Tài liệu tự học môn Toán Lớp 11 - Chủ đề 3: Dãy số. Cấp số cộng, cấp số nhân - Năm học 2027-2018

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 1 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 
Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∗∈ℕ là đúng với mọi n mà không thể 
thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp 
quy nạp) như sau: 
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 . 
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với 1≥n = k bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) 
- Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 . 

 Các kiến thức cần nhớ: 
* Cách viết số tự nhiên: 
 Các số tự nhiên liên tiếp: ; 1; 2;n n n+ +  
 Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2 ;2 2;2 4;n n n+ +  
 Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2 1;2 3;2 5;n n n+ + +  
* Tính chất chia hết: 
 Các số chẵn thì chia hết cho 2. 
 Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. 
 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. 
 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. 
 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4. 
 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25. 
 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8. 
 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125. 
 Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6. 
 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2. 
 Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6. 
 Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4,6,8 . 
* Tính chất lũy thừa: 
 .
m n m na a a +=  –:m n m na a a=  ( ) .n n nab a b= 
 ( ) .nm m na a=  n nnab
a
b
 
  =
 
  
m
n m na a= 
* Phân tích đa thức 2ax + bx + c thành nhân tử: 
Nếu phương trình 2 0ax bx c+ + = có 2 nghiện phân biệt 1 2,x x thì: 
( )( )2 1 2– –ax bx c a x x x x+ + = 
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương 
pháp quy nạp 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp gồm ba bước trong phần tóm tắt lý thuyết 
3 Chủđề
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 2 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 
B. BÀI TẬP MẪU 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng ( ) ( )( )22 2 2 2 1 2 12 4 8 ... 2
3
n n n
n
+ +
+ + + + = , với. n ∗∈ℕ . 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng ( ) ( )3 12 5 8 ... 3 1
2
n n
n
+
+ + + + − = , với n ∗∈ℕ . 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
 ................................................................................................................................................................................. 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 3 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 
C. BÀI TẬP CƠ BẢN 
Bài 1. Chứng minh rằng: Với mọi n ∗∈ℕ : 
 a)
( )11 2 3 ...
2
n n
n
+
+ + + + =
b) ( )
22
3 3 3 3 11 2 3 ...
4
n n
n
+
+ + + + =
 c) ( )2 4 6 ... 2 1n n n+ + + + = +
d) ( ) 21 3 5 ... 2 1n n+ + + + − =
 e) ( ) ( )3 11 4 7 ... 3 2
2
n n
n
−
+ + + + − =
f) 2 3
1 1 1 1 2 3
...
3 3 3 3 4.3n n
n +
+ + + + =
 g) 1 1 1 1 2 1...
2 4 8 2 2
n
n n
−
+ + + + =
 h) ( )113 9 27 ... 3 3 32n n++ + + + = −
 i) ( )1– 2 3 – 4 – 2 2 1 1n n n+ + + + = + .
j) ( ) ( )3 12 5 8 ... 3 1
2
n n
n
+
+ + + + − =
 k) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 11 2 3 ...
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
l) ( )
1 1 1
...
1.2 2.3 1 1
n
n n n
+ + + =
+ +
 n) ( ) ( )21.4 2.7 ... 3 1 1n n n n+ + + − = +
p) ( ) ( )( )22 2 2 2 1 2 12 4 6 ... 2
3
n n n
n
+ +
+ + + + =
 q) ( ) ( )222 2 2 4 11 3 5 ... 2 1
3
n n
n
−
+ + + + − =
r) ( ) ( )( )1 1 21 3 6 10 ...
2 6
n n n n n+ + +
+ + + + + =
 s) ( ) ( )21.2 2.5 3.8 3 –1 1n n n n+ + ++ = + 
 m) ( )( )
( )
( )( )
31 1 1
...
1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2
n n
n n n n n
+
+ + + =
+ + + +
 o) ( ) ( )( )1 21.2 2.3 3.4 ... 1
3
n n n
n n
+ +
+ + + + + =
 với 2n ≥ . 
Bài 2. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là ( )3
2
n n −
. 
Bài 3. Cho tổng ( ) ( )
1 1 1 1
...
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1n
S
n n
= + + + +
− +
, với n ∗∈ℕ . 
 a) Tính 1S , 2S , 3S , 4S . 
 b) Hãy dự đoán công thức tính nS và chứng minh bằng quy nạp. 
Bài 4. Cho tổng ( )
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.5 1n
S
n n
= + + + +
+
, với n ∗∈ℕ . 
 a) Tính 1S , 2S , 3S , 4S . 
 b) Hãy dự đoán công thức tính nS và chứng minh bằng quy nạp. 
Bài 5. Cho ( ) ( )
1 1 1 1
...
1.5 5.9 9.13 4 1 4 1n
S
n n
= + + + +
− +
, với n ∗∈ℕ . 
 a) Tính 1S , 2S , 3S , 4S . 
 b) Hãy dự đoán công thức tính nS và chứng minh bằng quy nạp. 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 4 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 
Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng 
phương pháp quy nạp 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
• Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết 
• Nắm rõ kiến thức về chi hết 
B. BÀI TẬP MẪU 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: 4 15 1nnu n= + − chia hết cho 9 , với n ∗∈ℕ . 
 ................................................................................ ... 41 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 
D B A C C A C C A B B B B C C B B D A B 
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 
B C A 4 C A C D A D D A D D C B B B C B 
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 
C A B C C B C C C B A A C C B B A B C A 
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 
D C D C A 6 7 D B B B C C B B B B C B D 
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 
B C D A D B C C B B C D D C B 6 C C D B 
241 242 243 2244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 
D A 
Tài liệu tham khảo: 
[1] Trần Văn Hạo - Đại số 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam 
[2] Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam 
[3] Trần Văn Hạo - Đại số 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam 
[4] Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam 
[5] Nguyễn Phú Khánh - Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề Đại Số Và Giải Tích 11. 
[6] Một số tài liệu trên internet. 
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 61 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
 .................................................................................................................................................................. 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 62 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 
MỤC LỤC 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 
Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ...................................................................... 1 
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ................................................. 1 
Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp ................................ 4 
Dạng 3. [NC] Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ............ 5 
Vấn đề 2. DÃY SỐ ............................................................................................................................... 7 
Dạng 1. Mở đầu về dãy số ........................................................................................................... 7 
Dạng 2. Xác định công thức của dãy số ( )nu ............................................................................. 9 
Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất K ........... 11 
Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số ....................... 12 
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 ............................................................................................. 15 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2 ...................................................................................... 18 
Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG ................................................................................................................ 31 
Dạng 1. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số cộng ............................................ 31 
Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng ...................................................... 32 
Dạng 3. Tìm các phần tử của một cấp số cộng ........................................................................ 34 
Dạng 4. Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng ............................................................. 36 
Dạng 5. Tính tổng ....................................................................................................................... 37 
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 ............................................................................................. 38 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 3 ...................................................................................... 40 
Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................................ 46 
Dạng 1. Tìm các phần tử của một cấp số nhân ....................................................................... 46 
Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân ..................................................... 48 
Dạng 3. Ứng dụng các tính chất của một cấp số nhân ............................................................ 48 
Dạng 4. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số nhân............................................ 49 
Dạng 5. Tính tổng ....................................................................................................................... 50 
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 4 .............................................................................................. 52 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4 ....................................................................................... 54 
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ................................................................................................... 60 
MỤC LỤC ........................................................................................................................................... 61