Tập bài giảng Chuyên đề Bài toán liệt kê

]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Bài toán liệt kê ]1^
MỤC LỤC
§0. GIỚI THIỆU.....................................................................................................2
§1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP .............................................3
I. CHỈNH HỢP LẶP .........................................................................................................................3
II. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP ........................................................................................................3
III. HOÁN VỊ ....................................................................................................................................3
IV. TỔ HỢP ......................................................................................................................................3
§2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATE) .................................................................5
I. SINH CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N ....................................................................................6
II. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ .....................................................................................7
III. LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ...........................................................................................................8
§3. THUẬT TOÁN QUAY LUI ................................................................................12
I. LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N.............................................................................13
II. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ ...................................................................................14
III. LIỆT KÊ CÁC CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP CHẬP K ............................................................15
IV. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ ...................................................................................................16
V. BÀI TOÁN XẾP HẬU...............................................................................................................18
§4. KỸ THUẬT NHÁNH CẬN .................................................................................23
I. BÀI TOÁN TỐI ƯU....................................................................................................................23
II. SỰ BÙNG NỔ TỔ HỢP ............................................................................................................23
III. MÔ HÌNH KỸ THUẬT NHÁNH CẬN...................................................................................23
IV. BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH ................................................................................................24
V. DÃY ABC..................................................................................................................................26
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Bài toán liệt kê ]2^
§0. GIỚI THIỆU
Trong thực tế, có một số bài toán yêu cầu chỉ rõ: trong một tập các đối tượng cho trước có bao
nhiêu đối tượng thoả mãn những điều kiện nhất định. Bài toán đó gọi là bài toán đếm cấu hình tổ
hợp.
Trong lớp các bài toán đếm, có những bài toán còn yêu cầu chỉ rõ những cấu hình tìm được thoả
mãn điều kiện đã cho là những cấu hình nào. Bài toán yêu cầu đưa ra danh sách các cấu hình có thể
có gọi là bài toán liệt kê tổ hợp.
Để giải bài toán liệt kê, cần phải xác định được một thuật toán để có thể theo đó lần lượt xây dựng
được tất cả các cấu hình đang quan tâm. Có nhiều phương pháp liệt kê, nhưng chúng cần phải đáp
ứng được hai yêu cầu dưới đây:
• Không được lặp lại một cấu hình
• Không được bỏ sót một cấu hình
Có thể nói rằng, phương pháp liệt kê là phương kế cuối cùng để giải được một số bài toán tổ hợp
hiện nay. Khó khăn chính của phương pháp này chính là sự bùng nổ tổ hợp. Để xây dựng 1 tỷ cấu
hình (con số này không phải là lớn đối với các bài toán tổ hợp - Ví dụ liệt kê các cách xếp n≥13
người quanh một bàn tròn) và giả thiết rằng mỗi thao tác xây dựng mất khoảng 1 giây, ta phải mất
quãng 31 năm mới giải xong. Tuy nhiên cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, bằng phương
pháp liệt kê, nhiều bài toán tổ hợp đã tìm thấy lời giải. Qua đó, ta cũng nên biết rằng chỉ nên dùng
phương pháp liệt kê khi không còn một phương pháp nào khác tìm ra lời giải. Chính những nỗ
lực giải quyết các bài toán thực tế không dùng phương pháp liệt kê đã thúc đẩy sự phát triển của
nhiều ngành toán học.
Cuối cùng, những tên gọi sau đây, tuy về nghĩa không phải đồng nhất, nhưng trong một số trường
hợp người ta có thể dùng lẫn nghĩa của nhau được. Đó là:
• Phương pháp liệt kê
• Phương pháp vét cạn trên tập phương án
• Phương pháp duyệt toàn bộ
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Bài toán liệt kê ]3^
§1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Cho S là một tập hữu hạn gồm n phần tử và k là một số tự nhiên.
Gọi X là tập các số nguyên dương từ 1 đến k: X = {1, 2, ..., k}
I. CHỈNH HỢP LẶP
Mỗi ánh xạ f: X → S. Cho tương ứng với mỗi i ∈ X, một và chỉ một phần tử f(i) ∈ S.
