Tóm tắt kiến thức khảo sát hàm số

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. HÀM SỐ BẬC BA: 
y = Ax3 + Bx2 + Cx + D (A 0)
B.1: TXĐ: D = R
B.2: Sự biến thiên:
a) Giới hạn: * Nếu A > 0: ; 
 * Nếu A < 0: ; 
b) Bảng biến thiên: * Tính: và cho = 0 
 * Lập BBT (xét dấu )
 * Kết luận: Chiều biến thiên (ĐB – NB)
 * Kết luận: Cực trị
Chú ý: Cách xét dấu 
a) Nếu: = 0 có 2 nghiệm phân biệt
* Qui tắc: “ Trong trái Ngoài cùng dấu với hệ số a ”
b) Nếu: = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
* Qui tắc: “ Cùng dấu với hệ số a ”
B.3: Đồ thị: a) Cho điểm 
* Nếu: = 0 có 2 nghiệm phân biệt (Cho 5 điểm)
* Nếu: = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm (Cho 3 điểm)
Chú ý: Nếu = 0: VN thì giải = 0 để tìm 1 điểm
b) Vẽ đồ thị
+ Biểu diễn tất cả các điểm ở phần cho điểm
+ Vẽ đồ thị (dựa vào chiều biến thiên ở BBT)
+ Tâm đối xứng còn gọi là điểm uốn
B. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: 
 y = Ax4 + Bx2 + C (A 0)
B.1: TXĐ: D = R
B.2: Sự biến thiên:
a) Giới hạn: * Nếu A > 0: ; 
 * Nếu A < 0: ; 
b) Bảng biến thiên: * Tính: và cho = 0 
 * Lập BBT (xét dấu )
 * Kết luận: Chiều biến thiên (ĐB – NB)
 * Kết luận: Cực trị
Chú ý: Cách xét dấu 
a) Nếu: A, B trái dấu: = 0 có 3 nghiệm phân biệt
b) Nếu: A, B cùng dấu: = 0 có 1 nghiệm x = 0
* Qui tắc: “ Đổi dấu từ phải sang trái theo dấu hệ số a ”
B.3: Đồ thị: a) Cho điểm
* Nếu: = 0 có 3 nghiệm phân biệt (Cho 5 điểm)
* Nếu: = 0 có 1 nghiệm x = 0 (Cho 3 điểm)
b) Vẽ đồ thị
+ Biểu diễn tất cả các điểm ở phần cho điểm
+ Vẽ đồ thị (dựa vào chiều biến thiên ở BBT)
+ Tâm đối xứng còn gọi là điểm uốn
C. HÀM NHẤT BIẾN: y = 
B.1: TXĐ: D = 
B.2: Sự biến thiên:
a) Bảng biến thiên: * Tính: = 
* Lập BBT (xét dấu )
-d/c
-
-
TCN
TCN
+
¥
-
¥
x
y'
y
+
¥
-
¥
-d/c
+
+
TCN
TCN
+
¥
-
¥
x
y'
y
+
¥
-
¥
a) Nếu: M > 0 > 0 b) Nếu: M < 0 < 0
* Kết luận: Chiều biến thiên (ĐB – NB)
* Kết luận: Cực trị: Không có cực trị
b) Giới hạn và tiệm cận:
* Nếu: > 0:;: TCĐ: x = 
 : TCN: y = 
* Nếu: < 0:;: TCĐ: x = 
 : TCN: y = 
0
0
-b/a
y
x
b/d
B. 3: Đồ thị: 
a) Cho điểm: (đầy đủ)
* Nếu khuyết a hoặc b hoặc d
(cho 2 giá trị của x nguyên sao cho y cũng nguyên)
b) Vẽ đồ thị
+ Vẽ đường tiệm cận đứng (là đường thẳng song song với trục tung 0y và đi qua điểm x = )
+ Vẽ đường tiệm cận ngang (là đường thẳng song song với trục hoành 0x và đi qua điểm y = )
+ Biểu diễn tất cả các điểm ở phần cho điểm
* Ghi chú: 
+ Nếu M > 0: Đồ thị nằm ở góc phần tư thứ I và III
+ Nếu M < 0: Đồ thị nằm ở góc phần tư thứ II và IV
+ Đồ thị nằm đối xứng nhau qua giao điểm của 2 đường tiệm cận (gọi là tâm đối xứng)
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 4x3 – 3x
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: ; 
b) Bảng biến thiên: * = 12x2 – 3 
 * -1
+
-
x
y'
y
+
¥
-
¥
0
-1/2
-
¥
+
¥
CÐ
0
CT
1/2
1
+
= 0 12x2 – 3 = 0 x = 
* BBT: 
* Chiều biến thiên: + H/s NB trên khoảng 
