Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 Cho hàm số xác định trên D 
	+Nếu thì 
	+Nếu thì 
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
 Ta thường gặp hai dạng bài toán sau:
 Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là +∞). Hãy tìm và (nếu chúng tồn tại).
	Cách giải. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó mà kết luận. Nếu trên khoảng (a;b) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu), thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất(giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên khoảng (a;b).	
	Bài toán 2.	Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãi tìm và .
 Cách giải 1. Để giải bài toán này , ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận.
 Cách giải 2.Ta có quy tắc sau đây:
	1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, ., xn của f(x) trên đoạn [a;b].
	2) Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).
	3) ; 
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3a trang 66 Sgk)
 trên đoạn [-4;4]
Bài làm
	Ta có: , 
	Cả hai giá trị này đều thuộc đoạn [-4;4] 
	f(-4)=-41, f(-1)= 40, f(3)= 8, f(4)=15
	Vậy và .
Bài 2 
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3d trang 66 Sgk)
 trên đoạn 
Bài làm
Ta có: 
	Trên đoạn phương trình trên có nghiệm là 2x = ± 
	Vậy max y = , min y = 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số(Bài tập 3b trang 66 Sgk)
	 trên đoạn [-10;10]
	 Bài làm 
Ta có 
 Bảng biến thiên 
 x
 -10 1 2 10
 - + 0	 -	+
y(x)
 132 72	
 0 0
	Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của y là [0;132]
	 , 
Bài 4. 
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số 
	 Bài làm. 
Ta có 
 Đặt t=sinx + cosx	() . Khi đó :
 với . Ta có 
	 ) với 
 g(t) = 
	 với 
	Bảng biến thiên: 
 t
 0 
 - + 0 -	+
g(x)
8
	Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của g(t) là 
	Do f(x)≥0 nên ; 
Bài 5.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
	Tìm m sao cho 
	a) Đạt GTNN
	b) Đạt GTLN
 Bài làm:
Để phương trình có nghiệm 
	Theo định lí Vi- et thì , 
	Ta có 
	 .
Bảng biến thiên :
m
-∞ -2 0 2 +∞
 + 	+
F
	Do đó F lớn nhất = 
	 F nhỏ nhất = 
Bài 6. 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
 Bài làm 
Ta có : 
	Đặt ta có 
	Suy ra nên F(X) nghịch biến trên đoạn [0;1]. Do đó GTLN của F(X) = F(0)=1, GTLN của F(X) = F(1)= 
Bài 7 
Cho phương trình : 
	Gọi x1, x2 là các nghiệm. Tìm GTLN của 
 Bài làm: 
Để phương trình có nghiệm 
	Theo định lí Vi – et ta có 
	 trên đoạn [-5;-1]
	Do đó trên đoạn [-5;-1]. Bảng biến thiên
 m
 -5 -4 -1
 + 0 -
A
 4 0
	Vậy GTLN của A bằng 
Ta còn gặp bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến số
Bài 8. 
Cho . Tìm max, min của 
 Bài làm. 
	Nếu y=0 thì S=0
	Nếu y≠0 thì chia cả tử và mẫu của S cho , ta có 
	 với 
	Ta có , 
	Mặt khác 
	Bảng biến thiên: 
t
-∞ t1 t2 +∞
 - 0 + 0 -
S
 0 
 0
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra: , 
Bài 9. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	 Với a,b≠0
	 Bài làm 
Đặt Thì . Khi đó 
	, 
Suy ra: 
X≥2 
X≤-2
	Bảng biến thiên
X
-∞ -2 2 +∞
 -	+
F
+∞ +∞
 -2 2
	Giá trị nhỏ nhất của F = -2
Bài 10 
Cho x,y≥0 và x+y = 1. Tìm GTLN, GTNN của 
Bài làm
	Từ giả thiết suy ra 
Ta có
Đặt xy = t (), suy ra 
. Bảng biến thiên 
Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra: GTLN của S bằng 1; GTNN của S bằng 
Bài 11 
 x ≥ 0
Cho hai số thực x, y thoã mãn : y ≥ 1
 x+y = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : P = x3 + 2y2 +3x2 + 4xy - 5x 
Bài làm
 x ≥ 0
 x + y = 3 => y = 3 - x . Ta có 	 => 0 ≤ x ≤ 2
 y ≥ 1
P = x3 + x2 – 5x + 2(y2 +2xy + x2) = x3 + x2 – 5x + 2(x + y)2 = x3 + x2 – 5x + 18
Xét f(x) = x3 + x2 – 5x + 18 ; 
 f’(x) = 3x2 + 2x – 5 ; f’(x) = 0 ; loại
Ta có f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20.
Vậy GTLN của P bằng 20 ; GTNN của P bằng 15
Bài tập tự giải: 
Bài 1.Với giá trị nào của m thì hàm số:
 có GTNN lớn hơn 1?
Bài 2.Tìm p,q để giá trị lớn nhất của hàm số
 trên đoạn [-1;1] là bé nhất
Bài 3. Cho x, y > 0 và x + y =1.
 Tìm GTNN của 
Bài 4. Giả sử có nghiệm x1 , x2 . Tìm p ≠ 0 sao cho S = x14 + x24 nhỏ nhất