Được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của S.
Nhưng do X là tập hữu hạn (k phần tử) nên ánh xạ f có thể xác định qua bảng các giá trị f(1), f(2),
..., f(k).
Ví dụ: S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. Một ánh xạ f có thể cho như sau:
i 1 2 3
f(i) E C E
Nên người ta đồng nhất f với dãy giá trị (f(1), f(2), ..., f(k)) và coi dãy giá trị này cũng là một
chỉnh hợp lặp chập k của S. Như ví dụ trên (E, C, E) là một chỉnh hợp lặp chập 3 của S. Dễ dàng
chứng minh được kết quả sau bằng quy nạp hoặc bằng phương pháp đánh giá khả năng lựa chọn:
Số chỉnh hợp lặp chập k của tập gồm n phần tử:
kk
n nA =
II. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP
Khi f là đơn ánh có nghĩa là với ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói một cách dễ hiểu, khi dãy giá
trị f(1), f(2), ..., f(k) gồm các phần tử thuộc S khác nhau đôi một thì f được gọi là một chỉnh hợp
không lặp chập k của S. Ví dụ một chỉnh hợp không lặp (C, A, E):
i 1 2 3
f(i) C A E
Số chỉnh hợp không lặp chập k của tập gồm n phần tử:
)!kn(
!n)1kn)...(2n)(1n(nAkn
−
=+−−−=
III. HOÁN VỊ
Khi k = n. Một chỉnh hợp không lặp chập n của S được gọi là một hoán vị các phần tử của S.
Ví dụ: một hoán vị: (A, D, C, E, B, F) của S = {A, B, C, D, E, F}
i 1 2 3 4 5 6
f(i) A D C E B F
Để ý rằng khi k = n thì số phần tử của tập X = {1, 2, .., n} đúng bằng số phần tử của S. Do tính chất
đôi một khác nhau nên dãy f(1), f(2), ..., f(n) sẽ liệt kê được hết các phần tử trong S. Như vậy f là
toàn ánh. Mặt khác do giả thiết f là chỉnh hợp không lặp nên f là đơn ánh. Ta có tương ứng 1-1 giữa
các phần tử của X và S, do đó f là song ánh. Vậy nên ta có thể định nghĩa một hoán vị của S là một
song ánh giữa {1, 2, ..., n} và S.
Số hoán vị của tập gồm n phần tử = số chỉnh hợp không lặp chập n:
!nPn =
IV. TỔ HỢP
Một tập con gồm k phần tử của S được gọi là một tổ hợp chập k của S.
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Bài toán liệt kê ]4^
Lấy một tập con k phần tử của S, xét tất cả k! hoán vị của tập con này. Dễ thấy rằng các hoán vị đó
là các chỉnh hợp không lặp chập k của S. Ví dụ lấy tập {A, B, C} là tập con của tập S trong ví dụ
trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), ... là các chỉnh hợp không lặp chập 3 của S. Điều đó, ở các
lớp dưới ta thường nghe nói nôm na rằng khi liệt kê tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k thì mỗi
tổ hợp chập k sẽ được tính k! lần. Vậy:
Số tổ hợp chập k của tập gồm n phần tử:
)!kn(!k
!n
!k
A
C
k
nk
n
−
==
Số tập con của tập n phần tử:
 nnnn
1
n
0
n 2)11(C...CC =+=+++
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Bài toán liệt kê ]5^
§2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATE)
Phương pháp sinh có thể áp dụng để giải bài toán liệt kê tổ hợp đặt ra nếu như hai điều kiện sau
thoả mãn:
1. Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu hình tổ hợp cần liệt kê. Từ đó có thể xác
định được cấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng trong thứ tự đã xác định
2. Xây dựng được thuật toán từ cấu hình chưa phải cấu hình cuối, sinh ra được cấu hình kế
tiếp nó.
Phương pháp sinh có thể mô tả như sau:
;
repeat
;
;
until ;
Thứ tự từ điển
Trên các kiểu dữ liệu đơn giản chuẩn, người ta thường nói tới khái niệm thứ tự. Ví dụ trên kiểu số
thì có quan hệ: 1 < 2; 2 < 3; 3 < 10; ..., trên kiểu ký tự Char thì cũng có quan hệ 'A' < 'B'; 'C' < 'c'...
Xét quan hệ thứ tự toàn phần "nhỏ hơn hoặc bằng" ký hiệu "≤" trên một tập hợp S, là quan hệ hai
ngôi thoả mãn bốn tính chất:
Với ∀a, b, c ∈ S
• Tính phổ biến: Hoặc là a ≤ b, hoặc b ≤ a;
• Tính phản xạ: a ≤ a
• Tính phản đối xứng: Nếu a ≤ b và b ≤ a thì bắt buộc a = b.
• Tính bắc cầu: Nếu có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Trong trường hợp a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hiệu ",
khỏi phải định nghĩa)
Ví dụ như quan hệ "≤" trên các số nguyên cũng như trên các kiểu vô hướng, liệt kê là quan hệ thứ tự
toàn phần.
Trên các dãy hữu hạn, người ta cũng xác định một quan hệ thứ tự:
Xét a = (a1, a2, ..., an) và b = (b1, b2, ..., bn); trên các phần tử của a1, ..., an, b1, ..., bn đã có quan hệ
thứ tự "≤". Khi đó a ≤ b nếu như
• Hoặc ai = bi với ∀i: 1 ≤ i ≤ n.
• Hoặc tồn tại một số nguyên dương k: 1 ≤ k < n để:
a1 = b1
a2 = b2
...
ak-1 = bk-1
ak = bk
ak+1 < bk+1
Trong trường hợp này, ta có thể viết a < b.
Thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển trên các dãy độ dài n.
Khi độ dài hai dãy a và b không bằng nhau, người ta cũng xác định được thứ tự từ điển. Bằng cách
thêm vào cuối dãy a hoặc dãy b những phần tử đặc biệt gọi là phần tử ∅ để độ dài của a và b bằng
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Bài toán liệt kê ]6^
nhau, và coi những phần tử ∅ này nhỏ hơn tất cả các phần tử khác, ta lại đưa về xác định thứ tự từ
điển của hai dãy cùng độ dài. Ví dụ:
• (1, 2, 3, 4) < (5, 6)
• (a, b, c) < (a, b, c, d)
• 'calculator' < 'computer'
I. SINH CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N
Một dãy nhị phân độ dài n là một dãy x = x1x2...xn trong đó xi ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n).
Dễ thấy: một dãy nhị phân x độ dài n là biểu diễn nhị phân của một giá trị nguyên p(x) nào đó nằm
trong đoạn [0, 2n - 1]. Số các dãy nhị phân độ dài n = số các số nguyên ∈ [0, 2n - 1] = 2n. Ta sẽ lập
chương trình liệt kê các dãy nhị phân theo thứ tự từ điển có nghĩa là sẽ liệt kê lần lượt các dãy nhị
phân biểu diễn các số nguyên theo thứ tự 0, 1,..., 2n-1.
Ví dụ: Khi n = 3, các dãy nhị phân độ dài 3 được liệt kê như sau:
p(x) 0 1 2 3 4 5 6 7
x 000 001 010 011 100 101 110 111
Như vậy dãy đầu tiên sẽ là 00...0 và dãy cuối cùng sẽ là 11...1. Nhận xét rằng nếu dãy x = (x1, x2, ...,
xn) là dãy đang có và không phải dãy cuối cùng thì dãy kế tiếp sẽ nhận được bằng cách cộng thêm 1
( theo cơ số 2 có nhớ) vào dãy hiện tại.
Ví dụ khi n = 8:
Dãy đang có: 10010000 Dãy đang có: 10010111
cộng thêm 1: + 1 cộng thêm 1: + 1
 
Dãy mới: 10010001 Dãy mới: 10011000
Như vậy kỹ thuật sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình hiện tại có thể mô tả như sau: Xét từ cuối
dãy về đầu (xét từ hàng đơn vị lên), gặp số 0 đầu tiên thì thay nó bằng số 1 và đặt tất cả các phần
tử phía sau vị trí đó bằng 0.
i := n;
while (i > 0) and (xi = 1) do i := i - 1;
if i > 0 then
 begin
 xi := 1;
 for j := i + 1 to n do xj := 0;
 end;
 ... 2. Dưới đây ta sẽ cài đặt chương trình giải bài toán phân công bằng thuật toán Hungari với
phương pháp đối ngẫu Kuhn-Munkres:
a) Biểu diễn bộ ghép
Để biểu diễn bộ ghép, ta sử dụng hai mảng: matchX[1..k] và matchY[1..k].
• matchX[i] là đỉnh thuộc tập Y ghép với đỉnh X[i]
• matchY[j] là đỉnh thuộc tập X ghép với đỉnh Y[j].
Tức là nếu như cạnh (X[i], Y[j]) thuộc bộ ghép thì matchX[i] = j và matchY[j] = i.
Quy ước rằng:
• Nếu như X[i] chưa ghép với đỉnh nào của tập Y thì matchX[i] = 0
• Nếu như Y[j] chưa ghép với đỉnh nào của tập X thì matchY[j] = 0.
• Để thêm một cạnh (X[i], Y[j]) vào bộ ghép thì chỉ việc đặt matchX[i] := j và matchY[j] := i;
• Để loại một cạnh (X[i], Y[j]) khỏi bộ ghép thì chỉ việc đặt matchX[i] := 0 và matchY[j] := 0;
b) Tìm đường mở như thế nào
Ta sẽ tìm đường mở và xây dựng hai tập VisitedX và VisitedY bằng thuật toán tìm kiếm theo chiều
rộng chỉ xét tới những đỉnh và những 0_cạnh đã định hướng như đã nói trong phần đầu:
Khởi tạo một hàng đợi (Queue) ban đầu chỉ có một đỉnh x*. Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng
làm việc theo nguyên tắc lấy một đỉnh v khỏi Queue và lại đẩy Queue những nối từ v chưa được
thăm. Như vậy nếu thăm tới một Y_đỉnh chưa ghép thì tức là ta tìm đường mở kết thúc ở Y_đỉnh
chưa ghép đó, quá trình tìm kiếm dừng ngay. Còn nếu ta thăm tới một đỉnh y ∈ Y đã ghép, dựa vào
sự kiện: từ y chỉ có thể tới được matchY[y] theo duy nhất một 0_cạnh định hướng, nên ta có thể
đánh dấu thăm y, thăm luôn cả matchY[y], và đẩy vào Queue phần tử matchY[y] ∈ X.
3. Nhập dữ liệu từ file văn bản ASSIGN.INP
• Dòng 1: Ghi hai số m, n theo thứ tự là số thợ và số việc cách nhau 1 dấu cách (m, n ≤ 100)
• Các dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi ba số i, j, c[i, j] cách nhau 1 dấu cách thể hiện thợ i làm được
việc j và chi phí để làm là c[i, j] (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n; 0 ≤ c[i, j] ≤ 100).
