Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến

Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
1 
TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f(x) tại điểm 0x là hệ số góc 
của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm  0 0 0M x ;f(x ) . 
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  0 0 0M x ;f(x ) là: 
 0 0 0y – y f (x ).(x – x )  0 0y f(x ) 
 Điều kiện cần và đủ để hai đường  1 ): yC f(x và  2 ): yC g(x tiếp xúc nhau 
tại điểm có hoành độ 0x là hệ phương trình 
0 0
0 0
x x
x
f( ) g( )
f '( ) g '( )x
 


 có nghiệm 0x 
Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 
 Nếu  1(C : y px) q và  2 2y ax c C : bx   thì 
1(C ) và  2C iếp xúc nhau  phương trình    2ax bx c px q có nghiệm kép. 
Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp 
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm  0 0M x ; y , hoặc hoành độ 0x , hoặc tung độ 0y . 
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm  A AA x ; y cho trước. 
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. 
 Phương pháp: 
 Cho hàm số  y f x có đồ thị  C và  0 0M x ; y là điểm trên  C . Tiếp tuyến với đồ thị  C tại  0 0M x ; y có: 
- Hệ số góc:  0k f ' x 
- Phương trình:  0 0y y k x x   , hay   0 0 0y y f ' x x x   
 Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại  0 0M x ; y chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: 
- Hoành độ tiếp điểm: 0x 
- Tung độ tiếp điểm: 0y (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay 0x vào hàm số  0 0y f x ) 
- Hệ số góc  0k f ' x 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm  0 0x ;y 
Phương pháp . 
1. Hai đồ thị tiếp xúc 
1.1. Định nghĩa: Hai đồ thị của hai hàm số  y f x và   y g x gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu tại M chúng có 
cùng tiếp tuyến. 
2.1. Định lí 1: Hai đồ thị của hai hàm số  y f x và   y g x tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình: 
f(x) g(x)
f '(x) g '(x)
 


có nghiệm và nghiệm của hệ là tọa độ tiếp điểm. 
2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
2 
1.2. Định nghĩa: Cho hàm số  y f x . Một cát tuyến 0MM được giới hạn bởi đường thẳng 0M T khi M dần tới 0M 
thì 0M T gọi là tiếp tuyến của đồ thị. 0M gọi là tiếp điểm. 
Định lí 2: Đạo hàm của  f x tại 0x x là hệ số góc của tiếp tuyến tại   0 0M x ;f x . 
Nhận xét: Hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng  0f ' x . 
2.2. Các bài toán về phương trình tiếp tuyến: 
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x tại điểm 0 0M(x ; f(x )) . 
Phương pháp: 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại 0 0M(x ; y ) là: 
0 0 0y f '(x )(x x ) y   với 0 0y f(x ) . 
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k . 
Phương pháp: 
Cách 1: 
 *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx b  
* Điều kiện tiếp xúc là hệ phương trình: 
f(x) kx b (1)
f '(x) k (2)
  


Từ (2) ta tìm được x , thế vào (1) ta có được b . Ta có tiếp tuyến cần tìm. 
Cách 2: 
* Giải phương trình f '(x) k giải phương trình này ta tìm được các nghiệm 1 2 nx ,x ,...,x . 
* Phương trình tiếp tuyến: i i iy f '(x )(x x ) f(x ) (i 1,2,...,n)    . 
Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau: 
* Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f '(x) k . 
*Cho hai đường thẳng 1 1 1d : y k x b  và 2 2 2d : y k x b  . Khi đó 
 i) 1 2
1 2
k k
tan
1 k .k

 

, trong đó 1 2(d ,d )  . 
 ii) 1 21 2
1 2
k k
d / /d
b b
  

 iii) 1 2 1 2d d k .k 1    . 
Bài toán 01: . Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm 
Phương pháp . 
Bài toán 1 : 
Hai đường cong    C : y f x và    C' : y g x tiếp xúc nhau tại  0 0M x ; y .Khi điểm    M C C'  và tiếp tuyến 
tại M của  C trùng với tiếp tuyến tại M của  C' chỉ khi hệ phương trình sau:    
   
0 0
0 0
f x g x
f ' x g' x
 

 
có nghiệm 0x . 
Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp: 
   
