 
 .(1) 
Xét hàm số     3 5 34 4g u f u u u u m     
   4 25 12 0, 1;2g u u u u       Hàm số đồng biến đoạn  1;2 . 
Do đó     3 5 31 2 3t x f x x m x x m        (2) 
Với   5 31;2 ,3 2 48x x x    
 Phương trình (2) có nghiệm trên đoạn  1;2 3 3 48 1 16m m      
Bài tập 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 2sin sinm m x x   có 
nghiệm thực? 
A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Điều kiện sin 0x . 
Ta có 22 2sin sin 2 2sin sinm m x x m m x x       . 
 Trang 32 
22sin 2 2sin sin 2sinm x m x x x      (1) 
Xét hàm số   2 2f t t t  
  2 2 0, 0f t t t       Hàm số  f t đồng biến trên  0; . 
Phương trình      1 2sin sin 2sin sinf m x f x m x x      
2sin 2sinx x m   
Đặt  sin 0;1x t t   
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2 2t t m  có nghiệm trên  0;1 . 
Xét hàm số   2 2g t t t  ,  0;1t 
Ta có    2 2; 0 1g t t g t t      
Suy ra 
 
 
 
 
0;10;1
0;min 1max g t g t   
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 0m   
Mà m nên 0; 1m m   . 
Bài tập 9. Cho hàm số  y f x liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ. 
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình 
 
 
3
2
2
9
3
3 8
m m
f x
f x

 

 có 3 nghiệm thực phân 
biệt? 
A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Phương trình     3 2 227 3 3 9 3 8m m f x f x     
      
3
3 2 23 3 3 8 3 8m m f x f x      
 Trang 33 
    23 3 8g m g f x   (1) 
Xét hàm số    3 23 1 0,g t t t g t t t        nên hàm số đồng biến trên 
Do đó    
 
   
   
2
2 2
2 2
9 8
23 8
31 3 8 3 9 8
9 8
33
3
m
f xm
f x m m
f x m
f x
 
 
      
    

Dựa vào hình vẽ thì phương trình (3) vô nghiệm (vì   0,f x x  ) 
Do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt  2 có ba nghiệm phân biệt hay 
2
2
9 8 35
3
3 5
119 8
1
33
m
m
m
m
 
 
  
  
 