Tài liệu dùng cho ôn thi đại học môn Toán - THPT Phan Đình Phùng

Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 1
CHUYÊN ĐỀ 1 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình
a) Phương pháp
 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D   , ta thường bình phương 2 vế , điều 
đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
  3 3 3 33 33 .A B C A B A B A B C      
và ta sử dụng phép thế : 3 3A B C  ta được phương trình : 33 . .A B A B C C  
b) Ví dụ 
Bài 1. Giải phương trình sau : 3 3 1 2 2 2x x x x     
Giải: Đk 0x 
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:     1 3 3 1 2 2 1x x x x x      , để giải phương
trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 1 2 2 4 3x x x x     
Bình phương hai vế ta có : 2 26 8 2 4 12 1x x x x x     
Thử lại x=1 thỏa
 Nhận xét : Nếu phương trình :        f x g x h x k x  
Mà có :        f x h x g x k x   , thì ta biến đổi phương trình về dạng :        f x h x k x g x  
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 
Bài 2. Giải phương trình sau :
3
21 1 1 3
3
x x x x x
x

      

Giải:
Điều kiện : 1x  
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét : 
3
21. 3 1. 1
3
x x x x x
x

    

, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
3
21(2) 3 1 1
3
x x x x x
x

       

Bình phương 2 vế ta được: 
3
2 2 1 31 1 2 2 0
3 1 3
xx x x x x
x x
  
        
  
Thử lại : 1 3, 1 3x x    l nghiệm 
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :        f x g x h x k x  
Mà có :        . .f x h x k x g x thì ta biến đổi        f x h x k x g x  
2. Trục căn thức 
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 
a) Phương pháp
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 2
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm 0x như vậy phương trình luôn đưa về được dạng 
tích    0 0x x A x  ta có thể giải phương trình   0A x  hoặc chứng minh   0A x  vô nghiệm , chú ý điều 
kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía   0A x  vô nghiệm
b) Ví dụ 
Bài 1 . Giải phương trình sau :  2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x         
Giải: 
Ta nhận thấy :      2 23 5 1 3 3 3 2 2x x x x x        v      2 22 3 4 3 2x x x x     
Ta có thể trục căn thức 2 vế : 
 
2 22 2
2 4 3 6
2 3 43 5 1 3 1
x x
x x xx x x x
  

       
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 212 5 3 5x x x    
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2
512 5 3 5 0
3
x x x x       
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng 
   2 0x A x  , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
4 412 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 12 3 0 2
12 4 5 3
x xx x x x
x x
x xx x
x x
 
          
   
  
       
    
Dễ dàng chứng minh được : 
2 2
2 2 53 0,
312 4 5 3
x x x
x x
 
    
   
Bài 3. Giải phương trình : 2 33 1 1x x x   
Giải :Đk 3 2x 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
 
 
  22 33
2 32 233
3 3 931 2 3 2 5 3 1
2 51 2 1 4
x x xxx x x x
xx x
 
   
          
 
     
 
Ta chứng minh : 
   
222 2 23 33
3 31 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
 
   
      
2
3
3 9
2 5
x x
x
 

 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp
 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C  , mà : A B C 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau :
A B C A B
A B


   

, khi đĩ ta có hệ: 2
A B C
A C
A B


  
  
 
b) Ví dụ 
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 3
Bài 4. Giải phương trình sau : 2 22 9 2 1 4x x x x x      
Giải:
Ta thấy :      2 22 9 2 1 2 4x x x x x      
4x   không phải là nghiệm 
Xét 4x  
Trục căn thức ta có : 2 2
2 2
2 8 4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x x x x x x
x x x x

        
    
Vậy ta có hệ: 
2 2
2
2 2
02 9 2 1 2
2 2 9 6 8
2 9 2 1 4 7
xx x x x
x x x
xx x x x x
            
        
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
8
7
Bài 5. Giải phương trình : 2 22 1 1 3x x x x x     
Ta thấy :    2 2 22 1 1 2x x x x x x       , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt 
1t
x
 thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
 
2 23 1 3 1x x x x    
4 3 10 3 2x x    (HSG Toàn Quốc 
2002)
     2 2 5 2 10x x x x x     
23 4 1 2 3x x x    
2 33 1 3 2 3 2x x x    
2 32 11 21 3 4 4 0x x x     (OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x         
2 22 16 18 1 2 4x x x x     
2 215 3 2 8x x x    
3. Phương trình biến đổi về tích 
 Sử dụng đẳng thức 
  1 1 1 0u v uv u v      
   0au bv ab vu u b v a      
2 2A B
Bài 1. Giải phương trình : 233 31 2 1 3 2x x x x      
Giải:   3 3
0
1 1 2 1 0
1
x
pt x x
x

       
 
Bi 2. Giải phương trình : 2 23 33 31x x x x x    
Giải:
+ 0x  , không phải là nghiệm 
+ 0x  , ta chia hai vế cho x:  3 3 33 3
1 11 1 1 1 0 1x xx x x x
x x
  
          
 
Bài 3. Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x      
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 4
Giải: : 1dk x  
pt   
1
3 2 1 1 0
0
x
x x x
x

       

Bài 4. Giải phương trình :
43 4
3
xx x
x
  

Giải: 
Đk: 0x 
Chia cả hai vế cho 3x  :
2
4 4 41 2 1 0 1
3 3 3
x x x x
x x x
 
       
   
 Dùng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trình về dạng : k kA B
Bài 1. Giải phương trình : 3 3x x x  
Giải:
Đk: 0 3x  khi đó pt đ cho tương đương : 3 23 3 0x x x   
3 31 10 10 1
3 3 3 3
x x       
 
Bài 2. Giải phương trình sau : 22 3 9 4x x x   
Giải:
Đk: 3x   phương trình tương đương :  
2 2
1
3 1 3
1 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x

    
           
Bài 3. Giải phương trình sau :    
22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x    
Giải : pttt  
3
3 32 3 0 1x x x     
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 
 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt  t f x và chú ý điều kiện của t nếu 
phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó
theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn  t f x
thường là những phương trình dễ .
Bài 1. Giải phương trình: 2 21 1 2x x x x     
Điều kiện: 1x 
Nhận xét. 2 21. 1 1x x x x    
Đặt 
2 1t x x   thì phương trình có dạng: 1 2 1t t
t
   
Thay vào tìm được 1x 
Bài 2. Giải phương trình: 22 6 1 4 5x x x   
Giải
Điều kiện: 
4
5
x  
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 5
Đặt 4 5( 0)t x t   thì
2 5
4
tx  . Thay vào ta có phương trình sau:
4 2
2 4 210 25 62. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t t t t t t          
2 2( 2 7)( 2 11) 0t t t t     
Ta tìm được bốn nghiệm là: 1,2 3,41 2 2; 1 2 3t t    
Do 0t  nên chỉ nhận các gái trị 1 31 2 2, 1 2 3t t    
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 1 2 2 3vaøx x   
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 22 6 1 0x x  
Ta được: 2 2 2( 3) ( 1) 0x x x    , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : 2 3 4 5y x   và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau: 5 1 6x x   
Điều kiện: 1 6x 
Đặt 1( 0)y x y   thì phương trình trở thnh: 2 4 25 5 10 20 0y y y y y        ( với 
5)y  2 2( 4)( 5) 0y y y y      1 21 1 17,
2 2
(loaïi)y y    
Từ đó ta tìm được các giá trị của 
11 17
2
x 
Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :   
2
2004 1 1x x x   
Giải: đk 0 1x 
Đặt 1y x  pttt    
2 22 1 1002 0 1 0y y y y x        
Bài 5. Giải phương trình sau : 2
12 3 1x x x x
x
   
Giải: Điều kiện: 1 0x  
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
1 12 3x x
x x
   
Đặt 
1t x
x
  , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình : 2 4 23 2 1x x x x   
Giải: 0x  không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 31 1 2x x
x x
 
    
 
Đặt t= 3
1x
x
 , Ta có : 3 2 0t t    1 51
2
t x   
Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau
2 215 2 5 2 15 11x x x x    
2( 5)(2 ) 3 3x x x x   
2(1 )(2 ) 1 2 2x x x x    
2 2 11 31x x  
2 2 22 (1 ) 3 1 (1 ) 0nn nx x x     
2(2004 )(1 1 )x x x   
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 6
2 217 17 9x x x x    
23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x       
( 3 2)( 9 18) 168x x x x x    
32 21 2 1 3x x   
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương
trình đối với t lại quá khó giải 
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: 2 2 0u uv v    (1) bằng cách 
Xét 0v  phương trình trở thành :
2
0u u
v v
 
   
     
   
0v  thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
        . .a A x bB x c A x B x 

2 2u v mu nv   
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng 
này .
a) . Phương trình dạng :        . .a A x bB x c A x B x 
Như vậy phương trình    Q x P x có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
     
     
.P x A x B x
Q x aA x bB x
 

 
Xuất phát từ đẳng thức :
  3 21 1 1x x x x    
    4 2 4 2 2 2 21 2 1 1 1x x x x x x x x x          
  4 2 21 2 1 2 1x x x x x     
  4 2 24 1 2 2 1 2 2 1x x x x x     
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 2 44 2 2 4 1x x x   
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai 2 0at bt c   giải “ 
nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình :  2 32 2 5 1x x  
Giải: Đặt 21, 1u x v x x    
Phương trình trở thành :  2 2
2
2  ... k k
k nT C a b



C¸c vÝ dô
I. Gi¶i pt, hÖ pt, bÊt ph-¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph-¬ng tr×nh vÒ ®¹i sè tæ hîp
*VÝ dô 1. Giải phương trình: a, 1 2 3 26. 6. 9 14x x xC C C x x    b,
2 1
5 5 5 25
x x xC C C   
*VÝ dô 2. Giải phương trình:
5 6 7
5 2 14
x x xC C C
 
*VÝ dô 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương trình
a, 4 3 21 1 2
5 0
4n n n
C C A
  
   §S: n=11
b, 2 2 2 3 3 3. 2 100n nn n n n n nC C C C C C
 
   c, 0 1 22 4 ... 2 243n nn n n nC C C C    
*VÝ dô 4.  2 272 6 2x x x xP A A P  
*VÝ dô 5. Giải hệ phương trình 2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
  

 
§S: x=5 ,y=2
*VÝ dô 6. Giải bpt: a)
2
1
2
3
10
n
n
C n
C

 b)  3 11 1 14 1
n
n nA C n

 
   §S: a) 2 5
3
n   7) 4
2
b n  
*VÝ dô 7. Giải bất phương trình:
 
4
4 143)
2 ! 4
n
n
A
a
n P



4
3 4
1
24)
23
n
n
n n
A
b
A C 



§S: ) 9,5 2,5a n   )1 5b n 
*VÝ dô 8. Giải bất phương trình: a, 4 3 21 1 2
5 0
4x x x
C C A
  
   b, 2 2 32
1 6 10
2 x x x
A A C
x
  
§S: a, 5 11x  b, 4x 
Bµi tËp
1. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:
1/  2 2x 2x2A 50 A 2/  x x x
4 5 6
1 1 1
C C C
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 42
2. T×m k sao cho c¸c sè k k 1 k 27 7 7C ;C ;C
  theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng.
3. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1/ 4 3 2n 1 n 1 n 2
5C C A 0, n
4  
    2/ 3 n 2n nA 2C 9n

 
4. Gi¶i c¸c hÖ ph-¬ng tr×nh sau:
1/
 

 
y y
x x
y y
x x
2A 5C 90
5A 2C 80
2/  


y y 1 y 1
x 1 x xC : C : C 6 : 5: 2
5. Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:
1/   2 2x x x xPA 72 6(A 2P ) 2/  x x x
5 6 7
1 2 14
C C C
3/
   
   
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149 4/
1 2 3 2
x x xC 6C 6C 9x 14x   
6. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1/




x 3
x 1
4
x 1 3
C 1
A 14P
2/
  
  
4 3 2
x 1 x 1 x 2
5C C A 0
4
3/   2 2 32x x x
1 6A A C 10
2 x
4/ 2 4 2x 20032x 2x 2xC C ... C 2 1    
7. Gi¶i c¸c PT vµ hÖ PT sau:
1/


 

 
y y 1
x x
y y 1
x x
C C 0
4C 5C 0
2/  
  

m 1 m m 1
n 1 n 1 n 1C : C : C 5: 5: 3
8. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 235 60)!(





k
n
n A
kn
P víi 2 Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004)
9. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh 2:5:6:: 111 


y
x
y
x
y
x CCC (TNPT 2002 - 2003)
10.Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh 12...... 200322
4
2
2
2 
x
xxx CCC
11.T×m sè n nguyªn d-¬ng tho¶ m·n bÊt ph-¬ng tr×nh nCA nnn 9.2
23

 §S: n = 4,
n = 3
12.T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n: 100..2. 333222   nnnnn
n
nn CCCCCC .
T×m sè tù nhiªn n biÕt (KA 2005) 20052).12...(2.42.32.2 12 12
24
12
33
12
22
12
1
12 


n
n
n
nnnn CnCCCC
II. Tìm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng
*VÝ dô 1.Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển
101x
x
 
 
 
*VÝ dô 2. Tìm số hạng x31, Trong khai triển
40
2
1x
x
 
 
 
*VÝ dô 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1x
x
 
 
 
*VÝ dô 4. Trong khai triển
28
3 15
n
x x x

 
 
 
Tìm số hạng không chứa x biết 1 2 79n n nn n nC C C
 
  
*VÝ dô 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x43 trong khai triển
21
5
3 2
1x
x
 
 
 
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 43
*VÝ dô 6. Biết trong khai triển 1
3
n
x  
 
Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Hãy tính số
hạng
đứng giữa trong khai triển
*VÝ dô 7. Cho khai triển 3
3 2
3
n
x
x
 
 
 
. Biết tổng của ba số hạng đầu itên trong khai triển
bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa x5
*VÝ dô 8. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển 3
15 28
1
n
x x
x
 
 
 
bằng 79
.Tìm số hạng không chứa x
*VÝ dô 9. tìm hệ số của 6 2x y trong khai triển
10
xxy
y
 
 
 
*VÝ dô 10. Trong khai triển .  
12
23 xy xy . Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x
và y là các số nguyên dương.
*VÝ dô 11. Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển  
19
33 2
*VÝ dô 12.
a, Cho khai triển  1011 x . Trong các hệ số của các số hạng .Tìm hệ số lớn nhất
b, Cho khai triển .  301 2x .Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số
Bµi tËp
1. BiÕt r»ng 10010010
100 ...)2( xaxaax 
a) CMR: a2 < a3 .
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ak< ak + 1 (0≤k≤99)
2. T×m k thuéc {0, 1, . 2005} sao cho: kC2005 ®Æt GTLN.
3. T×m sè nguyªn n>1 tho¶ m·n ®¼ng thøc: 1262 2n
2
 nnn APAP .
4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu th-c
)!1(
3AA 3n
4
1n




n
M n lµ sè nguyªn d-¬ng BiÕt r»ng:
14922 2 4
2
3
2
2
2
1   nnnn CCCC
5. T×m hÖ sè cña x7 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña (2 - 3x) 2n.
6. Gi¶ sö nn
n xaxaax  ...)21( 10 vµ 729...10  naaa .
T×m n vµ sè lín nhÊt trong c¸c sè: naaa ,...,, 10
7. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d-¬ng vµ nn
n xaaax  ...)1( 10
BiÕt r»ng k nguyªn (0<k<n) sao cho
2492
11 

