So sánh phương trình mũ và phương trình logarit

§2. SO SÁNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số 
VD: Giải phương trình 
Giải:
 (Cần chuyển về cơ số 2 nên đặt vấn đề )
 (Vì )
 (Sử dụng tính chất cùng cơ số)
 (Cộng vào từng vế với 2)
 hoặc 
● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x)
 (đúng)
 (đúng)
Vậy phương trình có nghiệm hoặc 
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: 
VD: Giải phương trình 
Giải:
● Điều kiện: 
● Ta có: 
 (dùng tổng hai logarit)
 (Sử dụng tính chất cùng cơ số)
 (nhận) hoặc (loại so với điều kiện)
● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x)
 (đúng)
Vậy phương trình có nghiệm: 
2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. 
VD: Giải phương trình 
Giải:
 (Cần chuyển về cơ số nhỏ hơn là 5)
 (Vì )
Đặt ( điều kiện t > 0), phương trình trở thành 
hoặc (loại)
Với 	thì
● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x)
 (đúng)
Vậy phương trình có nghiệm 
2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
VD: Giải phương trình 
Giải:
● Điều kiện: 
● Ta có: 
Đặt ta được:
+ Với t = 1 thì 
+ Với thì 
● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x)
Vậy phương trình có nghiệm hoặc
3.Phương pháp 3: Lấy logarit hai vế
VD: Giải phương trình 
Giải:
 (lấy logarit cơ số 8 hai vế)
● Thử lại: (thế giá trị vừa tìm được vào x)
 (sử dụng máy tính đề tính vế trái)
 (đúng) 
Vậy phương trình có nghiệm 
3. Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế
VD: Giải phương trình 
	Giải:
● Điều kiện: 
● Ta có: 
 (loại) hoặc 
Với (nhận vì thỏa điều kiện)
● Thử lại: (thế giá trị 2 vừa tìm được vào x)
 (đúng)
Vậy phương trình có nghiệm 
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm mũ để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
☺ Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C (với C là hằng số) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
☺ Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
VD: Giải phương trình 
Giải:
, chia từng vế với ta được:
 (*)
● Ta có là nghiệm của phương trình (*) vì 
● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, xét 
Ta có nghịch biến trên vì , . Do đó
+ Với thì hay , nên phương trình (*) không thể có nghiệm 
+ Với thì hay , nên phương trình (*) không thể có nghiệm 
● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất 
VD: Giải phương trình 
Giải:
● Điều kiện: 
● Đặt (*)
Ta có là nghiệm của phương trình (*) vì 
● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, hàm số và 
 đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó đồng biến.
+	Với , ta có:	
Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi 
+	Với , ta có:	
Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi 
● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất