Tài liệu ôn tập thi TN THPT môn Toán

Phần 1: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM.
I.	TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1). Sự đơn điệu của hàm số:
* Định nghĩa:
Hàm số đồng biến trên (a;b) 
Hàm số nghịch biến trên (a;b) 
* Định lí:
Hàm số đồng biến trên (a;b);(a;b).
Hàm số nghịch biến trên (a;b);(a;b).
Chú ý: dấu “=” xảy ra ở một số điểm hữu hạn.
* Chú ý: 
Khi yêu cầu “Tìm khoảng đơn điệu” tức là “Tìm khoảng đơn điệu trên tập xác định”.
Để xeùt tính đơn điệu của một hàm số: ta thực hiện như sau:
+ Tìm D.
+ Tính .
+ Tìm nghiệm của ( nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
+ Căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận các khoảng đơn điệu.
Hàm số nhất biến đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định, khi xét điều kiện đủ không xảy ra dấu “=”.
2). Cực trị của hàm số:
a) Dấu hiệu 1 : Khi x qua x0 mà đổi dấu ( theo hướng từ trái sang phải) từ :
: x0 là điểm cực đại.
: x0 là điểm cực tiểu.
 Quy tắc 1: Lập bảng biến thiên, căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận cực trị của hàm số.
	b) Dấu hiệu 2 : 
x0 là điểm cực tiểu. 
x0 là điểm cực đại. 
 Quy tắc 2: 
+ Tính .
+ Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
+ Tính .
+ Tính và dùng dấu hiệu 2 để kết luận là điểm cực đại hay cực tiểu.
Chú ý: x0 là điểm cực trị của hàm số 
3). GTLN – GTNN của hàm số trên D :
* Định nghĩa:
Số M được gọi là GTLN của hàm số trên D 
Số m được gọi là GTNN của hàm số trên D 
4). Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) Tiệm cận đứng: là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Phương pháp: Tìm các điểm là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Tiệm cận ngang: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Phương pháp: Tính và . 
Chú ý:
+ Hàm đa thức: đồ thị không có tiệm cận.
+ Xét hàm phân thức: :
Nếu bậc bậc : đồ thị có tiệm cận ngang.
Nếu bậc bậc : đồ thị không có tiệm cận ngang.
5). Khảo sát hàm số:
Tìm tập xác định của hàm số .
Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được.
Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên.
Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị.
Vẽ đồ thị.
 Chú ý:
Hàm số bậc ba: đồ thị có tâm đối xứng là nghiệm của phương trình ( đặc biệt nếu hàm số có cực đại và cực tiểu thì tâm đối xứng là trung điểm của điểm cực đại, cực tiểu).
Hàm số trùng phương: đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm nhất biến: đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
II.	CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của một hàm số: lập bảng biến thiên.
Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ: dùng định lý ở phần kiến thức để tìm m .
Chú ý: Nếu thì:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của một hàm số: ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại : 
Phương pháp: 
+ Tìm D.
+ Tính .
+ Lập luận: Hàm số đạt cực trị cực trị tại ® giải tìm m.
+ Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
+ Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
Dạng 3: Định giá trị của tham số m để hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu: 
Phương pháp: 
+ Tìm D.
+ Tính .
+ Tính .
+ Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó ® giải tìm m (nếu không là tam thức bậc hai ta phải lập bảng biến thiên để chỉ ra đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó).
+ Kết luận giá trị m vừa tìm được.
Dạng 4: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu: 
Phương pháp: 
+ Tìm D.
+ Tính .
+ Tính .
+ Chứng minh : và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó hàm số luôn luôn có CĐ, CT.
GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN D :
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên khoảng : ta thực hiện như sau:
Lập bảng biến thiên trên (a;b).
 Nếu trên bảng biến thiên có 1 cực trị duy nhất là :
Cực đại
Cực tiểu
Dạng 2: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên đoạn : ta thực hiện như sau:
Cách 1:
Tính .
Tìm các điểm xi sao cho (hoặc không xác định).
Tính :(với )so sánh các giá trị bên kết luận.
Cách 2:
 Lập bảng biến thiên trên [a;b] kết luận.
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường : và : 
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : .
+ Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường.
b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: ta thực hiện như sau:
+ Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình của hàm số đã có đồ thị (C), một vế là phần còn lại)
+ Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).
+ Dựa vào đồ thị, ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d) ® Kết luận.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số : Phương trình có dạng: 
a) Tại .
b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng tìm x0 tìm y0.
Chú ý: 
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) 	b) 	
c) 	d) 
Kết quả:
Câu
Đồng biến trên các khoảng:
Nghịch biến trên các khoảng:
a)
b) 
c)
d) 
Bài 2: Chứng minh hàm số y = nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
Bài 3: Định m để hàm số : 
a) đồng biến trên tập xác định.
Kết quả: 
b) đồng biến trên tập xác định.
Kết quả: không có m.
c) nghịch biến trên tập xác định. 	Kết quả: 
d) nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh. 	Kết quả: 
Bài 4: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại .
Kết quả : 
Bài 5: Định m để hàm số :
a. Không có cực trị.	Kết quả : m ³1
b. Có cực đại và cực tiểu.	Kết quả : m <1
Bài 6: Định m để hàm số 
a. Có cực đại và cực tiểu.	Kết quả : m>3 
b. Đạt cực trị tại .	Kết quả : m = 4
c. Đạt cực tiểu tại 	Kết quả : m = 7
Bài 7: Biện luận theo tham số m số cực trị của hàm số .
Đáp số: có một cực đại; có hai cực đại và một cực tiểu.
Bài 8: Chứng minh hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m. 
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số : 
a) treân đoạn Kết quả: ; 
b) . Kết quả: ; 
c) trên đoạn [0;p] 
Kết quả: ;
d) trên đoạn 
e) trên đoạn Kết quả: ;
Bài 10: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 
e) 	f) 
Kết quả:
Câu
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Tiệm cận đứng
Không có
Tiệm cậng ngang
Không có
Bài 11: Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại . 	Kết quả: .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . 	Kết quả: .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: . 	Kết quả: .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
Bài 12: Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
	2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình . 	Kết quả: .
 3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị . 	Kết quả: .
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng .
Kết quả: .
Bài 13: Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Định m để (C) cắt đường thẳng (d): tại ba điểm phân biệt. 
Kết quả: .
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng .
Kết quả: .
4. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: .
Bài 14 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2, có đồ thị (Cm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2. Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của (C) tại A.	 Kết quả: .
3. Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 
Kết quả: .
Bài 15: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Dựa vào đồ thị (C), tìm k để cắt (C) tại bốn điểm phân biệt.
Kết quả: .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 
a) Tại điểm có hoành độ bằng . 	Kết quả: .
b) Tại điểm có tung độ bằng 3. 	Kết quả: .
c) Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2009. 	Kết quả: .
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) vaø trục hoành.
Bài 16 : Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2. Chứng tỏ rằng đường thẳng d : y = 2x + k luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên .
Kết quả: ; 
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Kết quả: .
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . 	Kết quả: .
7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ. 
8. Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
Bài 17 : Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số với .
2. Gọi là đường thẳng qua và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và .
3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng . Tính diện tích (H).
4. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh trục Ox. 
CHƯƠNG II: HÀM LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC: 
1) Luỹ thừa: 
* Các công thức cần nhớ:
	* Tính chất của lũy thừa: 
; 	;	;	
;	
	* Quy tắc so sánh:
	+ Với a > 1 thì 
	+ Với 0 < a < 1 thì 
2) Căn bậc n
	;	
3) Lôgarit:
* Định nghĩa: Cho : 
* Tính chất:	
	* Quy tắc so sánh:
	+ Với a > 0 thì: 
	+ Với 0 < a <1 thì: 
	+ 
	* Quy tắc tính: 
 	* Công thức đổi cơ số:
	hay 	
	 	hay 	;	
	* Chú ý: 	Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx
	Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx
4) Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường gặp
Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)
5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit:
HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 
( tùy ý)
()
Chú ý: 
()
Điều kiện của x để hs có nghĩa:
+ : có nghĩa với mọi x.
+ : có nghĩa với .
+ : có nghĩa với 
có nghĩa 
có nghĩa với
Đạo hàm
Sự biến thiên
Hàm số đb trên 
Hàm số nb trên 
Hàm số đb trên D
Hàm số nb trên D
Hàm số đb trên D
Hàm số nb trên D
Đồ thị
Luôn qua điểm .
Nằm hoàn toàn phía trên trục hoành và luôn qua hai điểm và .
Nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung và luôn qua hai điểm và .
6) Phương trình mũ, phương trình logarit:
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Dạng cơ bản.
( ; b tùy ý)
( ; b tùy ý)
Cách giải dạng cơ bản.
+ : Pt vô nghiệm.
+ : Pt có 1 n0: 
Chú ý: Xét b.
Pt luôn có n0: 
Cách giải các dạng pt đơn giản.
+ Đưa về cùng cơ số: áp dụng: ().
+ Đặt ẩn phụ: .
+ Logarit hóa hai vế ( chú ý cả hai vế phải dương).
+ Đưa về cùng cơ số: áp dụng: ( và hoặc ).
+ Đặt ẩn phụ: ..
+ Mũ hóa hai vế.
Chú ý: Điều kiện xác định của phương trình.
7) Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit: phương pháp tương tự như phương pháp giải phương trình mũ và l ... ) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: 
T đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến = (A; B;C)
Þ :
c) Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát 
+đi qua gốc O 
+ // Ox hoặc chứa Ox
+ // (Oxy) hoặc trùng (Oxy) 
T (Oxy): z = 0, (Oyz): x = 0, (Oxz): y = 0
_ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua các điểm: , và có phương trình dạng: 
d) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: 
Cho Ax + By + Cz + D = 0 và 
 (a’):A’x + B’y + C’z + D = 0
() cắt ()Û 
(a) // (a’) 
(a) º (a’) 
e) Điều kiện vuông góc giữa 2 mp:
f) Khoảng cách từ điểm M(x,y,z) đến mặt phẳng 
	4. Phương trình đường thẳng:
 	a) Phương trình tham số của đường thẳng 
 	Trong (Oxyz) cho (d) đi qua M(x,y,z) và có vectơ chỉ phương: = (a;b;c) 
	Khi đó: (tR)
	b) Phương trình chính tắc của đường thẳng
	5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 
Trong Oxyz cho (d) qua M và có VTCP và (d’) qua M’ và có VTCP .
d trùng d’ 
 d // d’ 
d và d’ cắt nhau 
 d và d’ chéo nhau 
Vận dụng xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian :
1) :chéo 
2) = 0 
 	 a) : cắt 
 	 b) 
 	*: song song*: trùng
II. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:
Vấn đề 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
T Phương pháp chung: 
+ Tìm 1 điểm mà mặt phẳng đi qua và 1 véctơ pháp tuyến = (A; B;C) của mặt phẳng 
+ Phương trình mặt phẳng có dạng: 
Loại 1: Mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C: 
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 2: Mặt phẳng (a) đi qua 2 điểm A, B và (a) song song với đường thẳng ∆
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 3: Mặt phẳng (a) đi qua 2 điểm A, B và (a) vuông góc mặt phẳng (b)
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 4: Mặt phẳng (a) đi qua 1 điểm A và (a) vuông góc với đường thẳng ∆
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 5: Mặt phẳng (a) đi qua 1 điểm A và (a) song song với mặt phẳng (b)
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 6: Mặt phẳng (a) đi qua 1 điểm A và (a) song song với hai đường thẳng ∆, d
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 7: Mặt phẳng (a) chứa hai đường thẳng ∆ và d song song nhau
	Gọi A Î ∆ và B Î d
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 8: Mặt phẳng (a) chứa hai đường thẳng ∆ và d cắt nhau 
	Gọi A Î ∆
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Loại 9: Mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ∆ và (a) song song với đường thẳng d (∆ và d chéo nhau)
	Gọi A Î ∆
	(a) đi qua A và có véctơ pháp tuyến là 
Vấn đề 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
T Phương pháp chung: 
+ Tìm 1 điểm mà đường thẳng đi qua và 1 véctơ chỉ phương = (a;b;c) của đường thẳng
+ Phương trình đường thẳng có dạng: hoặc (a, b, c khác 0)
Loại 1: Đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A, B
	∆ đi qua điểm A và có véctơ chỉ phương là 
Loại 2: Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ vuông góc với mặt phẳng (a)
	∆ đi qua điểm và có véctơ chỉ phương là 
Loại 3: Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ song song với đường thẳng d
	∆ đi qua điểm và có véctơ chỉ phương là 
Vấn đề 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
T Phương pháp chung: 
+ Tìm tâm và bán kính r của mặt cầu
+ Phương trình mặt cầu có dạng: 
_ Phương trình (2)
Loại 1: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D
	Thế tọa độ 4 điểm vào (2) để tìm các hệ số
Loại 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB
 	Mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và bán kính r = ½ AB
Loại 3: Mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng ∆:
	Mặt cầu (S) có tâm I và IA=IB=r
Loại 4: Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (a)
	Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r =d(I,(a))
Vấn đề 4: CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
Loại 1: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng 
Loại 2: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Loại 3: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng
Loại 4: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng
Loại 5: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 
Loại 6: Tìm giao điểm của 2 đường thẳng
Loại 7: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
Loại 8: Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến
Loại 9: viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng 
+ Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (b) chứa (d) và vuông góc (a)
+ Bước 2: (d): từ đó suy ra phương trình tham số của (d)
Loại 10: viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
+ Bước 1: d có VTCP 
+ Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (d) và (d1 )
+ Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (b) chứa (d) và (d2 )
+ Bước 4: (d): từ đó suy ra phương trình tham số của (d)
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Vấn đề 1: Trong không gian (Oxyz) viết phương trình mặt phẳng (a) biết:
1) (a) đi qua 3 điểm , , 
2) (a) đi qua 2 điểm ,và (a) song song với đường thẳng 
3) (a) đi qua 2 điểm , và (a) vuông góc mặt phẳng 
4) (a) đi qua 1 điểm và (a) vuông góc với đường thẳng 
5) (a) đi qua 1 điểm và (a) song song với mặt phẳng 
6) (a) đi qua điểm và (a) song song với hai đường thẳng và 
7) phẳng (a) chứa hai đường thẳng và d song song nhau
8) (a) chứa hai đường thẳng và cắt nhau 
9) (a) chứa đường thẳng và (a) song song với đường thẳng (∆ và d chéo nhau)
Vấn đề 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ biết
1) Đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm , 
2) Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ vuông góc với mặt phẳng 
3) Đường thẳng ∆ đi qua điểm và ∆ song song với đường thẳng 
Vấn đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết
1) Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm , , , 
2) Mặt cầu (S) có đường kính AB biết , 
3) Mặt cầu (S) đi qua 2 điểm , và có tâm nằm trên đường thẳng 
4) Mặt cầu (S) có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng 
Vấn đề 4: Một số bài tập tổng hợp:
1) Cho (d): 
a) Hãy tìm 1 vectơ chỉ phương của (d) ?
b) Xác định các điểm thuộc (d) ứng với t = 1, t = – 2 ?
c) Điểm nào sau đây thuộc (d): A(1;1;2); B(3;0;-4)
d) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(1;0;1) và song song với (d)
2) Trong (Oxyz) cho 
a) Hãy tìm các hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu đó
3) Trong không gian Oxyz cho tứ diên ABCD với :A(-3;0;2);B(2;0;0);C(4;-6;4); D(1;-2;0)
a) Viết phương trình chính tắc đường thẳng qua A song song với cạnh BC?
b) Viết phương trình tham số đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh C?
c) Tìm toạ độ hình chiếu H của C lên (ABD)
Giải
a) (BC) qua A(-3;0;2), có véctơ chỉ phương là : = (2;-6;4)
 (∆): 
b) (ABD) có VTPT là := (-4;2;-10)
+ đường cao CH đi qua C và có vectơ chỉ phương = (-2; 1;-5)
Þ (CH): 
c) toạ độ H là nghiệm của hệ phương trình: 
 Vậy H (2;-5;-1)
4) Cho 2 đường thẳng (d): ; (d): 
Viết phương trình chính tắc của (d3) đi qua M (0;1;1) và vuông góc với (d1) và (d2) 
Giải
+ (d1) và (d2) lần lượt có vectơ chỉ phương là = (-3;1;1), = (1;2;3)
VTCP của (d3) là:= = (1;10;-7)
(d3): 
5) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(0; – 1;0), B(1;0;1), C(– 2;1;2), D(1;4;– 3).
a/ Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện.
b/ Tính đường cao của tứ diện xuất phát từ C.
c/ Tính các góc của các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. 
d/ Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – 1 = 0.
a) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Giải
a) Kí hiệu d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Gọi H là giao điểm của d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
Do = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ pháp tuyến của (P) nên là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra, d có phương trình : 
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: 
Giải hệ trên, ta được : x = , y = , z = . Vậy H.
b) Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A. tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có:
.
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có R bằng khoảng cách từ A đến (P). Suy ra :
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1 ; 2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình : .
a) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Giải
a) Kí hiệu (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là giao điểm của (P) và d, ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên d.
Do = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ chỉ phương của d nên là một vectơ pháp tuyến của (P). Suy ra, (P) có phương trình : x + 2y + z – 6 = 0
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: 
Giải hệ trên, ta được : x = , y = , z = . Vậy H.
b) Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta có:
.
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z - 13 = 0
Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta có R bằng khoảng cách từ A đến d. Suy ra :
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z - 13 = 0
Câu 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : và mặt phẳng (P) : 
 a) Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
 b) Viết phương trình đường thẳng () đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) .
Giải
a) A(5;6;9) 
b) + Vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) : 
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : 
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng () : 
+ Phương trình của đường thẳng () : 
Câu 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : và mặt phẳng (P) : 
 a)Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) .
 b) Viết phương trình đường thẳng () nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là .
Giải
a) Chọn A(2;3;3),B(6;5;2)(d) mà A,B nằm trên (P) nên (d) nằm trên (P) .
b) Gọi vectơ chỉ phương của () qua A và vuông góc với (d) thì nên ta chọn . Phương trình của đường thẳng () 
 () là đường thẳng qua M và song song với (d ). Lấy M trên () thì M(2+3t;39t;3+6t) . 
Theo đề : 
 + t = M(1;6;5) 
 + t = M(3;0;1) 
Câu 9:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng 
 (P) : và (Q) : .
 a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
 b) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T) : . 
Giải
a) d(M;(Q)) = 
b) (1,5đ) Vì 
Lấy hai điểm A(2;3;0), B(0;8;3) thuộc (d) .
 + Mặt phẳng (T) có VTPT là 
 + Mặt phẳng (R) có VTPT là 
 + ( R) : 
Câu 10:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : và mặt phẳng (P) : .
 a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
 b. Viết phương trình đường thẳng () là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp(P).
Giải
Giao điểm I(1;0;4) .
Lấy điểm A(3; 1;3) (d). Viết pt đường thẳng (m) qua A và vuông góc với (P) 
 thì (m) : . Suy ra : (m) .
, qua I(1;0;4) và có vtcp là