kkk aaa TÝnh n? §S: n = 10
8. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d-¬ng vµ 11
10
11
1110 ...)2()1( axaaxxx  . H·y tÝnh hÖ sè a5
§S 672
9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc. BiÕt: )3(73
1
4  


nCC nn
n
n
§S: 495
10.T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc  82 )1(1 xx  .
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 44
11. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triiển  
124
43 5
12.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyện trong khai triển  
64
34 7 3
13.Khai triển đa thức        9 10 14 140 1 141 1 ... 1 ...P x x x x A A x A x           . Tính A9
14.Cho khai triển :
1
322 2
nxx 
 
 
 
. Biết 3 15n nC C và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tùm x và n
15.Trong khai triển : 3
3
n
a b
b a
 
  
 
tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau
16.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển
401 2
3 3
x  
 
17.Biết tổng các hệ số trong khai triển  1 2 nx bằng 6561. Tìm hệ số của x4
18.Biết tổng các hệ số trong khai triển  21
n
x bằng 1024 .Tìm hệ số của x12
19. Tìm hệ số x8 trong khai triển : 53
1 nx
x
 
 
 
Biết  14 3 7 3
n n
n nC C n

 
  
III. Chøng minh ®¼ng thøc
*VÝ dô 1.
a, (§HBK HN - 1998). Chøng minh r»ng: 16 0 15 1 16 2 16 1616 16 16 163 3 3 ... 2C C C C    
b, (§HYD TP HCM - 2000). Chøng minh r»ng:
b1,
0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C    
b2,
1 3 5 2 1 0 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2... ...
n n
n n n n n n n nC C C C C C C C

        
c, Chøng minh r»ng: 2005 0 2004 1 2003 2 2 2002 3 3 2005 20052005 2005 2005 2005 20057 7 .6. 7 .6 . 7 .6 . ... 6 1C C C C C     
*VÝ dô 2.
a, (§HAN-CS khèi A - 1998). Chøng minh r»ng:
2 3 4 22.1. 3.2. 4.3. ... .( 1). ( 1).2 , , 2.n nn n n nC C C n n C n n n n

         
b, (§H H»ng H¶i - 1997). Chøng minh r»ng:
1 0 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1.4 . ( 1).4 . ( 2).4 . ... ( 1) . 4 2 ... .2 , , 1.n n n n n nn n n n n n n nn C n C n C n C C C C n C n n
    
              
*VÝ dô 3.
a, (§H Giao th«ng vËn t¶i - 1996). Chøng minh r»ng:
2 3 1
0 1 22 2 2 1 ( 1)2 ... ( 1)
2 3 1 1
n n
n n
n n n nC C C Cn n

 
     
 
b, (§H Më Hµ Néi - 1999). CMR:
1
0 1 21 1 1 1 2 1... , , 2.
3 6 9 3 3 3( 1)
n
n
n n n nC C C C n nn n


       
 

*VÝ dô 4.
a, Chứng minh 11m mn m m n
mC C
n

 


b, Cho n,m,k là các số nguyên dương và ,m n k m  Chứng minh: m k k m kn m n n kC C C C 
c, Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng: 1 12 2 2 2
1
2
n n n
n n nC C C
 

 
d, Cho n≥2 và n nguyên . Chứng minh: 2 21n nC C n  
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 45
e, Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh: 2 2 2
2 3
1 1 1 1... 1
n nA A A
     =T
HD:
     2 2 ! 3 2 ! 2 !
....
2! 3! !
n
T
n
  
    , 1 1 1 1 1 1 1... 1
1 2 2 3 1
T
n n n
     
             
     
