Tổng hợp kiến thức môn Toán luyện thi ĐH - CĐ

I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. 	Giai thừa : 	n! = 1.2...n
	0! = 1
	n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. 	Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
3. 	Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4.	Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.
5.	Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : 
6.	Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : 
	Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7.	Tam giác Pascal :
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
	Tính chất :
8.	Nhị thức Newton :
	*	
	a = b = 1 : ... 
	Với a, b Î {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
	*	
	Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách :
	- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...
	- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...
	- Cho a = ±1, ±2, ..., hay 
	Chú ý :
	*	(a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : 
	Giải pt : m = 0, ta được k.
	*	(a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
	Giải hệ pt : , tìm được k
	*	Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n Î N* ..., k £ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
	*	Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
	*	Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.
	*	Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
	số cách chọn thỏa p.
	= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
	Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
	*	Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải).
	*	Dấu hiệu chia hết :
	- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
	- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
	- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
	- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
	- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
	- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
	- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
	- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1.	Chuyển vế :	a + b = c Û a = c – b; ab = c Û 
	a/b = c Û ; 	
2.	Giao nghiệm :
	Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3.	Công thức cần nhớ :
a.: chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.
b.	 : phá bằng cách bình phương : hay bằng định nghĩa :
c.	Mũ : 
d.	log : y = logax , x > 0 , 0 < a ¹ 1, y Î R
	y­ nếu a > 1, y¯ nếu 0 < a < 1, a = logaaa
	loga(MN) = logaM + logaN ()
	loga(M/N) = logaM – logaN ()
	(Þ)
	logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
	logbc = logac/logab, 
	loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN Û M = N
	Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
4.	Đổi biến :
a.	Đơn giản	: 
b.	Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
c.	Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t.
d.	Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5.	Xét dấu :
a.	Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu.
b.	Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0.
c.	Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
6.	So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với a :
	f(x) = ax2 + bx + c = 0	(a 0)
	* S = x1 + x2 = – b/a	;	P = x1x2 = c/a
	Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt : 	
	Biết S, P thỏa S2 – 4P ³ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
	*	Dùng D, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
	x1 < 0 < x2 Û P < 0, 0 < x1 < x2 Û 
	x1 < x2 < 0 Û 
	*	Dùng D, af(a), S/2 để so sánh nghiệm với a : x1 < a < x2 Û af(a) < 0
	a < x1 < x2 Û ; x1 < x2 < a Û 
	a < x1 < b < x2 Û ; x1 < a < x2 < b Û 
7.	Phương trình bậc 3 :
a.	Viête :	ax3 + bx2 + cx + d = 0
	x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a
	Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C 
	thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
b.	Số nghiệm phương trình bậc 3 :
	· x = a Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) :
	3 nghiệm phân biệt Û 	
	2 nghiệm phân biệt Û 
	1 nghiệm 	Û 
	· Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
	· Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
	3 nghiệm Û 
	2 nghiệm Û 
	1 nghiệm Û Dy' £ 0 Ú 
c.	Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
	Û 
d.	So sánh nghiệm với a :
	·	x = xo Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với a.
	· 	Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa a vào BBT.
	· 	Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
x1
x2
x3
	a < x1 < x2 < x3 Û 
x1
x2
x3
	x1 < a < x2 < x3 Û 
x1
x2
x3
	x1 < x2 < a < x3 Û 
x1
x2
x3
	x1 < x2 < x3 < a Û 
8.	Phương trình bậc 2 có điều kiện :
	f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0), x ¹ a
	2 nghiệm Û , 1 nghiệm Û 
	Vô nghiệm Û D < 0 Ú 
	Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9.	Phương trình bậc 4 :
a.	Trùng phương : 	ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) Û 
	t = x2 Û x = ±
	4 nghiệm Û ;	3 nghiệm Û 
	2 nghiệm Û ;	1 nghiệm Û 
	VN Û D < 0 Ú Û D < 0 Ú 
	4 nghiệm CSC Û 
	Giải hệ pt : 
b.	ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + . Tìm đk của t bằng BBT : 
c.	ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – . Tìm đk của t bằng BBT : t Î R.
d.	(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT.
e.	(x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : , t Î R.
10.	Hệ phương trình bậc 1 : . Tính :
	D = , Dx = , Dy = 
	D ¹ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D.
	D = 0, Dx ¹ 0 Ú Dy ¹ 0 : VN
	D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11.	Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
	Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. 
	ĐK : S2 – 4P ³ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ³ 0; 
	Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
	(a, b) là nghiệm thì (b, a) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
	Þ a = b Þ m = ?
	Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12.	Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
	Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
	Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13.	Hệ phương trình đẳng cấp : 
	Xét y = 0. Xét y ¹ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ¹ 0, đặt y = tx.
14.	Bất phương trình, bất đẳng thức :
	*	Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
	*	Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
	số âm	 : có đổi chiều
	Chia bất phương trình : tương tự.
	*	Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
	*	Bất đẳng thức Côsi :
	a, b ³ 0 : 
	Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
	a, b, c ³ 0 : 
	Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
	*	Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
	(ac + bd)2 £ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15.	Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
	Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
	Nếu có điều kiện của x Î I, lập BBT của f với x Î I.
16.	Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x Î I :
	Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x Î I.
	f(x) £ m : (C) dưới (d) 	(hay cắt)
+
0
	f(x) ³ m : (C) trên (d) 	(hay cắt)
III- LƯỢNG GIÁC
1.	Đường tròn lượng giác :
0
	Trên đường tròn lượng giác, góc a đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2p.
0
A
x+k2
M
	Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của ( cung phần tư) và ( cung phần tư)
cotg
chiếu xuyên tâm 
tg
M
cos
chiếu 
sin
M
	x = a + : a là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác.
2.	Hàm số lượng giác :
3.	Cung liên kết :
	* 	Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu p (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu p).
	* 	Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
	* 	Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4.	Công thức :
	a. 	Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
	b. 	Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
	c. 	Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
	d. 	Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
	e. 	Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba.
	f. 	Đưa về : đưa lượng giác về đại số.
	g. 	Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
	h. 	Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
Phương trình cơ bản : sina = 0Û cosa = – 1 hay cosa = 1Û a = kp, 
sina = 1 Û a = + k2p; sina = –1 Û a = – + k2p, 
cosa = 0 Û sina = –1 hay sina = 1 Û a = + kp, 
cosa = 1 Û a = k2p, 	cosa = – 1 Û a = p + k2p
	sinu = sinv Û u = v + k2p Ú u = p – v + k2p
	cosu = cosv Û u = ± v + k2p
	tgu = tgv Û u = v + kp
	cotgu = cotgv Û u = v + kp
6.	Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
	*	Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ³ c2
	*	Chia 2 vế cho , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
	(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo )
7.	Phương trình đối xứng theo sin, cos : 
	Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. 
	Đặt : t = sinu + cosu = 
8.	Phương trình chứa ½sinu + cosu½ và sinu.cosu :
	Đặt : 
9.	Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
	Đặt : 
10.	Phương trình chứa ½sinu – cosu½ và sinu.cosu :
	Đặt : 
11.	Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
	Xét cosu = 0; xét cosu ¹ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12.	Phương trình toàn phương mở rộng :
	*	Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u.
	*	Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13.	Giải phương trình bằng cách đổi biến :
	Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
	*	t = cosx 	: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
	*	t = sinx 	: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi p – x.
	*	t = tgx 	: nếu phương trình không đổi k ... 1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
	+	hàm số giảm trên (-¥, x1)
	+	hàm số giảm trên (x2, +¥)
	+	hàm số tăng trên (x1, x2)
b.	Biện luận sự biến thiên của y = 
i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và .
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và .
c.	Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x Î I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với a.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a.	Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung.
b.	Với pt mũ, log, , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
	Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M Î (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại Û m ? xo ? (hay yo ?)
	·	Nếu xo = a thì M Î (d) : x = a.
	·	Nếu yo = b thì M Î (d) : y = b.
13.	TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a.	CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) 
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : 
 F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b.	CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c.	Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
d.	Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ^ (d) là
 (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) Û I Î (d) 
Û m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.
14. 	Tìm điểm M Î (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e Î Z) : giải hệ Û 
	 Û 
15.	Tìm min, max của hàm số y = f(x) 
	Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.
a 
b 
f 
g 
16.	Giải bất phương trình bằng đồ thị :
	f g Û 
	f £ g Û a £ x £ b , f ³ g Û 
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1.	Tọa độ , vectơ :
	*	(a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/)
	k(a, b) = (ka, kb)
	(a, b) = (a/, b/) Û 
	(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/
	M chia AB theo tỉ số k Û 
	Û (k ¹ 1)
	M : trung điểm AB Û 
	M : trọng tâm DABC Û 
	(tương tự cho vectơ 3 chiều).
	*	Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
	*	 Û = 0 ; = 0 ; đồng phẳng
	Û 
	A, B, C thẳng hàng Û 
	*	D trong mp : H là trực tâm Û 
	H là chân đường cao ha Û 
	M là chân phân giác trong Û 
	M là chân phân giác ngòai Û 
	I là tâm đường tròn ngoại tiếp Û IA = IB = IC.
	I là tâm đường tròn nội tiếp Û I là chân phân giác trong của DABM với M là chân phân giác trong của DABC.
2.	Đường thẳng trong mp :
	*	Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
	(d) : 
	(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0
	*	(d) qua A(a, 0); B(0,b) : 
	*	(AB) : 
	*	(d) : Ax + By + C = 0 có 
	*	(d) // (D) : Ax + By + C = 0 Þ (d) : Ax + By + = 0
	*	(d) ^ (D) Þ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0
	*	(d), (d/) tạo góc nhọn j thì :
	cosj = 
	*	d(M,(d)) = 
	*	Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là :
	 > 0 : phân giác góc tù + , nhọn –
	 < 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
	*	Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
	*	Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : = (A, B, C) hay 2 vtcp .
