Toán 11 - Bài tập làm thêm

CHUYÊN ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Một số công thức lượng giác cần nhớ
.
Công thức cộng: 
Công thức nhân đôi: 	sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x
Công thức hạ bậc:
Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx – 4sin3x;	cos3x = 4cos3x – 3cosx.
Công thức biểu diễn theo tanx:
.
Công thức biến đổi tích thành tổng:
Công thức biến đổi tổng thành tích:
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1. Phương trình bậc hai.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
	1) 2cosx - = 0	2) tanx – 3 = 0
	3) 3cot2x + = 0	4) sin3x – 1 = 0
	5) cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phươn trình sau:
	1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0	2) cos2x + sinx + 1 = 0
	3) 2cos2x + cosx – 2 = 0 	4) cos2x – 5sinx + 6 = 0
	5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 	6) 4cos2x - 4cosx + 3 = 0 
	7) 2sin2x – cosx + = 0 	8) 2sin2x – 7sinx + 3 = 0 
	9) 2sin2x + 5cosx = 5.
Bài 3. Giải các phương trình:
2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0	3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3	4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
5)	3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 0
6)	tan2x + ( - 1)tanx – = 0	7) 
8) 
9) .
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 	2) sinx - cosx = 1
3) sin3x + cos3x = 1 	4) sin4x + cos4x = 
5) 5cos2x – 12cos2x = 13 	6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2. Giải các phương trình:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	
Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0	2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.
3) 4sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + .
4) .
5) a) ; 	b) .
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0	7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0	9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
10) .
Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 + 1
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 2. Giải các phương trình:
1) (sinx + cosx) - sinxcosx = 1.
2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = .
3) .
4) sin3x + cos3x = .
5) sinx – cosx + 7sin2x = 1.
6) .
7) .
8) .
9) 1 + tgx = 2sinx.
10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.
11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các phương trình sau:
	1) sin3x = 	11) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
	2) cos2x = - 	12) tan(3x + 2) + cot2x = 0
	3) tan(x + 60o) = - 	13) sin3x = cos4x
	4) cot = 	14) tan3x.tanx = 1
	5) sin2x = sin	15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o)
	6) tan = tan 	16) - 2sin2x = 0
	7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x)	17) 2cos - = 0
	8) tan = - cot	18) 3tan + = 0
	9) sin(2x - 10o) = với -120o < x < 90o 	19) 2sinx - sin2x = 0
	10) cos(2x + 1) = với - p < x < p	20) 8cos3x - 1 = 0
Bài 2. Giải các phương trình:
	1) sin2x = 	11) sin2x + sin22x = sin23x
	2) cos23x = 1 	12) sintan2x = 0
	3) sin4x + cos4x = 	13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - ) = 0
	4) sinx + cosx = 1 	14) sinx + sin2x + sin3x = 0 
	5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 	15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
	6) cos2x.cos5x = cos7x 	16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
	7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 	17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx
	8) sin4x.sin3x = cosx 	18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
	9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 	19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
	10) cosx + cos2x + cos3x = 0 	20) cosx - cos2x + cos3x = 
 Bài 3. Giải các phương trình:
	1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0	2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0
	3) tan + 2cot - 3 = 0 4) 
	5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 	6) cos22x + sin2x + 1 = 0 
	7) sin22x - 2cos2x + = 0 	8) 4cos2x - 2( - 1)cosx + = 0
	9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0	10) cos2x + 9cosx + 5 = 0 
	11) + 3cot2x = 5
Bài 5. Giải các phương trình sau:
	1) 3sinx + 4cosx = 5	2) 2sin2x - 2cos2x = 
	3) 2sin + sin = 
	4) 
	5) 2sin17x + cos5x + sin5x = 0 
	6) cos7x - sin5x = (cos5x - sin7x)
	7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx
Bài 6. Giải các phương trình:
	1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0	2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
	3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 	4) cos3x + sin3x = 1
	5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 	6) sin2x - 3(sinx + cosx) + 5 = 0 
	7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + sin(x - 45o) = 1
	9) 2sin2x + |sinx + cosx| + 8 = 0 
	10) (sinx - cosx)2 + ( + 1)(sinx - cosx) + = 0 
Bài 7. Giải các phương trình
	1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 	2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 
	3) cos2x - sin2x - sin2x = 1	
	4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 - 9)cos2x = 0 
	5) 4sin2x + 3sin2x - 2cos2x = 4
	6) 2sin2x + (3 + )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 1
	7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 	8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3	
Bài 8. Giải các phương trình
	1) 4cos2x - 2( + 1)cosx + = 0	2) tan2x + (1 - )tanx - 3 = 0
	3) cos2x + 9cosx + 5 = 0	4) sin22x - 2cos2x + = 0
	5) 2cos6x + tan3x = 1	6) + 3cot2x = 5
Bài 9. Giải các phương trình
1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x
6) sin(4x + )sin6x = sin(10x + )
7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1
8) tan( - x) + tan( - x) + tan2x = 0
Bài 10. Giải các phương trình
1) (1 - cos2x)sin2x = sin2x
2) sin4x - cos4x = cosx
3) 
4) 1 - (2 + )sinx = 
5) tan2x = 
6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 
7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x 
Bài 10. Giải các phương trình
1) sinx + cosx - - 1 = 0 
2) (1 + )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + ) = 0
3) tanx + tan2x = tan3x
4) 
D. MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình
1)	 (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 
2) 	tan2x - tanxtan3x = 2
3)	 = 1 - 2cosx
4) 	cos3xtan5x = sin7x
5) 	tanx + cotx = 4
6) 	 + 2cosx = 0
7) 	2tanx + cotx = 
8) 	tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9) 	2sin3x(1 - 4sin2x) = 1
10) 	
11) 	cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 
12) 	cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
13) 	sin2xcosx = + cos3xsinx
14) 	sin6x + cos6x = cos4x
15) 	sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x)
16) 	
17) 	sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
18) 	2sin3x - = 2cos3x + 
19) 	cos3xcos3x + sin3xsin3x = 
20) 	(tanx + cotx)
21) 	1 + tanx = 2sinx
22) 	cosx - sinx = cos3x
23) 	
24) 	sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 
25) 	(2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
26) 	2sin(3x + ) = 
Bài 2. Giải các phương trình
1) sin4 + cos4 = 
2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 
4) 
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
6) cos6x + sin6x = 
Bài 3. Giải các phương trình
1) 	2) 
3) 	4) sin4x = tanx
5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 	6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 	8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 	10) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx
Bài 4. Giải phương trình lượng giác
1) cosx + sinx = 3 - 	2) 3sin3x - cos9x = 1 + 4sin33x
3) cos7xcos5x - sin2x = 1 - sin7xsin5x	4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 
5) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 2	6) 4sin3x - 1 = 3sinx - cos3x
7) sin2x + cos2x = 	 8) 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
9) cos2x - sin2x = 1 + sin2x
Bài 5. Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích)
1) sin3x - sin2x = 2sinxcos2x
2) sin22x + cos28x = cos10x
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x
4) cosxcoscos - sinxsinsin = 
5) tanx + tan2x - tan3x = 0 
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x
9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 
10) sin3x - sinx = sin2x
11) 
12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0 
13) cos4 - sin4 = sin2x
14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 
15) 2sin3x + cos2x = sinx
16) sin2x + sin22x + sin23x = 
17) cos3x + sin3x = sinx - cosx
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0 
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0 
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 
25) 2cos2x = (cosx - sinx)
26) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6. Giải các phương trình
1) = cos2x + sin2x 	với 0 < x < 2p
2) sin(2x + ) - 3cos(x - ) = 1 + 2sinx 	với < x < 3p
3) cos7x - sin7x = - 	với 
Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x 
2) y = 	trong khoảng ( -p ; p)
3) y = 4sin2x + 
4) y = sinx - cos2x + 
Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới). 
1) A_02. Giải phương trình: 5 = cos2x + 3
2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 
3) A_03. Giải phương trình: cotx - 1 = + sin2x - sin2x
4) D_03. Giải phương trình: sin2( - )tan2x - cos2 = 0
5) D_04. Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx
6) A_05. Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0 
7) D_05. Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - )sin(3x - ) - = 0 
8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; p) của phương trình:
4sin2 - cos2x = 1 + 2cos2(x - )
9) A_05_dự bị 2. Giải pt: 	2cos3( x - ) - 3cosx - sinx = 0 
10) D_05_dự bị 1. Giải pt: 	tan( - x) + = 2
11) D_05_dự bị 2. Giải pt:	sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 
12) A_06_dự bị 1. Giải pt: 	cos3xcos3x - sin3xsin3x = 
13) A_06_dự bị 2. Giải pt: 	4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 
14) B_06_dự bị 1. Giải pt: 	(2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0 
15) B_06_dự bị 2. Giải pt: 	cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
16) D_06_dự bị 1. Giải pt: 	cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
17) D_06. Giải pt:	cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 
18) A_07. Giải phương trình: 	(1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
19) B_07. Giải phương trình: 	2sin22x + sin7x - 1 = sinx
21) D_07. Giải phương trình: 	(sin2 + cos2)2 + cosx = 2
22) CĐ_07. Giải phương trình: 	2sin2( - 2x) + cos4x = 4cos2x - 1
23) A_08. Giải phương trình: 	
24) B_08. Giải phương trình: 	sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx
25) D_08. Giải phương trình: 	2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
26) CĐ_08. Giải pt:	sin3x - cos3x = 2sin2x
CHUYÊN ĐỀ 2
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I) QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN:
Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:
	1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?