 
C : y f x
d : y ax b
 

 
 tiếp xúc nhau  f x ax b 0    có nghiệm kép . 
Hàm  f x nhận 0x làm nghiệm bội k nếu        
k 1
0 0 0f x f ' x ... f x 0
    và  k 0f x 0 . Nghiệm bội lớn hơn 
hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép. 
Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm. 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
3 
Ví dụ 1. Đường cong y x không tiếp xúc với trục hoành tại 0 , tức là phương trình x 0 không nhận 0 làm 
nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 . Khi đó đồ thị   3C : y x của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại x 0 nhưng 
phương trình 3x 0 nhận 0 làm nghiệm bội 3 . 
Ví dụ 2. Đồ thị  C : y sin x của hàm số tiếp xúc với đường thẳng  d : y x tại x 0 nhưng phương trình 
sin x x 0  thì không thể có nghiệm kép. 
Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các 
nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến. 
Bài toán 2 : 
* Đường cong    C : y f x có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x khi và chỉ khi hàm số  y f x khả vi tại 0x . 
Trong trường hợp  C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x thì tiếp tuyến đó có hệ số góc  0f ' x . 
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị    C : y f x tại điểm   0 0M x ;f x có dạng :     0 0 0y f ' x x x f x   
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: 
1. Tìm trên (C) :   3 2y 2x 3x 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ 
bằng 8. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2y x 6x 11x 1    tại điểm có tung độ bằng 5. 
 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 21 1 4y x x 2x
3 2 3
    , biết tiếp tuyến vuông góc với đường 
thẳng x 4y 1 0   . 
4. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị  C : 2x 1y
x 1



 biết d cách đều 2 điểm  A 2; 4 và  B 4; 2  . 
5. Tìm m để từ điểm  M 1;2 kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị    3 2mC : y x 2x m 1 x 2m     . 
6. Cho hàm số 
  23m 1 x m m
y
x m
  


có đồ thị là  mC , m và m 0 .Với giá trị nào của m thì tại giao điểm 
đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x y 10 0   . Viết phương trình tiếp 
tuyến đó. 
7. Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến    d , t của đồ thị  C : 3 2y x 6x 9x   song song với nhau thì hai tiếp 
điểm A,B đối xứng nhau qua  M 2; 2 . 
8. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  mC :  3 2y x 2x m 1 x 2m     vuông góc với đường 
thẳng y x  
9. Tìm m để đồ thị :    3 21y mx m 1 x 3m 4 x 1
3
      có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường 
thẳng x y 2013 0   . 
10. Cho hàm số 3y x 3x 1   có đồ thị là  C . Giả sử  d là tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x 2 , đồng 
thời  d cắt đồ thị  C tại N, tìm tọa độ N . 
Bài 2: 
1. Cho hàm số 3 2y x 2x 8x 5    có đồ thị là  C . Chứng minh không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm 
số lại vuông góc với nhau. 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
4 
2. Cho hàm số 
22xy
x 1


.Tìm 0;
2
  
 
 
 sao cho điểm  M 1 sin ;9  nằm trên đồ thị  C . Chứng minh rằng, tiếp 
tuyến của  C tại điểm M cắt hai tiệm cận của  C tại hai điểm A,B đối xứng nhau qua điểm M . 
3. Cho hàm số 4 2y x 2x 3   . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm  M 0; 3 bằng 
5
65
. 
4. Tìm m để đồ thị 3y x 3mx 2   có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x y 7 0   góc  sao cho 
1cos
26
  . 
5. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị 4 2y x 2mx 2m 1     tại  A 1;0 và  B 1;0 hợp với nhau một góc  
sao cho 15cos
17
  . 
6. Cho hàm số: 2x 2y
x 1



 có đồ thị  C . 
 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) . 
a. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 . 
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1   . 
c. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. 
d. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 
7. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2xy ,
x 1


 biết: 
a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d : x 2y 0  
c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng   : 9x 2y 1 0    
d. Tạo với đường thẳng  d' : 4x 3y 2012 0   góc 045 
e. Tạo với chiều dương của trục hoành một góc  sao cho 2cos
5
   
f. Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) 
Bài 3: Cho hàm số 
4 2x xy 2
4 2
   có đồ thị (C). 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : y 2x 2  . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng 9
4 5
. 
Bài 4: 
1. Cho hàm số ax by
x 2



