Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán – Tích phân

A- Các phương pháp tính tích phân :
I- PP đổi biến số :
1>. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa , ta có thể tìm cách giải theo một trong hai hướng sau :
	 Hướng 1: Đặt x=sint với tkhi đó dx=cost.dt ; =a.cost
	Hướng 2 : Đặt t = 
Ví dụ 1: ( Đổi biến theo sin t ) Tính I = 
Giải : Đặt x=sint với tkhi đó dx=cost.dt ; =2.cost
Đổi cận : .
Khi đó I = = ==
Bài tập : Tính 1) ( Đặt x=2sint) ; 2) 
2>. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f(x) = với n=1;2;3;thì ta có thể 
 đặt x=tgt với t
Ví dụ 2 : ( Đổi biến theo tg t ) Tính I =
Giải : Đặt x = tgt với tthì dx=(1+tg2t)dt ; 1+3x2 = 1+tg2t
Dổi cận : ta có :
I ==== =
3>. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạngta có thể giải theo hướng đặt t=
Ví dụ3: Tính I = .
Giải : Đặt t =, exdx=2tdt
Đổi cận : .
I = = I = 
Tính I1 = . HD : Đặt t = tgu, u
4>. Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng f(x) = x hoặc f(x) = / x thì ta có thể dùng phép đổi biến t = 
Bài tập : Tính I = . HD : Đặt t = 
5>. Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng f(x)= thì ta có thể dùng phép đổi biến mx+n = hay t = 
Bài tập : Tính 1) I = . HD : Đặt t = 	; 2) ;3) 
6>.Để tính tích phân dạng ta đổi biến bằng cách đặt t=
	Bài tập : Tính I= 
	7>. Để tính tích phân dạng trong đó P(x) là một đa thức , ta đổi biến bằng cách đặt t=
	Bài tập : Tính I= 
II-PP Tích phân từng phần :
	1> Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng P(x). f(x) trong đó P(x) là một đa thức và f(x) là một hàm số lượng giác thì cách giải chung là : 
Đặt : 
Ví dụ 4: Tính I = 
Giải : I = =. Đặt . 
I= =.
Bài tập : Tính : 1) ; 
	2>. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng P(x). f(ex) trong đó P(x) là một đa thức thì cách giải chung là : 
Đặt : 
Ví dụ 5 : Tính I = .
Giải : . Khi đó : I = (2x-1)ex - = (2x-1)ex - 2ex = -e+3
Bài tập : Tính 
	3>. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng P(x). ln(f(x)) hoặc ln(f(x)) / P(x) trong đó P(x) làmột hàm đa thức hoặc là một hàm số lượng giác thì cách giải chung là : 
Đặt : 
Ví dụ 6: Tính I = 
Giải : Đặt : . Khi đó I = = -l n2+I1
I1 = .	Vậy I =-ln2+ln=
B-Bài tập luyện thi : 
1)I = ( ĐH Đà Nẵng 2000 )
I = = 
2) I= (ĐH Thủy Lợi 2002)
Đặt x=suy ra dx=-dt và 1+tgx= 	. Đổi cận : 
ta có : I = 
3) I = (ĐH XD 2001). HD: I== +=2
Đặt t = x2 suy ra dt = 2xdx . Đổi cận : 
I = =(-)=ln=
4)I = ( ĐH-A-2003)
Cách 1 : Đặt t = ta được x2=t2-4 ; xdx=tdt
Đổi cận : .Ta được : I = 
Cách 2 : Đặt x = suy ra dx=-dt .
 Ta có : I = =-.
Cách 3 : Đặt x = 2tgt suy ra dx = 2(1+tg2t)dt với 0<t< ; = . 
Đổi cận:. Khi đó:I = = 
( trong đó tg )
5) I = (ĐH-D-2003)
Ta có f(x) = x2-x=x(x-1)và f(x) < 0 0<x<1. Khi đó : I= +=1
6) I= (ĐH-A-2005)( áp dụng pp I.6>.) 
Sin2x+sinx=sinx(2cosx+1) . Đặt t = ta được dt = ; 
cosx= ; Đổi cận: . Ta có I = 
7)I = (ĐH –A-2004)( áp dụng pp I.7>.)Đặt t = 1+ ta được =t-10 suy ra x=(t-1)2 suy ra dx=(2t-2)dt ; Đổi biến : .
Ta được : I =
8)I=(HVKTMM 2000)HD:I=;đặt; I=tg1+ln(cos1)-0,5 
9) I = (ĐHKT-94) HD : ; I=1/18
10) I= (ĐHNT HN 2000)
 HD : .Khi đó I= 
11) I = (ĐHSP TPHCM-A-2000) HD: Phân tích 
12)I= ( CĐSP HN-A-2000) ; 	13)I= (ĐHNL TPHCM-1995)
14) I=( HD:Đặt t=tgx ta được I= ;: đặt t=1+2tgu)
15)I=.HD:Đặt x=tgt ta được I = ;đặt t=-4 ta được I= 
16)I = (ĐHGT TPHCM-2000) HD : 
17) I=(ĐH Y HN-99) HD : 
18)I=(HVQY-99) HD: 
19)I=(ĐHNTHN-94)HD: 
20)I=(ĐHMĐC-2000) HD:
21)I= (ĐHTMHN-2000) HD: Cách 1 : 4sinx=2(sinx+cosx)-2(cosx-sinx)
Cách 2: xét J = .Khi đó I+J=4 và J-I=0 nên I=2
22) I =(ĐHTCKT-HN-95) HD: Nếu thì I= ;
 Nếu thì đặt t=. Khi đó dt=và tính được I =
23)I= . HD : 
24) I=(HVNHTPHCM-A-2000) 
HD: và Tính T= : Đặt t = .
25)I=(ĐHBK HN-95) 
HD:Cách 1:Đặt t=và t=tgu,,.
Cách 2:Đặt t = 
26)I=(ĐHSP II HN –A-2000) HD: Đặt t = 
27)I=(ĐHSPQN-99) HD: đặt 
28)I=(ĐHKT HN-99) 
HD: Đặt t=sin2xdt=2cosxsinxdx=-. Tính I1=. Đặt 
29)I=(ĐHBKHN-99)
HD: = (4sin2x+2sin4x-sin8x)+C
30)I = với g(x)= sinxsin2xcos5x .( ĐHBKHN-99) . HD:I=+
Tính I1 = : đặt x=-t , ta được I1= =
+==(4sin2x+2sin4x-sin8x) = 0
31)I = . (HVQY-97) ; 32)I= (ĐHQGHN-A-98) ; 33) I = (ĐHQG TPHCM-A-98)
34)I=(HVKTQS-98)HD:Đặt t= ta được I = và 
35)I = (ĐHBKHN-94) HD: I =( +). Tính I1=: Đặt.
--------------------------------------------------------------QQQ----------------------------------------------------------
Chúc các bạn thành công trên con đường học vấn .