Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12

Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
1 
ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
A. CHUẨN KIẾN THỨC 
TÓM TẮT GIÁO KHOA. 
1. Định nghĩa : 
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là : 
 Đồng biến trên K nếu với mọi 1 2 1 2x ,x K , x x     1 2f x f x  
 Nghịch biến trên K nếu với 1 2 1 2x ,x K, x x      1 2f x f x  . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì  f ' x 0 với mọi x I 
 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì  f ' x 0 với mọi x I 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 
Định lý : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm 
trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : 
 Nếu  f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I 
 Nếu  f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I 
 Nếu  f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I 
Chú ý : 
 Nếu hàm số f liên tục trên a; b   và có đạo hàm  f ' x 0 trên khoảng  a; b thì hàm số f đồng biến trên a; b   
 Nếu hàm số f liên tục trên a; b   và có đạo hàm  f ' x 0 trên khoảng  a; b thì hàm số f nghịch biến trên 
a; b   . 
 Ta có thể mở rộng định lí trên như sau 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f '(x) 0 với x I  
( hoặc f '(x) 0 với x I  ) và f '(x) 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) 
trên I . 
Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình. 
*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = P(x)
Q(x)
(trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc 
nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f '(x) 0 (f '(x) 0)    . 
*Nếu hàm số f là hàm nhất biến , ax bf(x)
cx d



với a,b,c,d là các số thực và ad – bc  0 thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên 
K x K,f '(x) 0(f '(x) 0).    
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 
Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH . 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
2 
1. x 2y
x 1



2. 2x 1y
x 1



2. 2x 1y
x 1



4. 3x 1y
2 4x



Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. 
2x 4x 4y
x 1
 


3. 
2x x 1y
x 1
 


2. 
24x 5x 5y
x 1
 


4. 
2x 2x 1y
x 2
  


Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. 3 2y x 3x 2   
3. 3 24y x 2x x 3
3
    
5. 3 2y x 3x 24x 26     
2. 
3 2x 3xy 2x 4
3 2
    
4. 3 2y x 6x 9x 3    
Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. 4 2y 2x 4x   
3. 4 21 3y x x 1
4 2
    
2. 4 2y x 6x 8x 1    
4. 4 31y x x 4x 1
4
     
Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến trên  : 9 6 3 22y x x 2x 3x 6x 1
3
      . 
Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC. 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. 2y x 2x  
3. 
2 3y 3x x  
2. 3y x 2x  
4. 2y x 1 x  
Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. 2y x 2x x   
3. 
2y x x 20   
2.   2y 2x 1 9 x   
4. 2y x 1 2 x 3x 3     
Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. 
2
xy
x 1


 2. 
2
x 3y
x 1



Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. y x 1  2. 2y x 2x 3   
Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. 2y x 2x 3   2. 2y x 4x 3 2x 3     
Bài toán 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài tập: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
3 
1.
2
4x 5y
4x 4



 2.
2
12x 1y
12x 2



 3.
2
2
3x x 1y
x x 1
 

 
Bài toán 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 
1. y 2sin x cos 2x  với x 0;   
2. y sin 2x 2cos x 2x   với x ;
2 2
   
  
 
Bài 2 
1. Chứng minh rằng hàm số y sin 2x 2x 1   luôn nghịch biến trên  . 
2. Chứng minh rằng hàm số y 3 sin x cosx 2x 1    luôn đồng biến trên  . 
3. Tìm m để hàm số y 2x m sin x 1   đồng biến trên . 
4. Tìm m để hàm số y 2cos 2x mx 3   đồng biến trên . 
Bài 3 Tìm tham số m để hàm số: 1 1y mx sin x sin 2x sin 3x
4 9
    đồng biến trên  . 
Dạng 2: 
Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập xác định. 
Bài toán 01: 
TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH. 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Tìm a để hàm số 3 21y x ax 4x 3
3
    đồng biến trên  
Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . 
1. mx 3 2my
x m
 


