Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng (chương trình nâng cao)

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
(Chương trình nâng cao)
1. Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ , , tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ được xác định như sau:
2. Tính chất: 
2.1 
2.2	
2.3 
2.4 cùng phương 
2.5 	
Chứng minh:
	2.2. Ta có: và 
do đó 
	2.3. Xét 
. Hoàn toàn tương tự 
	2.4. cùng phương. 
	2.5. Xét 
3. Ứng dụng của tích có hướng:
3.1. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng Û 
Ta có và đồng phẳng.
3.2. Diện tích tam giác ABC:	
Ta có: 
3.3. Diện tích hình bình hành ABCD:	
3.4. Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢:	 	
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABCD), là góc hợp bởi AA’ và A’H. Vì cùng phương với nên 
Ta có 
= 
3.5. Thể tích tứ diện ABCD:	
Từ khối tứ diện ABCD ta dựng khối hộp ACED.BC’E’D’
Ta thấy 
3.6. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng : 
Giả sử đường thẳng qua I và có véc tơ chỉ phương . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên , J là điểm xác định bởi . Ta có:
3.7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
Giả sử qua và có véc tơ chỉ phương , qua và có véc tơ chỉ phương . Dựng hình hộp như hình bên. Khoảng cách giữa hai đường và bằng chiều cao h của khối hộp.
Ta có 
4. Một số bài toán vận dụng tích có hướng: 
Những bài toán về tích có hướng xoay quanh các chủ đề:
Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ
Tính diện tích của một tam giác, tứ giác
Tính thể tích của một tứ diện, hình lăng trụ, hình hộp
Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng;
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
------------------------
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 
Tính và tìm z để các véc tơ đồng phẳng
Chứng minh các véc tơ không đồng phẳng
Hãy biểu thị véc tơ theo các véc tơ 
Hướng dẫn, đáp số:
Ta có: , 
 đồng phẳng 
b) không đồng phẳng.
c) Giả sử , , ta được hệ 
Bài 2: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM.
Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Hướng dẫn, đáp số:
Ta có nên không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.
; 
Tính theo các cách sau:
Cách 1: 
Cách 2: (Áp dụng 3.6), đường thẳng BC qua B và có véc tơ chỉ phương 
Cách 3: Xác định tọa độ H , sau đó tính độ dài AH. Tọa độ H xác định từ hệ điều kiện: 
Bài 3: Cho các điểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0)
Chứng minh: A,B,C,D là các đỉnh của một tứ diện
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD
Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD)
Hướng dẫn, đáp số:
Ta có , vì nên các véc tơ không đồng phẳng. Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC và BD là . Ta có nên 
Nhận xét: có thể tính h theo cách xác định đoạn vuông góc chung hoặc tính h bằng khoảng cách từ AC đến chứa BD và //AC. Tuy nhiên 2 cách này dài hơn cách tính trên.
Bài 4: Cho tam giác ABC có A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1)
Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó
Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Hướng dẫn, đáp số:
	Tính được 
I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi IA=IB, IA=IC và đồng phẳng, do đó ta có: . Từ đó tính được 
Gọi H(x;y;z) là trực tâm tam giác khi và chỉ khi và đồng phẳng . Từ đó tính được 
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(1;2;3)
Tìm tọa độ S thuộc Oy để tứ diện SABC có thể tích bằng 2
Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mp(ABC)
 Bài 2: Cho 4 điểm A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2)
Chứng minh: ABCD là một hình thang
Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 3: Cho tam giác ABC có A(0;4;1), B(1;0;1), C(3;1;-2)
Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 4: Cho hai điểm 
Tìm tọa độ C thuộc Oy để tam giác ABC có diện tích bằng 
Tìm tọa độ D thuộc (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB.