Toán tử Laplace

Toán tử Laplace 1
Toán tử Laplace
Trong toán học và vật lý, toán tử Laplace hay Laplacian, kí hiệu là   hoặc   được đặt tên theo Pierre-Simon
de Laplace, là một toán tử vi phân, dặc biệt trong các toán tử elliptic, với nhiều áp dụng. Trong vật lý, nó được sử
dụng trong mô tả của quá trình truyền sóng, quá trình truyền nhiệt và tạo nên phương trình Helmholtz. Nó cũng có
vai trò quan trọng trong tĩnh điện và cơ học chất lưu, thành phần chính trong phương trình Laplace và phương trình
Poisson. Trong cơ học lượng tử, nó đại diện cho động năng trong phương trình Schrödinger. Trong toán học, hàm số
nào mà bằng không dưới toán tử Laplace được gọi là hàm điều hòa; toán tử Laplace ở trung tâm của lý thuyết Hodge
và trong các kết quả của de Rham cohomology.
Định nghĩa
Toán tử Laplace là toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n-chiều, định nghĩa như là div ( ) của gradient
( ). Do đó nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc 2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi
   (1)
Nói một cách tương đương, Laplacian của f là tổng cúa các đạo hàm riêng bậc 2 thuần túy trong tọa độ Đề các :
   (2)
Biểu diễn trong các tọa độ khác nhau
Trong hai chiều
Toán tử Laplace trong không gian hai chiều được viết như là
với x và y là tọa độ Cartesian trong mặt phẳng xy.
Trong tọa độ cực,
Trong ba chiều
Trong không gian 3 chiều, người ta thường viết toán tử Laplace sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau.
Trong tọa độ Cartesian,
Trong tọa độ trụ,
Trong tọa độ cầu:
Toán tử Laplace 2
( là góc đo từ cực Bắc và là kinh độ).Biểu thức có thể được thay bằng biểu diễn tương
đương .
Không gian N chiều
Trongtọa độ cầu trong chiều, với cách đặt tham số với và ,
mà là toán tử Laplace–Beltrami trên mặt cầu trong không gian (còn gọi là Laplacian cầu). Người ta
cũng có thể viết một cách tương đương như là 
Các hằng đẳng thức
• Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ là
Trong trường hợp đặc biệt khi f là một hàm phụ thuộc vào bán kính và g là một hàm cầu điều hòa, 
. Ta thường gặp trường hợp đặc biệt này trong nhiều mô hình vật lý. Gradient của là một vectơ theo hướng bán
kính và gradient của một hàm chỉ phụ thuộc vào góc là tiếp tuyến với véctơ bán kính, do đó
Thêm nữa, hàm cầu điều hòa có tính chất đặc biệt là eigenfunction của toán tử Laplacian trong tọa độ cầu.
Do đó,
Tham khảo
• Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M (1970). "Chapter 12: Electrostatic Analogs". The Feynman Lectures on
Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman.
• Gilbarg, D and Trudinger, N (2001). Elliptic partial differential equations of second order. Springer.
ISBN 978-3540411604.
• Schey, H. M. (1996). Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. ISBN 978-0393969979.
Liên kết ngoài
• Weisstein, Eric W., "Laplacian [1]" từ MathWorld.
• Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates [2] by Swapnil Sunil Jain
Chú thích
[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Laplacian. html
[2] http:/ / planetmath. org/ ?method=l2h& from=objects& id=9376& op=getobj
Nguồn và người đóng góp vào bài 3
Nguồn và người đóng góp vào bài
Toán tử Laplace  Nguồn:   Người đóng góp: Doanmanhtung.sc, Meotrangden, QT, Tranletuhan, Volga, 3 sửa đổi vô danh
Giấy phép
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/