Chuyên đề: Tích phân hàm lượng giác

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 1 
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1: Tính tích phân dạng  cos .sin I f x x dx


  đặt cos sint x dt dx    
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau  
2
2
0
sin cos 1 cosI x x x dx

  
Giải: 
Cách 1: Ta có: 
     
2 2 2
2 2 2 3
0 0 0
sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos .sinI x x x dx x x x x dx x x x xdx
  
          
Đặt cos sint x dt xdx    
Đổi cận 
0 1
0
2
x t
tx 
 
 
 
Khi đó 
   
0 1 2 3 4
2 3 2 3
1 0
12 172 2
02 3 4 12
t t tI t t t dt t t t dt
 
           
 
  
Cách 2: 
       
2 2 2
2 2 2 3
0 0 0
2 3 4
sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos . cos
cos 2cos cos 17
2
2 3 4 120
I x x x dx x x x x dx x x x d x
x x x
  

        
 
     
 
  
Cách 3: 
Đặt 
sin
1 cos
cos 1
xdx dt
t x
x t
 
   
 
 bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) 
Cách 4: 
Đặt 
       
3
2 2 1 cossin 1 cos 1 cos 1 co
sincos
s
3
du
xx x
xdxu x
d vd xv xdx
  
 
 

     

Khi đó 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 2 
       
 
2 2
3 3 3
0 0
4
1 2 11 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos2
3 3 30
2 1 171 cos 2
3 12
1 c
12
os .
3
0
x x x dx x d xI
x
x
 

      
   
   
Bài 2: Tính tích phân sau 
2
3
sin
dxI
x


  
Giải: 
Cách 1: 
Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được 
2 2 2
2 2
3 3 3
sin sin
sin sin 1 cos
dx xdx xdxI
x x x
  
  
  
   
Đặt cos sint x dt xdx    
Đổi cận 
0
2
1
23
tx
tx


   
 
  
Khi đó 
 
1 1 1 1
0 2 2 2 2
2 2
1 0 0 0 0
2
1 1 1 1 1
2 1 1 2 1 2 11 1
1
1 1ln 1 ln 1 ln 32
2 20
dt dt dt dtI dt
t t t tt t
t t
               
     
    
Cách 2: 
Đặt 2 2
1 2tan tan 1
2 2 2 1
x x dtt dt dx dx
t
         
 2
2
1 1 2 1.
2sin 1
1
tdtdx dt
tx tt
t
  


Đổi cận 
3
3
3
1
2
x
t
x t


   
 
  
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 3 
Khi đó  
12
3
3 3
1
1 1 3 1ln ln ln 3.3sin 3 2
3
I dx dt t
x t


       
Cách 3: 
2 2 2 2
2
3 3 3 3
tan
12 2ln tan ln 3
sin 2 22sin cos 2 tan cos tan
2 2 2 2 2 3
xd
dx dx dx xI dx
x x x x xx
   
   


 
 
          
Cách 4: 
   
  
 
2 2 2 2
2 2
3 3 3 3
1 cos 1 cossin sin 1 cos
sin 2 1 cos 1 cossin 1 cos
x xdx xdx xdxI d x
x x xx x
   
   
  
    
     
     
2 2 2
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1cos 1 cos 1 cos
2 1 cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos
d x d x d x
x x x x
  
  
               
1 1 12 2ln 1 cos ln 1 cos ln 3
2 2 2
3 3
x x
 
 
      
Cách 5: 
Đặt 
2
sin c
c
os
o
n
t
si
u x du xdx
dx vd
x
xv
 
 
  
. Bạn đọc tự giải nhé 
Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x xI dx
x




Giải: 
Cách 1: 
Ta có:  sin 2 sin sin 2cos 1x x x x   . 
Đặt 1 3cost x  ta được 3sin sin 2
32 1 3cos 1 3cos
x x dtdt dx dx
x x

   
 
; 
2 21 2 1cos 2cos 1
3 3
t tx x     
Đổi cận 
0 2
1
2
x t
tx 
 
 
 
Khi đó 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 4 
2 2
3
1
24 2 4 2 34
19 9 27 9 27
tI dt t t
          
  
 
Cách 2: Đặt 1 3cost x   bạn đọc tự giải 
Cách 3: 
Đặt  
2cos 1 2sin
1 3cos 2sin 1 3cos
31 3cos 3 1 3cos
u x du x
d xx v xdv dx
x x
   
 
 
      
Khi đó 
   
 
2 2
0 0
3
2 4 2 42cos 1 1 3cos sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos2
3 3 3 90
2 8 341 3cos 2
3 27 270
I x x x xdx xd x
x
 

         
   
 
Cách 4: 
Phân tích 
 
 
 
   
2 11 3cossin 2 sin 1 2cos 1 1 3 3. 1 3cos . 1 3cos
3 31 3cos 1 3cos 1 3cos
2 11 3cos 1 3cos 1 3cos
9 9 1 3cos
xx x xdx d x d x
x x x
xd x d x
x
 
 
      
  
     

 Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé 
Chú ý: 
Nếu ta đặt cost x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta 
lựa chọn cách nào là phù hợp nhất 
Tổng quát:  


dx
xdc
xbxa
cos
sin2sin. hoặc .sin 2
s
a x bcosx dx
c d inx



 ta đặt cosc d x t  . 
Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau 
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x xI dx
x


 
Giải: 
Cách 1: 
Ta có 
22 2
0 0
sin 2 .cos sin .cos2
1 cos 1 cos
x x x xI dx dx
x x
 
 
   
Đặt 
sin
1 cos
cos 1
dt xdx
t x
x t
 
   
 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 5 
Đổi cận 
1
2
20
tx
tx
  
 
 
Khi đó 
 21 2 2
2 1
1 212 2 2 2 2 ln 2 ln 2 1
12
t tI dt t dt t t
t t
              
   
  
Cách 2: 
 
 
 
222 2 2
0 0 0
22
0
1 cos 1sin 2 .cos sin .cos2 2 cos
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos2 1 cos cos sin ln 1 cos 2ln 2 12
1 cos 2 0
xx x x xI dx dx d x
x x x
xx d x x x
x
  
 
     
  
               
  

Chú ý:    cos 1 cosd x d x  và ta có thể đặt cost x 
Tổng quát: sin 2 .cos
.cos
a x xI dx
b c x



 ta đặt .cost b c x  hoặc cost x 
Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau 
32
0
4sin
1 cos
xI dx
x


 
Giải: 
Ta có 
 
  
 3 33
2
4sin 1 cos 4sin 1 cos4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 2
1 cos 1 cos 1 cos sin
x x x xx x x x x x
x x x x
 
     
  
Cách 1: 
Khi đó    
32 2
0 0
4sin 4sin 2sin 2 cos 2 4cos 22
1 cos 0
xI I dx x x dx x x
x
  
      
  
Cách 2: 
   
3 2 2
22 2
0 0
0 0
4sin 4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos 4cos 2cos 22 2
1 cos 0 0
xI dx x x x dx xdx xd x x x
x
 
   
        
    
Cách 3: 
 232 2
0 0
4 1 cos sin4sin
1 cos 1 cos
x xxI dx dx
x x
 

 
   
Đặt 
sin
1 cos
cos 1
dt xdx
t x
x t
 
   
 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 6 
Đổi cận 
1
2
20
tx
tx
  
 
 
Khi đó 
 
   
2
1 2
2
2 1
4 1 1 2
4 8 2 8 2
1
t
I dt t dt t t
t
             
Chú ý: Có thể đặt cost x 
Cách 4: 
Đặt 2
2
2
2tan sin 
2 1
1cos
1
dtdx
x tt x
t
tx
t




  

 
 
Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 
34sin 4sin (1 cos )(1 cos ) 4sin 2sin 2
1 cos 1 cos
x x x x x x
x x
 
  
 
  lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám 
phá nhé! 
Tương tự 
32
0
4cos 2
1 sin
xI dx
x

 
 
Bài 5: Tính tích phân sau 
12
0
tan 4I xdx

  
Giải: 
Cách 1: 
Ta có: 
12 12
0 0
sin 4tan 4
cos 4
xxdx dx
x
 
  
Đặt cos 4 4sin 4 sin 4
4
dtt x dt xdx xdx       
Đổi cận 
0 1
1
12 2
x t
x t
  
 
 
   
Khi đó 
1
112 12 2
10 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1tan 4 ln ln 2.1cos 4 4 4 4 4
2
x dt dtI xdx dx t
x t t
 
          
Cách 2: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 7 
 12 12 12
0 0 0
cos 4sin 4 1 1 1tan 4 ln cos 4 ln 212
cos 4 4 cos 4 4 40
d xxI xdx dx x
x x
   
         
Bài 6: Tính tích phân sau 
32
4
cos
1 sin
xI dx
x



 
Giải: 
 
 
23 22 2 2 2
4 4 4 4
1 sincos cos cos cos 1 sin cos
1 sin 1 sin 1 sin
xx xI dx xdx xdx x xdx
x x x
   
   

    
      
Đến đây ta đặt 1 sint x  
Hoặc 
 
2 2 2
4 4 4
1 1 3 2 22cos cos sin cos sin 2 sin sin 2
2 4 4
4
I x x x dx xdx xdx x x
  
  


        
   
Bài tập tự giải có hướng dẫn: 
Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: 
2
2 2
0
3sin 4cos 3 ln 3
63sin 4cos
x xI dx
x x


  
 
HD: 
Tách làm hai tích phân 
2 2
2 2 2 2
0 0
sin cos3 4
3sin 4cos 3sin 4cos
x xI dx dx
x x x x
 
 
   kết hợp với công thức 
2 2sin cos 1x x  ta sẽ được kết quả 
Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là 
2
2 2
0
3cos 4sin
3sin 4cos
x xJ dx
x x



 
Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau 
3
2
0
3sin .tan ln 2
8
I x xdx

   
HD: 
Ta có  2 2 sinsin . tan 1 cos
cos
xx x x
x
  và đặt cost x 
Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau 
2
0
sin 3 1 3ln 2
1 cos
xI dx
x

   
 
HD: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 8 
Ta có 
 232 2 2
0 0 0
sin 4cos 1sin 3 3sin 4sin
1 cos 1 cos 1 cos
x xx x xI dx dx dx
x x x
  

  
     và đặt 1 cost x  
Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau 
32
2
0
sin 1
21 cos
xI dx
x


  
 
HD: 
Ta có 
3 2
2 2
sin 1 cos sin
1 cos 1 cos
x x x
x x


 
 và đặt cost x 
Bài 5: Tính tích phân sau 
2
2 20
sin ln 2
sin 2cos .cos
2
xI dx
xx x

 

 
HD: 
Ta có  2 2 2sin 2cos .cos sin cos 1 cos 1 cos
2
xx x x x x x      và đặt 1 cost x  
Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: 
2
0
cos 2 1
1 cos 2
xI dx
x


  
 
Bài 7: Tính tích phân: 
36
0
sin 3 sin 3 1 1 ln 2
1 cos3 6 3
x xI dx
x


   
 
HD: 
Phân tích  3 2sin 3 sin 3 sin 3 1 sin 3 sin 3 .cos3x x x x x x    và đặt 1 cos3t x  
Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: 
2
cos
0
sin 2 2xI e xdx

  
HD: 
Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 2sin cosx x x và đặt cost x 
Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:  
14
sin 2
0
tan cos ln 2 1xI x e x dx e

     
HD: 
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản 
Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau:  
2
sin
0
cos cos 1
4
xI e x xdx e


     
HD: 
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản 
Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: 
2
2
0
sin 2
4 cos
xI dx
x


 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 9 
Bài 12: Tính tích phân sau: 
3
0
2sin 2 sin
6cos 2
x xI dx
x




HD: 
Đặt 6cos 2t x  hoặc 6cos 2t x  
Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: 
 234 4
4 4
0 0
1 cos sin4sin 4
1 cos 1 cos
x xxI dx dx
x x
 

 
   
HD: Đặt cost x 
Bài 14: Tính tích phân sau: 
2
2
0
cos
41 cos
xI dx
x


 

 
HD: 
Phân tích 2 21 cos 2 sinx x   từ đó đặt sint x 
Bài 15: Tính tích phân sau 
2
2
0
sin 4 32 6 ln
41 cos
xI dx
x

  
 ... 
Tính: 
2sin cos 1
dxJ
x x

  
Đặt: tan
2
xt  
2
2 2 2
2 12 ;sin ;cos
1 1 1
dt t tdx x x
t t t

   
  
 2 2
tan( 1) 22 2 2 ln ln
22 1 1 tan 2
2
x
dt d t tJ C Cxtt t t

      
   
  
Khi đó 
tan
22 ln 2sin cos 1 ln
tan 2
2
x
I x x x Cx     

Bài 2: Tìm nguyên hàm 
2
0
sin 7cos 6
4sin 3cos 5
x xI dx
x x

 

  
Giải: 
Đặt: 
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin







xx
C
xx
xxBA
xx
xx 
Dùng đồng nhất thức ta được: 1 , 1 , 1A B C   
Khi đó 
 
2 2
0 0
2
10
sin 7cos 6 4cos 3sin 11
4sin 3cos 5 4sin 3cos 5 4sin 3cos 5
9 1ln 4sin 3cos 5 ln
2 8 6
x x x xI dx dx
x x x x x x
x x x I
 
 
             
       
 
Tương tự: 
Bài 1: Tìm nguyên hàm: 
5sin 2 ln 2sin cos 1 ln tan
2sin cos 1 2 4
x xI dx x x x C
x x
            
Dạng 9: Tìm nguyên hàm 
2 2
1 1 1
2 2
sin sin cos cos
sin cos
a x b x x c x
I dx
a x b x
 

 
HD: 
Biến đổi: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 65 
    2 2 2 21 1 1 2 2sin cos sin cos sin cos sin cos sin cosa x b x x c x A x B x a x b x c x x       
Đưa về dạng quen thuộc để giải. 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: Tìm nguyên hàm 
24sin 1
3 sin cos
xI dx
x x


 
Giải: 
Ta phân tích: 2 2 24sin 1 5sin cosx x x   
2 2
2 2
( sin cos )( 3 sin cos ) (sin cos )
( 3 )sin ( 3)sin cos ( )cos
3 5 3
3 0 1
1 2
A x B x x x C x x
A C x A B x x B C x
A C A
A B B
B C C
     
     
    
 
      
   
24sin 23 sin cos 3 cos sin
3 sin cos 3 sin cos
2 1
23 sin cos
6 6sin cos
2 2
x x x I x x J
x x x x
dxJ dx
x x x x 
       
 
 
        
   
      
   
  
2
6tan
2
1 6ln tan
2 2
6 6 6tan cos tan
2 2 2
x
d
xdx C
x x x


  
    
  
              
                  
     
          
     
  
63 cos sin ln tan
2
x
I x x C
  
     
  
 
Bài 2: Tìm nguyên hàm 
2cos
sin 3 cos
xI dx
x x


Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 66 
Ta phân tích:    2 2 2cos sin cos (sin cos ) sin cosx A x B x x x C x x     
 2 2 ( 3 ) cos ( 3 )sin cos sinB C x B A x x A C x     
1
43 1
33 0
4
0 1
4
A
B C
B A B
A C
C
  
   
 
     
    

2cos 1 3 1sin cos
4 4sin 3 cos 4(sin 3 cos )
1 3 1cos sin
4 4 4 sin 3 cos
x x x
x x x x
dxI x x
x x
    
 
   

Tính: 
sin 3 cos
dxJ
x x


1 1 1 3 1ln tan cos sin ln tan
2 2 2 6 4 4 8 2 6sin
3
dx x xJ C I x x C
x
 

                     
 
 
Tương tự: 
Bài 1: Tìm nguyên hàm: 
24sin 1 1 ln tan
2 2 123 sin cos
x xI dx C
x x
      
  
Dạng 10: Tìm nguyên hàm: 2sin sin cos cos
dxI
a x b x x c x

  
Phương pháp: 
Biến đổi: 
2 2cos ( tan tan )
dxI
x a x b x c

  
Đặt: tant x 2
1
cos
dt dx
x
  
2
dtI
at bt c
 
  
Dạng quen thuộc giải được 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: Tìm nguyên hàm 2 23sin 2sin cos cos
dxI
x x x x

  
Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 67 
Ta có:  2 2 2 23sin 2sin cos cos cos 3 tan 2 tan 1x x x x x x x     
2 2cos (3tan 2 tan 1)
dxI
x x x
 
  
Đặt: 2 2
1 1 1tan
1cos 3 2 1 3( 1)( )
3
t x dt dx I dt dt
x t t t t
     
   
  
Ta phân tích: 
1 ( 1)
31 1 1 1 1 1
1 1 14 4 ( 1) 43( 1) ( 1)
3 3 3
t t
tt t t t t
      
    
              
     
1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln ln1 14 1 4 4 4 3 4
3 3
dt dt tI t t C C
t t t

         
  
  
Khi đó 
1 3 tan 3ln
4 3tan 1
xI C
x

 

Tương tự : 
Bài 1: Tìm nguyên hàm: 2 2
1 sin cosln
4 3sin cos3sin 2sin cos cos
dx x xI C
x xx x x x

  
  
Dạng 11: Tìm nguyên hàm: 
 2 2 2 2
sin .cos
sin cos
x xI dx
a x b x



 
Cách giải: 
Để ý rằng: 
2 2 2 2
2 2
1sin cos ( sin cos )
2( )
x xdx d a x b x
a b
 

TH 1: 1  
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ( sin cos ) 1 ln sin cos
2( ) sin cos 2( )
d a x b xI a x b x C
a b a x b x a b

    
   
TH 2: 1  
 
 
2 2 2 2 12 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
1 ( sin cos ) 1 sin cos
2( ) 2( )(1 )sin cos
d a x b xI a x b x C
a b a ba x b x

 

    
  
 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: Tìm nguyên hàm 2 2
sin cos
2sin cos
x xI dx
x x

 
Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 68 
Ta phân tích:  2 21sin cos 2sin cos2x xdx d x x  
 2 2 2 2
2 2
2sin cos1 1 ln 2sin cos
2 2sin cos 2
d x x
I x x C
x x

    
 
Bài 2: Tìm nguyên hàm 2 2
sin cos
2sin 3cos
x xI dx
x x

 
Giải: 
Ta phân tích:  2 21sin cos 2sin 3cos2x xdx d x x   
 
 
2 2
22 2 2 2
2sin 3cos1 1 1
2 2sin 3cos 4 2sin 3cos
d x x
I C
x x x x

    
 
 
Dạng 12: Tìm nguyên hàm: 
sin cos
dxI
a x b x

 
Phương pháp: 
TH 1: 2 2c a b  
Ta biến đổi: 
  2
2 2
1 1 1 1
sin cos 21 cos cos
2
1 1 12 tan
2 2cos cos
2 2
xa x b x cc x
xd
dx xI C
x xc c c



 
 
        
 
 
               
   
   
 
TH 2: 2 2c a b   
Ta biến đổi : 
  2
2 2
1 1 1 1
sin cos 21 cos sin
2
1 1 12
2 2sin sin
2 2
xa x b x cc x
xd
dx xI cotg C
x xc c c



 
 
        
 
 
               
   
   
 
TH 3: 2 2 2c a b  
Ta thực hiện phép đặt : tan
2
xt  
2
2 2 2
2 12 ;sin ;cos
1 1 1
dt t tdx x x
t t t

   
  
Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 69 
Bài tập giải mẫu : 
Bài 1: Tìm nguyên hàm 2
2sin cos 1
dxI
x x

  
Giải: 
Ta thấy: 2 2 2c a b  (vì: 2 2 21 2 1  ) 
Đặt: tan
2
xt  
2
2 2 2
2 12 ;sin ;cos
1 1 1
dt t tdx x x
t t t

   
  
 22
( 1) 22 2 ln ln
2 21 1 2
2
xtgdt d t tI C Cxt t tt tg

      
   
  
Bài 2: Tìm nguyên hàm 
sin cos 2
dxI
x x

 
Giải: 
Ta thấy: 2 2c a b  (vì : 2 22 1 1  ) 
Ta biến đổi : 
2
2 2
1 1 1
sin cos 2 2 2 sin2 1 cos
2 84
1 1 12 8 cot
2 82 2 2 2sin sin
2 8 2 8
xx x x
xd
dx xI C
x x



 
 
                
                     
   
 
Tương tự : 
Tìm nguyên hàm: 
sin cos 2
dxI
x x

 
HD: Tương tự VD2 
Bài tập tổng hợp : 
Bài 1: (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân sau 
3
6
sin sin
6
dxI
x x

 

  
 
 
Giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 70 
 
3 3 3
2
6 6 6
2
3 sin sin cos3 1sin sin sin sin cos6 2 2
dx dx dxI
x x xx x x x x
  
  
   
            
   
  
 
   
 
  
 
3 3 3
2 2
6 6 6
3
6
2 tan tan2 2 3
cos 3 tan tan tan 3 tan 1 3 tan 3 tan 1
1 12 3 tan
3 tan 3 tan 1
d x d xdx
x x x x x x x
d x
x x
  
  


   
  
 
   
 
  

       
 
3 3
6 6
3 tan 1tan 3 32 2 2 ln tan 2 ln 3 tan 1
tan 3 tan 1
6 6
1 32 ln 3 ln 2 ln 4 ln 2 2 ln
23
d xd x
x x
x x
 
 
 
 

    

 
     
 
 
Bài 2: Tính tích phân sau 
 
4
2
12
1
sin cos
I dx
x x





 
Giải: 
 
4 4
2
2
12 12
1 1 1 1 34cot
2 2 4 2sin cos sin
4 12
I dx dx x
x x x
 
 


 
 
             
 
  
Bài 3: Tính tích phân sau sin 3
sin
xI dx
x
  
Giải: 
   
3
2sin 3 3sin 4sin 13 4sin 3 2 1 cos 2 3 2 2. sin 2
sin sin 2
sin 2
x x xI dx dx x dx x x dx x x x c
x x
x x C

          
  
    
Bài 4: Tính nguyên hàm 
 2
sin 2cos
3 sin cos
x xI dx
x x



 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 71 
   
   
sin 2cos 3 sin cos 3 cos sin
2 3
2 3 2 34 sin 2.cos 3 sin cos 3 cos sin
4 42 3
4
2 3 1 2 3 1
4 43 sin cos 3 sin cos
x x A x x B x x
A
x x x x x x
B
I dx C
x x x x
    
 
  
      
  
 
   
 
Bài 5: Tính tích phân sau 
2
0
sin .
sin cos
x dxI
x x


 
Giải: 
2 2
0 0
sin . 1 (sin cos ) (sin cos ).
sin cos 2 sin cos
x dx x x x x dxI
x x x x
 
  
 
   
 
 
2
0
sin cos1 1 ln sin cos 2
4 2 sin cos 4 2 40
d x x
x x
x x
 
  
     
 
Bài 6: (ĐHXD – 1997) Cho hàm số   4cos 3sinf x x x  và   cos 2sing x x x  
a. Tìm ,A B để      'g x Af x Bf x  
b. Tính 
 
 
4
0
g x
I dx
f x

  
Đs: a. 
2
5
1
5
A
B
 

  

 b. 
 
 
4
0
1 7ln
10 5 4 2
g x
I dx
f x


   
Bài 7: (CĐSPHN – 2000) Tính tích phân 
4
0
sin 2cos 1 ln
3sin cos 2 4
x xI dx
x x

       
Lời kết: 
Do thời gian có hạn và tuổi đời còn trẻ nên đôi khi không thể tránh được những thiếu sót và sai lầm 
nên rất mong các bạn học sinh, quý thầy cô góp ý kiến và bổ sung thêm, xin chân thành cảm ơn. Mỗi 
bài toán có thể còn những cách khác hay hơn nhưng có thể tôi không biết hoặc không viết hết ra được, 
mong bạn đọc trao đổi 
Góp ý theo địa chỉ Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long 
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 72 
MỤC LỤC 
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1: ....................................Trang 1 → trang 9 
Dạng 2: Trang 9 → trang 12 
Dạng 3: Trang 12 → trang 17 
Dạng 4: Trang 17 → trang 22 
Dạng 5: Trang 22 → trang 25 
Dạng 6: Trang 25 → trang 27 
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM 
LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC 
Trang 28 → trang 35 
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC 
. ...Trang 36 → trang 38 
PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 
.. ..Trang 38 → trang 39 
MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1: .......................................Trang 39 → trang 47 
Dạng 2: ...Trang 47 → trang 49 
Dạng 3: ...Trang 49 
Dạng 4: ...Trang 49 → trang 53 
MỘT SÔ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 
.Trang 53 → trang 71 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com