Tài liệu ôn tập Giải tích 12

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Lưu ý 
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), nếu f’(x) 0 ( hoặc f’(x)0 ) với mọi x (a;b) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng (a;b).
2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và. Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng 0 .
Bài tập : Định m để hàm số :
1) f(x) = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến trong (2, +).
2) f(x) = x3 - mx2 – 2x + 1 đồng biến trong R
3) f(x) = nghịch biến trong (-, -1)
4) f(x) = x3 – 3 x2 + 6mx + 1 nghịch biến trong (0, )
5) f(x) = - x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x – 4 đồng biến trong (0, 3)
6) f(x) = đồng biến trong (2, +)
7) f(x) = 
	a) tăng trong từng khoảng xác định của nó.
	b) tăng trong (2, +)
CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Lưu ý 
1. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận nào đó của điểm x0 ( có thể trừ tại x0). Nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị.Cụ thể :
 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì x0 là điểm cực đại.
 + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì x0 là điểm cực tiểu.
2. Cho hàm số y = f(x) có đạo liên tục đến cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f’’(x0) 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số, hơn nữa:
 + Nếu f’’(x) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
 + Nếu f’’(x) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Bài 1 : Định m để các hàm số sau đây có cực trị :
1/ y = mx3 – (m – 1)x2 + 3(m – 2)x + 	
2/y = x3 + 2(m + 3)x2 – mx + 2
3/y = 	
4/y = (sin 
5/y = 	
6/y = 
Bài 2: Định m để hàm số đạt cực trị tại điểm x
1/y = + mx2 + 2(5m – 8)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2
2/y = x - 3mx2 + 3(m2 - 1)x – (m2 – 1) đạt cực đại tại x = 1 
3/y = đạt cực đại tại x = 2
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) cĩ MXĐ D và X là tập hợp con của D.
 a) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu :
 , ký hiệu: .
 b) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu :
 	, ký hiệu: .
2. Phương pháp giải tốn
 a. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình (tìm điểm tới hạn). Giả sử cĩ n nghiệm x1; x2; ; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngồi đoạn [a; b]).
Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).
Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm.
Chú ý:
 a) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1.
 b) Cĩ thể đổi biến số và viết . Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì , .
 b. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên 
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên hoặc ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình (tìm điểm tới hạn). Giả sử cĩ n nghiệm x1; x2; ; xn thuộc D (ta loại các nghiệm khơng thuộc D).
Bước 2. Tính , f(x1), f(x2), , f(xn), .
Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khồng (a;b)
B.BÀI TẬP ƠN TẬP
 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
 1/ trên đoạn .	
2/ trên đoạn .
3/.	
4/ trên đoạn [–3; 2].
5/ y = x - 3x2 + 6x – 2 trên 	
6/ y = x + 2 trên 
7/ y = trên 	
8/ y = trên 
9/ y = 	
10/ y = 4cos2x + 3sin2x + 7 
11/ y = 2 sin x + 4 cosx – 3 	
12/ y = 
13/ y = 	
14/ .
15/ .	
16/ .
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A/ HÀM SỐ BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d 
 I/ Khảo sát hàm số 	
 	1. Miền xác định: 
2. Sự biến thiên
 * (1)
 + (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có hai cực trị.
 + (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.
 * (ax3 + bx2 + cx + d ) = 
 * Lập BBT 
 	 	 * y” = 6ax + 2b = 0 x= (hoành độ của điểm uốn).
 * Lập BXD y’’ . Gọi điểm uốn là I(xI;yI)
3. Đồ thị :
 * ĐĐB : 
x
?
Cực Trị
(nếu có )
xI
Cực Trị
(nếu có )
?
y
yI
 * Vẽ đồ thị đi qua điểm uốn, 2 điểm cực trị ( nếu có ) , 2 điểm tìm thêm .
 * Chú ý : Đồ thị hàm số nhậb điểm uốn làm tâm đối xứng .
 II/ BBT và đồ thị tương ứng .
a > 0 và hàm số có 2 cực trị
a < 0 và hàm số có 2 cực trị
a > 0 và hàm số không có cực trị
a < 0 và hàm số không có cực trị
III/ BÀI TẬP 
BÀI 1 : Cho hàm số : y = – x3 + 3x + 1 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x + m = 0.
3) Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = –mx + 1.
4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng (d): y = –9x + 1.
5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng 
x = 0, x = 1.