*VÝ dô 5. (Sử dụng tính chất: 1 1
k k k
n n nC C C


  )
a, Chứng minh
1 2 3
33 3 3
k k k k k
n n n n nC C C C C k n
  

     
b, Chứng minh : 1 2 3 2 32 32 5 4
k k k k k k
n n n n n nC C C C C C
    
 
    
c, Cho 4 k n  .Chứng minh rằng 1 2 3 4 44 6 4
k k k k k k
n n n n n nC C C C C C
   

    
d, .Cho 1 m n  .Chứng minh rằng 1 1 1 11 2 1...
m m m m m
n n n m mC C C C C
   
  
   
*VÝ dô 6. (Khai triển một biểu thức hoặc, hai biểu thức bằng hai cách khác nhau sau
đó đồng nhất hệ số )
a, Chứng minh rằng: 0 1 1 6 66 6 6 6. . ... .
k k k k
n n n nC C C C C C C
 

   
b, Chứng minh:      
2 2 20 1
2...
n n
n n n nC C C C   
c, Chứng minh.          
2 2 20 1
2... 1 1
n nn n
n n n nC C C C     
d, Chứng minh rằng: 0 1 1 0. . ... .p p p pn m n m n m n mC C C C C C C


   
HD: a,    61 . 1 nx x   !   61 nx   ! so sánh kx
b,    
0 0
1 . 1
n n
n n k k k n k
n n
k k
x x C x C x 
 
  
     
  
  Hệ số của x
n là      
2 2 20 1 ... nn n nC C C  
 
2
2
2
0
1
n
n k k
n
k
x C x

  Hệ số x
k là 2knC
c,      
22 2 21 . 1 1
nn nx x x   
d, Xét    1 1n mx x  =!  Hệ số của xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển  1 m nx   Hệ
số của xp là
Bµi tËp
1. a, (§HQG Hµ Néi khèi D - 1997). Chøng minh r»ng: 0 1 2 10 1010 10 10 10... 2C C C C    
b, Cho: 0 n  . Chøng minh r»ng: 0 1 2 ... ( 1) 0n nn n n nC C C C     
2. . (§HTCKT - Hµ Néi - 2000).
Chøng minh r»ng: 1 2 3 12 3 ... .2 , , 1n nn n n nC C C nC n n n

       
3. (§HKTQD - 2000).
Chøng minh r»ng: 1 1 2 2 3 3 11.2 2.2 3.2 ... .3 , , 1n n n n nn n n nC C C nC n n n
   
       
4. (§H LuËt Hµ Néi - 1997).
Chøng minh r»ng: 0 1 21 1 1 1 1... ( 1)
2 4 6 2 2 2 2
n n
n n n nC C C Cn n
     
 
5. (§H §µ N½ng - 2001).
Chøng minh r»ng:
2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 12 ... ,
2 3 1 1
n n
n
n n n nC C C C nn n
 

      
 

6. (§H N«ng nghiÖp - 1999).
Chøng minh r»ng: 0 1 2 1919 19 19 19
1 1 1 1 1...
2 3 4 21 420
C C C C    
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Biên soạn :Phạm Quang Thiện 0982097984 GV:THPT Phan Đình Phùng ĐăkLăk 46
7. (Bé ®Ò tuyÓn sinh c©u IVa, ®Ò 81).
Chøng minh r»ng: 1 2 31 1 1 ( 1) (2 )!!1 ...
3 5 7 2 1 (2 1)!!
n
n
n n n n
nC C C C
n n

     
 
8. (§HQG Tp HCM khèi D - 1997).
Cho:
4
,
k n
k n
 

 
. Chøng minh r»ng: 1 2 3 44 6 4 4k k k k k kn n n n n nC C C C C C
   
     
9. Chøng minh r»ng: 0 1 1 0 2...
k k k k
n n n n n n nC C C C C C C

   
Tõ ®ã suy ra:        
2 2 2 20 1 2 100 100
100 100 100 100 200...C C C C C    
10.Chøng minh r»ng:
a, 9 8 7 6 5 910 10 10 10 10 144 6 4C C C C C C    
b,        
2 2 2 20 1 2 1999
1999 1999 1999 1999... 0C C C C    