Tài liệu phụ đạo 12 CB & Nâng cao: Vấn đề 2: Cực trị của hàm so

Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 −CB&Nâng cao 
VẤN ĐỀ 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
A− Tóm tắt lí thuyết: 
2−Định nghĩa: Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D ⊂ R và x0 ∈D. 
a) Điểm x0 là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x0 sao 
cho f(x) < f(x0), ∀x ∈(a;b)\{x0} 
 * f(x0) − giá trị cực đại của hàm số. 
 * Điểm M( x0; f(x0)) điểm cực đại của đồ thị. 
b) Điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn 
tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈(a;b)\{x0} 
 * f(x0) − giá trị cực tiểu 
 * Điểm M( x0; f(x0)) điểm cực tiểu của đồ thị. 
c) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là các cực trị. 
( Minh họa bằng đồ thị) 
* Lưu ý: 1− Giá trị cực đại ( cực tiểu) nĩi chung khơng phải là GTLN( gtnn), nĩ mang tính địa phương 
trong một khoảng nào đĩ, cĩ thể gt cực đại nhỏ hơn gt cực tiểu. 
 2− Hàm số cĩ thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên D, cùng cĩ thể hàm số khơng cĩ 
cực trị trên D. 
3− Định lí: 
+Dấu hiệu cần: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0. 
+Dấu hiệu đủ: 
Dấu hiệu 1: (Tính theo chiều tăng của trục số) 
• f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 ⇒ x0 − là điểm cực đại. 
• f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 ⇒ x0 − là điểm cực tiểu. 
Dấu hiệu 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x0. 
* 0 0
0
( ) 0
( ) 0
f x
x là điểm cực trị củaHS
f x
′ =
⇒ −
′′ ≠
 * 0 0
0
( ) 0
( ) 0
f x
x là điểm cực đại củaHS
f x
′ =
⇒ −
′′ <
* 0 0
0
( ) 0
( ) 0
f x
x là điểm cực tiểu củaHS
f x
′ =
⇒ −
′′ >
 4− Phương pháp tìm cực trị: 
Qui tắc 1: + Tìm f’(x). 
 + Tìm các nghiệm xi ( i = 1,2,...) của phương trình f’(x) = 0. 
+ Lập bảng xét dấu − Căn cứ dấu hiệu 1 kết luận. 
Qui tắc 2: ( Chỉ áp dụng tìm cực trị tại những điểm ở đó đạo hàm cấp 1 bằng 0) 
 B1− Tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm xi. 
 B2− Tính f”(xi) . Nếu f”(xi) < 0 ⇒ xi là điểm cực đại 
 Nếu f”(xi) > 0 ⇒ xi là điểm cực tiểu. 
 Nếu f”(xi) = 0 không thể kết luận được cực trị. 
Chú ý: Quy tắc 2 tuy đơn giản nhưng có nhiều hạn chế. Do đó chỉ nên dùng quy tắc này trong trường hợp đạo 
hàm cấp hai quá đơn giản. 
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 −CB&Nâng cao 
B− Luyện tập: 
I−Bài tốn 1: Tìm cực trị của hàm số − Cho biết cực trị tìm hệ số. 
Bài 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số sau: 
a) y = 2x3 +3x2 −36x −10 b) y= 
4 2
3 3
4 2
x x
x x+ − − c) 2 3
1
x
y
x
−
=
−
 d) y = 
2 2 1
2
x x
x
− +
−
e) y= 
2
1
1
x
x x
+
− +
 g) y = sin2x − x h) 
2
3
1
x
y
x
+
=
+
 i) 
22 4 2
2 3
x x
y
x
− +
=
+
Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
 a) f(x) = 2x3 −9x2 + 12x + 3 b) f(x) = − 5x3 + 3x2 − 4x + 5 c) f(x) = 3x4 − 4x3 −24x2 + 48x −3 
 d) f(x) = 9x 3
x 2
− +
−
 e) f(x)=
2
2
x 8x 24
x 4
+ −
−
 g) f(x) = 2
x
x 4+
 h) f(x) = x 3 x− . 
Bài 3: Tìm m để hàm số y = 
2 2 1x x
y
x m
+ +
=
+
 đạt cực đại tại x = 2. 
Bài 4: Cho hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x +2 .(1) 
a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số khi m = −1. 
b) Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2. 
Bài 5: Cho hàm số 1 sin3 sin
3
y x m x= + (3). Tìm m để hàm số (3) đạt cực đại tại x = 2. 
Bài 6: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
 a) [ ]2y sin x 3cosx, x 0;π= − ∈ b) y = 2sinx + cos2x, [ ]x 0;π∈ 
 c) y = sin2x + cos2x. 
Bài 7: Xác định m để hàm số 
2x mx 1y
x m
+ +
=
+
 đạt cực đại tại x = 2. 
Bài 8: a) Tìm a, b để các cực trị của hàm số : y = 2 3 25 a x 2ax 9x b
3
+ − + đều là những số dưong và x0 = 
5
9
− là 
điểm cực đại. 
 b) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d biết rằng hàm số f đạt cực tiểu tại x = 0, 
f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1. 
 c) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d biết rằng hàm số f đạt cực tiểu tại x = 0, 
f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1
3
, và giá trị cực đại bằng 4
27
. 
 d) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại x = - 2 và đồ thị 
hàm số đi qua điểm A(1; 0). 
 e) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = ax4 + bx2 + c đạt cực trị bằng −9 tại x = 3 và đồ thị hàm 
số đi qua gốc tọa độ. 
Bài 9: Tìm a, b, c để hàm số: 
 a) 
2
1
x bx cy
x
+ +
=
−
 đạt cực trị bằng −6 tại x = −1. b) 
2ax bx aby
bx a
+ +
=
+
 đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. 
 c) 
2
2
ax 2
1
x by
x
+ +
=
+
 đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. 
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 −CB&Nâng cao 
II−Bài tốn 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ hoặc khơng cĩ cực trị . 
* ðiều cần nhớ : 
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0 hoặc tại x0 khơng cĩ đạo hàm. 
 2. ðể hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0. 
* ðiều chú ý: 
 1. Hàm số bậc ba 3 2axy bx cx d= + + + cĩ cực trị ⇔ Phương trình y’ = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt. 
Nếu x0 là điểm cực trị, để tính giá trị cực trị y(x0) ta cĩ thể tiến hành bằng hai cách sau: 
Cách 1: Thay giá trị x0 vào biểu thức hàm, cụ thể: 3 20 0 0 0 0( ) ( ) ax x xy x f x b c d= = + + + . 
Cách 2: Lấy hàm số y chia đạo hàm y’ được phần dư y = Ax + B khi đĩ 0 0 0( ) ( ) Axy x f x B= = + . 
2. Hàm số dạng ( )
2ax ( )
. ' 0
' ' ( )
bx c P xy a a
a x b Q x
+ +
= = ≠
+
cĩ cực trị ⇔ Phương trình y’ = 0 cĩ hai nghiệm 
phân biệt khác '
'
b
a
− . 
Nếu x0 là điểm cực trị, để tính giá trị cực trị y(x0) ta cĩ thể tiến hành bằng hai cách sau: 
Cách 1: Thay giá trị x0 vào biểu thức hàm, cụ thể: 00
0
( )( ) ( )
P xy x Q x= . 
Cách 2: Thay giá trị x0 vào biểu thức 00
0
( )( ) ( )
P xy x Q x
′
=
′
 ( trong đĩ P’(x), Q’(x) là đạo hàm của P(x), Q(x)). 
• Khi sử dụng điều kiện cần để xét cực trị của hàm số cần kiểm tra lại để loại nghiệm lạ. 
• Bài tập loại này đơi khi cịn dùng kiến thức khác nữa, đặc biệt là định lí Vi−ét. 
 Bài 1: Chứng minh các hàm số sau luơn cĩ cực đại, cực tiểu. 
 a) ( )3 2 2 33 3 1y x mx m x m= − + − − b) ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + 
 c) ( ) 3 22 3 5y m x x mx= + + + − d) ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 3 2 1y x m x m m x m m= − − + − + − − 
 c) 
2
2
x 2x my
x 2
+ +
=
+
 d) ( )
2 3
x m m 1 x m 1
y
x m
− + + +
=
−
 e) ( )2 2 4x m m 1 x m 1y
x m
+ − − +
=
−
 g) 
2x mx m 2y
x m 1
+ − +
=
− +
. 
Bài 2: Tìm m để hàm số sau khơng cĩ cực trị: 
 a) 3 23 3 3 4y x x mx m= − + + + b) ( )3 23 1 1y mx mx m x= + − − − 
 c) 
2 5
3
x mxy
x
− + +
=
−
 d) ( )
2 21 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
Bài 3: Tìm m để hàm số ( hoặc đồ thị hàm số): 
 a) ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho các điểm 
cực trị này thõa ( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + . 
 b) 3 23y x x mx= − + cĩ cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị đối xứng qua 
đường thẳng (d): x − 2y − 5 = 0.(*) 
 c) 3 22 12 13y x mx x= + − − cĩ hai điểm cực trị cách đều trục tung. 
 d) 3 2 33 4y x mx m= − + cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm cùng phía đối với đường thẳng (d): 
3 2 8 0x y− + = . 
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 −CB&Nâng cao 
 e) 3 21 1
3
y x mx mx= − + − đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho thõa: 1 2 8x x− ≥ . 
 g) ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho thõa: 1 22 1x x+ = . 
 h) ( ) ( )3 21 2 2 2y x m x m x m= + − + − + + cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị, đồng thời 
hồnh độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.(*) 
 i) 4 2 4y x mx x m= − + + cĩ ba điểm cực trị M, N, P và tam giác MNP nhận gốc tọa độ O làm trọng 
tâm. 
Bài 4:Tìm m để hàm số (hoặc đồ thị hàm số): 
 a) 
2 2
1
x mx my
x m
+ − +
=
− +
cĩ cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu. 
 b) 
2 2 2 1
1
x x my
x
− + −
=
−
 cĩ cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa điểm 
cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị bằng 5.(*) 
 c) ( )
2 21 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
 cĩ cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị 
nhỏ nhất. 
 d) 
2 3
4
x x my
x
− + +
=
−
cĩ giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m sao cho 4M m− = . 
 e) 
22 3 2
2
x x my
x
+ + −
=
+
 cĩ giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m sao cho sao cho 12M m− < . 
 g) 
2 2 5
1
x mxy
x
− + +
=
−
 cĩ hai điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đối với đường thẳng 2x−y = 0 
 h) 
2 2 3x x my
x m
+ + +
=
−
 cĩ hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. 
 i) ( )
2 22 1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
 cĩ hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đg.thẳng (d): 2x−3y−1=0. 
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: 
 a) ( )
2 1 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
 cĩ hai điểm cực trị thuộc gĩc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ. 
 b) ( )2 2 22 4 1 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
cĩ một điểm cực trị nằm trong gĩc phần tư thứ hai và điểm 
cực trị kia thuộc gĩc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ. 
 c) ( )2 2 21 4mx m x m my
x m
− + + +
=
−
 cĩ một điểm cực trị nằm trong gĩc phần tư thứ nhất và điểm cực trị 
kia thuộc gĩc phần tư thứ ba của mặt phẳng tọa độ. 
 d) ( )
2 22 1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
 cĩ hai điểm cực trị nằm hai phía của trục hồnh ( hoặc trục tung). 
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12 −CB&Nâng cao 
 III−Bài tốn 3: Luận về đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị. 
Cách xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: 
 1). ðối với hàm số bậc ba 3 2( ) ax .y f x bx cx d= = + + + (1) 
+ Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được: ( )( ) ( ). Ax .f x P x f x B′= + + 
+ Chứng minh đường thẳng cĩ phương trình Axy B= + là đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số (1) 
Giả sử M1(x1; y1), M2(x2; y2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1), thế thì: f’(xi) = 0, i=1,2. 
 Do đĩ, các đẳng thức y1 = Ax1 + B và y2 = Ax2 + B đúng ⇒ M1(x1; y1), M2(x2; y2) thuộc đường thẳng 
Axy B= + . 
 2) ðối với hàm phân thức dạng: 
2( ) ax( ) ( . ' 0)( ) ' '
P x bx cy f x a aQ x a x b
+ +
= = = ≠
+
.(2) 
+ Thực hiện đạo hàm riêng tử thức (P’(x)=2ax+b) và mẫu thức (Q’(x)=a’). 
+ Chứng minh đường thẳng cĩ phương trình ( )( )
2ax+b
'
P x
y Q x a
′
= =
′
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 
 Thật vậy, giả sử xi là điểm cực trị, ta cĩ: 
 f’(xi) = 0 ⇔ ( )( )
( )
( )2
( ). ( ) ( ). ( )( ). ( ) ( ). ( ) 0 ( ) 0, 1,2( )
i i i i i ii i i i
ii i i
P x Q x P x Q x P x P xP x Q x P x Q x
Q x iQ x Q x Q x
′ ′ ′=′ ′ 
−
= ⇒ ⇒ =
′≠ =
 Do đĩ các điểm cực tri của hàm số (2) thuộc đường thẳng ( )( )
2ax+b
'
P x
y Q x a
′
= =
′
 hay 2ax − a’y +b = 0. 
Chú ý: Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ta cần xác định điều kiện để hàm số cĩ hai 
cực trị trước đã. 
 Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị các hàm số sau: 
 a). 3 22 1y x x x= − − + b) 3 23 6 8y x x x= − − + c) 3 22 3y x x= − + 
 d) 
2 2
4
x xy
x
− −
=
−
 e) 
2 1
2
x xy
x
− −
=
−
 g) 
22 1
3
x xy
x
− +
=
+
Bài 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng qua các điểm 
cực trị của đồ thị hàm số. 
 a) ( )3 2 2 33 3 1y x mx m x m= − + − − b) ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 3 2 1y x k x k k x k k= − − + − + − − 
 c) 
2 6x mxy
x m
+ −
=
−
 d) 
2 2
1
x kx ky
x k
+ − +
=
− +
Bài 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số: 
 a) ( ) ( )3 22 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − − cĩ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường 
thẳng y = − 4x + 1. 
 b) ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2y x k x k k x= + − + − cĩ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị thuộc đường thẳng 
4y x= − . 
 c) 3 2 7 3y x mx x= + + + cĩ đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuơng gĩc với đường thẳng 
3 7y x= − . 
 d) 3 2 23y x x k x k= − + + cĩ các điểm cực đại và cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua các điểm 
cực trị đĩ.