Tìm hiểu thêm về giải tích

 TÌM HIỂU THÊM VỀ GIẢI TÍCH 
– Chi Viên – 
1. Làm quen với giải tích 
Bắt ñầu từ giữa lớp 11, các bạn học sinh 
ñược chính thức tiếp cận với một nội dung 
toán học mới: Giải tích Toán học. Giải tích 
nghĩa là phân chia một vần ñề phức tạp 
thành những phần nhỏ hơn ñể hiểu tốt hơn 
vấn ñề ñó. Giải tích toán học (tiếng Anh: 
mathematical analysis), còn gọi ñơn giản là 
giải tích, là ngành toán học nghiên cứu về 
các khái niệm giới hạn, ñạo hàm, tích phân... 
Nó ñược bắt ñầu ñưa vào nhà trường từ bậc 
trung học phổ thông có vai trò chủ ñạo trong 
giáo dục ñại học hiện nay. Phép toán cơ bản 
của giải tích là "phép lấy giới hạn". ðể 
nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm 
số,... ta phải "ño" ñược "ñộ xa gần" giữa các 
ñối tượng cần xét giới hạn ñó. Do vậy, 
những khái niệm như là mêtric, tôpô ñược 
tạo ra ñể mô tả một cách chính xác, ñầy ñủ 
việc ño ñộ xa, gần ấy. Các yếu tố ñược 
nghiên cứu trong giải tích thường mang tính 
chất "ñộng" hơn là tính chất "tĩnh" như trong 
ñại số. Giải tích có ứng dụng rất rộng trong 
khoa học kỹ thuật, ñể giải quyết các bài toán 
mà với phương pháp ñại số thông thường tỏ 
ra không hiệu quả. Nó ñược thiết lập dựa 
trên các ngành ñại số, lượng giác, hình học 
giải tích và còn ñược gọi là "ngành toán 
nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao 
cấp. Giải tích còn có một cách gọi phổ thông 
hơn là phương pháp tính. Lịch sử giải tích 
trải qua vài thời kỳ riêng biệt, chủ yếu chia 
thành ba giai ñoạn: cổ ñại, trung ñại và hiện 
ñại. Từ thời cổ ñại người ta ñã ñưa ra ý niệm 
về phép tính tích phân nhưng chưa phát triển 
thành một phương pháp có hệ thống. Phần 
cơ bản của phép tích phân như tính diện tích 
và thể tích ñược ghi nhận từ các nhà toán 
học Ai Cập khi họ tính ñược thể tích tứ diện 
vào thời ñiểm năm 1800 trước Công nguyên. 
Cho dù không có bằng chứng xác thực cho 
biết họ ñã làm cách nào nhưng theo Morris 
Kline trong tác phẩm "Tư tưởng toán học từ 
thời cổ ñại ñến hiện ñại, tập 1" cho rằng họ 
ñã dùng phương pháp thử và sai. 
2. Phép tính giới hạn 
Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" ñược 
sử dụng ñể chỉ giá trị mà một hàm số hoặc 
một dãy số tiến gần ñến khi biến số tương 
ứng tiến gần ñến một giá trị nào ñó. Trong 
một không gian ñầy ñủ, khái niệm giới hạn 
cho phép ta xác ñịnh một ñiểm mới từ một 
dãy Cauchy các ñiểm ñã ñược xác ñịnh 
trước. Giới hạn là khái niệm quan trọng của 
Giải tích và ñược sử dụng ñể ñịnh nghĩa về 
tính liên tục, ñạo hàm và phép tính tích 
phân. Khái niệm giới hạn dãy số ñược tổng 
quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, 
và liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới 
hạn và giới hạn trực tiếp trong lý thuyết 
phạm trù. Nhà toán học Hi Lạp cổ ñại 
Archimedes (287TCN – 212TCN) là người 
có những ñóng góp ñầu tiên phát triển ý 
tưởng giới hạn ñể tính diện tích hình phẳng 
và tính thể tích. Công trình của Archimedes, 
cuốn sách The Method, ñã bị thất lạc mãi 
cho ñến năm 1906. Sau ñó, khoảng thế kỉ 
XVII, các nhà bác học người ðức G.Leibniz 
(1646 – 1716) và người Anh I.Newton (1643 
– 1727) ñã ñộc lập và gần như ñồng thời tìm 
ra và phát triển những nguyên lí chung của 
phép tính vi tích phân, trong ñó lí thuyết giới 
hạn ñóng một vai trò quan trọng. Nhà toán 
học Pháp A.L.Cauchy (1789 – 1857) ñã có 
ñóng góp quan trọng cho lí thuyết giới hạn 
nói riêng và lí thuyết giải tích nói chung. 
Ông là người ñã ñưa ra ñịnh nghĩa dưới 
ngôn ngữ “ δ − ε ” cho khái niệm giới hạn. 
Nhà toán học ðức K.Weierstrass (1815 – 
1897), cha ñẻ của giải tích hiện ñại, là người 
ñầu tiên chú ý ñến logic của giải tích và ñưa 
ra ñịnh nghĩa chặt chẽ cho các khái niệm 
liên tục ñều, nhờ ñó tìm ra các chứng minh 
ñầy ñủ cho ñịnh lí giá trị trung bình, ñịnh lí 
Bolzano - Weierstrass, ñịnh lí về sự tồn tại 
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục 
trên một compact. Vào năm 1655, nhà toán 
học Anh J.Wallis (1616 – 1703) lần ñầu tiên 
sử dụng kí hiệu ∞ trong hai công trình 
Arithmetica Infinitorum và De sectionibus 
conicis (kí hiệu này ñược người La Mã dũng 
ñể chỉ số 1000, một số ñược coi là rất lớn). 
Kí hiệu lim. (có dấu chấm) ñược dùng ñầu 
tiên bởi Simon L’Huilier (1750 – 1840) vào 
năm 1786 trong công trình Exposition 
élémenteire des principes des calculs 
superieurs. Năm 1841, Weierstrass sử dụng 
kí hiệu lim (không có dấu chấm), và ñến 
năm 1850 thì sử dụng kí hiệu 
x c
lim
=
. Kí hiệu 
mà chúng ta sử dụng thông dụng hiện nay 
x a
lim
→
có thể ñược bắt nguồn từ nhà toán học 
Anh J.G.Leathem (1871 – 1923) vào năm 
1905, và ñến 1908 thì nó ñược công nhận và 
sử dụng rộng rãi bắt ñầu từ các tác phẩm của 
T.J.I.Bromwich (1875 – 1929) và của 
G.H.Hardy (1877 – 1947). Chữ lim ñể chỉ 
giới hạn có lẽ liên quan tới chữ limit (tiếng 
Anh nghĩa là: giới hạn, cận, hạn chế). Hầu 
hết các vấn ñề của giải tích, cuối cùng ñều 
quy về bài toán giới hạn, ñấy là lí do người 
ta coi giới hạn là phép toán cơ bản của giải 
tích. 
3. Phép tính vi phân 
Phép tính ñạo hàm, còn ñược gọi là phép 
tính vi phân, ñã ñược manh nha từ nửa ñầu 
thế kỉ XVII. Descartes (1596 – 1650), 
Roberval (1602 – 1675), Fermat (1601 – 
1665) khi ñặt ra và tìm cách giải quyết các 
bài toán về tiếp tuyến của ñường cong và 
cực ñại, cực tiểu của hàm số ñã tiếp cận 
ñược ñiều “cốt lõi” của khái niệm ñạo hàm. 