	2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? 
Bài 2: Có 4 con đường nối liền điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả hai chặng AB và BC? 
Bài 3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn? 
Bài 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. 
Bài 5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu ...  trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức:
 	 f(x) = 
Bài 8: Trong khai triển của thành đa thức: 
 P(x) = Hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 £ k £ 10) 
Bài 9: Tìm số nguyên dương n sao cho: . 
Bài 10: CMR: 
Bài 11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
 	1) 
 	2) 
Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10
 1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x)
 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) 
Bài 13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó. 
Bài 14: Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng: 
Bài15: Chứng minh: 
Bài 16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: x ¹ 0 
Bài 17: Khai triển nhị thức:
 Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x 
Bài 18: Trong khai triển: Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bào nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
Bài 2. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Bắt dầu bởi chữ số 2.
b. Bắt đầu bởi chữ số 36
c. Bắt đầu bởi chữ số 482
Bài 3. Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có bao nhiêu số như vậy
b. Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1
Bài 4. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 5. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Bài 6. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa.
Bài 7. Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau.
Bài 8. 
a. Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
b. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Bài 9. Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
Bài 10. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ?
Bài 11. Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 hoc sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau?
Bài 12. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chon ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu?
Bài 13. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp?
Bài 14. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1. Có đúng 2 người nam trong 5 người đó
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó
Bài 15. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một đoàn công tác cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 16. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọ ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau.
	1. Nếu phải có ít nhất 2 nữ.
	2. Nếu phải chọn tuỳ ý.
Bài 17. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vào bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 18. Chứng minh rằng:
.
Bài 19. Chứng minh rằng:
Bài 20. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau:
Bài 21. Chứng minh rằng: 
Bài 22. Tính tổng:
Bài 23. Tính tổng:
Bài 24. Chứng minh rằng:
Bài 25. Cho n là một số nguyên dương:
a. Tính : 	I = 
b. Tính tổng: 
Bài 26. Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 27. Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 28. Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau:
Bài 29. Tính tổng: 
,
biết rằng, với n là số nguyên dương:
Bài 30. Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 31. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của: 
Bài 32. Gọi a3n - 3 là hệ số của x3n - 3 trong khai triển thanh đa thức của:(x2 + 1)n(x + 2)n.
Tìm n để a3n - 3 = 26n
Bài 33. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 
Biết rằng: 
Bài 34. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:
 với x > 0
Bài 35. Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức:
   ; 
Bài 36. Cho :
Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
Bài 37. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của 
, biết rằng: 
Bài 38. khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta được đa thức có dạng:
.
Tỡm hệ số của , biết ao+a1+a2 = 71
Bài 39. Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức: 
Bài 40. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 
	Biết rằng: 
Bài 41. Giải các phương trình:
Bài 42. Giải các hệ phương trình:
Bài 43. Giải các bất phương trình:
CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bài 1. Chứng minh rằng
a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n(3n - 1) = n2(n + 1) 	với n Î N*
b) 3 + 9 + 27 + ... + 3n = (3n + 1 - 3) 	với n Î N*
c) 12 + 32 + 52 + ... + (2n - 1)2 = 	 với n Î N*
d) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 	với n Î N*
e) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 	với n Î N*
f) 	với n Î N*
g) 	với n Î N*
h) 	với n Î N*
i)	với n ³ 2
k)	 với n Î N*
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi n Î N* ta có:
a) n3 + 2n chia hết cho 3
b) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9
c) n3 + 11n chia hết cho 6
d) 2n3 - 3n2 + n chia hết cho 6
e) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9
f) 32n + 1 + 2n + 2 chia hết cho 7
g) n7 - n chia hết cho 7
h) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) 2n + 2 > 2n + 5 	với n Î N*
b) 2n > 2n + 1 	với n Î N*, n ³ 3
c) 3n > n2 + 4n + 5 	với n Î N*, n ³ 3
d) 2n - 3 > 3n - 1 	với n ³ 8
e) 3n - 1 > n(n + 2) 	với n ³ 4
CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ
Dạng 1. Xác định một số số hạng của dãy số. Xác định số hạng tổng quát
Bài 1. Viết 5 số hạng đầu của dãy số sau:
a) un = 	b) un = 
b) (n > 2) 	c) un = 
d) (với k ³ 1) 	e) u1 = 2; un + 1 = (un + 1)
g) un = cos 	h) nsin + n2cos
Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
a) (un): 1; 2; 4; 8; 16; 
b) (un): ; 
c) (un): (với n ³ 1)
d) (un): ; 
Bài 3. Cho dãy số (un): u1 = , un+ 1 = 4un + 7 với n ³ 1
a) Tính u2, u3, u4, u5, u6 
b) Chứng minh rằng: un = với n ³ 1
Bài 4. Cho dãy số (un): u1 = 1; un + 1 = un + 7 với ³ 1
a) Tính u2, u3, u4, u5, u6
b) Chứng minh rằng: un = 7n – 6
Bài 5. Cho (un): u1 = 2; un + 1 = 3un + 2n – 1
Chứng minh rằng: un = 3n - n
Dạng 2. Xét tính đơn điệu của một dãy số
Bài 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau
a) un = ; 	b) un = 	c) un = 
d) un = 	e) un = 	f) un = 
g) un = 	h) un = 
Dạng 4. Xét tính bị chặn của dãy số
Bài 7. Xét tính bị chặn của các dãy số
a) un = 2n – 1 	b) un = 	c) un = 3.22n – 1 
d) un = 	e) un = 	f) un = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: 
Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
1.	2. 
