Tài liệu ôn tập học kỳ 2 và thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI 
TRƯỜNG THPT XUÂN THỌ 
========================= 
7‚,/,Ỳ?8–17Ỳ?3+Ỳ?&.Ỳ?
9‚7+,7ỲÀ71*+,Ỳ?37+37
0–172ƒ1





*L£RYL¬Q1*8<Ỳ?1%ƒ78Ỳ?1
NĂM HỌC : 2011 – 2012 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 2 
PHẦN GIẢI TÍCH 
Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. 
Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên khoảng ( ; )a b và 0 ( ; )x a b∈ . 
A- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị : 
Nếu ( )f x có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại 0 ( ; )x a b∈ thì 0'( ) 0f x = . 
B- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị : 
1. ĐL 1 : 
a) 0 0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
xf x x x b
> ∀ ∈
⇒
< ∀ ∈
 là điểm CĐ của ( )f x b) 0 0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
xf x x x b
< ∀ ∈
⇒
> ∀ ∈
 là điểm CT 
của ( )f x 
2. ĐL 2 : 
a) 0 0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
xf x
=
⇒
>
 là điểm cực tiểu của ( )f x b) 0 0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
xf x
=
⇒
<
 là điểm cực đại 
của ( )f x 
Ví dụ : Tìm cực trị của các hàm số sau : 
a) 4 22 3y x x= + − b) 1y x
x
= + c) 3 2(1 )y x x= − d) sin 2 y x x= − 
Giải : a) TXĐ : D = R; 3 2' 4 4 4 ( 1), ' 0 0y x x x x y x= + = + = ⇔ = (Lập bảng biến thiên) 
Từ bảng biến thiên suy ra 0x = là điểm cực tiểu của hàm số 
Bài tập : 
1- Tìm cực trị của các hàm số sau : 
a) 3 22 3 36 10y x x x= + − − b) 3( 1) (5 )y x x= + − c) 2
1
8
xy
x
+
=
+
 d) 
2 5
1
x xy
x
+ −
=
+
 e) 
cos siny x x= − 
2- CMR hàm số | |y x= không có đạo hàm tại 0x = nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. 
3- CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số 3 2 2 1y x mx x= − − + luôn luôn có một điểm cực đại 
và một điểm cực tiểu. 
4- Xác định m để hàm số 3 2 2 5
3
y x mx m x = − + − + 
 
 có cực trị tại 1x = . Khi đó hàm số đạt cực 
tiểu hay cực đại ? Tính cực trị tương ứng. 
5- Xác định m để hàm số 3 22 1y x x mx= − + + đạt cực tiểu tại 1x = 
Luyện tập : 
1- Tìm cực trị của các hàm số sau : 
 a) 4 22 3y x x= + − b) 93
2
y x
x
= − +
−
 c) 3y x x= − e) [ ]2sin cos 2 , 0;y x x x pi= + ∈ 
2- Cho hàm số 
2
1
x x my
x
− +
=
+
. Xác định m sao cho : 
a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau. 
3- Tìm các số thực m và n sao cho hàm số ( )
1
nf x x m
x
= + +
+
 đạt cực đại tại điểm 
2, ( 2) 2 x f= − − = − . 
4- Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 23 ( 1) 2y x mx m x= − + − + đạt cực tiểu tại điểm 
0 2x = 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 3 
5- Cho hàm số 
2 2
 (1)x mx my
x m
− + −
=
−
. Xác định m để hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu. 
Trong trường hợp này, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
6- Cho hàm số 
3
2 ( 2) 1
3
xy mx m x= + + + + 
a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của 
trục tung. 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 4 
Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 
1- Định nghĩa : Cho hàm số ( )y f x= xác định trên tập D 
• Số max ( )
D
M f x= nếu ( ) ,f x M x D≤ ∀ ∈ và tồn tại 0x D∈ sao cho 0( )f x M= 
• Số min ( )
D
m f x= nếu ( ) ,f x m x D≥ ∀ ∈ và tồn tại 0x D∈ sao cho 0( )f x M= 
2- Cách tìm GTLN, GTNN trên đoạn [ ; ]a b : ( )f x liên tục trên [ ; ]a b 
• Tìm [ ; ]ix a b∈ mà tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 
• Tính ( ), ( ); ( ) if a f b f x 
• Tìm : GTLN = { }max ( ), ( ), ( )if a f x f b ; GTNN = { }min ( ), ( ), ( )if a f x f b 
3- Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng ( ; )a b : ( )f x liên tục trên ( ; )a b 
x a 0x 
b 
x a 0x 
b 
'y 
− 
+ 'y + 
− 
y 
GTNN 
y GTLN 
Trong đó 0'( ) 0f x = hoặc '( )f x không xác định tại 0x 
Ví dụ : Tính GTLN và GTNN của hàm số : 
a) 3 2( ) 2 3 12 10f x x x x= − − + trên đoạn [-3; 3] b) 4 2( ) 3 2f x x x= − + trên đoạn [2; 5] 
c) 2( ) 25f x x= − trên đoạn [-4; 4] d) ( ) 2sin sin 2f x x x= + trên đoạn 30;
2
pi 
  
Bài tập : 
1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau : 
a) 3 2( ) 3 9 7f x x x x= + − − trên đoạn [-4; 3] b) 2( )
1
xf x
x
−
=
−
 trên đoạn [-3; -2] 
c) 2( ) 4
xf x
x
=
+
 trên khoảng ( ; )−∞ +∞ d) 1( )
sin
f x
x
= trên khoảng (0; )pi 
2- Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. 
3- Tìm hai số có hiệu bằng 13 sao cho tích của chúng là bé nhất. 
4- Tính GTLN của các hàm số : a) 2
4
1
y
x
=
+
 b) 3 44 3y x x= − 
5- Tính GTNN của các hàm số : a) | | y x= b) 4 ( 0) y x x
x
= + > 
Luyện tập : 
1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau : 
a) 3( ) 5 4f x x x= + − trên đoạn [- 3; 1] b) 1( ) 2
1
f x x
x
= + +
−
 trên khoảng (1; )+∞ 
c) 2( ) 1f x x x= − d) 3( ) sin cos 2 sin 2f x x x x= − + + . 
e) ( ) 2xf x = trên đoạn [ ]1;2− f) ln( ) xf x
x
= trên đoạn [1 ; e2 ] 
2- Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10, hãy xác định tam giác có diện tích 
lớn nhất. 
Chủ đề 3 : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
I- Sơ đồ khảo sát hàm số = ( )y f x : 
1- Tìm TXĐ 2- Sự biến thiên : 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 5 
a- Chiều biến thiên 
• Tính 'y 
• Tìm các nghiệm của phương trình ' 0y = và các 
điểm tại đó 'y không xác định 
• Xét dấu 'y và suy ra chiều biến thiên của hàm 
số. 
b- Tìm cực trị 
c- Tìm các giới hạn vô cực : các giới hạn tại +∞, 
−∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm 
các tiệm cận đứng và ngang (nếu có) 
d- Lập bảng biến thiên 
3- Đồ thị : Vẽ đồ thị hàm số, xác định giao điểm 
của thồ thị với trục hoành và trục tung (nếu có) 
II- Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức : 
1- Hàm số 3 2 ( 0) = + + + ≠y ax bx cx d a : 
Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 22 3 2y x x= − − 
Giải : 
1) TXĐ : D = R 
2) Sự biến thiên : 
• Chiều biến thiên : 
2
' 6 6 6 ( 1)y x x x x= − = − 
0
' 0
1
x
y
x
=
= ⇔ 
=
; 
0
' 0
1
x
y
x
<
> ⇔  >
, 
' 0 0 1y x< ⇔ < < 
Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) 
và (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 1) 
• Cực trị : 
Hàm số đạt cực đại tại 0x = và yCĐ = - 2. Hàm số 
đạt cực tiểu tại 1x = và yCT = - 3 
• Các giới hạn tại vô cực : 
lim ; lim 
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞ 
• Bảng biến thiên : 
x 
-∞ 0 1 +∞ 
y’ 
 + 0 − 0 + 
y 
 -2 +∞ 
-∞ -3 
3) Đồ thị : 
2- Hàm số 4 2 ( 0)= + + ≠ y ax bx c a : 
Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
4 22 2y x x= − + 
TXĐ : D = R 
3 2
' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = − 
0
' 0
1
x
y
x
=
= ⇔ 
= ±
3- Hàm số ( 0, 0)ax by c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
1
xy
x
+
=
−
TXĐ : D = R \ {1} 
2
4
' 0, 1( 1)y xx
−
= < ∀ ≠
−
'y không xác định 
khi 1x = 
Tiệm cận : 
1 1
3lim lim
1x x
xy
x− −→ →
+
= = −∞
−
1 1
3lim lim
1x x
xy
x+ +→ →
+
= = +∞
−
Do đó, đt 1x = là tiệm cận đứng 
3lim lim 1
1x x
xy
x→±∞ →∞
+
= =
−
Vậy đt 1y = là tiệm cận ngang 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 6 
III – Sự tương giao của các đồ thị : 
1- Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị : 
Giả sử : 1( )C là đồ thị của hàm số ( )y f x= và 2( )C là đồ thị của hàm số ( )y g x= . Số nghiệm của 
phương trình ( ) ( )f x g x= bằng số giao điểm của 1( )C và 2( )C , tọa độ giao điểm là nghiệm của PT 
( ) ( )f x g x= . 
2- Viết phương trình tiếp tuyến : 
Giả sử hàm số ( )y f x= có đồ thị là ( )C và 0 0( ; ( )) ( )M x f x C∈ ; ( )f x có đạo hàm tại 0x x= . 
Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M là : 0 0 0'( )( )y y f x x x− = − 
3- Sự tiếp xúc của hai đường cong : 
Hai đường cong ( )y f x= và ( )y g x= tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình : 
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=

=
 có nghiệm. Nghiệm của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm. 
Ví dụ : Cho hàm số : 
4
2 92
4 4
xy x= − − 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox. 
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số : 22y k x= − 
Giải : 
a) TXĐ : D = R; 3 2' 4 ( 4)y x x x x= − = − , ' 0 0, 2y x x= ⇔ = = ± 
b) 
4
2 4 2 2 2 392 0 8 9 0 ( 1)( 9) 0
34 4
xx
x x x x x
x
=
− − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ 
= −
(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3 
Ta có : 3' 4 '( 3) 15, '(3) 15y x x y y= − ⇒ − = − = 
P.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -3 và x = 3 lần lượt 
là : 
 15( 3)y x= − + và 15( 3)y x= − 
c) 
4
2 2 492 2 4 9
4 4
x
x k x x k− − = − ⇔ = + 
Từ đó ta có : 
9
:
4
k = − (C) và (P) có một điểm chung là 90;
4
 
− 
 
9
:
4
k > − (C) và (P) có hai giao điểm; 9 :
4
k < − (C) và (P) không cắt 
nhau 
Bài tập : 
1 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau : 
a) 3 2 9y x x x= + + b) 32 5y x= − + c) 4 21 3
2 2
y x x= + − d) 2 42 3y x x= − − + 
e) 3
1
xy
x
+
=
−
 f) 2
2 1
xy
x
− +
=
+
2- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : 3 3 1y x x= − + + 
 b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình 3 3 0x x m− + = theo tham số m. 
3- Cho hàm số 3 1
2
xy
x
+
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1x = − . 
4- Cho hàm số 3 2( 3) 1y x m x m= + + + − có đồ thị là ( )mC 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 7 
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là 1x = − 
b) Xác định m để ( )mC cắt trục hoành tại 2x = − 
5- Cho hàm số 2 1
2 1
xy
x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng 2y x= + . 
BÀI TẬP TỔNG HỢP : 
1- Cho hàm số 3 21( ) 2 3 1
3
f x x x x= − + − + 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
2- Cho hàm số 4 2 6y x x= − − + . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
6
y x= − . 
3- Cho hàm số 2 1
2
xy
x
+
=
−
. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5− . 
4- Cho hàm số y = 4 21 53
2 2
x x− + 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0). 
5- Cho hàm số 3 26 9 6y x x x= − + − 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (2; 4)− và có hệ số góc bằng k. Tìm các giá trị 
của k để d là tiếp tuyến của (C). 
6- Cho hàm số 4 22y x x= − 
a) Khảo sát sự biến thiên và ... n : tp xq dS S S= + Thể tích : 2V Bh r hpi= = 
Bài tập : 
1- Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. 
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. 
c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. 
2- Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 . A và B là hai điểm trên đường tròn đáy sao 
cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 030 . 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. 
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. 
c) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. 
3- Cho hình lăng trụ đứng .EFG MNK có đáy là tam giác EFG vuông tại E . Biết 2FG u= , cạnh 
bên 2EM u= . Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại 
tiếp của ,EFG MNK∆ ∆ . 
4- Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( ; )O r và ( '; ')O r . Khoảng cách giữa hai đáy là 
' 3OO r= . Một hình nón có đỉnh là 'O và có đáy là hình tròn ( ; )O r . 
a) Gọi 1S là d.tích xung quanh của hình trụ và 2S là d.tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ 
số 1
2
S
S
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỷ số thể tích hai phần đó. 
3- Mặt cầu : 
a- Giao của mặt cầu và mặt phẳng : 
Cho mặt cầu ( ; )S O r và mặt phẳng ( )P . ( , ( ))h OH d O P= = 
• h r> : ( )P không cắt ( ; )S O r 
• h r= : ( )P tiếp xúc ( ; )S O r tại H 
• h r< : ( )P cắt ( ; )S O r theo đường tròn có bán kính 2 2'r r h= − 
b- Giao của mặt cầu và đường thẳng : 
Cho mặt cầu ( ; )S O r và đường thẳng ∆ . ( , )h OH d O= = ∆ 
• h r> : ∆ không cắt ( ; )S O r 
• h r= : ∆ tiếp xúc ( ; )S O r tại H 
• h r< : ∆ cắt ( ; )S O r tại hai điểm ,M N 
c- Diện tích mặt cầu : 24S rpi= - Thể tích khối cầu : 34
3
V rpi= 
Bài tập : 
1- Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính 
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. 
2- Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có ' , ,AA a AB b AD c= = = . 
a) Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua tám đỉnh của hình hộp đó. 
b) Tìm bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên. 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 20 
3- Cho tứ diện SABC có , ,SA SB SC đôi một vuông góc nhau và , , SA a SB b SC c= = = . Xác định 
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. 
4- Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán 
kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. 
5- Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và chiều cao bằng a. 
6- Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD⊥ , 2SC a= . CMR 
hình chóp .S ABCD nội tiếp được trong một mặt cầu và tính diện tích mặt cầu này. 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 21 
Chủ đề 3 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
I. TÍCH VÔ HƯỚNG 
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và các ứng dụng 
Định lí. Trong không gian Oxyz, cho : a a a a b b b b1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )= =

: a b a b a b a b1 1 2 2 3 3. = + +

2. Ứng dụng 
• a a a a2 2 21 2 3= + +

 • B A B A B AAB x x y y z z
2 2 2( ) ( ) ( )= − + − + − 
• 
ab a b ab
ab
a a a b b b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos( , )
.
+ +
=
+ + + +

 • a b a b a b a b1 1 2 2 3 3 0⊥ ⇔ + + =

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
Trong K.gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình: 
x a y b z c r2 2 2 2( ) ( ) ( )− + − + − = 
Phương trình : 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = với a b c d2 2 2 0+ + − > là phương trình mặt cầu có 
 tâm I(–a; –b; –c) và bán kính r a b c d2 2 2= + + − 
III- PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
1- Tích có hướng của hai vectơ : Cho hai vectơ a a a a1 2 3( ; ; )=

, b b b b1 2 3( ; ; )=

( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, ; ;n a b a b a b a b a b a b a b = = − − − 
  
 gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ 
a

 và b

. 
• a

 và b

 cùng phương 
 , 0a b  = 
  
. • , ,a b c
  
 đồng phẳng 
 , . 0a b c  = 
  
. 
2- Phương trình mặt phẳng : 
Phương trình 0+ + + =Ax By Cz D , trong đó 2 2 2 0+ + ≠A B C , đgl phương trình tổng quát của mặt phẳng. 
Nhận xét : 
Nếu mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với 0≠abc thì mặt phẳng (P) 
còn được viết dưới dạng : 1+ + =x y z
a b c
 (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn 
chắn. 
a. Điều kiện để hai mặt phẳng song song : 
Cho hai mp 1 1 1 1 1( ) : 0P A x B y C z D+ + + = , 2 2 2 2 2( ) : 0P A x B y C z D+ + + = . Ta có 1 1 1 1( ; ; )=n A B C

và 
2 2 2 2( ; ; )=n A B C

lần lượt là vectơ pháp truyến của 1( )P và 2( )P , ta có: 
 • 1 2( ) ( )P P 1 2
1 2
 =
⇔ 
≠
n kn
D kD
 
 • 1 2( ) ( )≡P P 1 2
1 2
 =
⇔ 
=
n kn
D kD
 
 • 1( )P cắt 
2( )P 1 2n kn⇔ ≠
 
b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc : 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) . 0 0P P n n n n A A B B C C⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
   
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 
Cho (P): 0Ax By Cz D+ + + = và điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z : ( ) 0 0 00 2 2 2, ( )
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
IV- PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 22 
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có VTCP 1 2 3( ; ; )a a a a=

 có 
dạng: 
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +

= +

= +
, trong đó t là tham số. 
Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì có thể viết PT của ∆ dưới dạng chính tắc: 
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= = 
Cho hai đường thẳng d và d′ lần lượt có VTCP là 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a a a a a′ ′ ′ ′= =
 
 và 
0 0 0( ; ; )M x y z d∈ , , , ,0 0 0'( ; ; ) 'M x y z d∈ . Đặt , 'n a a =  
  
, ta có các điều kiện sau: 
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song 
 d // d′ ⇔ 
0 ≠

′∉
n
M d
 
 d ≡ d′ ⇔ 
0 ≠

′∈
n
M d
 
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau 
d cắt d′ ⇔ 
0
. 0
n
n MM
 =

′ =
 
 ' . ' 0d d a a⊥ ⇔ =
 
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau : d chéo d’ n.MM' 0⇔ ≠
 
V. VTTĐ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : 
Cho (P): + + + = 0Ax By Cz D , có vtpt ( ; ; )n A B C=

 và 
= +

= +
 = +
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
, có 0 0 0( ; ; ) ,M x y z d∈ 
VTCP 1 2 3( ; ; )a a a a=

. 0//( )
( )
a n
 d P
M P
 =
• ⇔ 
∉
 
. 0( )
( )
a n
 d P
M P
 =
• ⊂ ⇔ 
∈
 
0d P a n• ⇔ ≠
 
 c¾t ( ) . d P n k a• ⊥ ⇔ =
 
 ( ) . 
BÀI TẬP : 
1- Trong Kg Oxyz cho bốn điểm (0;1;1), ( 1;0;2), ( 1;1;0)A B C− − và (2;1; 2)D − 
a) CM bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ 
từ A 
c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD 
2- Trong Kg Oxyz cho bốn điểm (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)A B C và ( 2;1; 2)D − − 
a) CMR ABCD là một tứ diện b) Tính góc giữa các đường thẳng là các cạnh đối của tứ diện 
đó. 
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A 
3- Lập phương trình mặt cầu: 
a) Có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3). b) Đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 
1). 
c) Đi qua ba điểm (0;8;0), (4;6;2), (0;12;4)A B C và có tâm nằm trên ( )mp Oyz 
d) Có tâm (1;2;3)I và tiếp xúc với ( )mp Oyz 
4- Cho bốn điểm (1;6;2), (4;0;6), (5;0;4), (5;1;3)A B C D . 
a) CMR bốn điểm đó không đồng phẳng. 
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mp(BCD). 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 23 
d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm. 
5- Cho hai điểm (1; 1; 2), (3;1;1)A B− − và mp ( ) : 2 3 5 0P x y z− + − = . 
a) Tìm toạ độ điểm 'A đối xứng với A qua mp(P) 
b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P). 
6- Cho mp ( ) : 2 3 4 0P x y z− − + = và mặt cầu 2 2 2( ) : 6 2 2 3 0S x y z x y z+ + + − − − = . Lập phương 
trình ( )mp α song song (P) và tiếp xúc (S). 
7- Cho điểm A(0,1,-1) và đường thẳng 
1 2
: 3
2
x t
d y t
z t
= −

=

= − +
a) Viết pt mp(α ) qua A và vuông góc với d 
b) Tìm toạ độ giao điểm M của (α ) với trục Ox. 
c) Viết pt tham số của giao tuyến d’ của (α ) với mp(Oxy). 
8- Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d : 
1
1 2
3
x t
y t
z t
= +

= − +

=
 trên ( ) : 2 5 0mp x y zα + + − = 
9- Tìm toạ độ M’ đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d : 
2
1 2
1
x t
y t
z
=

= − +

=
10- Cho 2 đường thẳng : d1: 
3
1 2
2 2
x t
y t
z t
= −

= +

= − +
 và d2 : 
2 4 1
3 1 2
x y z− − −
= =
− −
Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2. 
11- Cho 2 đường thẳng : d1: 1 2
x t
y t
z t
=

= − +

=
 và d2 : 1 2
3
=

= −

=
x t
y t
z t
a) Chứng minh : 1 2d d⊥ và d1 chéo d2. 
b) Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2. 
12- Cho M(2; -1; 1) và đường thẳng 1 1:
2 1 2
x y z− +∆ = =
−
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên ∆ 
b) Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua ∆. 
13- Cho mặt phẳng ( ) : 2 3 4 5 0P x y z− + − = và mặt cầu 2 2 2( ) : 3 4 5 6 0S x y z x y z+ + + + − + = 
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu ( )S 
b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) và xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của I 
lên (P). 
14- Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A( −1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 
a) Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. 
b) Gọi M là điểm sao cho 2MB MC= −
 
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M vuông góc với 
đ.thẳng BC. 
16- Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (α) : x + 2y – 2z + 6 = 0. 
a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng(α). 
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) đi qua điểm E và vuông góc với mặt phẳng 
(α). 
17- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm E(-1; 0; 1), F(3; 4; 5) 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 24 
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng EF. 
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực của đoạn EF. 
18- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2( ) : ( 2) ( 1) 16S x y z− + + + = và mặt phẳng 
( ) : 2 2 0P x y z m− + + = ( với m là tham số). 
a) Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). 
b) Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với giá trị m vừa tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp 
điểm của mp(P) và mặt cầu (S). 
19- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 0; 5), và hai mặt phẳng 
(P) : 2x - y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y –z + 5 = 0. 
1) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q). 
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (T) đi qua M và vuông góc với cả (P) và (Q).