Tài liệu bồi dưỡng môn Toán Lớp 11 - Chương IV: Giới hạn

 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN MÔN LỚP 11
 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
;
; 
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
· lim (un + vn) = a + b
· lim (un – vn) = a – b
· lim (un.vn) = a.b
· (nếu b ¹ 0)
b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a thì a ³ 0 và lim 
c) Nếu ,"n và lim vn = 0 
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
 S = u1 + u1q + u1q2 +  = 
1. Giới hạn đặc biệt:
2. Định lí:
a)Nếu thì 
b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim= 0
c) Nếu lim un =a ¹ 0, lim vn = 0 
thì lim= 
d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a
thì lim(un.vn) = 
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
· Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD: 	a) 	
b) 
c) 
· Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
VD:===
· Dùng định lí kẹp: Nếu ,"n và lim vn = 0 thì 	lim un = 0
VD:	a) Tính .	
Vì 0 £ và nên 
b) Tính .
	Vì 
	nên 0 £ . 
	Mà nên 
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
	· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
	· Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
	· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng).
Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung)
 lim(n2 - n + 1).	 ĐS: +¥
 lim(-n2 + n + 1). ĐS: -¥ 
 lim ĐS: +¥
 lim ĐS: -¥
 lim(2n + cosn).	 ĐS: +¥
 lim(n2 - 3sin2n + 5). ĐS: +¥
 un = .	ĐS: +¥	
un = 2n - 3n. ĐS: - ¥
 ĐS: 0	
	 ĐS: 0
	lim ĐS: 0
 ĐS: 2/3
	ĐS: 3	
	ĐS: 1
lim ĐS: -1/2
lim ĐS: 2
lim ĐS: 2
 ĐS: +¥
 ĐS: -¥	
 ĐS: -¥
Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)
 	ĐS: 1	
	ĐS: 7
	ĐS: 0	 
	ĐS: 5
	ĐS: -1/2
 ĐS: 1/3 
Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất;)
Chú ý: có mũ có mũ 
 ĐS: 2 	
 ĐS: 0
	ĐS: 0	
 ĐS: 2
 	ĐS: 2
 ĐS: -1/()
Tính các giới hạn sau: 
Nếu bài toán có dạng: + Vô cùng – vô cùng không có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau).
 + Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau) 
Thì ta nhân liên hợp có căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa có số mũ cao nhất
 Nếu bài toán ở dạng vô cùng + vô cùng thì kq là vô cùng ta đặt nhân tử chung có mũ cao nhất rồi tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung.
 ĐS: +¥
 ĐS: 2012
 ĐS: -1/2
	ĐS: 5
 ĐS: 5
	ĐS: 0
	ĐS: 1/2
	ĐS: -1
 ĐS: 1	
 ĐS: -1/()	
 ĐS: -¥
 ĐS: -1/2	
	ĐS: 0
Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả)
 ĐS: 0	
 ĐS: 0	
ĐS: 0	
	ĐS: -1/3
Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn)
ĐS: 1/2
 ĐS: 3/2
 ĐS: 1/2
ĐS: 1
	ĐS: 1/2
ĐS: 0
Cho dãy số (un) với un = ,với "n³ 2
a) Rút gọn un.ĐS: (n+1)/2n	b) Tìm lim un. ĐS: 1/2
a) Chứng minh: 	("n Î N*).
b) Rút gọn: un = .
c) Tìm lim un. ĐS : 1
Cho dãy số (un) được xác định bởi: .
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 +  + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un. ĐS: 2
Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
a) Chứng minh rằng: un+1 = , "n ³ 1.
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. ĐS: 2/3
Cho dãy số (un) xác định bởi ; nÎN*. Tìm (HSG lạng sơn 2011) ĐS: - CM được dãy tăng : 
- giả sử có giới hạn là a thì : Vô Lý
nên limun = 
- ta có : 
Vậy : .
Cho dãy (xn) xác định như sau:
()
Đặt (). Tìm LimSn . (HSG lạng sơn 2012)
Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vô hạn:
S = 1 + + + 	 b. S = 1 + ĐS: a. 2 b.12/11
 Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a. 0,444...	b. 0,2121....	c. 0,32111....ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900
 L = , với ½a½, ½b½ < 1. ĐS: (1-b)/(1-a)
II. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
 ;	 
 (c: hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu
 thì: *
*
*
* (nếu M ¹ 0)
b) Nếu thì 
* L ³ 0 *
c) Nếu thì 
3. Giới hạn một bên:
Û 
1. Giới hạn đặc biệt:
;
	;	
	;	
2. Định lí:
a) Nếu thì: *
*
b) Nếu thì:
Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định.

Một số phương pháp khử dạng vô định:
1. Dạng 
a) L = với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
VD: 
b) L = với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
VD: 
c) L = với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: P(x) = . 
Ta phân tích P(x) = .
VD: 
= 
2. Dạng :	L = với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
VD: 	a) 
	b) 
3. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
VD: 
4. Dạng 0.¥: 
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
VD: 
Tìm các giới hạn sau: 
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a).
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng ¥.
(x2 + x). ĐS: 12
 ĐS: ±¥
 ĐS: 1
 ĐS: -3/2
 	ĐS: 
 	ĐS:-2/3	
 	ĐS: 	
 ĐS: 
 	ĐS: 0	
 ĐS: 0	
 ĐS: 0
Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là ¥
 ĐS: 2
x ĐS: -1
. ĐS: 3
ĐS: 2
ĐS: 5
ĐS: -8
ĐS: 0	
	ĐS:1
 ĐS: 2
	ĐS: 0
ĐS: 5/3	
ĐS: 10
ĐS: 0
ĐS: -1/2
ĐS: -1
ĐS: 0
ĐS: 1993/1992
chú ý tổng của CSN ĐS: m/n
 ĐS: 14
ĐS: 6
ĐS: n(n+1)/2	
ĐS: n(n-1)/2
Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)
 ĐS:1/6	 
 ĐS:0 
 ĐS: -1/6
 ĐS:-1/54
ĐS: -1/56
ĐS: -4/15
ĐS: 9/4
ĐS:1/2
 Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)
ĐS: 1
ĐS:2
	ĐS:-3/4
 	ĐS:3/2
ĐS:-4/3
ĐS:3
ĐS:-1/3	
 ĐS:-1/4	
ĐS:1/6
ĐS: 	
ĐS:-3/4	
 ĐS:-1/4
ĐS:4
ĐS:-2/9
ĐS: 7/24
, với a> 0. ĐS: 	
 ĐS:2
Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3)
ĐS	:1/3
ĐS:2/3
ĐS:3
ĐS:24
	ĐS:1/3
	ĐS:1
ĐS:1
Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc)