BÀI 2 : Cho hàm số y = x3 – (m + 2)x + m , m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với giá trị m = 1.
2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C). 
3) Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k.
4) Tìm m để phương trình : x3 – 3x + 6 – 2-m có 3 nghiệm phân biệt. 
5) Dựa vào đồ thị (C) tìm GTLN và GTNN của hàm số 
y = 1 – cos2xsinx – 2sinx.
 BÀI 3 : Cho hàm số : y = –x3 + 3x – 2 có đồ thị (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Một đường thẳng d đi qua điểm uốn có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C).
3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – 3x + m + 1 = 0	
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox
BÀI 4 : Cho hàm số : y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 (Cm).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định.
	 3) Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
	4) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (C) có tâm đối xứng.
BÀI 5 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4, có đồ thị (Cm).
1) Xác định m để hàm số có cực trị.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(0 ; 7).
BÀI 6 : Cho hàm số y = 3x2 – x3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là điểm uốn của đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại I và A. Tìm tọa độ giao điểm B của hai tiếp tuyến này.
3) Tính diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi cung AI của đồ thị (C) và bởi các đoạn thẳng BI và BA.
4) Gọi (d) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc –m. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ? Gọi 3 điểm phân biệt lần lượt là O, A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
BÀI 7 : Cho hàm số : y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5 (Cm).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 0.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = x + 2.
3) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
4) Giá trị nào của m thì trên đồ thị (Cm) có 2 điểm đối xứng với nhau qua O.
BÀI 8 : Cho hàm số y = x3 – 3x – 1 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình: y = mx – 1.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng 
x = 0 ; x = 1.
4) Dùng đồ thị (C), biện luận theo số m số nghiệm của phương trình : 
x3 – 3x – 1 – m = 0
 BÀI 9 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 – 2	
	 a) Khảo sát hàm số trên, đồ thị gọi là (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0 ; –3).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các tiếp tuyến của (C) tìm được ở câu b.
BÀI 10 : Cho hàm số y = x3 – 3x có đồ thị (C). 
1) Khảo sát hàm số.
2) Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của (C).
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại M.
BÀI 11 : Cho hàm số : y = có đồ thị (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3 ; 0).
3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox. 
BÀI 12 : Cho hàm số: y = –x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1) 	(m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm k để phương trình : -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
3) Viết ph. trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
BÀI 13 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m 	(1) 	(m là tham số) 
1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2 
BÀI 14 : Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (1) với m là tham số.
1) Khảo sát hàm số khi m = 2.
2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1
BÀI 15 : Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
BÀI 16 : Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3 (C) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng các tiếp tuyến này vuông góc với đt 
 y = 
BÀI 17 : Cho hàm số : y = (x – m)(x2 – 2x – m – 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Tìm tất cả giá trị m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực đại xCĐ, hoành độ điểm cực tiểu xCT thỏa : | xCĐ . xCT| = 1.
BÀI 18 : Cho hàm số : y = – x3 + 3x + 2	(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và trục hoành x’Ox.
3) Tìm m để phương trình : x3 – 2x + 2m – 6 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
B. HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c 
 I/ Khảo sát hàm số 
1. Miền xác định . Hàm số chẵn .
2. Đạo hàm
 (1)
+ (1) có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số có ba cực trị.
+ (1) chỉ có 1 nghiệm x = 0 thì hàm số có một cực trị x = 0.
 (2)
+ (2) có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị có hai điểm uốn.
+ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0 thì đồ thị không có điểm uốn.
2. ... ) khác nhau hằng số C.
Ký hiệu: .
2. Tính chất
	a/ 
b/ 
c/ .
3. Định lý
Định lý 1
Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) thì có nguyên hàm trên khoảng (hoặc đoạn) đó.
Định lý 2
Nếu và thì .
4. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
Đặc biệt:
Nếu thì .
Các công thức thường gặp:
a/ 
b/ 
c/ 
d/
e/ .
5. BÀI TẬP :
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1/ 	2/ 	
3/ 	4/ 	5/	6/ 
7/ 	8/ 
9/ 	10/ 
11/ 	12/ 
13/ 	14/ 15/ 	16/ 
17/ 	18/ 	
19/ 	20/ 	
21/ 	22/ 
23/ 	24/ 	
25/ 	26/ 
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:
1/ , 	2/, 3/ , 	4/, 
5/ , 
TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với ta gọi hiệu là tích phân từ a đến b của f(x).
Ký hiệu: 
(công thức Newton - Leibniz).
+ Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân.
+ f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x).
+ a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b).
+ x là biến số tích phân.
Nhận xét:
.
2. Tính chất
Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng và ta có
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ Nếu t biến thiên trên đoạn [a; b] thì là một nguyên hàm của thỏa .
3. Định lý
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hàm số x = u(t) thỏa các điều kiện:
1/ x = u(t) có liên tục trên đoạn 
2/ Hàm số hợp f[u(t)] xác định trên đoạn 
3/ 
thì .
4. BÀI TẬP 
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng định nghĩa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
 Bài 1 : Tính các tích phân :
	1/ 	2/
	3/	4/
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/ 	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
Bài 3 : Tính các tích phân :
	1/	2/ 
3/	4/
5/	6/
7/	8/
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ( trong đó u(x) là hàm số biến x)
*Phương pháp: 
 + Đặt t = u(x) dt = u’(x)dx
 + Đổi cận : Khi x = at = u(a), khi x = b t= u(b)
 + Thay thế : 
 Khi đó = 
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập.
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/ 	2/ 	3/
4/	5/	6/
Bài 2 : Tính các tích phân :
	1/	2/	3/
	4/	5/	6/
Bài 3 :Tính các tích phân :
	1/	2/	3/	
4/	5/	6/	7/	8/	9/
10/	11/	12/
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ( trong đó u(x), v’(x) là những hàm số biến x)
*Phương pháp: 
 + Đặt ta có 
 Khi đó = -
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, ...
 - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/	2/	3/
4/	5/	6/	7/	8/	9/
	10/	11/	12/	
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* Aùp dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức ,mà không thể tính bằng các phương đã học .
*Phương pháp: 
 + Đặt biến mới 
 -Dạng chứa  : Đặt x = asint, t
 - Dạng chứa  : Đặt x = atgt, t
 + Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính các tích phân sau :
	1/ ( a > 0 ) 2/	3/
	4/	5/	6/
	7/	8/	9/
BÀI TẬP ÔN TẬP
BÀI 1 : Chứng minh : 
BÀI 2 : Tính các tích phân sau : 
	1) 	 2) 	
4) 	5) 	6)	
7) 	8) 	9)	
10) 	11) 	12) 
13) 	14) 	15) 	16) 	17) 	18) 	
19) 	20) 	21) 	 22) 	23)	24) 
25) 	26) 	27) 
28) 	29)	30) 	31)	32) 	33) 
34) 	35) 	36) 	37)	38)	39)
40)	 41) 	42)
43)	44) 	45)
46) 	47)	48)	49)	50) 	51) 
 	52) 	53)	54)
BÀI 3: Chứng minh rằng :
1)	2)
3)	4) 
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:
1) Giới hạn bởi (P): y = x2 và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2).
2) Giới hạn bởi (C ) : y = , đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x = ( > 2)
Tính để diện tích S = 16 đvdt
3) Giới hạn bởi : y2 = 4x và đường thẳng 2x – y – 4 = 0
4) Giới hạn bởi : y = x và y = sin2x + x (0 x ).
5) Giới hạn bởi y = x3 – 3x2 + 2x ; y = 0
6) Giới hạn bởi y = x2 – 2x ; y = x + 4
7) Giới hạn bởi : y 2 = 2x và 27 y2 = 8 ( x- 1)3 
8) Giới hạn bởi các đường : 
 y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1.
 9) Giới hạn bởi y = x2 – 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2.	
10) Giới hạn bởi y2 = x ; y = – x + 2.
 11)Giới hạn bởi và đường thẳng y = 0 
BÀI 2 : Cho Parapol (P). Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2 .
Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất. 
BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox
y = - x2 + 2x và y = 0
y = sin x, y = 0, x = 
y = cosx , y = 0, x = 0, x = 
y = và y = 5 – x 
y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2
Cho hàm số y = f(x) được xác định trên đoạn với : f(x) = 
a/ Vẽ đồ thị hàm số y = f (x)
b/ Tính diện tích của hình (H) chắn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox
c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình (H) khi quay quanh Ox
7) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y = x2 – 1 và y = 0.
BÀI 4 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cácđường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 ; y = x2 – 2x
1) Tính diện tích hình (H).
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)xoay xung quanh trục Ox.
BÀI 5 :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
 y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1.
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y = x2 – 1 và y = 0.