Nhiều nhà lịch sử toán học xem Fermat là 
người ñi tiên phong trong việc xây dựng 
“phép tính vi phân”. Ông là người ñầu tiên 
giải quyết một số bài toán liên quan ñến vấn 
ñề cực trị và vấn ñề tiếp tuyến trên cơ sở các 
“vô cùng bé”. ðiều này không xa với khởi 
thuỷ của khái niệm ñạo hàm. Tuy nhiên, 
phải ñến nửa cuối thế kỉ XVII, các nhà toán 
học mới ñặt ñược nền móng vững chắc cho 
phép tính vi phân, mà công lao lớn thuộc về 
Leibniz và Newton. ðến cuối thế kỉ XVIII 
và ñầu thế kỉ XIX, phép tính vi phân và bạn 
ñồng hành của nó là phép tính tích phân (gọi 
chung là phép tính vi tích phân, hay phép 
tính giải tích) ñã ñược xây dựng hoàn chỉnh 
bởi Gass (1777 – 1855), Abel (1802 – 
1829), Cauchy (1789 – 1857), và 
Weierstrass (1815 – 1897). Một trong hai 
ông tổ của phép tính vi phân, Newton, ñã 
biểu diễn ñạo hàm cấp 1 và cấp 2 bằng các 
kí hiệu x, xɺ ɺɺ . Ngày nay các kí hiệu ấy vẫn 
còn dùng trong cơ học và phương trình vật lí 
toán. Leibniz là người ñầu tiên ñưa ra những 
kí hiệu “hiện ñại” như dx, dy, 
2
2
dy d y
, ,...
dx dx
Chữ d ñược lấy từ chữ cái ñầu tiên của chữ 
differentiation (phép tìm vi phân, phép lấy 
ñạo hàm). Còn các kí hiệu chúng ta sử dụng 
thông dụng ở phổ thông như 
f '(x), f ''(x), y '''(x),... ñược ñề xuất bởi 
Lagrange (1736 – 1813). Kí hiệu x∆ dành 
cho số gia của biến số x thì xuất phát từ chữ 
displacement (dịch chuyển). 
4. Phép tính tích phân 
Tích phân là một khái niệm toán học có thể 
hiểu như là diện tích hoặc diện tích tổng 
quát hóa. Tích phân và vi phân là những 
khái niệm cơ bản của giải tích. Mọi ñịnh 
nghĩa tích phân ñều phụ thuộc vào ñịnh 
nghĩa ñộ ño. Ví dụ, tích phân Riemann dựa 
trên ñộ ño Jordan, còn tích phân Lebesgue 
dựa trên ñộ ño Lebesgue. Tích phân 
Riemann là ñịnh nghĩa ñơn giản nhất của 
tích phân và thường xuyên ñược sử dụng 
trong vật lý và giải tích cơ bản. Các ứng 
dụng chỉ phù hợp với các ñịnh nghĩa mở 
rộng khác rất hiếm gặp và phức tạp ñến mức 
không cần thiết ñi sâu vào chi tiết ở ñây. Có 
hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác 
ñịnh (có cận trên và cận dưới) và tích phân 
bất ñịnh (họ các nguyên hàm). Những phép 
tính tích phân ñầu tiên ñã ñược thực hiện từ 
cách ñây 2.000 năm bởi Archimedes, như ñã 
nói ở trên, khi ông tính diện tích bề mặt và 
thể tích khối của một vài hình như hình cầu, 
hình parabol và hình nón. Phương pháp tính 
của Archimedes rất hiện ñại dù vào thời ấy 
chưa có khái niệm về ñại số, hàm số hay 
thậm chí cách viết số dạng thập phân. Tích 
phân (cùng với vi phân và môn toán học của 
những phép tính này – giải tích) ñã chính 
thức ñược khám phá bởi Leibniz và Newton 
(hai ông tổ của phép tính vi phân, và bây giờ 
cũng là hai ông tổ của phép tính tích phân). 