 2. 
 22x m 2 x 3m 1
y
x 1
    


Bài 3: Tìm m để hàm số: 
1. 
3
2 2xy (m 2) (m 2)x (3m 1)x m
3
       đồng biến trên  . 
2. 3 2y (m 1)x 3(m 1)x 3(2m 3)x m       nghịch biến trên  . 
3.    2 3 21y m 1 x m 1 x 3x3     luôn nghịch biến trên  . 
4.    3 32 2y mx x 2 x 43 3     đồng biến trên tập xác định của nó. 
5. 2y x 1 m x 1    đồng biến trên  . 
Bài 4: Tìm m để hàm số:
23x mx 2y
2x 1
  


 nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH. 
Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng xác định. 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
4 
Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG  ;  K , 
 ;  ,  ,;   ;  . 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Định m để hàm số : 
1. 2x 1y
x m



 nghịch biến trên (2; ) 
2. mx 4y
x m



 nghịch biến trên khoảng  ;1 . 
3. 
22x 3x my
x 1
 


đồng biến trên khoảng ( ; 1)  . 
4. 
2 2x 2mx 3my
2m x
 


nghịch biến trên khoảng ( ;1) . 
5. 
2 2x 5x m 6y
x 3
  


 đồng biến trên khoảng  1; . 
6. 
2mx 6x 2y
x 2
 


 nghịch biến trên nửa khoảng 1;  . 
Bài 2: Định m để hàm số : 
1. 3 2y x (1 2m)x (2 m)x m 2       đồng biến trên khoảng (0; ) . 
2. 3 2y x 3x mx 4    đồng biến trên khoảng ( ;0) . 
3. 
3
2xy mx (1 2m)x 1
3
     đồng biến trên  1; . 
4. 3 2 2y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1)        đồng biến trên 2;  
5.    3 21y mx 2 m 1 x m 1 x 2013
3
      đồng biến trên khoảng  2; . 
6.      3 2 2y x m 1 x 2m 3m 2 x 2013m 2m 1        đồng biến trên nửa 2;  
Bài 3: Định m để hàm số : 
1. 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1      đồng biến trên khoảng (2; ) 
2. 3 2 2y x (m 1)x (2m 3m 2)x      nghịch biến trên (2; ) 
3. 2 3 21y (m 1)x (m 1)x 2x 1
3
      (m 1)  nghịch biến trên khoảng ( ; 2) . 
4. 3 21y mx (m 1)x 3(m 2)x 1
3
      đồng biến trên (2; ) . 
5. 3 2y x 3x mx 4     nghịch biến trên khoảng  0; . 
6. 3 2y 2x 2x mx 1    đồng biến trên khoảng  1; . 
Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH  ;  , ;    . 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Định m để hàm số : 
1. 4 2y x 2mx 3m 1    đồng biến trên khoảng (1; 2). 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
5 
2. 3 2y x (m 2)x (3m 2)x 2      đồng biến trên đoạn 3; 4   
Bài 2: Tìm m để hàm số: 
1.  3 21y x 2m 1 x mx 2
3
     nghịch biến trên khoảng  0;1 . 
2. 
3
2xy (m 1)x (2m 1)x m
3
      nghịch biến trên (0;3) . 
3. 3 2 2y x 3x 3(m 1)x 1     đồng biến trên (1;2) . 
4.  3 2y x – 3x 2m 1 x – 4.   biến trên [ 2; 1]  
5.  3 2y x 3x m 1 x 4m     nghịch biến trên khoảng  1;1 . 
6. 3 2y mx x 3x m 2     đồng biến trên khoảng  3;0 . 
Dạng 4: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho 
trước. 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Định m để hàm số : 
1. 3 2y x 3x mx m    nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 
2. 3 2y 2x 3mx 1    đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 
3.  3 2 22 m 1y x x m m x 13 2