BÀI 6 : 
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2 + 2x +1 ; y = – và x = –
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : 
x = 0 ; x = ; y = 0 ; y = 
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
VẤN ĐỀ 1: HOÁN VỊ. CHỈNH HỢP. TỔ HỢP
I. QUY TẮC ĐIẾM
 1. Quy tắc cộng
a) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện được một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi đó việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết quả.
b) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện được k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, , cách thứ k cho mk kết quả. Khi đó việc thực hiện quá trình trên cho m1 + m2 +  + mk kết quả.
 2. Quy tắc nhân
a) Nếu một quá trình (bài toán) được thực hiện theo hai giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, đồng thời ứng với mỗi cách đó có n cách để thực hiện giai đoạn thứ hai. Khi đó có mn cách thực hiện quá trình trên.
b) Nếu một quá trình (bài toán) được thực hiện theo k giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, với mỗi cách đó có m2 cách để thực hiện giai đoạn thứ hai, , có mk cách thực hiện giai đoạn thứ k. Khi đó, toàn bộ quá trình có m1.m2mk cách thực hiện.
II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
 1. Hoán vị
 Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.
Quy ước: 0! = 1.
 2. Chỉnh hợp
 Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.
Nhận xét: 
.
 3. Tổ hợp
 Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
 Tính chất
a) .
b) .
VẤN ĐỀ 2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN
I. NHỊ THỨC NEWTON
 Định nghĩa
Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:
 .
 + Số hạng thứ k+1 là thường được gọi là số hạng tổng quát.
 + Các hệ số được tính theo công thức tổ hợp chập hoặc dựa vào tam giác Pascal sau đây:
Chẳng hạn:
.
Các khai triển cần lưu ý:
 (1).
Trong quá trình giải toán tuỳ theo nhận định mà ta có thể giữ nguyên hoặc lấy đạo hàm, nguyên hàm, nhân hai vế rối thay giá trị thích hợp.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
 DẠNG 1. Giải pt, bpt, hpt có chứa các công thức hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp.
Phương pháp giải toán
Bước 1: Đặt điều kiện cho bài toán.
+ có điều kiện là .
+ có điều kiện là và .
+ có điều kiện là và .
Bước 2: Aùp dụng công thức tính để đưa bài toán về phương trình, hệ phương trình quen thuộc.
Bước 3: Giải phương trình, hệ phương trình rồi dựa vào điều kiện để chọn nghiệm.
Bài tập ôn tập
BÀI 1: Giải các phương trình sau:
1/	2/ 	
3/ 	4/ 24 
5/ 	6/ Pn + 3 = 720Pn – 5	 
7/	8/ 16,7 . Pn = 2004 . Pn – 5. 
9/	10/ 
BÀI 2 : Giải các hệ phương trình sau:
1)	2)
3)	4)
BÀI 3: Giải các bất phương trình:
	1) A	2)
3)	4)
 DẠNG 2. Tìm một số hạng trong khai triển (a+b)n thỏa tích chất nào đó
Phương pháp giải toán
	Bước 1: Tìm n 
	Bước 2: Viết công thức tính số hạng tổng quát ( số hạng thứ k+1) . Rút gọn số hạng này .
	Bước 3: Dựa vàođiều kiện bài toán giải tìm k .
	Bước 4: Viết số hạng cần tìm theo công thức số hạng tổng quát .
BÀI TẬP 
1) Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển .
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển .
3) Tìm số hạng chứa x37 trong khai triển .
4) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển .
5) Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức bằng 36. Hãy tìm số hạng thứ 7.
6) Trong khai triển : . Tìm hệ số của số hạng chứa x4.
7) Hãy tìm số hạng đứng giữa của khai triển (a3 + ab)31.
8) Tìm số hạng thứ 5 của khai triển nhị thức biết rằng tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 3 và thứ 4 là .
9) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức Newton 
10) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của biết rằng : 
 DẠNG 3. Chứng minh, rút gọn đẳng thức
Phương pháp giải toán: 
Sử dụng các công thức: 
1) , 
2) 
3) (1).
4) (2).
BÀI TẬP 
1) Chứng minh đẳng thức:
 với .
	2) Tính tổng .
	3) Rút gọn tổng sau:
.
	4) Tính tổng sau:
.
	5) Rút gọn tổng sau:
.
	6) Tính tổng sau:
.
	7) Rút gọn tổng sau:
.
	8) Rút gọn tổng sau:
.
	9)Rút gọn tổng sau:
.
	10) Rút gọn tổng sau:
.