+ H/s ĐB trên mỗi khoảng và 
* Cực trị: + H/s đạt CĐ tại x = -1/2 và yCĐ = y(-1/2) = 1
 + H/s đạt CT tại x = 1/2 và yCT = y(1/2) = -1
-1
1
1
1
1/2
-1
-1/2
x
y
-1
0
0
3. Đồ thị:
a) Cho điểm: 
-1
1
0
1
-1/2
1/2
-1
y
x
b) Đồ thị: 
Bài 2: K/s và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 3x – 2 
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: ; 
b) Bảng biến thiên: * = 3x2 – 6x + 3 
+
+
¥
-
¥
-
¥
+
¥
y
y'
x
1
* = 0 3x2 – 6x + 3 = 0 x = 1 > 0, 
* BBT: 
* Chiếu biến thiên: H/s luôn luôn đồng biến trên R
* Cực trị: Không có cực trị
-2
1
2
0
x
y
0
-1
3. Đồ thị:
a) Cho điểm: 
-1
0
-2
2
1
y
x
b) Đồ thị: 
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = - x3 + 3x2 – 4x + 2
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: ; 
b) Bảng biến thiên: * = -3x2 + 6x – 4
-
+
¥
-
¥
-
¥
+
¥
y
y'
x
* = -3x2 + 6x – 4 = 0: VN < 0, (vì a = -3 < 0)
* BBT: 
* Chiều biến thiên: H/s luôn luôn nghịch biến trên R
* Cực trị: Không có cực trị
2
2
-2
0
x
y
1
0
3. Đồ thị: 
a) Cho điểm: 
b) Đồ thị: 
0
1
-2
2
2
y
x
Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 – 2x2 – 3 
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: ; 
b) Bảng biến thiên: * = 4x3 – 4x 
CT
-3
-4
0
+
CT
CÐ
+
¥
-
¥
+
¥
y
y'
x
-1
+
-
-
0
1
+
¥
0
0
-4
* = 4x3 – 4x = 0 x = 0; x = 1; x = -1 
* BBT: 
* Chiều biến thiên: 
+ H/s ĐB trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; )
+ H/s NB trên mỗi khoảng (; -1) và (0; 1)
* Cực trị: 
+ H/s đạt CĐ tại x = 0 và yCĐ = y(0) = -3
+ H/s đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = -4
5
-3
-2
-4
x
y
-1
1
2
5
0
-4
3. Đồ thị: 
a) Cho điểm: 
0
5
-3
-4
1
-1
2
-2
y
x
b) Đồ thị: 
Bài 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 + x2 – 2 
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn: ; 
b) Bảng biến thiên: * = 4x3 + 2x 
-2
+
CT
-
+
¥
+
¥
0
-
¥
+
¥
y
y'
x
0
 * = 4x3 + 2x = 0 x = 0
* BBT: 
* Chiều biến thiên: 
+ H/s đồng biến trên khoảng (0; )
+ H/s nghịch biến trên khoảng (; 0)
* Cực trị: H/s đạt CT tại x = 0 và yCT = y(0) = -2
-2
1
0
0
x
y
-1
0
3. Đồ thị: 
a) Cho điểm: 
0
y
x
-1
1
-2
b) Đồ thị: 
Bài 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 
1. TXĐ: D = R\ 
2. Sự biến thiên: 
-
-
2
1
2
+
¥
-
¥
x
y'
y
+
¥
-
¥
a) Bảng biến thiên: * = < 0, 
* BBT: 
* Chiều biến thiên: 
+ H/s NB trên mỗi khoảng (; 1) và (1; )
* Cực trị: Không có cực trị
b) Giới hạn và tiệm cận:
* ;: TCĐ: x = 1
*: TCN: y = 2
-1
-1/2
0
0
x
y
3. Đồ thị: 
a) Cho điểm:
I
1
2
y=2
x=1
-1/2
0
y
x
-1
b) Đồ thị: 
Bài 7: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 
1. TXĐ: D = R\ 
2. Sự biến thiên:
2
2
+
+
0
+
¥
-
¥
x
y'
y
+
¥
-
¥
a) Bảng biến thiên: * = > 0, 
* BBT: 
* Chiều biến thiên: 
H/s ĐB trên mỗi khoảng (; 0) và (0; )
* Cực trị: Không có cực trị
b) Giới hạn và tiệm cận: 
* ;: TCĐ: x = 0
*: TCN: y = 2
0
2
x
y
-2
1
3. Đồ thị:
a) Cho điểm: 
x=0
y=2
1
-2
2
2
y
x
0
b) Đồ thị: