Tóm tắt Hình 12

 1
Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM: 
1. Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc nhau tạo nên 
hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và 
y’Oy là trục tung.Trong đó: 

i = (1; 0) và 

j = (0;1) là các vectơ đơn 
vị trên các trục.Ta có:

i =j =1 và

i .

j =0. 
2. Tọa độ của vectơ :

u = (x ; y)  

u = x.

i + y.

j . 
3. Tọa độ của điểm :

OM = (x ; y)  M(x ; y) 
x: hoành độ và y: tung độ của điểm M 
4. Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) và 
các vectơ 

a =(a1; a2) và 

b = (b1 ; b2). Ta có: 
a) 

a  

b = ( a1  b1; a2  b2). 
b) 

ak = (ka1 ; ka2) (k là số thực). 
c) Tích vô hướng: 

a .

b = a1 b1 + a2 b2. 
 Hệ quả: 
1. | a|  = 2221 aa  . 
2. 
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
bb.aa
 b.a b. a)b,acos(



 
3. 

a  

b  a1 b1 + a2 b2 = 0. 
d) 

a =

b  





22
11
ba
ba 
e) 

a ,

b cùng phương 










0baba
 b b
a a 
a
b
a
ba.kb:Rk
1221
21
21
2
2
1
1
f) Tọa độ của vectơ:

AB=(xBxA;yByA). 
g) Khoảng cách: 2
AB
2
AB )y-(y)x-(x | AB | AB 

h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1)  

MA = k.

MB . Khi đó tọa 
độ của M tính bởi: 
k1
kxx x BAM 

 và 
k1
kyy
y BA M 

 
M là trung điểm AB ta có:
2
xx x BAM

 và 
2
yy y BAM

 
5. Kiến thức về tam giác: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và C(xC; yC). 
a) Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến): 
G là trọng tâm  ABC:
3
xxxx CBA G

 ; 
3
yyyy CBAG

 
b) Trực tâm của tam giác (giao các đường cao): 









CABH
BCAH
 taâm tröïclaø H









0CA.BH
0BC.AH 
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực): 
I(a;b) là tâm của (ABC)  AI = BI = CI = R (bán kính của 
(ABC)).Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2  Tọa độ của I. 
d) Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong 
của các góc của tam giác): 
Tâm K của đường tròn nội tiếp  ABC tìm được khi thực hiện hai 
lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k: 
Vì 
1kAC
AB
DC
DB


nên D chia 
BC theo tỉ số k1 Tọa độ của D. 
Vì 
2 kBD
BA
KD
KA


 nên K chia AD 
theo tỉ số k2  Tọa độ của K 
e) Diện tích tam giác: 
 S= aah2
1
= bbh2
1
= cch2
1
 S= Csinab
2
1 = Bsinac
2
1 = Asinbc
2
1 
 S=
R4
abc
= pr = )cp)(bp)(ap(p  
 S= 2
22
)AC.AB(AC.AB
2
1 
 = )AC,ABdet(
2
1 
, 
trong đó: det(

AB ,

AC ) =
21
21
 b b
a a 
=a1b2a2b1 
 với 

AB =(a1; a2) và 

AC = (b1 ; b2) 
 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: 
1) Định nghĩa: Cho các vectơ 

u và 

n khác vectơ 

0 . 
 

u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng  khi 

u nằm trên 1 
đường thẳng song song hoặc trùng với . Mọi vectơ chỉ phương 
của  đều có dạng k.

u ( k  0). 
 

n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng  khi 

n nằm trên 1 
đường thẳng vuông góc với . Mọi vectơ pháp tuyến của  đều có 
dạng k.

n ( k  0). 
 Một đường thẳng  hoàn toàn xác định khi biết M0Ỵ và 1 vectơ 
chỉ phương

u hoặc 1 vectơ pháp tuyến 

n của . 
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: 
a) Định lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng  có dạng: 
 Ax+By+C = 0 với A2+B2  0 
 Chú ý:  có vectơ pháp tuyến 

n = (A;B) và có vectơ chỉ phương 

u = (B; A) hoặc 

u = ( B; A) 
b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và có 
vectơ pháp tuyến 

n = (A;B) là: 
 A(xx0) + B(yy0) = 0 với A2+B2  0 
3) Phương trình tham số  chính tắc của đường thẳng: 
a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số 
của đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương 

u =(a; b) là: 






btyy
atxx
0
0
 với a2+b2  0, tỴR 
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc 
của đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương 

u =(a; b) là: 
b
yy
a
xx 00 

 (a2+b2  0) 
 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG 
CHÙM ĐƯỜNG THẲNG: 
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng 
1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) và 2:A2x+B2y+C2=0 (2) ( 21
2
1 BA  0 và 
2
2
2
2 BA   0). Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau: 
 Hệ có duy nhất nghiệm A1B2A2B101và 2 cắt nhau. 
 Hệ vô nghiệm A1B2A2B1=0 và B1C2B2C10 1 //ø 2. 
 Hệ có vô số nghiệm 
A1B2A2B1=B1C2 B2C1=C1A2C2A1= 0 1 2. 
2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi 
qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I. Nếu 
1:A1x+B1y+C1=0 và 2:A2x+B2y+C2=0 cắt nhau tại I 
(A1B2 A2B1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là: 
m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (với m2+n2  0). 
 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  KHOẢNG CÁCH TỪ 
MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG: 
1.Góc giữa hai đường thẳng: 
Cho 2 đường thẳng 1:A1x+B1y+C1=0 và 2:A2x+B2y+C2 =0. Nếu 
gọi  (00    900) là góc giữa 1 và 2 thì: 
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BA.BA
BBAA
cos


 
Hệ quả: 1  2  A1A2 + B1B2 = 0 
 2
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
a) Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến :Ax+By+C=0 là: 
22
00
BA
CByAx
),M(d


 (A2+B20) 
b) Hệ quả: Nếu 1 : A1x+B1y+C1=0 và 2 : A2x+B2y+C2 = 0 cắt 
nhau tại I (A1B2 A2B1) thì phương trình các phân giác tạo bởi (1) 
và (2) là: 
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA




 
 ĐƯỜNG TRÒN: 
1.Phương trình của đường tròn: 
a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng: 
 (xa)2+(yb)2=R2 
b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R : 
 x2+y2 = R2 
c) Phương trình x2+y2+2Ax+2By+C = 0 với A2+B2C>0 là 
phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(A;B) và bán kính 
R= CBA 22  . 
2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: 
Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một 
điểm M(x0 ; y0) đối với (C) là: 
P M/(C)= F(x0,y0) = C2By2Axyx 00
2
0
2
0  
3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm: 
a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn 
khác tâm (C1) và (C2) là một đường thẳng d vuông góc với 
đường thẳng nối 2 tâm I1 và I2 của (C1) và (C2) và gọi là trục 
đẳng phương của (C1) và (C2). 
b) Cho hai đường tròn: (C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0 và 
(C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khác tâm, phương trình 
của trục đẳng phương của (C1) và(C2) là: 
F1(x,y)= F2(x,y) 2(A1 A2)x+2(B1 B2)y+C1 C2 = 0 
4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn : 
Cho (C):F(x;y)=(xa)2+(yb)2R2=0 và điểm M(x0;y0), để viết 
phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của M 
đối với (C): 
 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp 
tuyến nào với (C). 
 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến 
với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến 

IM = (x0a; y0b). 
 Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp 
tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau: 
 Gọi  là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến 

n =(A;B): A(xx0)+B(yy0) = 0 (1) với A2+B2 0. 
  tiếp xúc (C) d(I,)=
22 BA
CBbAa


=R 
với C=(Ax0+By0). Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa 
phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp 
tuyến của (C) đi qua M. 
 ElÍP: 
1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho 
MF1+MF2=2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp. 
 F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự của elíp. 
 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu. 
2) Phương trình chính tắc của elíp: 1
b
y
a
x
2
2
2
2
 với b2 = a2  c2. 
3) Tính chất và hình dạng của elíp:: 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
 
(a> b > 0) 
 Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); 
Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O. 
 Đỉnh: A1(a;0), A2(a;0), B1(0;b) và 
B2(0; b). Độ dài trục lớn là 2a và độ 
dài trục bé là 2b. 
 Tiêu điểm: F1(c; 0), F2( c; 0). 
 Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở 
PQRS có kích thước 2a và 2b với 
 b2 = a2  c2. 
 Tâm sai: 
a
ba
a
ce
22 
 < 1 
 Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a 2
 
 M(x;y)(E): MF1 = a+ ex và MF2 = aex 
4) Tiếp tuyến của elíp (E): 1
b
y
a
x
2
2
2
2
 : 
 Tại M0(x0;y0)(E) có phương trình: 1b
yy
a
xx
2
0
2
0  
 Đi qua M(x1; y1) là :A(xx1)+B(yy1)=0 với điều kiện: 
 tiếp xúc (E)A2a2+B2b2 =C2 A2+B2 0,C=(Ax1+By1)0 
 HYPEBOL: 
1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho 
MF1MF2=2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol. 
 F1, F2 : cố định là 2 tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự. 
 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu. 
2.Phương trình chính tắc của hypebol: 1
b
y
a
x
2
2
2
2
 b2 = c2  a2. 
3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H): 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
 
 Trục đối xứng Ox (trục thực) 
Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O. 
 Đỉnh:A1(a;0),A2(a;0).Độ dài 
trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b. 
 Tiêu điểm F1(c; 0), F2( c; 0). 
 Hai tiệm cận: y= 
a
b x 
 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2= c2  a2. 
 Tâm sai: 
a
ba
a
ce
22 
 > 1 
 Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a 2
 
 Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)(H): 
 * MF1= ex + a và MF2= exa khi x > 0. 
 * MF1= exa và MF2=ex+ a khi x < 0. 
4) Tiếp tuyến của hypebol (H): 1
b
y
a
x
2
2
2
2
 
 Tại M0(x0; y0) (H) có phương trình: 1b
yy
a
xx
2
0
2
0  
 Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1) = 0 với điều kiện: 
 tiếp xúc (H)  A2a2  B2b2 = C2 A2+B20,C=(Ax1+By1)0 
 PARABOL: 
1) Định nghĩa: 
Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường 
thẳng  cố định và 1 điểm F cố định không thuộc . 
: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ) = p > 0 là tham số tiêu. 
2) Phương trình chính tắc của Parabol: 2pxy 2  
3) Hình dạng của Parabol (P) : 
2pxy 2  
 Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F(
2
p
; 0). 
 Đường chuẩn : x =  
2
p . 
 M(x;y)(P): MF = x+
2
p
với x  0 
4) Tiếp tuyến của parabol (P): y2=2px: 
 Tại M0(x0; y0) (P):y2=2px có phương trình: y0y = p(x0+x) 
 Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1) = 0 với điều kiện: 
  tiếp xúc (P)  pB2 = 2AC A2+B2 0 và C=(Ax1+By1)0 
Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1