 ĐS :1/6
 ĐS:4/3
 	ĐS:3/2	
ĐS:13/12
ĐS:-1/18
	ĐS:-7/72
 ĐS:0	
ĐS:-1/3	
 ĐS:7/54	
 ĐS:2
 ĐS:7/162	
 ĐS:-11/24
ĐS:-1/24
 ĐS:5	
ĐS:7/3
ĐS: 1/n
ĐS:1/120
 ĐS:5/6
ĐS:-6
ĐS:0
Tìm các giới hạn sau: ( ;=1) 
ĐS: 2/p
ĐS:1
ĐS: 0
ĐS:4/3p
ĐS:5/3
ĐS:1/3
ĐS:2
ĐS:4
ĐS:4
ĐS: 2
ĐS:12
ĐS:2
ĐS:1/2
ĐS:14
ĐS:1/9
ĐS:0
ĐS:3
ĐS:0
ĐS:9/25
ĐS:4
.ĐS:1
ĐS:5
ĐS: -1	
 ĐS:1/2
ĐS: 18	
ĐS:p BĐ góc phụ chéo
ĐS: 4 Đặt ẩn phụ
 ĐS:16/p
 ĐS:0
ĐS: 1/2
 ĐS: -2
ĐS:3
ĐS:-7/4
 ĐS:0
ĐS:1/
ĐS:-1/2
ĐS:0
ĐS:-1/2
ĐS:1
ĐS:-1/2
 ĐS:
 ĐS: -1
 ĐS: p
ĐS:12
ĐS: 0
ĐS:-1
ĐS:tan4a-1
ĐS: (a+1)sina
(ĐHGTVT-98): ĐS:0
ĐS:1
ĐS: 
ĐS:1
 ĐS:2/p
ĐS:4
ĐS:4/3
ĐS:2
ĐS:-1/12
ĐS:-1
ĐS:7
ĐS:n(n+1)(2n+1)/12
ĐS:0
ĐS:1
ĐS:-3/4
ĐS:3/2
Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu giá trị tuyệt đối)
 (3x3 -5x2 + 7) ĐS: -¥
ĐS:+ ¥
	ĐS:± ¥
 .ĐS:+ ¥
ĐS:± ¥
ĐS:+ ¥
ĐS:+ ¥
ĐS:2
ĐS:+ ¥
ĐS:-1/5
ĐS:6/5
ĐS:0
ĐS:-2/3; 2/3
ĐS:+ ¥
ĐS:-2
 ĐS:1/3
ĐS:4; -2/3
ĐS:1 
ĐS:
ĐS:-¥
ĐS:- ¥ 
ĐS:-1;1
ĐS:1
ĐS: ±¥
ĐS:- ¥
ĐS:- ¥
.	ĐS:- ¥	
ĐS: +¥
ĐS:- ¥
ĐS:1/2	
 ĐS:-¥;+ ¥	
 ĐS:0	
ĐS:-1;5
ĐS:3;1/5	
 ĐS:2/5	
 ĐS:4	
 ĐS:+ ¥
ĐS:0
ĐS:+ ¥
ĐS:1
ĐS:1
Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp)
 ĐS:1/2
ĐS:+ ¥
ĐS:-3/2
	ĐS:+ ¥
ĐS:0
ĐS:+ ¥;-1
ĐS:0
ĐS:1/2;-1/2
ĐS:2
 ĐS:+ ¥
ĐS:-1/2; +¥
ĐS:-1
Cho f(x) = - .
Tính các giới hạn f(x) và f(x), từ đó nhận xét về sự tồn tại của giới hạn f(x).ĐS :-2 ;2
ĐS:- ¥;0
ĐS:0	
 ĐS:+ ¥
ĐS:-1/2
ĐS:1/2;+ ¥
ĐS:0
 ĐS:0	
ĐS:1/2	
 ĐS:0	
 ĐS:- ¥	
ĐS:2
ĐS:2
ĐS:2/3
 Tìm các giới hạn sau: 
 a. .	b. c. .	d. . e. 
ĐS:a. 0 b. 10 c.+¥ d. -¥ e. 0
Tìm các giới hạn sau nếu có a. .	b. .	 c. .
ĐS: a. 3 b. -3 c.Ko xđ
Tìm các giới hạn sau: (Để ý đến dấu các biểu thức tử và mẫu khi tính giới hạn này)
 ĐS:- ¥	
 ĐS:+ ¥	
 ĐS:- ¥	
 ĐS:+ ¥	
 ĐS:1/3	
 ĐS:-1/3
 ĐS:0
 ĐS:5/2
 ĐS:1
 ĐS:-1
ĐS:1/2
 ĐS:-1;1
 ĐS:- ¥
 ĐS:+ ¥
 ĐS:- ¥;+¥
 ĐS:+ ¥
 ĐS:- ¥ 
 ĐS: /3 
 ĐS:0;0 
ĐS:+¥ 
Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Giới hạn một bên tiến tới 1 số)
 ĐS:-6;-2; ko xđ
 ĐS:-1/6; 32; K xđ
 ĐS:-1/2; -1/2; -1/2
ĐS:3/2;3/2;3/2
 Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
ĐS:m=1
ĐS:m=1
III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm:	
y = f(x) liên tục tại x0 Û 
· Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
	B1: Tính f(x0).