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Lý thuyết đồ thị ]95^
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6
12
9
19
ASSIGN.INP
5 6
1 1 0
1 2 0
2 1 0
2 4 2
3 2 1
3 3 0
4 3 0
4 4 9
5 4 19
OUTPUT
Optimal assignment:
 1) X[1] - Y[1] 0
 2) X[2] - Y[4] 2
 3) X[3] - Y[2] 1
 4) X[4] - Y[3] 0
Cost: 4
X Y
PROG12_1.PAS * Thuật toán Hungari
program AssignmentProblemSolve; {Giải bài toán phân công}
const
 max = 100;
 maxC = 10001;
var
 c: array[1..max, 1..max] of Integer;
 Fx, Fy, matchX, matchY, Trace: array[1..max] of Integer;
 VisitedX, VisitedY: array[1..max] of Boolean;
 m, n, k: Integer;
procedure Enter;
var
 f: Text;
 i, j: Integer;
begin
 Assign(f, 'ASSIGN.INP'); Reset(f);
 Readln(f, m, n);
 if m > n then k := m else k := n; {k := max(m, n), coi như có k thợ, k việc}
 for i := 1 to k do
 for j := 1 to k do c[i, j] := maxC; {(i, j) nào không có trong file thì c[i, j] := maxC}
 while not SeekEof(f) do Readln(f, i, j, c[i, j]);
 Close(f);
end;
procedure Init;
var
 i, j: Integer;
begin
 FillChar(matchX, SizeOf(matchX), 0);
 FillChar(matchY, SizeOf(matchY), 0); {Khởi tạo bộ ghép ∅}
{Ta hoàn toàn có thể đặt các Fx cũng như Fy bằng 0, nhưng để hiệu quả hơn thì nên: }
 for i := 1 to k do {Trừ tất cả trọng số những cạnh liên thuộc với X[i] đi trọng số cạnh nhỏ nhất}
 begin {⇔ Đặt Fx[i] := Trọng số cạnh nhỏ nhất liên thuộc với X[i]}
 Fx[i] := maxC;
 for j := 1 to k do
 if c[i, j] < Fx[i] then Fx[i] := c[i, j];
 end;
 for j := 1 to k do {Rồi trừ tất cả trọng số những cạnh liên thuộc với Y[j] cho trọng số cạnh nhỏ nhất}
 begin {Lưu ý là trọng số cạnh (X[i], Y[j]) bây giờ là c[i, j] - Fx[i] chứ không còn là c[i, j] nữa}
 Fy[j] := maxC;
 for i := 1 to k do
 if c[i, j] - Fx[i] < Fy[j] then Fy[j] := c[i, j] - Fx[i];
 end;
end;
{Tìm đường mở xuất phát từ StartX ∈ X, nếu tìm thấy trả về Y_đỉnh kết thúc đường mở, nếu không thấy trả về 0}
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Lý thuyết đồ thị ]96^
function FindAugmentingPath(StartX: Integer): Integer;
var
 Queue: array[1..max] of Integer;
 x, y, first, last: Integer;
begin
 FillChar(VisitedX, SizeOf(VisitedX), False);
 FillChar(VisitedY, SizeOf(VisitedY), False);
 Queue[1] := StartX;
 first := 1; last := 1;
 VisitedX[StartX] := True; {Duy nhất StartX đã thăm được đẩy vào Queue}
 repeat
 x := Queue[first]; Inc(first); {Lấy một đỉnh x∈X ra khỏi Queue}
 for y := 1 to k do {Xét các Y_đỉnh chưa thăm, kề với x qua một 0_cạnh chưa ghép (if viết hơi thừa cho dễ hiểu)}
 if not VisitedY[y] and (matchX[x] y) and (c[x, y] = Fx[x] + Fy[y]) then
 begin
 Trace[y] := x; {Lưu vết đường đi: đỉnh liền trước y trên đường đi StartX tới y là x}
 if matchY[y] = 0 then {nếu y chưa ghép thì tức là tìm thấy đường mở từ StartX tới y}
 begin
 FindAugmentingPath := y;
 Exit; {Ghi nhận và thoát ngay}
 end;
 VisitedY[y] := True; {Nếu y đã ghép thì đánh dấu thăm y}
 VisitedX[matchY[y]] := True; {Thăm luôn cả matchY[y]}
 Inc(last); Queue[last] := matchY[y]; {Đẩy matchY[y] vào hàng đợi}
 end;
 until first > last; {Cho tới khi hàng đợi rỗng, quá trình BFS xong}
 FindAugmentingPath := 0; {ở trên không Exit được tức là không có đường mở từ StartX}
end;
procedure SubX_AddY; {Xoay đồ thị G}
var
 x, y, Delta: Integer;
begin
 Delta := maxC; {Trước hết tính Delta := trọng số nhỏ nhất trong các cạnh nối VisitedX với Y\VisitedY}
 for x := 1 to k do
 if VisitedX[x] then
 for y := 1 to k do
 if not VisitedY[y] and (c[x, y] - Fx[x] - Fy[y] < Delta) then
 Delta := c[x, y] - Fx[x] - Fy[y];
 for x := 1 to k do {Trừ tất cả trọng số những cạnh liên thuộc với VisitedX đi Delta}
 if VisitedX[x] then Fx[x] := Fx[x] + Delta;
 for y := 1 to k do {Cộng tất cả trọng số những cạnh liên thuộc với VisitedY lên Delta}
 if VisitedY[y] then Fy[y] := Fy[y] - Delta;
end;
{Tăng cặp dựa trên đường mở kết thúc ở f∈Y}
procedure Enlarge(f: Integer);
var
 x, next: Integer;
begin
 repeat
 x := Trace[f];
 next := matchX[x];
 matchX[x] := f;
 matchY[f] := x;
 f := Next;
 until f = 0;
end;
procedure Solve; {Thuật toán Hungari}
var
 x, y: Integer;
begin
next
... ...