	(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0
	 = []
	(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có = (A, B, C).
	(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (P) : x/a + y/b + z/c = 1
	*	Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
	d(M,(P)) = 
	*	(P) , (P/) tạo góc nhọn j thì : cos = 
	*	(P) ^ (P/) Û , (P) // (P/) Û 
4. Đường thẳng trong không gian :
	*	Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : :
	(d) : 
	*	(AB) : 
	*	(d) = (P) Ç (P/) : 
	*	(d) qua A, vtcp thì :
	d(M,(d)) = 
	*	j là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :
	cosj = 
	*	j là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
	sinj =
	*	(d) qua M, vtcp , (P) có pvt :
	(d) cắt (P) Û ¹ 0
	(d) // (P) Û = 0 và M Ï (P)
	(d) Ì (P) Û = 0 và M Î (P)
	*	(d) qua A, vtcp ; (d /) qua B, vtcp :
	(d) cắt (d/) Û [] ¹ , = 0
	(d) // (d/) Û [] = , A Ï (d/)
	(d) chéo (d/) Û [] ¹ , ¹ 0
	(d) º (d/) Û [] = , A Î (d/)
	*	(d) chéo (d/) : d(d, d/) = 
	*	(d) chéo (d/) , tìm đường ^ chung (D) : tìm ; tìm (P) chứa (d), // ; tìm (P/) chứa (d/), // ; (D) = (P) Ç (P/).
	*	(d) ^ (P), cắt (d/) Þ (d) nằm trong mp ^ (P), chứa (d/).
	*	(d) qua A, // (P) Þ (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
	*	(d) qua A, cắt (d/) Þ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/).
	*	(d) cắt (d/), // (d//) Þ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//).
	*	(d) qua A, ^ (d/) Þ (d) nằm trong mp chứa A, ^ (d/).
	*	Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ^ (d), H = (d) Ç (P).
	*	Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ^ (P) : H = (d) Ç (P).
	*	Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ^ (P); 
	(d/) = (P) Ç (Q)
	*	Tìm hc song song của (d) theo phương (D) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)
	// (D); (d/) = (P) Ç (Q).
5. Đường tròn :
	*	Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
	*	(C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = 
	*	(d) tx (C) Û d(I, (d)) = R, cắt Û R.
	*	Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : 
	(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0
	*	Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M Î (C) Û PM/(C) = 0 , M trong (C) Û PM/(C) 0.
	*	Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0
	*	(C), (C/) ngoài nhau Û II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài Û = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt Û < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong Û = (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau Û < (không có tt chung).
6. Mặt cầu :
	*	Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.
	*	(S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R = 
	*	(P) tx (S) Û d(I,(P)) = R, cắt Û R.
	*	Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
	*	Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 Û M Î (S), < 0 
	Û M trong (S), > 0 Û M ngoài (S).
	*	Mặt đẳng phương của (S) và (S/) :
	2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0
	*	Tương giao giữa (S), (S/) : như (C), (C/).
	*	Khi (S), (S/) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương.
	*	Khi (S), (S/) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương.
7. Elip : 	*	cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0
	 	 M Î (E) Û MF1 + MF2 = 2a.
	*	(E) : = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ 
B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, 
MF2 = a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E), 
(E) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2.
	*	(E) : (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = 0 Û a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x).
8. Hypebol :
	*	Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c.
	M Î (H) Û = 2a
	(H) : = 1 (pt chính tắc)
	tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo 
B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo 
B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M Î nhánh trái MF1 = – exM – a, 
MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); 
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = ± x 
hình chữ nhật cơ sở : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2.
	(H) : (pt không chính tắc)
	tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(–b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính qua tiêu : M Î nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M Î nhánh dưới MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); 
 (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ± y 
 hình chữ nhật cơ sở : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x).
9. Parabol : 	*	Cho F, F Ï (D)
	M Î (P) Û MF = d(M,(D))
	(P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình chính tắc).
	tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pB2 = 2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ số của y trong (d)); tham số tiêu : p.
	(P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc).
	tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pB2 = – 2AC.
	(P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc).
	tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pA2 = 2BC (p : hệ số của y trong (P) đi với A : hệ số của x trong (d)).
	(P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc).
	tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; 
(P) tx (d) : Ax + By + C = 0 Û pA2 = – 2BC .
CHÚ Ý :
	*	Cần có quan điểm giải tích khi làm toán hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm trong mp M(xo,yo) : 2 ẩn ; điểm trong không gian (3 ẩn); đường thẳng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 ẩn A, B, C - thực ra là 2 ẩn; đường tròn : 3 ẩn a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 ẩn a, b và cần biết dạng ; (H) : như (E); (P) : 1 ẩn p và cần biết dạng; mp (P) : 4 ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : 4 ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng trong không gian (d) = (P) Ç (Q); đường tròn trong không gian (C) = (P) Ç (S).
	*	Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa độ.