, có đồ thị là  C . Tìm a,b biết tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của  C và trục Ox 
có phương trình là 1y x 2
2
   
2. Cho hàm số 4 2y ax bx c (a 0)    , có đồ thị là  C . Tìm a,b,c biết  C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của 
 C có tọa độ là  0; 3 và tiếp tuyến d của  C tại giao điểm của  C với trục Ox có phương trình là y 8 3x 24   . 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
5 
Bài 5: Cho hàm số 4 2y 2x 4x 1   có đồ thị là (C). 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0   . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) . 
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. 
Bài 6: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 
3
2xy x 2x 1
3
    . 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng xy 2
5
   . 
3.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác 
OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 
Bài 7: Cho hàm số 3 2y x 2x (m 1)x 2m     có đồ thị là m(C ) . 
1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị m(C ) tại điểm có hoành độ x 1 song song với đường thẳng y 3x 10  . 
2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị m(C ) vuông góc với đường thẳng : y 2x 1   . 
3. Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến m(C ) đúng hai tiếp tuyến. 
Bài 8: Tìm m để đồ thị : 
1.    3 21y mx m 1 x 4 3m x 1
3
      tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với 
đường thẳng x 2y 3 0   . 
2. 
2 2x 2mx 2m 1y
x 1
  


 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với  mC tại hai điểm này vuông 
góc với nhau. 
Bài 9: Tìm điểm M trên đồ thị  C : 2x 1y
x 1



 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : x 3y 3 0   đạt 
giá trị nhỏ nhất. Trong trường hợp này, chứng minh  song song với ...  ,x ,...,x . Thay vào (2) ta tìm 
được k từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến. 
Cách 2: 
Gọi 0 0M(x ; y ) là tiếp điểm. Khi đó tiếp tuyến có dạng: 0 0 0y f '(x )(x x ) y   
Vì tiếp tuyến đi qua A nên ta có: A 0 A 0 0y f '(x )(x x ) y   , giải phương trình này ta tìm được x0 suy ra phương trình 
tiếp tuyến. 
Chú ý: 
* Nếu giải theo cách 1 thì số tiếp tuyến của đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình: 
A Af(x) f '(x)(x x ) y   
* Nếu giải theo cách 2 thì số tiếp tuyến phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình A 0 A 0 0y f '(x )(x x ) f(x )   (với 
ẩn là 0x ). 
Bài toán 01: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC 
Phương pháp . 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị    C : y f x đi qua điểm  1 1M x ; y 
Cách 1 : 
 Phương trình đường thẳng  d đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :  1 1y k x x y   . 
  d tiếp xúc với đồ thị  C tại  0 0N x ; y khi hệ: 
   
 
0 0 1 1
0
f x k x x y
f ' x k
   


 có nghiệm 0x . 
Cách 2 : 
 Gọi  0 0N x ; y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị  C và tiếp tuyến  d qua điểm M , nên  d cũng có dạng 
 0 0 0y y' x x y   . 
  d đi qua điểm M nên có phương trình :    1 0 1 0 0y y' x x y *   
 Từ phương trình  * ta tìm được tọa độ điểm  0 0N x ; y , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng  d . 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Cho hàm số 3 21y x 2x 3x
3
   có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm 4 4A ;
9 3
 
 
 
 và 
tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số. 
Bài 2: Cho hàm số 4 21 3y x 3x
2 2
   (C). Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua điểm 3A 0;
2
 
 
 
và tiếp xúc với đồ thị 
(C). 
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của  C : 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
10 
1. 
3
2xy x 3x 1
3
    đi qua điểm 1A 0;
3
 
 
 
2. 4 2y x 4x 3    đi qua điểm cực tiểu của đồ thị. 
3. 3 2y x 3x 2   đi qua điểm 23A ; 2
9
 
 
 
. 
4.    3 2y x 2x x 4 đi qua điểm   M 4; 24 . 
Bài 4: 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
2x 2x 1y
x 2
 


, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6; 4) . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C : x 2y
x 2