fx
next
... ...
fx
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Lý thuyết đồ thị ]97^
 for x := 1 to k do {Xét ∀x∈X}
 begin
 repeat
 y := FindAugmentingPath(x); {Tìm đường mở xuất phát tại x}
 if y = 0 then SubX_AddY; {Nếu không tìm thấy thì xoay đồ thị}
 until y 0; {Cho tới khi tìm thấy đường mở}
 Enlarge(y); {Nới rộng bộ ghép bằng đường mở tìm được, x và y trở thành đã ghép}
 end;
end;
procedure Result;
var
 x, y, Count, W: Integer;
begin
 Writeln('Optimal assignment:');
 W := 0; Count := 0;
 for x := 1 to k do
 begin
 y := matchX[x];
{Những cạnh có trọng số maxC tương ứng với một thợ không được giao việc và một việc không được phân công}
 if c[x, y] < maxC then {Nên chỉ cần quan tâm tới những phép phân công thật sự}
 begin
 Inc(Count);
 Writeln(Count:5, ') X[', x, '] - Y[', y, '] ', c[x, y]);
 W := W + c[x, y];
 end;
 end;
 Writeln('Cost: ', W);
end;
begin
 Enter;
 Init;
 Solve;
 Result;
end.
Nhận xét:
1. Nếu cài đặt như trên thì cho dù đồ thị có cạnh mang trọng số âm, chương trình vẫn tìm được
bộ ghép cực đại với trọng số cực tiểu. Lý do: Ban đầu, ta trừ tất cả các phần tử trên mỗi hàng
của ma trận C đi giá trị nhỏ nhất trên hàng đó, rồi lại trừ tất cả các phần tử trên mỗi cột của
ma trận C đi giá trị nhỏ nhất trên cột đó (Phép trừ ở đây làm gián tiếp qua các Fx, Fy chứ
không phải trừ trực tiếp trên ma trận C). Nên sau bước này, tất cả các cạnh của đồ thị sẽ có
trọng số không âm bởi phần tử nhỏ nhất trên mỗi cột của C chắc chắn là 0.
2. Sau khi kết thúc thuật toán, tổng tất cả các phần tử ở hai dãy Fx, Fy bằng trọng số cực tiểu của
bộ ghép đầy đủ tìm được trên đồ thị ban đầu.
3. Lại tương tự như bài toán đường đi ngắn nhất, ta thêm vào đồ thị một số đỉnh giả và một số
cạnh để được đồ thị hai phía đầy đủ và giải bài toán trên đồ thị đó. Những cạnh giả thêm vào
được gán trọng số đủ lớn. Giá trị đủ lớn đó phải chọn như thế nào?, nó phải lớn hơn trọng số
của tất cả những bộ ghép có thể tạo thành từ những cạnh thật. Khi giá trị đó quá lớn thì sẽ dẫn
đến nhiều phiền toái khi tổ chức dữ liệu. Vậy ta nên có một giải pháp tốt hơn cho vấn đề này,
chẳng hạn do giả thiết cho các trọng số không âm nên ta có thể lấy một giá trị đặc biệt -1 gán
cho các cạnh giả, tại các bước phải xét cạnh, ta thêm vào phép kiểm tra để chỉ xét các cạnh
trọng số khác -1. Khi tìm đường mở xuất phát từ x, nếu không tìm thấy thì ta phải tìm giá trị
xoay ∆ là trọng số nhỏ nhất của cạnh nối một X_đỉnh trong cây pha với một Y_đỉnh ngoài cây
pha, nếu không có cạnh nối như vậy (hay nói đúng hơn là tất cả các cạnh nối X_đỉnh trong
]Lê Minh Hoàng^ Tập bài giảng chuyên đề Lý thuyết đồ thị ]98^
cây pha với một Y_đỉnh ngoài cây pha đều là cạnh trọng số -1) thì ta có thể khẳng định đỉnh x
là không thể ghép được và bỏ qua ngay để tìm cách ghép một X_đỉnh khác.
4. Một vấn đề nữa phải hết sức cẩn thận trong việc ước lượng độ lớn của các phần tử Fx và Fy.
Nếu như giả thiết cho các trọng số không quá 500 thì ta không thể dựa vào bất đẳng thức
Fx(x) + Fy(y) ≤ c(x, y) mà khẳng định các phần tử trong Fx và Fy cũng ≤ 500. Hãy tự tìm ví
dụ để hiểu rõ hơn bản chất thuật toán.
V. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA
Bài toán tìm bộ ghép cực đại với trọng số cực đại cũng có thể giải nhờ phương pháp Hungari bằng
cách đổi dấu tất cả các phần tử ma trận chi phí (Nhờ nhận xét 1).
Khi cài đặt, ta có thể sửa lại đôi chút trong chương trình trên để giải bài toán tìm bộ ghép cực đại
với trọng số cực đại mà không cần đổi dấu trọng số. Cụ thể như sau:
Bước 1: Khởi tạo:
• M := ∅;
• Khởi tạo hai dãy Fx và Fy thoả mãn: ∀i, j: Fx[i] + Fy[j] ≥ c[i, j]; Chẳng hạn ta có thể đặt
Fx[i] := Phần tử lớn nhất trên dòng i của ma trận C và đặt các Fy[j] := 0.
Bước 2: Với mọi đỉnh x*∈X, ta tìm cách ghép x* như sau:
Với cách hiểu 0_cạnh là cạnh thoả mãn c[i, j] = Fx[i] + Fy[j]. Bắt đầu từ đỉnh x*, thử tìm đường mở
bắt đầu ở x*. Có hai khả năng xảy ra:
• Hoặc tìm được đường mở thì dọc theo đường mở, ta loại bỏ những cạnh đã ghép khỏi M và
thêm vào M những cạnh chưa ghép.
• Hoặc không tìm được đường mở thì xác định được hai tập:
™ VisitedX = {Tập những X_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
™ VisitedY = {Tập những Y_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
™ Đặt ∆ := min{Fx[i] + Fy[j] - c[i, j]  ∀X[i] ∈ VisitedX; ∀Y[j] ∉ VisitedY}
™ Với ∀X[i] ∈ VisitedX: Fx[i] := Fx[i] - ∆;
™ Với ∀Y[j] ∈ VisitedY: Fy[j] := Fy[j] + ∆;
™ Lặp lại thủ tục tìm đường mở xuất phát tại x* cho tới khi tìm ra đường mở.
Bước 3: Sau bước 2 thì mọi X_đỉnh đều đã ghép, ta được một bộ ghép đầy đủ k cạnh với trọng số
lớn nhất.
Dễ dàng chứng minh được tính đúng đắn của phương pháp, bởi nếu ta đặt:
c'[i, j] = - c[i, j]; F'x[i] := - Fx[i]; F'y[j] = - Fy[j].
Thì bài toán trở thành tìm cặp ghép đầy đủ trọng số cực tiểu trên đồ thị hai phía với ma trận trọng số
c'[1..k, 1..k]. Bài toán này được giải quyết bằng cách tính hai dãy đối ngẫu F'x và F'y. Từ đó bằng
những biến đổi đại số cơ bản, ta có thể kiểm chứng được tính tương đương giữa các bước của
phương pháp nêu trên với các bước của phương pháp Kuhn-Munkres ở mục trước.