	B2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính , )
	B3: So sánh với f(x0) và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và 
4. · Hàm số đa thức liên tục trên R.
 · Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
· Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
· Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) ¹ 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm cÎ (a; b).
Mở rộng: 
Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = ,M = Khi đó với mọi T Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b) sao cho f(c) = T.
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 ĐS: LT	
ĐS:Lt 
f(x) = tại xo = 2 ĐS: Lt
f(x) = tại xo = 2	ĐS:Lt
 ĐS:Lt 
f(x) = tại xo = 1ĐS:K Lt
f(x) = tại xo = 2 ĐS:K Lt	
 f(x) = tại xo = 0 ĐS: Lt
 ĐS:Lt
 	ĐS:K Lt
 ĐS:Lt 
Tìm m, n,a để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
 ĐS:m=0
f(x) = tại x0 = 1 ĐS:a=5/2
	ĐS:m=2
f(x) = tại x0 = 1ĐS:a=2	 
f(x)=tại xo= 0 ĐS:a=-3
f(x)=tại = 2 ĐS:a=0
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
 f(x) = Lt / R
 ĐS:K Lt tại x=2 
	ĐS:Lt/ R
 	ĐS:Lt/ R
 ĐS: Lt / R
f(x)=ĐS:K Lt tại x=5 
Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
 ĐS:m=3	 
 ĐS: m=1
 ĐS:m=0 
 ĐS: m=2
 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 ĐS: f(x) liên tục trên R và f(0).f(3)<0 
b) x5 + x3 – 1 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 ĐS: f(-1).f(0)<0 
d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 ĐS: f(0).f(5)<0
e) x5 + 9x2 + x + 2 = 0 ĐS: f(-3).f(0)<0 
f) cosx – x + 1 = 0 ĐS: f(0).f(3)<0
g) ĐS: f(-2).f(0)<0 
h) ĐS: f(0).f(1)<0
i) ĐS: f(-2).f(0)<0
 Chứng minh rằng phương trình 
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)0; f(2)0
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) ĐS:f(-2)0; f (1)0
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)0; f (0)0
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)0; f (1)0
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)>0; f(0)0
f) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) ĐS:f(0)0; f (1)0
g) có 5 nghiệm trên (–2; 3). ĐS:f(-2)0; f(0)0; f (1)0
Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
 ĐS: f(-2)0; f (1)0 
 ĐS: f(-4)0; f (-1)0 
 ĐS: f(-7)0; f (1)0 
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
 ĐS:f(1).f(2)<0	
 ĐS:f(0).f(2)<0
* HD: xét 4 TH: a<b<c<0; a<b<0<c;	
x5-mx+m-4=0 HD: sử dụng giới hạn
mx3-5x+2=0 HD: sử dụng giới hạn. 
Khi m=0 pt luôn có nghiệm. Khi m ≠0 Đặt f(x)=Vt Khi đó nên luôn cố 2 số a,b để 
f(a)/m.f(b)/m<0 nên pt luôn có nghiệm.
 	ĐS: sử dụng giới hạn
 ĐS:f(p/4)f(3p/4)<0
 ĐS: f(-p/4)f(p/4)<0
m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 ĐS: f(1).f(-2)<0
(m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0
Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
 với 2a + 3b + 6c = 0	
 với a + 2b + 5c = 0 ĐS: f(0)+f(1/2)=0
 ĐS: dựa vào giới hạn
 Cho 3 số a,b,c khác nhau .
Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt. 
ĐS: f(a); f(b); f(c). Giả sử a 0; f(b)0 nên pt luôn có 2 nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình: luôn có nghiệm x Î 
với a ¹ 0 và 2a + 6b + 19c = 0. ĐS: f(0)+2f(1/3)=0
Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo Î (1;2) và xo >