5. lim
Bài 6 Tìm các giới hạn sau:
	2. 
3. 	4. 	
6. 	6. 
CHUYÊN ĐỀ 5 . GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm các giới hạn sau (dạng ):
1) 	2) 	
3) 	4) 	
5) 	6) 
7) 	8) 
Bài 2. Tìm các giới hạn sau(dạng ):
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
7) 	8) 	
9) 	10) 
11) 	12) 
13) 	14) 
15) 
Bài 3. Tìm các giới hạn(dạng ):
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
7) 	8) 
Bài 4. Tìm các giới hạn (dạng ):
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
Bài 5. Tìm các giới hạn (¥ - ¥):
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
7) 	8) 
CHUYÊN ĐỀ 6. ĐẠO HÀM
I. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm:
1) f(x) = 2x2 + 3x + 1 tại x = 1
2) f(x) = sinx tại x = 
3) f(x) = tại x = 1
4) f(x) = tại x = 0 
5) f(x) = tại x = 2
6) f(x) = tại x = 0 
7) f(x) = tại x = 0 
8) f(x) = tại x = 0 
Bài 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
	1) y = 5x – 7 	2) y = 3x2 – 4x + 9 
	3) y = 	4) y = 
	5) y = x3 + 3x – 5 	6) y = + x
II. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm
Bài 3. Cho hàm số f(x) = 
Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0.
Bài 4. Cho hàm số f(x) = 
1) Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R 
2) Hàm số có đạo hàm tại x = 0 không? Tại sao?.
Bài 5. Cho hàm số f(x) = 
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1
Bài 6. Cho hàm số f(x) = 
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 0 
Bài 7. Cho hàm số f(x) = 
Tìm a để hàm số không có đạo hàm tại x = 3.
III. Tính đạo hàm bằng công thức:
Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	1) y = x3 – 2x2 + 3x 	2) y = - x4 + 2x2 + 3 
	3) y = (x2 + 1)(3 – 2x2) 	4) y = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
	5) y = (x2 + 3)5 	6) y = x(x + 2)4 
	7) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 	8) y = (x2 + 1)(x3 + 1)2(x4 + 1)3
Bài 9. Tính đạo hàm của các hàm số sau :
	1) y = 	2) y = 
	3) y = 	4) y = 
	5) y = 	6) y = 
	7) y = 	8) y = 
Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	1) y = 	2) y = 
	3) y = (x – 2) 	4) y =
	5) y = 	6) y = x + 
	7) y = 	8) y = + 
III. Viết phương trình tiếp tuyến của dồ thị tại một điểm
Bài 11. Cho hàm số y = x3 – 2x2 + 3x (C)
1) Viết phương trình tiếp tuyến D với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là x = 2.
2) Chứng minh rằng D là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 12. Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1 (C) 
1) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm có hành độ là x = 0
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất.
Bài 13. 
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hs: y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm (-1; -2)
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = tại điểm có hoành độ x = 0
IV. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) khi biết hệ số góc k.
Bài 14.
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = biết hệ số góc của tiếp tuyến là .
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x2 – 2x = 3 biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0 
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0
Bài 15. Cho hàm số y = (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x = 0
2) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - x + 3
3) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0 
4) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là - 
V. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm:
Bài 16. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C) 
1) Viết phương trình tiép tuyến của (C) kẻ từ điểm A(0; 2)
2) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x) biết:
1) f(x) = 3x – 4x3 và tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3)
2) f(x) = x4 – 3x2 + và tiếp tuyến đi qua điểm B(0; )
3) f(x) = x + và tiếp tuyến di qua điểm C(0; 1)
Bài 18. 
1) Cho hàm số y = x + (C). Chứng minh rằng qua điểm A(1; -1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
2) Tìm m để từ M(m; 0) kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục Ox.