     nghịch biến trên khoảng có độ dài là 3 
Bài 2: Định m để hàm số : 
1. 3 2y x 3x (m 1)x 2m 3       đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 
Bài 3: Tìm m để hàm số: 
1.    3 2y m 1 x 3 m 1 x 2mx 4      đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1. 
2.  3 2y x mx m 36 x 5     nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 2 . 
3. 3 2y x 3x mx m    nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2 
Dạng 5: Ứng dụng đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương 
trình và hệ bất phương trình. 
Trong khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ đề cập những bài tập thường gặp. Bạn đọc muốn nghiên cứu kĩ về ứng dụng đơn 
điệu trong việc giải phương trình, vui lòng tìm đọc tập sách: Đại số - lượng giác. 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Giải phương trình: 
1. 7x 7 7x 6 13    
3. 3 2x 3x x 4x 7 0     
5. 33 227x 27x 13x 2 2 2x 1     
2. 7x 7 7x 6 13    
4.  3 2x 3x 4x 2 3x 2 3x 1      
6. 3 2 4x 3x 8x 40 8 4x 4 0      
Bài 2: Giải phương trình: 2 23 3(x 1) (5x x ) 3 5x x 3(x 1)       
Bài 3: Giải phương trình: 
1. 2 1 124x 60x 36 0
5x 7 x 1
    
 
 2. 
9 2
3 x 9x 1 2x 1
3
 
  
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
6 
3. 3 3 2x 2 8x 60x 151x 128     
4. 3 2 3 27x 9x 4 x 4x 5x 6      
5. 3 3 2 3 2x 9x 19x 11 x 6x 12x 7        
Bài 4: Giải hệ phương trình: 
1. 
 3 2 2 2
2 2
x 3x 2 y 2 1 y 0
2x x 2 1 y 2x 1
      

     
 2. 
 
  
  

 

2 2
2 2
xy 6x 20xy + 6y 351
x + y x 14xy + y 378
Bài 5:Giải hệ phương trình: 
1. 
3 3
2 2
x y 9
x 2y x 4y
 

  
3.    
4 4
3 3 2 2
x y 240
x 2y 3 x 4y 4 x 8y
 

    
5. 
2 2x 1 x y 1 y 1
x 6x 2xy 1 4xy 6x 1
          
     
2. 
3 3
2 2
x y 91
4x 3y 16x 9y
  

  
4. 
3 3 2
2 2 2
x y 3y 3x 2
x 1 x 3 2y y 2
    

     
6. 
 3 2 3
3
2x 4x 3x 1 2x 2 y 3 2y
x 2 14 x 3 2y 1
      

    
Bài 6:Giải hệ phương trình: 
1. 
2 2
2 2
x 3x y y 1
y 3y x x 1
    

   
3. 
3 3 2
2
y y x 3x 4x 2
1 x y 2 y 1
     

    
5. 
3 3 28x y 3y 5y 4x 3
2x y 5 2x 2
     

   
2. 
 
   
3 3
3 2
x y x 7
x x y 9y xy x y 9x
  

     
4. 
 
 
22
22
x 2x 22 y y 1
y 2y 22 x x 1
     

     
6. 
 
 
3
2
x 3y 55 64
 ... c 0   ( cho sẵn ) 
Cách giải: 
- Giả sử        0 0 0 0M x ; y (C) y f x 1 
- Tìm tọa độ điểm N theo 0 0x ,y sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d ). Nên ta có : 
   N Ny f x 2 
- Từ  1 và  2 ta tìm được tọa độ của điểm M,N . 
Bài toán. Cho hàm số    C : y f x .Tìm các cặp điểm trên  C đối xứng với nhau qua điểm  I II x ; y . 
Cách giải: 
Gọi cặp điểm cần tìm là 1 1M(x ; y ) và 2 2N(x ; y ) ,thế thì ta có: 
 M và N đối xứng qua I  I là trung điểm của đoạn MN . 
 M và N thuộc (C) nên tọa độ của chúng nghiệm đúng phương trình y = f(x). 
Do đó tọa độ của M , N là nghiệm của hệ sau 
1 1
2 2
1 2 I
1 2 I
y f(x )
y f(x )
x x 2x
y y 2y
 
 

 
  
. Giải hệ này sẽ tìm được tọa độ M , N . 
Đặc biệt: Nếu M , N là hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O , khi đó nếu  0 0M x ; y thì 0 0N( x ; y ) .suy ra 
0 0(x ; y ) là nghiệm của hệ 
 0 0
0 0
y f(x )
y f( x )
 

  
 Giải hệ tìm được tọa độ M , N . 
Công thức tọa độ của phép đối xứng tâm. 
Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) . Gọi IS là phép đối xứng tâm I. 
Ta có M'(x'; y ') là ảnh của M(x; y) qua IS khi và chỉ khi 
x' 2a x x 2a x'
y' 2b y y 2b y'
     
 
    
Đường (C) : y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm IS là 
(C) : 2b y f(2a x) y f(2a x) 2b        
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: 
1. Cho hàm số 
2x x 2y
x 1
 


 có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm 
5I 0; .
2
 
 
 
2. Cho hàm số 
3
2xy x 3x 1
3
    có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
60 
điểm 1 7E ; .
2 6
 
  
 
3. Cho hàm số 3 2xy
x

 có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm 
 E 1; 1  . 
4. Cho hàm số 3y x 3x 2   có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm 
 I 2;18 . 
5. Cho hàm số 
23x 3x 2y
2x 1
 


 có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua 
điểm 1I ;1 .
2
 
 
 
Bài 2: 
1. Cho hàm số 
2xy
x 1


 có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đường 
thẳng  d : y x 1  
2. Cho hàm số 
2x 2x 2y
x 1
 


 có đồ thị  C . Tìm m để đường thẳng  d cắt  C tại hai điểm sao cho chúng đối 
xứng nhau qua đường thẳng  d' : y x 3  
3. Cho hàm số 
 2x m 2 x m 1
y
x 1
   


 có đồ thị  mC . Tìm m để đồ thị  mC có hai điểm nằm trên đường thẳng 
 d 5x y 3 0   , đồng thời chúng đối xứng nhau qua đường thẳng  d' : x 5y 9 0   
4. Cho hàm số 
2x x 1y
x 1
 


 có đồ thị  C . Tìm những cặp điểm trên  C đối xứng nhau qua đường thẳng 
: 16x 17y 33 0    . 
5. Cho hàm số 3y x 3x 4   có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua 
đường thẳng 
3x
2
 . 
6. Cho hàm số 2x 1y
x 2



 có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đường 
thẳng x – 3y 8 0.  
7. Cho hàm số 
2x x 4y
x 1
 


 có đồ thị  C . Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua 
đường thẳng 
1 5y x
3 3
   
Bài 3: 
1. Cho hàm số 3 2 33 1y x mx m
2 2
   có đồ thị  mC . Tìm m để đồ thị  mC có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua 
đường thẳng  d : y x 
2. Cho hàm số 
2x mx 2m 3y
x 2
  


 có đồ thị  mC . Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m 
. Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x 2y 8 0 .   
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
61 
Bài 4: 
1. Cho hàm số 3 2y x 3x 3    có đồ thị (C). Trên đồ thị (C) có bao nhiêu bộ bốn điểm A,B,C,D sao cho tứ giác 
ABCD là hình vuông tâm I(1; 1) . 
2. Trên mp(Oxy) cho đồ thị (C): 3y x 2 2x  . Chứng minh rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh đều nằm 
trên (C) thì tâm của hình bình hành đó là gốc tọa độ O. 
Bài 5: 
1. Chứng minh rằng với các điểm A,B,C phân biệt thuộc đồ thị 2(C) : y
x
  thì tam giác ABC cũng có trực tâm H 
thuộc đồ thị (C) . 
2. Chứng minh A,B,C thuộc x 1(C) : y
x 2



 thì trực tâm H của tam giác ABC cũng thuộc (C) . 
Bài 6: 
1. Cho hàm số 2y 2x 3x 1   có đồ thị là  P và đường thẳng   : y x 5   . Tìm các điểm    M P ,N   sao 
cho MN nhỏ nhất. 
2. Tìm các điểm M trên đồ thị  C : 4 2y x 2x 1   sao cho tiếp tuyến của  C tại M vuông góc với đường thẳng 
IM, với 17I 0;
8
 
 
 
. 
3. Tìm trên đồ thị  C : 3 2y x 3x 1   , 2 điểm M, N sao cho MN 4 2 và tiếp tuyến tại đó song song với nhau. 
Bài 7: 
1. Tìm tọa độ 2 điểm B, C thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị 2y
x
 sao cho tam giác ABC vuông cân tại 
 A 1; 2 . 
2. Tìm các điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của  C : 2x 1y
x 1



 sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó ngắn nhất. 
Bài 8: Tìm tọa độ 2 điểm B, D sao cho ABCD là hình vuông, biết rằng D là điểm nằm trên đường thẳng d : 
x y 2 0   ;  I 1;9 là trung điểm AC ; A và C là 2 điểm nằm trên đồ thị 3 21 1 7 7y x x x
3 2 3 2
    . 
Bài 9: 
1. Cho hàm số 
2x 4x 5y
x 2
 


có đồ thị là  C . Tìm trên đồ thị  C những điểm M có khoảng cách đến đường thẳng 
3x y 6 0   nhỏ nhất. 
2. Tìm trên đồ thị  C : 3y x 3x   có bao nhiêu bộ bốn điểm A,B,C,D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm 
 O 0;0 . 
Bài 10: Trên đồ thị  C : 2x 1y
x 2



 lấy điểm A có hoành độ bằng 3 . Tìm điểm tọa độ điểm B thuộc  C sao 
cho tam giác OAB vuông tại A ( O là gốc tọa độ ). 
Bài 11: Cho hàm số 1 2xy
1 x



 có đồ thị là  C . Tìm trên đồ thị  C hai điểm A và B sao cho A và B đối xứng 
nhau qua đường thẳng  d : 8x 4y 21 0   . 
Bài 12: 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
62 
1. Cho hàm số 2y x có đồ thị là  P và điểm    A 1;1 ,B 3; 9 thuộc  P . Tìm điểm M trên cung AB sao cho diện 
tích AMB lớn nhất. 
2. Cho hàm số x 2y
x 1



 có đồ thị là  C . Tìm điểm M trên đồ thị  C sao cho khoảng cách từ M : 
1. Đến đường thẳng  d : 2x y 2 0   bằng 6 5 .
5
2. Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến Ox. 
Bài 13: 
1. Tìm tọa độ 2 điểm B, C thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị 3x 1y
x 1



 sao cho tam giác ABC vuông cân tại 
 A 2;1 . 
2. Cho hàm số 2xy
x 2


có đồ thị là  C . Tìm hai điểm B,C thuộc hai nhánh của  C sao cho tam giác ABC vuông 
cân tại  A 2;0 . 
3. Với  O 0;0 và  A 2; 2 là 2 điểm thuộc đồ thị 3y x 3x  , tìm điểm M nằm trên cung OA của đồ thị hàm số 
sao cho khoảng cách từ M đến OA lớn nhất. 
4. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y 3x 2  sao tổng khoảng cách từ 
M tới hai điểm cực trị của hàm số 3 2y x 3x 2   là nhỏ nhất. 
5. Tìm điểm M thuộc đồ thị 4 2y x 2x 4   sao cho tam giác MAB có 
diện tích nhỏ nhất, với  A 0; 16 ,  B 1; 8  . 
6. Tìm điểm M thuộc đồ thị 3 2y x 3x 3x 4     sao cho khoảng cách 
từ điểm đó đến điểm  A 3; 3 nhỏ nhất. 
Bài 14: 
Cho hàm số 3 2y x 5x 10x 8    , có đồ thị  C . 
1. Gọi A là điểm thuộc  C , C là điểm thuộc đường thẳng d : x 7y 25 0   và 1 7I ;
2 2
 
 
 
 là trung điểm AC . Tìm 
tọa độ điểm B có hoành độ âm sao cho tam giác OAB vuông cân tại A . 
2. Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OABC với trục hoành, trục tung ( E,F khác 
O ). Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất. 
Bài 15: Tìm trên đồ thị  C : 35 41y x x
3 12
  có bao nhiêu bộ 4 điểm A, B, C, D sao cho tứ giác ABCD là hình 
vuông tâm O . 
Bài 16: Tìm tất cả các điểm trên  C có tọa độ là các số nguyên. 
1. 
 3 x 1
y
x 2



 2. 
23x 5x 14y
6x 1
 


Bài 17: 
1. Cho hàm số 
2x 3x 6y
x 2
 


 có đồ thị là  C . Tìm trên đồ thị  C tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm 
1I ;1
2
 
 
 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
63 
2. Cho hàm số 
2x x 1y
x 1
 


 có đồ thị là  C . Tìm những cặp điểm trên đồ thị  C đối xứng nhau qua đường 
thẳng  d : 16x 17y 33 0   . 
Dạng 2: Điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không đi qua. 
Phương pháp . 
Ta thường gặp bài toán sau 
Bài toán : Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị (C) : y f(x) , biết M thỏa mãn tính chất T cho trước 
Phương pháp : M (C) M(m;f(m))  . 
Dựa vào tính chất T của M ta tìm được m . 
1. Điểm cố định của họ đường cong 
Điểm 0 0A(x ; y ) gọi là điểm cố định của họ đường cong m(C ) : y F(x,m) nếu 0 0F(x ,m) y m  (1). 
Để giải quyết (1) ta thường biến đổi (1) về dạng 
2
0 0 0 0 0 0f(x ,y ).m g(x ,y ).m h(x ,y ) 0 m     
0 0 0 0 0 0f(x ,y ) g(x ,y ) h(x ,y ) 0    
Từ đó ta tìm được A 
2. Điểm mà họ đường cong không đi qua 
Điểm 0 0A(x ; y ) gọi là điểm không có đường cong nào của họ đường cong m(C ) : y F(x,m) đi qua nếu 
0 0F(x ,m) y m   
Hay phương trình 0 0F(x ,m) y vô nghiệm với mọi m 
Chú ý : Phương trình ax b 0  vô nghiệm 
a 0
b 0
 
 

. 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 
Bài 1: Cho hàm số 3 2y x (2m 1)x mx 3m 2      có đồ thị là  mC . 
1. Tìm trên  1C những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ 
2. Tìm m để trên tồn tại ít nhất một cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung. 
3. Tìm tất cả các điểm cố định họ đường cong  mC luôn đi qua. 
4.Tìm những điểm cố định mà không có đồ thị nào của họ  mC đi qua. 
Bài 2: Cho hàm số mx 2y
2x m



 có đồ thị là  mC . 
1. Tìm những điểm cố định mà họ đồ thị  mC luôn đi qua. 
2. Tìm tập hợp những điểm mà không có đường cong nào của họ  mC đi qua. 
Bài 3: 
1. Gọi  mC là đồ thị của hàm số 
22x (1 m)x 1 my
x m
   


 , m là tham số . Chứng minh rằng với mọi m 1  
 mC luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định . 
2. Gọi  mC là đồ thị của hàm số y = 2
12mx m 4
x 1
  

, m là tham số khác 0. Chứng minh rằng với mọi m  0 
đường tiệm cận xiên của  mC luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 
64 
3. Cho họ đồ thị  mC : 
(m 1)x my
x m
 


, m là tham số khác 0. Chứng minh rằng họ  mC luôn tiếp xúc với nhau 
tại một điểm cố định. 
4. Chứng minh rằng với mọi tham số m khác 0, đồ thị  Hm : (m 2)x 3m 2y
x 1 m
  

 
 luôn tiếp xúc với nhau tại một 
điểm cố định . 
Bài 4: 
1. Cho họ đồ thị (Cm) : y = 4 2mx (4m 1)x 3m 1    . Tìm các điểm trên đường thẳng (d): y = x+1 mà không có đồ 
thị (Cm) nào đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị nào. 
2. Cho họ đồ thị (Cm): 3y (m 3)x (3m 7)x m 3      . Chứng minh rằng (Cm) đi qua ba điểm cố định thẳng 
hàng. 
3. Cho họ đồ thị (Cm) : 4 2 2 3y mx (m 2m)x m    . Chứng minh rằng với mọi điểm A cho trước trên mặt phẳng 
tọa độ , ta luôn tìm được duy nhất một giá trị m thích hợp để (Cm) đi qua A. 
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!.