, biết d đi qua điểm  A 6; 5 . 
3. Cho hàm số 3 2y x 3x 9x 11    có đồ thị là  C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 
đi qua điểm 
29I ;184 .
3
 
 
 
Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 2y x 3x 2   
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x – 7 . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 2;7). 
Bài 6: Cho hàm số 2 2y (2 x) x  , có đồ thị (C). 
 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Parabol 2y x . 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0) . 
Bài toán 02: TÌM ĐIỂM M ĐỂ QUA ĐÓ KẺ ĐƯỢC n TIẾP TUYẾN. 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: 
1. Tìm m để (Cm): 
3
2x 1y (m 2)x 2mx 1
3 2
     tiếp xúc với đường thẳng y = 1 
2. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x 2
2x 1


. (0;m) là một điểm thuộc trục Oy , m 0 . Chứng minh rằng luôn tồn tại ít 
nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương. 
Bài 2: 
1. Cho hàm số   3y x 3x 2 .Tìm trên đường thẳng d : y 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C). 
2. Cho hàm số    3 2y x 3x 2 .Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt 
với đồ thị (C). 
3. Chứng minh rằng từ một điểm thuộc đường thẳng x 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến đồ thị của 
hàm số 3 2y x 6x 9x 1    . 
4. Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị  H :  22y x 1  của hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt. 
5. Cho hàm số 4 2y x 2x 3   , có đồ thị là  C 
a. Tìm trên đồ thị  C điểm B mà tiếp tuyến với  C tại điểm đó song song với tiếp tuyến với  C tại điểm 
 A 1; 2 . 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
11 
b. Tìm trên đường thẳng y 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C . 
6. Cho hàm số : 4 2y x 2x  có đồ thị là  C . 
a. Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. 
b..Tìm những điểm M trên trục Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến  C . 
c. Tìm những điểm N trên đường thẳng  d : y 3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến  C . 
Bài 3: 
1. Cho hàm số 3 21y mx (m 1)x (4 3m)x 1
3
      có đồ thị là  mC . Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị  mC . 
tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d : x 2y 3 0   . 
2. Cho hàm số 3 21y mx (m 1)x (4 3m)x 1
3
      có đồ thị là  mC . Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị  mC . 
tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d : x 2y 3 0   . 
3. Cho hàm số: x 2y
x 1



 có đồ thị là  C . Cho điểm A(0;a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị  C 
sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. 
4. Cho hàm số x 1y
x 1



 có đồ thị là  C . Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới 
 C . 
Bài 4: Cho hàm số 
3
22xy x 4x 2
3
     , gọi đồ thị của hàm số là (C). 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2;9). 
3. Gọi M, N là hai điểm thuộc (C) có hoành độ lần lượt là 1 2x , x ( 1 2x x ) , tìm hệ thức giữa 1 2x , x sao cho hai tiếp 
tuyến của (C) tại M,N song song với nhau, khi đó chứng minh rằng đường thẳng 1 2M M đi qua một điểm cố định . 
Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 
2xy
2 x


. 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 4 y x 1
3
  . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2; - 2). 
3. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, 
M không trùng với gốc tọa độ O. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M. 
Bài 6: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = 3 22x 3(m 1)x mx m 1     và (d) là tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có 
hoành độ x = - 1. Tìm m để 
1. (d) đi qua điểm A(0;8). 
2. (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 .
3 
Bài 7: Cho hàm số 
4
2xy 2x 4
4
   , có đồ thị là ( C ). 
1. Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol   2P : y x m  . 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
12 
2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x = a .Tìm a để (d) cắt lại (C) tại hai điểm E, F khác M và 
trung điểm I của đoạn E, F nằm trên parabol (P’): 2y x 4   . 
Bài 8: 
1. Tìm m để đồ thị hàm số 
2x x 1y
x 1
 


 tiếp xúc với Parabol 2y x m  . 
2. Tìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với nhau 
3 2
1(C ) : y mx (1 2m)x 2mx    và 
3
2(C ) : y 3mx 3(1 2m)x 4m 2     . 
3. Tìm tham số m để đồ thị (Cm) của hàm số 3 2y x 4mx 7mx 3m    tiếp xúc với parabol   2P : y x – x 1  
Bài 9: Cho hàm số 
2x x 1y
x 1
 