Ý tưởng chủ ñạo là tích phân và vi phân là 
hai phép tính nghịch ñảo của nhau. Sử dụng 
mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học 
ñã giải ñược một số lượng khổng lồ các bài 
toán quan trọng trong toán học, vật lý và 
thiên văn học. Tích phân ñã xuất hiện ñộc 
lập với ñạo hàm và nguyên hàm. Việc thiết 
lập mối liên hệ giữa tích phân và nguyên 
hàm là một phát minh vĩ ñại của Newton và 
Leibniz, ngày nay công thức thể hiện mối 
liên hệ ñó ñược gọi là công thức Newton – 
Leibniz, và nhiều sách phổ thông [ñã] dùng 
công thức này ñể ñịnh nghĩa tích phân. 
Chúng ta cần nhấn mạnh rằng ñịnh nghĩa 
tích phân dưới dạng trừu tượng và kí hiệu 
∫ ñược ñề xuất bởi Leibniz, còn người học 
trò J.Bernoulli (1654 – 1705) của ông là 
người khai sinh tên gọi “tích phân”. J. B. 
Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự 
truyền nhiệt ñã tìm ra chuỗi các hàm lượng 
giác có thể dùng ñể biểu diễn nhiều hàm số 
khác. Biến ñổi Fourier (biến ñổi từ hàm số 
thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược 
lại) và biến ñổi tích phân ngày nay ñược ứng 
dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học 
cơ bản mà cả trong y học, âm nhạc và ngôn 
ngữ học. Người ñầu tiên lập bảng tra cứu 
các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). 
Ông ñã cùng nhiều nhà toán học khác ứng 
dụng tích phân vào các bài toán của toán học 
và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích 
phân sang cho số phức. Riemann (1826–
1866) và Lebesgue (1875–1941) là những 
người tiên phong ñặt nền tảng logic vững 
chắc cho ñịnh nghĩa của tích phân. Liouville 
(1809–1882) xây dựng một phương pháp ñể 
tìm xem khi nào tích phân vô ñịnh của hàm 
cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite 
(1822–1901) tìm thấy một thuật toán ñể tính 
tích phân cho các hàm phân thức. Phương 
pháp này ñã ñược mở rộng cho các phân 
thức chứa logarit vào những năm 1940 bởi 
A.M.Ostrowski. Vào những năm trước thời 
ñại máy tính của thế kỉ XX, nhiều lí thuyết 
giúp tính các tích phân khác nhau ñã không 
ngừng ñược phát triển và ứng dụng ñể lập 
các bảng tra cứu tích phân và biến ñổi tích 
phân. Một số nhà toán học ñóng góp cho 
công việc này là G.N.Watson, 
E.C.Titchmarsh, E.W.Barnes, H.Mellin, 
C.S.Meijer, W.Grobner, N.Hofreiter, 
A.Erdelyi, L.Lewin, Y.L.Luke, W.Magnus, 
A.Apelblat, F.Oberhettinger, 
I.S.Gradshteyn, H.Exton, H.M.Srivastava, 
A.P.Prudnikov, Ya.A.Brychkov, và 
O.I.Marichev. Vào năm 1969, R.H.Risch ñã 
ñóng góp một phát triển vượt bậc cho các 
thuật toán tính tích phân vô ñịnh bằng công 
trình của ông về lí thuyết tổng quát và ứng 
dụng trong tích phân các hàm cơ bản. 
Phương pháp ñã chưa thể ñược ứng dụng 
ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của 
phương pháp là giải một phương trình vi 
phân khá khó. Những phát triển tiếp nối của 
nhiều nhà toán học khác ñã giúp giải ñược 
phương trình vi phân này cho nhiều dạng 
hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn thiện 
phương pháp của Risch. Trong những năm 
1980 ñã có những tiến bộ mở rộng phương 
pháp này cho cả các hàm không cơ bản ñặc 
biệt. Từ thập niên 1990 trở lại ñây, các thuật 
toán ñể tính biểu thức tích phân vô ñịnh 
ñược chuyển giao sang và tối ưu hoá cho 
tính toán bằng máy tính ñiện tử. Máy tính ñã 
giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả 
năng tính hàng nghìn tích phân mới chưa 
bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. 
Một số phần mềm máy tính thương mại có 
khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là 
Mathematica, Maple, ...