 có đồ thị (C) 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3x 4y 1 0    . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M( 1; 3) . 
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của (C). 
4. Biện luận theo m 0 số tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng m : x my m 1 0     . 
Bài 10: 
1. Cho hàm số: x 2y
x 1



 có đồ thị là (C) và điểm  A 0; m . Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao 
cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. 
2. Tìm tham số m để đồ thị (C) : 3 2y x 2(m 1)x 5mx 2m      của hàm số tiếp xúc với trục hoành. 
3. Gọi  mC là đồ thị của hàm số y = 4 2x (m 1)x 4m   . Tìm tham số m để  mC tiếp xúc với đường thẳng (d): y 
= 3 tại hai điểm phân biệt . 
Bài 11: Cho hàm số 2x 4y
x 1



 (1). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , A, B lần lượt là giao điểm của (d) với trục hoành và trục tung .Viết phương 
trình của (d) sao cho 
 i) HB = 4.HA với H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên (d) . 
 ii) Diện tích tam giác OAB bằng 4. 
Bài 12: Cho hàm số 
2x 3xy
1 x



 (1). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cắt trục tung tại điểm A sao cho OA = 9
2
. 
3.Cho hai điểm M(1;0) , N(0;3). 
 a) Chứng tỏ rằng đường thẳng MN và (C) không có điểm chung. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến (D)của (C) song song với đường thẳng MN và tìm E trên (C) sao cho tam giác 
EMN có diện tích nhỏ nhất. 
Bài 13: Tìm tất cả các điểm trên Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 
2y x 4x 2x 1    . 
Bài 14: Cho hàm số 2y 2x 1
x 1
  

 có đồ thị là ( C ). 
1. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 
13 
2. Gọi 1 2M M là hai điểm thuộc (C) có hoành độ lần lượt là 1 2x ,x 1 2(x x ) . Tìm hệ thức liên hệ giữa 1 2x ,x sao cho 
hai tiếp tuyến của (C) tại 1 2M M song song với nhau. Chứng minh rằng khi đó giao điểm I của hai đường tiệm cận 
của (C) là trung điểm của đoạn 1 2M M 
Bài 15: Cho hàm số: 3y 4x 3x 2    , có đồ thị là  C . 
1. Tìm a để phương trình 3 24x 3x 2a 3a 0    có hai nghiệm âm và một nghiệm dương; 
2. Tìm những điểm trên đường thẳng y 3 để từ đó có thể vẽ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị  C . 
Bài 16: 
1. Tìm tham số m để đồ thị hàm số  mC : 
2x x my
x 1
 


 với m 0 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A,B sao 
cho tiếp tuyến tại 2 điểm A,B vuông góc với nhau. 
2. Cho hàm số 
22xy
x 2


 có đồ thị là  C . Tìm trên đường thẳng y x những điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp 
tuyến đến  C , đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 
3. Cho hàm số 3 2y x 3x 1   có đồ thị là  C . 
a. Viết phương trình tiếp tuyến của  C kẻ từ điểm  1; 5 
b. Tìm trên đường thẳng y 9x 4  , những điểm có thể kẻ đến  C ba tiếp tuyến. 
Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị 
Phương pháp. 
Cho hai đường cong    C : y f x và    C' : y g x . Hãy tìm tất cả các tiếp tuyến chung của  C và  C' . 
Giả sử  T là tiếp tuyến chung của  C và  C' . 
 T tiếp xúc với  C và  C' lần lượt tại các điểm có hoành độ 1 2x ,x . Khi đó:        1 1 1T : y f ' x x x f x   và 
      2 2 2T : y f ' x x x f x   
Ta có hệ 
   
        
1 2
1 1 1 2 2 2
f ' x f ' x
*
f x x f ' x f x x f ' x
 

  
Giả sử ix là nghiệm của hệ  * với i 1,2,3,...,n thì các tiếp tuyến cần tìm là       i i i iT : y f ' x x x f x   . 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài tập Tìm tham số m để đồ thị 3 2y x 4mx 7mx 3m    tiếp xúc với parabol: 2y x x 1  